Rational Points on Elliptic Curves: x^3+y^3=n (n \in [201..500])

[2004.12.29]x^3+y^3=n(n \in [201..500])の有理点

x^3+y^3=nの有理点を計算するプログラム(pari/gp)

■楕円曲線x³+y³=n (n \in [201..500])の有理点を求める。ただし、nは自然数で、３乗以上の素因子を含まないものとする。

各自然数 n \in [201..500]に対して、楕円曲線
    C_n: x³+y³ = n
の有理点を求める。
双有理変換\phi:(x,y) → (X,Y)
     X = {12*n}/{x+y}
     Y = {36*n*(x-y)}/{x+y}
および、双有理変換\phi^-1:(X,Y) → (x,y)
     x = {36*n+Y}/{6X}
     y = {36*n-Y}/{6X}
を考える。
楕円曲線C_nを双有理変換\phiで写すと、
     E_n: Y² = X³-432*n²
となる。

■CremonaのmwrankでE_nの有理点群のrankと生成元を求めると、以下のようになる。
有理点群E_n(Q)のrankまたは生成元が決定できなかったのは、
     E₃₄₆
の1個だけである。

E_nの有理点が求まれば、双有理変換\phi^-1で写すことにより、C_nの有理点が分かる。

-	E_n: Y²Z=X³-432n²Z³				C_n: x³+y³=n*z³
n	E_n(Q)_tors, 生成元 [X:Y:Z] conductor(E_n)	rank(E_n)	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元 [X:Y:Z]	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元の高さ	C_n(Q)_torsの生成元 [x:y:z]	C_n(Q)/C_n(Q)_tors の生成元 [x:y:z]
201	{O} - 1090827	2	[268 : 1340 : 1], [49580 : 838036 : 125]	1.93595555914328, 5.39133932651039	-	[16 : 11 : 3], [3251 : 124 : 555]
202	{O} - 1101708	1	[81942 : 1313315 : 216]	9.91758242244181	-	[2884067 : 257437 : 491652]
203	{O} - 1112643	2	[364 : 5516 : 1], [2548 : 128548 : 1]	3.62530369299374, 5.22238768320469	-	[229 : 32 : 39], [2426 : -2165 : 273]
204	{O} - 280908	0	-	-	-	-
205	{O} - 378225	1	[1641 : 66339 : 1]	5.85315382597999	-	[8191 : -6551 : 1094]
206	{O} - 1145772	1	[562380 : -37717776 : 125]	5.72558401705047	-	[-4961 : 5211 : 455]
207	{O} - 128547	0	-	-	-	-
209	{O} - 393129	2	[1596 : 63612 : 1], [532 : 11476 : 1]	2.48012425391256, 3.22347654860895	-	[52 : -41 : 7], [125 : -26 : 21]
210	{O} - 1190700	2	[844 : 24128 : 1], [361 : 5291 : 1]	5.54309704251383, 6.31208016582642	-	[3961 : -2071 : 633], [12851 : 2269 : 2166]
211	{O} - 1202067	1	[4198900 : -6506396 : 15625]	7.62518382381509	-	[66458 : 74167 : 14925]
212	{O} - 303372	1	[5404992738 : -326398796045 : 1481544]	17.7196497281572	-	[-315091652237 : 337705939853 : 32429956428]
213	{O} - 1224963	1	[2000015871800338016625 : 8790205464865344213217 : 7240863938150390625]	35.1102521975817	-	[64313150142602539525717 : 46732739212871851099283 : 12000095230802028099750]
214	{O} - 412164	1	[488365091340 : 19858405194144 : 294079625]	17.4799786693057	-	[307277703127 : -244344663377 : 40697090945]
215	{O} - 1248075	1	[516 : 10836 : 1]	1.19758389592968	-	[6 : -1 : 1]
217	{O} - 1271403	2	[2604 : 132804 : 1], [868 : 25172 : 1]	1.49142566048682, 1.98339649097347	-	[9 : -8 : 1], [19 : -10 : 3]
218	{O} - 427716	2	[1308 : 47088 : 1], [69405 : 1534221 : 125]	1.1421684893118, 8.18241177803185	-	[7 : -5 : 1], [279469 : -61469 : 46270]
219	{O} - 1294947	2	[292 : 2044 : 1], [17931 : 445445 : 27]	1.95173512167224, 8.9429979406785	-	[17 : 10 : 3], [658313 : -232577 : 107586]
220	{O} - 326700	0	-	-	-	-
221	{O} - 1318707	0	-	-	-	-
