Cyclotmic Equation: x^257-1 = 0

Cyclotomic Equation: x^257-1 = 0

[2002.12.25] 円分方程式 x^257-1 = 0

x^257-1=0を解くための補助プログラム(pari/GP)
上記プログラムの実行結果

■Fermat数, Fermat素数
整数n≧0に対して、整数
    F_n = 2^(2ⁿ)+1
を(n番目の)Fermat数と呼ぶ。
Fermat数F_nが素数であるとき、F_nをFermat素数と呼ぶ。
現在、知られているFermat素数は、
    F₀ = 3,
    F₁ = 5,
    F₂ = 17,
    F₃ = 257,
    F₄ = 65537
の5個だけである。

■正17角形と円分方程式 x^17-1 = 0
Gaussは、pがFermat素数であるとき、円に内接する正p角形は(定規とコンパスで)作図可能であることを証明した。
例えば、17は２番目のFermat素数 F₂=2^(2²)+1であるので、正17角形は作図可能である。
言い換えると、円分方程式 x^17-1=0は、有理数体Qから適当な2次拡大を4回適用した体Q(ζ₁₇)で根を持つ。つまり、有理数から四則演算と開平演算を有限回適用することにより、全ての根(17個)を求めることができる。

■円分方程式 x^257-1 = 0
ここでは、3番目のFermat素数 F₃ = 2^(2³)+1 = 257について、円分方程式 x²⁵⁷-1 = 0が2次方程式の組合せで解けることを示す。

ζ = ζ₂₅₇ = e^2πi/257とする。

ζ²⁵⁷-1=0,ζ!=1より、
   Σ_{i = 1}²⁵⁶ζⁱ = -1
を得る。

素数257の原始根(primitive root)の１つとして、例えば、3を取る(あるいは、5,7,19を取っても同様に議論できる)。
    3²⁵⁶ ≡ 1(mod 257)
    {ζⁱ|i=1,2,...,256}={ζ^3ⁱ|i=0,1,...,255}
である。

