Right Isosceles Triangles with a Point at integer distance from each vertex
[2004.06.29]３頂点から整数距離にある点を内部に持つ直角二等辺三角形
■次の問題を考察する。
△ABCを等しい辺の長さが正整数sである直角二等辺三角形とする。
この△ABCの内部のある点Pに対して、PA=a, PB=b, PC=cが全て正整数となるような正整数sを求めよ。
■Euclid座標で、A(0,0),B(s,0),C(0,s),P(x,y)とすると、Pythagorasの定理より、
x2+y2 = a2 ----- (1)
(s-x)2+y2 = b2 ----- (2)
x2+(s-y)2 = c2 ----- (3)
となる。
また、点Pは△ABCの内部にあるので、
0 < x, 0 < y, x+y < s ----- (4)
である。Diophantus方程式系Sを<(1),(2),(3)>とする。
(1),(2),(3)より、
x = (s2+a2-b2)/{2s}, ----- (5)
y = (s2+a2-c2)/{2s} ---- (6)
を得る。
これより、x,yが有理数であることが分かる。
(5),(6)を(1)に代入して整理すると、
(s2+a2-b2)2+(s2+a2-c2)2 = 4s2a2
2(s4+a4)-2(s2+a2)(b2+c2)+b4+c4 = 0 ----- (7)
を得る。
よって、S=<(1),(2),(3)>=<(5),(6),(7)>であることが容易に分かる。
■最初に、s,a,b,cが正整数で、x,yが正有理数であるようなSの解を求める。
Sのprimitiveな解(s,x,y,a,b,c)で、x,yが正有理数であり、(4)を満たすものを、プログラムを作成して、いくつか求める。
ここで、Sの解(s,x,y,a,b,c)[ただし、s,a,b,c:正整数, x,y:正有理数]がprimitiveであるとは、gcd(s,a,b,c)=1であることとする。
[pari/gp(gp2c-run)による計算]
gp> find3(2,1000)
[116, 945/29, 900/29, 45, 91, 89]
[140, 396/5, 297/5, 99, 113, 85]
[195, 140, 48, 148, 203, 73]
[195, 9588/65, 784/65, 148, 235, 49]
[296, 1155/37, 396/37, 33, 287, 265]
[325, 12768/65, 7524/65, 228, 287, 173]
[533, 11220/41, 5040/41, 300, 493, 287]
[740, 315, 168, 357, 653, 457]
[884, 7524/13, 3135/13, 627, 865, 389]
gp> quit
Good bye!
bash-2.03$
これにより、x,yが正有理数である場合のsの最小解は、116であることが確認できた。
■次に、x,yが正整数であるようなSの解を求める。
つまり、Sのprimitiveな正整数解(s,x,y,a,b,c)で、(4)を満たすものをいくつか求める。
(7)より、b,cは奇数であり、s+a≡1(mod 2)であることが分かる。
[pari/gp(gp2c-run)による計算]
gp> find(2,1000)
[195, 140, 48, 148, 203, 73]
[740, 315, 168, 357, 653, 457]
gp> quit
Good bye!
bash-2.03$
[Cによる計算]
bash-2.03$ gcc -m486 -O2 -lm risosceles.c -o risosceles
bash-2.03$ ./risosceles 2 1000
[195,140,48,148,203,73]
[740,315,168,357,653,457]
bash-2.03$
これにより、x,yが正整数である場合のsの最小解は、195であることが確認できた。
また、Sのprimitiveな整数解(s,a,b,c)で、x,yが正整数であり、x+y < s, y < x, s < 32768を満たすものを求めると、以下のように、12個の解が見つかった。
| No. |
s |
x |
y |
a |
b |
c |
| 1 |
195 |
140 |
48 |
148 |
203 |
73 |
| 2 |
740 |
315 |
168 |
357 |
653 |
457 |
| 3 |
6240 |
3080 |
711 |
3161 |
6329 |
3239 |
| 4 |
9165 |
5952 |
1540 |
6148 |
9673 |
3563 |
| 5 |
10879 |
6864 |
1152 |
6960 |
11905 |
4177 |
| 6 |
11184 |
3465 |
880 |
3575 |
10871 |
7769 |
| 7 |
13156 |
6837 |
1440 |
6987 |
13565 |
6481 |
| 8 |
14355 |
8036 |
1440 |
8164 |
15211 |
6481 |
| 9 |
20988 |
8619 |
8008 |
11765 |
15581 |
14735 |
| 10 |
21320 |
11025 |
7992 |
13617 |
17297 |
13033 |
| 11 |
30195 |
6080 |
4956 |
7844 |
25961 |
24619 |
| 12 |
31955 |
21840 |
7956 |
23244 |
32449 |
12869 |
■予想１
Diophantus方程式
2(s4+a4)-2(s2+a2)(b2+c2)+b4+c4 = 0
のprimitiveな正整数解(s,a,b,c)ば、無数に存在するだろう。
■予想２
Diophantus方程式系S
x2+y2 = a2,
(s-x)2+y2 = b2,
x2+(s-y)2 = c2
のprimitiveな正整数解(s,x,y,a,b,c)で、x+y < s. y < xを満たすものば、無数に存在するだろう。
■問題１
Diophantus方程式
2(s4+a4)-2(s2+a2)(b2+c2)+b4+c4 = 0
の全部または一部の解[s:a:b:c]をパラメータ表示することはできるだろうか？
■問題２
Diophantus方程式系S
x2+y2 = a2,
(s-x)2+y2 = b2,
x2+(s-y)2 = c2
の全部または一部の解[s:x:y:a:b:c]をパラメータ表示することはできるだろうか？
[2004.09.03追記]
A.J.MacLeod[2]によると、この問題をある楕円曲線の有理点を求める問題に帰着して、Diophantus方程式系Sの2変数m,nによるパラメータ解を２組与えている。
[参考文献]
- [1]Allan J. MacLeod, "Parametric Expressions for Integer Equilateral Triangles with a Point at ineteger distance from Each vertex (I)", May 21, 2002, p1-8.
- [2]Allan J. MacLeod, "Parametric Expressions For 3 Rational Distances From The Corners of A Square", p1-4.
- [3]Richard K. Guy, "Unsolved Problems in Number Theory Third Edtion", Springer-Verlag, 2004, p283-287, ISBN0-387-2060-7.
| Last Update: 2005.06.12 |
| H.Nakao |