222	{O} - 1330668	1	[1297140 : -20103776 : 3375]	10.3949908187607	-	[858653 : 5884597 : 972855]
223	{O} - 447561	1	[3122 : 49283 : 8]	4.15745449332398	-	[509 : 67 : 84]
225	{O} - 6075	0	-	-	-	-
226	{O} - 1379052	0	-	-	-	-
227	{O} - 463761	0	-	-	-	-
228	{O} - 350892	1	[9365412 : -294573880 : 9261]	11.7909179347179	-	[-27319949 : 46323521 : 7024059]
229	{O} - 1415907	1	[2977 : 162361 : 1]	4.43453860202163	-	[745 : -673 : 78]
230	{O} - 1428300	0	-	-	-	-
231	{O} - 1440747	1	[21531 : 594035 : 27]	9.09342261560593	-	[818567 : -369503 : 129186]
233	{O} - 1465803	1	[43068 : 8937828 : 1]	7.82351233631558	-	[124253 : -124020 : 3589]
234	{O} - 164268	0	-	-	-	-
235	{O} - 1491075	0	-	-	-	-
236	{O} - 125316	1	[7851 : 19565 : 27]	8.41577534349773	-	[248957 : 209827 : 47106]
237	{O} - 1516563	0	-	-	-	-
238	{O} - 1529388	1	[11604 : 200080 : 27]	7.26431108540824	-	[53927 : 3907 : 8703]
239	{O} - 1542267	0	-	-	-	-
241	{O} - 522729	1	[6748 : 554300 : 1]	3.80084731741657	-	[292 : -283 : 21]
242	{O} - 13068	0	-	-	-	-
244	{O} - 401868	1	[1281 : 45567 : 1]	3.09032662205803	-	[99 : -67 : 14]
245	{O} - 11025	0	-	-	-	-
246	{O} - 1633932	2	[307580 : 15244064 : 125], [1867502 : -46655225 : 2744]	9.7147236672504, 12.0611500634828	-	[2043883 : -1767133 : 230685], [-22354361 : 70956089 : 11205012]
247	{O} - 1647243	1	[988 : 30628 : 1]	2.01876427991852	-	[20 : -11 : 3]
249	{O} - 1674027	1	[829080166344231279933894754 : 275590046129671815970585276405 : 7503476279926286601928]	45.1941400154462	-	[275657307291045075203684958997 : -275522784968298556737485593813 : 4974480998065387679603368524]
251	{O} - 1701027	1	[4476 : 299412 : 1]	5.5966666650557	-	[4284 : -4033 : 373]
252	{O} - 47628	0	-	-	-	-
253	{O} - 1728243	0	-	-	-	-
254	{O} - 580644	2	[32514 : 2072385 : 8], [317580 : 15993936 : 125]	8.09418804211073, 8.09801984481387	-	[238393 : -222137 : 21676], [238013 : -206263 : 26465]
255	{O} - 1755675	0	-	-	-	-
257	{O} - 1783323	0	-	-	-	-
258	{O} - 1797228	1	[33026 : 2121535 : 8]	9.75749334179156	-	[2195839 : -2047231 : 198156]
259	{O} - 603729	1	[777 : 20979 : 1]	1.53987236220133	-	[13 : -5 : 2]
260	{O} - 456300	0	-	-	-	-
261	{O} - 204363	0	-	-	-	-
262	{O} - 1853388	0	-	-	-	-
263	{O} - 622521	0	-	-	-	-
265	{O} - 1896075	1	[948626287935144 : -13290132238785973 : 2414733175296]	25.4322528653706	-	[9746422253537867 : 36326686731109813 : 5691757727610864]
266	{O} - 1910412	0	-	-	-	-
267	{O} - 1924803	1	[21819 : 601885 : 27]	9.12456825361174	-	[861409 : -342361 : 130914]
268	{O} - 161604	0	-	-	-	-
269	{O} - 1953747	1	[548739156 : -57113792748 : 50653]	13.678985604308	-	[-786434293 : 800059950 : 45728263]
271	{O} - 1982907	2	[3252 : 185364 : 1], [876 : 25308 : 1]	1.56092417190246, 4.14164101255527	-	[10 : -9 : 1], [487 : -216 : 73]
273	{O} - 2012283	2	[364 : 4004 : 1], [2548 : 128492 : 1]	1.9933646575709, 3.52607955236553	-	[19 : 8 : 3], [190 : -163 : 21]