■{ζⁱ|i=1,2,...,256}を２つの集合P0={ζ^3²ⁱ|i=0,1,...,127},P1={ζ^3²ⁱ⁺¹|i=0,1,...,127}に分ける。
集合P0,P1の元の和をそれぞれp₀,p₁とする。つまり、
p₀ = Σ_{i = 0}¹²⁷ζ^(3²ⁱ) = ζ²⁵⁶ + ζ²⁵⁵ + ζ²⁵³ + ζ²⁴⁹ + ζ²⁴⁸ + ζ²⁴⁶ + ζ²⁴⁴ + ζ²⁴² + ζ²⁴¹ + ζ²⁴⁰ + ζ²³⁹ + ζ²³⁶ + ζ²³⁵ + ζ²³⁴ + ζ²³² + ζ²³¹ + ζ²²⁸ + ζ²²⁷ + ζ²²⁶ + ζ²²⁵ + ζ²²³ + ζ²²² + ζ²²¹ + ζ²¹⁵ + ζ²¹³ + ζ²¹¹ + ζ²⁰⁸ + ζ²⁰⁷ + ζ²⁰⁵ + ζ²⁰⁰ + ζ¹⁹⁹ + ζ¹⁹⁸ + ζ¹⁹⁷ + ζ¹⁹⁶ + ζ¹⁹⁵ + ζ¹⁹³ + ζ¹⁹⁰ + ζ¹⁸⁹ + ζ¹⁸⁷ + ζ¹⁸⁵ + ζ¹⁸⁴ + ζ¹⁷⁸ + ζ¹⁷⁶ + ζ¹⁷³ + ζ¹⁶⁹ + ζ¹⁶⁸ + ζ¹⁶⁵ + ζ¹⁶² + ζ¹⁵⁹ + ζ¹⁵⁸ + ζ¹⁵⁷ + ζ¹⁵³ + ζ¹⁴⁶ + ζ¹⁴⁴ + ζ¹⁴³ + ζ¹⁴¹ + ζ¹⁴⁰ + ζ¹³⁹ + ζ¹³⁷ + ζ¹³⁶ + ζ¹³⁵ + ζ¹³⁴ + ζ¹³³ + ζ¹²⁹ + ζ¹²⁸ + ζ¹²⁴ + ζ¹²³ + ζ¹²² + ζ¹²¹ + ζ¹²⁰ + ζ¹¹⁸ + ζ¹¹⁷ + ζ¹¹⁶ + ζ¹¹⁴ + ζ¹¹³ + ζ¹¹¹ + ζ¹⁰⁴ + ζ¹⁰⁰ + ζ⁹⁹ + ζ⁹⁸ + ζ⁹⁵ + ζ⁹² + ζ⁸⁹ + ζ⁸⁸ + ζ⁸⁴ + ζ⁸¹ + ζ⁷⁹ + ζ⁷³ + ζ⁷² + ζ⁷⁰ + ζ⁶⁸ + ζ⁶⁷ + ζ⁶⁴ + ζ⁶² + ζ⁶¹ + ζ⁶⁰ + ζ⁵⁹ + ζ⁵⁸ + ζ⁵⁷ + ζ⁵² + ζ⁵⁰ + ζ⁴⁹ + ζ⁴⁶ + ζ⁴⁴ + ζ⁴² + ζ³⁶ + ζ³⁵ + ζ³⁴ + ζ³² + ζ³¹ + ζ³⁰ + ζ²⁹ + ζ²⁶ + ζ²⁵ + ζ²³ + ζ²² + ζ²¹ + ζ¹⁸ + ζ¹⁷ + ζ¹⁶ + ζ¹⁵ + ζ¹³ + ζ¹¹ + ζ⁹ + ζ⁸ + ζ⁴ + ζ² + ζ

