Cyclotomic Equation: x^17-1 = 0

[2002.12.31] 円分方程式 x^17-1 = 0

x^17-1=0を解くための補助プログラム(pari/GP)
上記プログラムの実行結果

■円分方程式 x^17-1 = 0
ここでは、2番目のFermat素数 F₂ = 2^(2²)+1 = 17について、円分方程式 x¹⁷-1 = 0が2次方程式の組合せで解けることを示す。

ζ = ζ₁₇ = e^2πi/17とする。

ζ¹⁷-1=0,ζ!=1より、
   ζ¹⁶ + ζ¹⁵ + ζ¹⁴ + ζ¹³ + ζ¹² + ζ¹¹ + ζ¹⁰ + ζ⁹ + ζ⁸ + ζ⁷ + ζ⁶ + ζ⁵ + ζ⁴ + ζ³ + ζ² + ζ = -1
を得る。

素数17の原始根(primitive root)の１つとして、例えば、3を取る(あるいは、5,7,11を取っても同様に議論できる)。
    3¹⁶ ≡ 1(mod 17)
    {ζⁱ|i=1,2,...,16}={ζ^3ⁱ|i=0,1,...,15}
である。

■{ζⁱ|i=1,2,...,16}を２つの集合P0={ζ^3²ⁱ|i=0,1,...,7},P1={ζ^3²ⁱ⁺¹|i=0,1,...,7}に分ける。
集合P0,P1の元の和をそれぞれp₀,p₁とする。つまり、
p₀ = Σ_{i = 0}⁷ζ^(3²ⁱ) = ζ¹⁶ + ζ¹⁵ + ζ¹³ + ζ⁹ + ζ^8` + ζ⁴ + ζ² + ζ

p₁ = Σ_{i = 0}⁷ζ^{(3²ⁱ⁺¹)} = ζ¹⁴ + ζ¹² + ζ¹¹ + ζ¹⁰ + ζ⁷ + ζ⁶ + ζ⁵ + ζ³
とすると、簡単な計算で、
    p₀+p₁ = -1
    p₀p₁ = -4
であることが分かる。
よって、p₀,p₁は、整数を係数とする２次方程式
    x²+x-4 = 0
の２根(実数)である。p₀>0>p₁であることが容易に分かるので、
    p₀ = (-1+sqrt(17))/2
    p₁ = (-1-sqrt(17))/2
である。

■{ζⁱ|i=1,2,...,16}を４つの集合Q0={ζ^3⁴ⁱ|i=0,1,2,3},Q1={ζ^3⁴ⁱ⁺¹|i=0,1,2,3},Q2={ζ^3⁴ⁱ⁺²|i=0,1,2,3},Q3={ζ^3⁴ⁱ⁺³|i=0,1,2,3}に分ける。
集合Qjの元の和をそれぞれq_j(j=0,1,2,3)とすると、
q₀ = Σ_{i = 0}³ζ^(3⁴ⁱ) = ζ¹⁶ + ζ¹³ + ζ⁴ + ζ
q₁ = Σ_{i = 0}³ζ^{(3⁴ⁱ⁺¹)} = ζ¹⁴ + ζ¹² + ζ⁵ + ζ³
q₂ = Σ_{i = 0}³ζ^{(3⁴ⁱ⁺²)} = ζ¹⁵ + ζ⁹ + ζ⁸ + ζ²
q₃ = Σ_{i = 0}³ζ^{(3⁴ⁱ⁺³)} = ζ¹¹ + ζ¹⁰ + ζ⁷ + ζ⁶
となる。
簡単な計算で、
    q₀+q₂ = p₀
    q₀q₂ = -1
であることが分かる。
よって、q₀,q₂はQ(p₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-p₀x-1 = 0
の２根(実数)である。容易に、q₀>0>q₂であることが分かるので、
    q₀ = (p₀+sqrt(p₀²+4))/2 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17))/4
    q₂ = (p₀-sqrt(p₀²+4))/2 = (-1+sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))/4
となる。

同様に、q₁,q₃については、
    q₁+q₃ = p₁
    q₁q₃ = -1
を得る。q₁>0>q₃より、
    q₁ = (p₁+sqrt(p₁²+4))/2 = (-1-sqrt(17)+sqrt(34+2*sqrt(17))/4
    q₃ = (p₁-sqrt(p₁²+4))/2 = (-1-sqrt(17)-sqrt(34+2*sqrt(17))/4
となる。