274	{O} - 2027052	1	[22335388956014594460 : 617173674486200714096 : 27484823289911625]	30.7841911793261	-	[111035496427236122887 : -43257922194314055637 : 16751541717010945845]
275	{O} - 81675	1	[9249138 : -366823639 : 5832]	13.2726909100496	-	[-309086839 : 424560439 : 55494828]
276	{O} - 514188	0	-	-	-	-
277	{O} - 690561	1	[11634 : 441261 : 8]	3.40589549847997	-	[209 : -145 : 28]
278	{O} - 2086668	1	[417 : 6255 : 1]	1.71817469188364	-	[13 : 3 : 2]
279	{O} - 233523	1	[1116 : 36828 : 1]	1.31990729112986	-	[7 : -4 : 1]
281	{O} - 710649	0	-	-	-	-
282	{O} - 2147148	2	[2257 : 107065 : 1], [89405 : 2276029 : 125]	7.81001404254163, 10.0619693453612	-	[117217 : -96913 : 13542], [3545029 : -1007029 : 536430]
283	{O} - 2162403	1	[145772873519 : 4189152513131 : 167284151]	15.8545779314143	-	[20824888493 : -8780429621 : 3090590958]
284	{O} - 544428	1	[195812865727130039099057283 : -3861962137811759194622252285 : 377608404165604191639171]	42.8093017037972	-	[-1293813622621939303367981 : 7722630462000896449941136589 : 1174877194362780234594343698]
285	{O} - 2193075	0	-	-	-	-
286	{O} - 736164	1	[588 : 12960 : 1]	3.67019455031647	-	[323 : -37 : 49]
287	{O} - 2223963	1	[364 : 3556 : 1]	3.71758703020423	-	[248 : 121 : 39]
289	{O} - 7803	1	[372 : 3924 : 1]	3.56442803083207	-	[199 : 90 : 31]
290	{O} - 756900	0	-	-	-	-
291	{O} - 2286387	0	-	-	-	-
292	{O} - 575532	0	-	-	-	-
293	{O} - 2317923	0	-	-	-	-
294	{O} - 47628	1	[2353 : 113975 : 1]	7.8504624700939	-	[124559 : -103391 : 14118]
295	{O} - 783225	1	[7602 : 229149 : 8]	6.80736496266668	-	[34901 : -16021 : 5068]
298	{O} - 2397708	0	-	-	-	-
299	{O} - 804609	0	-	-	-	-
300	{O} - 24300	0	-	-	-	-
301	{O} - 2446227	1	[532 : 10556 : 1]	3.96363611378591	-	[382 : 5 : 57]
302	{O} - 2462508	0	-	-	-	-
303	{O} - 2478843	1	[66005 : 1296449 : 125]	9.86262884694404	-	[2659949 : 67051 : 396030]
305	{O} - 2511675	1	[5124 : 366732 : 1]	2.99107182068141	-	[86 : -81 : 7]
306	{O} - 280908	1	[1228 : 42560 : 1]	5.89637612014911	-	[6697 : -3943 : 921]
307	{O} - 2544723	0	-	-	-	-
308	{O} - 213444	1	[372 : 3240 : 1]	3.39972985126358	-	[199 : 109 : 31]
309	{O} - 2577987	2	[412 : 5356 : 1], [8808790308 : -144796133924 : 19034163]	2.01743859033124, 13.2622891573877	-	[20 : 7 : 3], [81237737 : 432684664 : 64141677]
310	{O} - 2594700	1	[123414 : 2601053 : 216]	10.2850260745309	-	[5011613 : -190493 : 740484]
311	{O} - 2611467	0	-	-	-	-
313	{O} - 881721	1	[1252 : 43820 : 1]	2.08422421353154	-	[22 : -13 : 3]
314	{O} - 2662092	1	[4396 : 291392 : 1]	3.68012119355052	-	[241 : -223 : 21]
315	{O} - 297675	0	-	-	-	-
316	{O} - 674028	1	[948 : 28440 : 1]	1.31261038458804	-	[7 : -3 : 1]
317	{O} - 904401	0	-	-	-	-
318	{O} - 2730348	0	-	-	-	-
319	{O} - 2747547	1	[78734558885050760265 : -6322234569729947371999 : 12209103973859625]	33.4992652769775	-	[-6182025219694143438499 : 6462443919765751305499 : 472407353310304561590]