p₁ = Σ_{i = 0}¹²⁷ζ^{(3²ⁱ⁺¹)} = ζ²⁵⁴ + ζ²⁵² + ζ²⁵¹ + ζ²⁵⁰ + ζ²⁴⁷ + ζ²⁴⁵ + ζ²⁴³ + ζ²³⁸ + ζ²³⁷ + ζ²³³ + ζ²³⁰ + ζ²²⁹ + ζ²²⁴ + ζ²²⁰ + ζ²¹⁹ + ζ²¹⁸ + ζ²¹⁷ + ζ²¹⁶ + ζ²¹⁴ + ζ²¹² + ζ²¹⁰ + ζ²⁰⁹ + ζ²⁰⁶ + ζ²⁰⁴ + ζ²⁰³ + ζ²⁰² + ζ²⁰¹ + ζ¹⁹⁴ + ζ¹⁹² + ζ¹⁹¹ + ζ¹⁸⁸ + ζ¹⁸⁶ + ζ¹⁸³ + ζ¹⁸² + ζ¹⁸¹ + ζ¹⁸⁰ + ζ¹⁷⁹ + ζ¹⁷⁷ + ζ¹⁷⁵ + ζ¹⁷⁴ + ζ¹⁷² + ζ¹⁷¹ + ζ¹⁷⁰ + ζ¹⁶⁷ + ζ¹⁶⁶ + ζ¹⁶⁴ + ζ¹⁶³ + ζ¹⁶¹ + ζ¹⁶⁰ + ζ¹⁵⁶ + ζ¹⁵⁵ + ζ¹⁵⁴ + ζ¹⁵² + ζ¹⁵¹ + ζ¹⁵⁰ + ζ¹⁴⁹ + ζ¹⁴⁸ + ζ¹⁴⁷ + ζ¹⁴⁵ + ζ¹⁴² + ζ¹³⁸ + ζ¹³² + ζ¹³¹ + ζ¹³⁰ + ζ¹²⁷ + ζ¹²⁶ + ζ¹²⁵ + ζ¹¹⁹ + ζ¹¹⁵ + ζ¹¹² + ζ¹¹⁰ + ζ¹⁰⁹ + ζ¹⁰⁸ + ζ¹⁰⁷ + ζ¹⁰⁶ + ζ¹⁰⁵ + ζ¹⁰³ + ζ¹⁰² + ζ¹⁰¹ + ζ⁹⁷ + ζ⁹⁶ + ζ⁹⁴ + ζ⁹³ + ζ⁹¹ + ζ⁹⁰ + ζ⁸⁷ + ζ⁸⁶ + ζ⁸⁵ + ζ⁸³ + ζ⁸² + ζ⁸⁰ + ζ⁷⁸ + ζ⁷⁷ + ζ⁷⁶ + ζ⁷⁵ + ζ⁷⁴ + ζ⁷¹ + ζ⁶⁹ + ζ⁶⁶ + ζ⁶⁵ + ζ⁶³ + ζ⁵⁶ + ζ⁵⁵ + ζ⁵⁴ + ζ⁵³ + ζ⁵¹ + ζ⁴⁸ + ζ⁴⁷ + ζ⁴⁵ + ζ⁴³ + ζ⁴¹ + ζ⁴⁰ + ζ³⁹ + ζ³⁸ + ζ³⁷ + ζ³³ + ζ²⁸ + ζ²⁷ + ζ²⁴ + ζ²⁰ + ζ¹⁹ + ζ¹⁴ + ζ¹² + ζ¹⁰ + ζ⁷ + ζ⁶ + ζ⁵ + ζ³
とすると、簡単な計算で、
    p₀+p₁ = -1
    p₀p₁ = -64
であることが分かる。
よって、p₀,p₁は、整数を係数とする２次方程式
    x²+x-64 = 0
の２根(実数)である。p₀>0>p₁であることが容易に分かるので、
    p₀ = (-1+sqrt(257))/2
    p₁ = (-1-sqrt(257))/2
である。