■同様に、r_j = Σ_{i = 0}¹ζ^{(3^8i+j)}(j=0,1,...,7)とすると、
    r₀ = ζ¹⁶ + ζ
    r₁ = ζ¹⁴ + ζ³
    r₂ = ζ⁹ + ζ⁸
    r₃ = ζ¹⁰ + ζ⁷
    r₄ =ζ¹³ + ζ⁴
    r₅ =ζ¹² + ζ⁵
    r₆ =ζ¹⁵ + ζ²
    r₇ =ζ¹¹ + ζ⁶
である。
よって、簡単な計算により、
    r₀+r₄ = q₀
    r₀r₄ = q₁
    q₀²-4q₁ > 0
となる。よって、r₀,r₄は、Q(q₀,q₁)=Q(q₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-q₀x+q₁ = 0
の２根(実数)である。
r₀> r₄> 0であることが分かるので、
    r₀ = (-q₀+sqrt(q₀²-4q₁))/2 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17))+sqrt(2)*sqrt(34+6*sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))-8*sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(17)*sqrt(34-2*sqrt(17))))/8
    r₄ = (-q₀-sqrt(q₀²-4q₁))/2 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17))-sqrt(2)*sqrt(34+6*sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))-8*sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(17)*sqrt(34-2*sqrt(17))))/8
となる。
同様にして、
    r₁+r₅ = q₁
    r₁r₅ = q₂
    r₂+r₆ = q₂
    r₂r₆ = q₃
    r₃+r₇ = q₃
    r₃r₇ = q₀
を得る。r₁> 0> r₅より、
    r₁ = (-q₁+sqrt(q₁²-4q₀))/2 = (-1-sqrt(17)+sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(2)*sqrt(34-6*sqrt(17)-8*sqrt(34-2*sqrt(17))-sqrt(34+2*sqrt(17))-sqrt(17)*sqrt(34+2*sqt(17))))/8
    r₅ = (-q₁-sqrt(q₁²-4q₀))/2 = (-1-sqrt(17)+sqrt(34+2*sqrt(17))-sqrt(2)*sqrt(34-6*sqrt(17)-8*sqrt(34-2*sqrt(17))-sqrt(34+2*sqrt(17))-sqrt(17)*sqrt(34+2*sqt(17))))/8
となる。
r₂> 0> r₆より、
    r₂ = (-q₂+sqrt(q₂²-4q₃))/2 = (-1+sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))+sqrt(2)*sqrt(34+6*sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17))+8*sqrt(34+2*sqrt(17))-sqrt(17)*sqrt(34-2*sqt(17))))/8
    r₆ = (-q₂-sqrt(q₂²-4q₃))/2 = (-1+sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))-sqrt(2)*sqrt(34+6*sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17))+8*sqrt(34+2*sqrt(17))-sqrt(17)*sqrt(34-2*sqt(17))))/8
となる。
r₃< r₇< 0より、
    r₃ = (-q₃-sqrt(q₃²-4q₀))/2 = (-1-sqrt(17)-sqrt(34+2*sqrt(17))-sqrt(2)*sqrt(34-6*sqrt(17)-8*sqrt(34-2*sqrt(17))+sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(17)*sqrt(34+2*sqt(17))))/8

    r₇ = (-q₃+sqrt(q₃²-4q₀))/2 = (-1-sqrt(17)-sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(2)*sqrt(34-6*sqrt(17)-8*sqrt(34-2*sqrt(17))+sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(17)*sqrt(34+2*sqt(17))))/8

となる。

■最後に、ζ¹⁶,ζについて、
    ζ¹⁶+ζ = r₀
    ζ¹⁶ζ = 1
である。よって、ζ¹⁶,ζは、Q(r₀)の元を係数とする２次方程式
    x²-r₀x+1 = 0
の２根である。
Im(ζ)> 0> Im(ζ¹⁶)より、
    ζ = (r₀+sqrt(r₀²-4))/2
    ζ¹⁶ = (r₀-sqrt(r₀²-4))/2
となる。よって、
    Re(ζ) = r₀/2 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17))+sqrt(2)*sqrt(34+6*sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))-8*sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(17)*sqrt(34-2*sqrt(17))))/16
    Im(ζ) = sqrt(4-r₀²)/2 = sqrt(136-8*sqrt(17)+16*sqrt(34+2*sqrt(17))+4*sqrt(34-2*sqrt(17))-4*sqrt(17)*sqrt(34-2*sqrt(17))+(-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqt(17)))*sqrt(2)*sqrt(34+6*sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))-8*sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(17)*sqrt(3-2*sqrt(17))))/16
を得る。つまり、
    ζ = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17))+sqrt(2)*sqrt(34+6*sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))-8*sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(17)*sqrt(34-2*sqrt(17))))/16
+sqrt(-1)*sqrt(136-8*sqrt(17)+16*sqrt(34+2*sqrt(17))+4*sqrt(34-2*sqrt(17))-4*sqrt(17)*sqrt(34-2*sqrt(17))+(-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqt(17)))*sqrt(2)*sqrt(34+6*sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))-8*sqrt(34+2*sqrt(17))+sqrt(17)*sqrt(3-2*sqrt(17))))/16
である。

■以上により、円分方程式 x^17-1 = 0は、四則と開平の演算によって解くことができることが分かった。言い換えると、円の17等分点は作図可能であり、円に内接する正17角形は作図可能である。

    [Q(ζ):Q] = 2⁴
    [Q(ζ):Q(r₀)] = [Q(r₀):Q(q₀)] = [Q(q₀):Q(p₀)] = [Q(p₀):Q] = 2

    Gal(Q(ζ)/Q(r₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(r₀)/Q(q₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(q₀)/Q(p₀)) = Z/2Z
    Gal(Q(p₀)/Q) = Z/2Z

[参考文献]

[1]G.H.Hardy, E.M.Wright, "An Introduction to the Theory of Numbers 5th edition", Oxford University Press, 1979, p57-62, ISBN0-19-853171-0.
[2]高木貞治, "復刻版 近代数学史談・数学雑談", 共立出版, 1999(3刷), ISBN4-320-01551-7, {2600円}, p1-9.

Last Update: 2013.01.05

H.Nakao