[なぜこの方法でうまくいくのか？]
Q(ζ)/QのGalois群 Gal(Q(ζ)/Q)は、位数256=2⁸の巡回群Z/256Zと同型であり、その生成元σは、Frobenius写像
    σ(ζ)=ζ³
である。
p₀,p₁の定義より、
    σ(p₀)=p₁
    σ(p₁)=p₀
であるので、
    σ(p₀+p₁)=p₀+p₁
    σ(p₀p₁)=p₀p₁
となる。つまり、p₀+p₁とp₀p₁は、σの作用(action)によって、不変である。また、p₀, p₁は、σ²の作用によって、不変である。

■{ζⁱ|i=1,2,...,256}を４つの集合Q0={ζ^3⁴ⁱ|i=0,1,...,63},Q1={ζ^3⁴ⁱ⁺¹|i=0,1,...,63},Q2={ζ^3⁴ⁱ⁺²|i=0,1,...,63},Q3={ζ^3⁴ⁱ⁺³|i=0,1,...,63}に分ける。
集合Qjの元の和をそれぞれq_j(j=0,1,2,3)とすると、
q₀ = ζ²⁵⁶ + ζ²⁵⁵ + ζ²⁵³ + ζ²⁴⁹ + ζ²⁴⁶ + ζ²⁴² + ζ²⁴¹ + ζ²⁴⁰ + ζ²³⁵ + ζ²³⁴ + ζ²²⁷ + ζ²²⁵ + ζ²²³ + ζ²²² + ζ²¹³ + ζ²¹¹ + ζ¹⁹⁷ + ζ¹⁹³ + ζ¹⁹⁰ + ζ¹⁸⁹ + ζ¹⁸⁷ + ζ¹⁸⁴ + ζ¹⁷⁶ + ζ¹⁶⁹ + ζ¹⁶⁵ + ζ¹⁶² + ζ¹⁴⁶ + ζ¹⁴⁰ + ζ¹³⁷ + ζ¹³⁶ + ζ¹³⁴ + ζ¹²⁹ + ζ¹²⁸ + ζ¹²³ + ζ¹²¹ + ζ¹²⁰ + ζ¹¹⁷ + ζ¹¹¹ + ζ⁹⁵ + ζ⁹² + ζ⁸⁸ + ζ⁸¹ + ζ⁷³ + ζ⁷⁰ + ζ⁶⁸ + ζ⁶⁷ + ζ⁶⁴ + ζ⁶⁰ + ζ⁴⁶ + ζ⁴⁴ + ζ³⁵ + ζ³⁴ + ζ³² + ζ³⁰ + ζ²³ + ζ²² + ζ¹⁷ + ζ¹⁶ + ζ¹⁵ + ζ¹¹ + ζ⁸ + ζ⁴ + ζ² + ζ
q₁ = Σ_{i = 0}⁶³ζ^{(3⁴ⁱ⁺¹)} = ζ²⁵⁴ + ζ²⁵¹ + ζ²⁵⁰ + ζ²⁴⁵ + ζ²⁴³ + ζ²³⁸ + ζ²³³ + ζ²²⁹ + ζ²²⁴ + ζ²¹⁹ + ζ²¹² + ζ²¹⁰ + ζ²⁰⁹ + ζ²⁰⁶ + ζ²⁰⁴ + ζ²⁰¹ + ζ¹⁹² + ζ¹⁹¹ + ζ¹⁸⁸ + ζ¹⁸¹ + ζ¹⁸⁰ + ζ¹⁶⁷ + ζ¹⁶³ + ζ¹⁶¹ + ζ¹⁵⁵ + ζ¹⁵⁴ + ζ¹⁵² + ζ¹⁵¹ + ζ¹⁴⁵ + ζ¹³⁸ + ζ¹³² + ζ¹³⁰ + ζ¹²⁷ + ζ¹²⁵ + ζ¹¹⁹ + ζ¹¹² + ζ¹⁰⁶ + ζ¹⁰⁵ + ζ¹⁰³ + ζ¹⁰² + ζ⁹⁶ + ζ⁹⁴ + ζ⁹⁰ + ζ⁷⁷ + ζ⁷⁶ + ζ⁶⁹ + ζ⁶⁶ + ζ⁶⁵ + ζ⁵⁶ + ζ⁵³ + ζ⁵¹ + ζ⁴⁸ + ζ⁴⁷ + ζ⁴⁵ + ζ³⁸ + ζ³³ + ζ²⁸ + ζ²⁴ + ζ¹⁹ + ζ¹⁴ + ζ¹² + ζ⁷ + ζ⁶ + ζ³
q₂ = Σ_{i = 0}⁶³ζ^{(3⁴ⁱ⁺²)} = ζ²⁴⁸ + ζ²⁴⁴ + ζ²³⁹ + ζ²³⁶ + ζ²³² + ζ²³¹ + ζ²²⁸ + ζ²²⁶ + ζ²²¹ + ζ²¹⁵ + ζ²⁰⁸ + ζ²⁰⁷ + ζ²⁰⁵ + ζ²⁰⁰ + ζ¹⁹⁹ + ζ¹⁹⁸ + ζ¹⁹⁶ + ζ¹⁹⁵ + ζ¹⁸⁵ + ζ¹⁷⁸ + ζ¹⁷³ + ζ¹⁶⁸ + ζ¹⁵⁹ + ζ¹⁵⁸ + ζ¹⁵⁷ + ζ¹⁵³ + ζ¹⁴⁴ + ζ¹⁴³ + ζ¹⁴¹ + ζ¹³⁹ + ζ¹³⁵ + ζ¹³³ + ζ¹²⁴ + ζ¹²² + ζ¹¹⁸ + ζ¹¹⁶ + ζ¹¹⁴ + ζ¹¹³ + ζ¹⁰⁴ + ζ¹⁰⁰ + ζ⁹⁹ + ζ⁹⁸ + ζ⁸⁹ + ζ⁸⁴ + ζ⁷⁹ + ζ⁷² + ζ⁶² + ζ⁶¹ + ζ⁵⁹ + ζ⁵⁸ + ζ⁵⁷ + ζ⁵² + ζ⁵⁰ + ζ⁴⁹ + ζ⁴² + ζ³⁶ + ζ³¹ + ζ²⁹ + ζ²⁶ + ζ²⁵ + ζ²¹ + ζ¹⁸ + ζ¹³ + ζ⁹
q₃ = Σ_{i = 0}⁶³ζ^{(3⁴ⁱ⁺³)} = ζ²⁵² + ζ²⁴⁷ + ζ²³⁷ + ζ²³⁰ + ζ²²⁰ + ζ²¹⁸ + ζ²¹⁷ + ζ²¹⁶ + ζ²¹⁴ + ζ²⁰³ + ζ²⁰² + ζ¹⁹⁴ + ζ¹⁸⁶ + ζ¹⁸³ + ζ¹⁸² + ζ¹⁷⁹ + ζ¹⁷⁷ + ζ¹⁷⁵ + ζ¹⁷⁴ + ζ¹⁷² + ζ¹⁷¹ + ζ¹⁷⁰ + ζ¹⁶⁶ + ζ¹⁶⁴ + ζ¹⁶⁰ + ζ¹⁵⁶ + ζ¹⁵⁰ + ζ¹⁴⁹ + ζ¹⁴⁸ + ζ¹⁴⁷ + ζ¹⁴² + ζ¹³¹ + ζ¹²⁶ + ζ¹¹⁵ + ζ¹¹⁰ + ζ¹⁰⁹ + ζ¹⁰⁸ + ζ¹⁰⁷ + ζ¹⁰¹ + ζ⁹⁷ + ζ⁹³ + ζ⁹¹ + ζ⁸⁷ + ζ⁸⁶ + ζ⁸⁵ + ζ⁸³ + ζ⁸² + ζ⁸⁰ + ζ⁷⁸ + ζ⁷⁵ + ζ⁷⁴ + ζ⁷¹ + ζ⁶³ + ζ⁵⁵ + ζ⁵⁴ + ζ⁴³ + ζ⁴¹ + ζ⁴⁰ + ζ³⁹ + ζ³⁷ + ζ²⁷ + ζ²⁰ + ζ¹⁰ + ζ⁵
となる。
簡単な計算で、
    q₀+q₂ = p₀
    q₀q₂ = -16
であることが分かる。
よって、q₀,q₂はQ(p₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-p₀x-16 = 0
の２根(実数)である。容易に、q₀>0>q₂であることが分かるので、
    q₀ = (p₀+sqrt(p₀²+64))/2 = (-1+sqrt(257)+sqrt(514-2*sqrt(257))/4
    q₂ = (p₀-sqrt(p₀²+64))/2 = (-1+sqrt(257)-sqrt(514-2*sqrt(257))/4
となる。

q₁,q₃については、σ(q₀)=q₁,σ(q₂)=q₃より、
    q₁+q₃ = p₁
    q₁q₃ = -16
を得る。同様にして、
    q₁ = (p₁+sqrt(p₁²+64))/2 = (-1-sqrt(257)+sqrt(514+2*sqrt(257))/4
    q₃ = (p₁-sqrt(p₁²+64))/2 = (-1-sqrt(257)-sqrt(514+2*sqrt(257))/4
となる。

■同様に、r_j = Σ_{i = 0}³¹ζ^{(3^8i+j)}(j=0,1,...,7)とすると、
    r₀ = ζ²⁵⁶ + ζ²⁵⁵ + ζ²⁵³ + ζ²⁴⁹ + ζ²⁴² + ζ²⁴¹ + ζ²⁴⁰ + ζ²²⁷ + ζ²²⁵ + ζ²²³ + ζ¹⁹⁷ + ζ¹⁹³ + ζ¹⁸⁹ + ζ¹³⁷ + ζ¹³⁶ + ζ¹²⁹ + ζ¹²⁸ + ζ¹²¹ + ζ¹²⁰ + ζ⁶⁸ + ζ⁶⁴ + ζ⁶⁰ + ζ³⁴ + ζ³² + ζ³⁰ + ζ¹⁷ + ζ¹⁶ + ζ¹⁵ + ζ⁸ + ζ⁴ + ζ² + ζ
    r₄ =ζ²⁴⁶ + ζ²³⁵ + ζ²³⁴ + ζ²²² + ζ²¹³ + ζ²¹¹ + ζ¹⁹⁰ + ζ¹⁸⁷ + ζ¹⁸⁴ + ζ¹⁷⁶ + ζ¹⁶⁹ + ζ¹⁶⁵ + ζ¹⁶² + ζ¹⁴⁶ + ζ¹⁴⁰ + ζ¹³⁴ + ζ¹²³ + ζ¹¹⁷ + ζ¹¹¹ + ζ⁹⁵ + ζ⁹² + ζ⁸⁸ + ζ⁸¹ + ζ⁷³ + ζ⁷⁰ + ζ⁶⁷ + ζ⁴⁶ + ζ⁴⁴ + ζ³⁵ + ζ²³ + ζ²² + ζ¹¹
である。
よって、簡単な計算により、
    r₀+r₄ = q₀
    r₀r₄ = 2q₀+4q₂+5q₁+5q₃
    r₀r₄ < 0
となる。よって、r₀,r₄は、Q(q₀,q₁,q₂,q₃)=Q(q₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-q₀x+(2q₀+4q₂+5q₁+5q₃) = 0
の２根(実数)である。
r₀> 0 >r₄であることが分かるので、
    r₀ = (-q₀+sqrt(q₀²-4(2q₀+4q₂+5q₁+5q₃)))/2
    r₄ = (-q₀-sqrt(q₀²-4(2q₀+4q₂+5q₁+5q₃)))/2
となる。
r₀,r₄の関係式に、σを作用させると、
    r₁+r₅ = q₁
    r₁r₅ = 2q₁+4q₃+5q₂+5q₀
を得る。r₅> r₁> 0より、
    r₁ = (-q₁-sqrt(q₁²-4(2q₁+4q₃+5q₂+5q₀)))/2
    r₅ = (-q₁+sqrt(q₁²-4(2q₁+4q₃+5q₂+5q₀)))/2
となる。
同様にして、r₂> 0> r₆より、
    r₂ = (-q₂+sqrt(q₂²-4(2q₂+4q₄+5q₃+5q₁)))/2
    r₆ = (-q₂-sqrt(q₂²-4(2q₂+4q₄+5q₃+5q₁)))/2
となる。

■s_j = Σ_{i = 0}¹⁵ζ^{(3^16i+j)}(j=0,1,...,15)とすると、
    s₀ = ζ²⁵⁶ + ζ²⁵⁵ + ζ²⁵³ + ζ²⁴⁹ + ζ²⁴¹ + ζ²²⁵ + ζ¹⁹³ + ζ¹²⁹ + ζ¹²⁸ + ζ⁶⁴ + ζ³² + ζ¹⁶ + ζ⁸ + ζ⁴ + ζ² + ζ
    s₈ = ζ²⁴² + ζ²⁴⁰ + ζ²²⁷ + ζ²²³ + ζ¹⁹⁷ + ζ¹⁸⁹ + ζ¹³⁷ + ζ¹³⁶ + ζ¹²¹ + ζ¹²⁰ + ζ⁶⁸ + ζ⁶⁰ + ζ³⁴ + ζ³⁰ + ζ¹⁷ + ζ¹⁵
である。
よって、簡単な計算により、
    s₀+s₈ = r₀
    s₀s₈ = 2r₀+2r₂+2r₅+r₄+r₆
となる。よって、s₀,r₈は、Q(r₀,r₂,r₄,r₅,r₆)=Q(r₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-r₀x+(2r₀+2r₂+2r₅+r₄+r₆) = 0
の２根である。

■t_j = Σ_{i = 0}⁷ζ^{(3^32i+j)}(j=0,1,...,31)とすると、
    t₀ = ζ²⁵⁶ + ζ²⁵³ + ζ²⁴¹ + ζ¹⁹³ + ζ⁶⁴ + ζ¹⁶ + ζ⁴ + ζ
    t₁₆ = ζ²⁵⁵ + ζ²⁴⁹ + ζ²²⁵ + ζ¹²⁹ + ζ¹²⁸ + ζ³² + ζ⁸ + ζ²
である。
よって、簡単な計算により、
    t₀+t₁₆ = s₀
    t₀t₁₆ = s₀+s₁+s₂+s₅
となる。よって、t₀,r₁₆は、Q(s₀,s₁,s₂,s₅)=Q(s₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-s₀x+(s₀+s₁+s₂+s₅) = 0
の２根である。

■u_j = Σ_{i = 0}³ζ^{(3^64i+j)}(j=0,1,...,63)とすると、
    u₀ = ζ²⁵⁶ + ζ²⁴¹ + ζ¹⁶ + ζ
    u₃₂ = ζ²⁵³ + ζ¹⁹³ + ζ⁶⁴ + ζ⁴
である。
よって、簡単な計算により、
    u₀+u₃₂ = t₀
    u₀u₃₂ = t₁+t₂₃
となる。よって、u₀,u₃₂は、Q(t₀,t₁,t₂₃)=Q(u₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-t₀x+(t₁+t₂₃) = 0
の２根である。

■v_j = Σ_{i = 0}¹ζ^{(3^128i+j)} = ζ^j+ζ^257-j (j=0,1,...,127)とすると、
    v₀ = ζ²⁵⁶ + ζ
    v₆₄ = ζ²⁴¹ + ζ¹⁶
である。
よって、簡単な計算により、
    v₀+v₆₄ = u₀
    v₀v₆₄ = u₅₆
となる。よって、v₀,v₆₄は、Q(u₀,u₅₆)=Q(u₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-u₀x+u₅₆ = 0
の２根である。

■最後に、ζ²⁵⁶,ζについて、
    ζ²⁵⁶+ζ = v₀
    ζ²⁵⁶ζ = 1
である。よって、ζ²⁵⁶,ζは、Q(v₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-v₀x+1 = 0
の２根である。

■以上により、円分方程式 x^257-1 = 0を解くには、上記の各２次方程式を(根号の符号に注意しつつ)順に解けば良いことが分かった。

    [Q(ζ):Q] = 2⁸
    [Q(ζ):Q(v₀)] = [Q(v₀):Q(u₀)] = [Q(u₀):Q(t₀)] = [Q(t₀):Q(s₀)] = [Q(s₀):Q(r₀)] = [Q(r₀):Q(q₀)] = [Q(q₀):Q(p₀)] = [Q(p₀):Q] = 2

    Gal(Q(ζ)/Q(v₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(v₀)/Q(u₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(u₀)/Q(t₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(t₀)/Q(s₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(s₀)/Q(r₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(r₀)/Q(q₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(q₀)/Q(p₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(p₀)/Q) = Z/2Z

つまり、方程式 x^257-1=0は、四則と開平の演算によって解くことができる。
言い換えると、円の257等分点は作図可能であり、円に内接する正257角形は作図可能である。

[参考文献]

[1]G.H.Hardy, E.M.Wright, "An Introduction to the Theory of Numbers 5th edition", Oxford University Press, 1979, p57-62, ISBN0-19-853171-0.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao

Cyclotomic Equation: x^257-1 = 0

[2002.12.25] 円分方程式 x^257-1 = 0

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