321	{O} - 2782107	1	[360719667 : 2542502575 : 970299]	15.6360548265909	-	[13755277819 : 8670272669 : 2164318002]
322	{O} - 933156	1	[417 : 5265 : 1]	4.8640655628241	-	[1873 : 703 : 278]
323	{O} - 2816883	1	[444 : 6516 : 1]	3.69892537603889	-	[252 : 71 : 37]
325	{O} - 114075	1	[364 : 1612 : 1]	3.34172578956262	-	[128 : 97 : 21]
326	{O} - 956484	0	-	-	-	-
327	{O} - 2887083	0	-	-	-	-
329	{O} - 2922507	0	-	-	-	-
330	{O} - 2940300	1	[364 : 1088 : 1]	5.05635142458274	-	[1621 : 1349 : 273]
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332	{O} - 744012	0	-	-	-	-
333	{O} - 332667	1	[1764 : 73764 : 1]	4.01743502704699	-	[397 : -286 : 49]
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335	{O} - 1010025	2	[804 : 21708 : 1], [3647786730 : -93324335247 : 4913000]	1.12218094729461, 15.5245853876591	-	[7 : -2 : 1], [-3785950583 : 16952790583 : 2431857820]
337	{O} - 3066363	1	[468884276 : -144852204500 : 4913]	11.8686626776681	-	[-53706454 : 53750671 : 1043511]
338	{O} - 18252	0	-	-	-	-
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340	{O} - 260100	0	-	-	-	-
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345	{O} - 3213675	2	[409 : 4123 : 1], [8882 : 290339 : 8]	6.52037925229018, 8.60066790919953	-	[16543 : 8297 : 2454], [389699 : -190979 : 53292]
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347	{O} - 3251043	0	-	-	-	-
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381	{O} - 3919347	0	-	-	-	-
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383	{O} - 3960603	0	-	-	-	-
385	{O} - 1334025	1	[3081 : 170829 : 1]	6.46468450228653	-	[20521 : -17441 : 2054]
386	{O} - 4022892	1	[2316 : 111168 : 1]	1.49383606578198	-	[9 : -7 : 1]
387	{O} - 449307	1	[1548 : 60372 : 1]	1.41129072394904	-	[8 : -5 : 1]
388	{O} - 1016172	1	[643692 : 27747432 : 343]	5.65880830880419	-	[4659 : -3287 : 553]
389	{O} - 1361889	0	-	-	-	-
390	{O} - 4106700	2	[796 : 20944 : 1], [16563 : 346969 : 27]	5.59298907190868, 8.99717740808191	-	[4373 : -863 : 597], [726049 : 32111 : 99378]
391	{O} - 4127787	1	[13347350512860 : -380907740925289 : 14886936000]	22.6828353995844	-	[-171359229789289 : 590456252061289 : 80084103077160]
393	{O} - 4170123	1	[97841161568922828056 : 838039841614764681875 : 226704270137067008]	33.230263009252	-	[4045451855513988711059 : 2369372172284459347309 : 587046969413536968336]
394	{O} - 1397124	1	[288132585 : -9057927627 : 274625]	13.8888987548974	-	[-573627403 : 1439245403 : 192088390]
395	{O} - 4212675	1	[31521 : 5596281 : 1]	5.98856787633066	-	[7891 : -7851 : 266]
396	{O} - 117612	1	[845719 : 41899465 : 343]	11.8031775338815	-	[46789273 : -37009657 : 5074314]
397	{O} - 4255443	2	[4764 : 328716 : 1], [588 : 11628 : 1]	1.68107767084622, 3.92555364362421	-	[12 : -11 : 1], [360 : 37 : 49]
398	{O} - 1425636	0	-	-	-	-
399	{O} - 4298427	2	[532 : 9044 : 1], [6916 : 575092 : 1]	2.0686380868769, 4.23147341346711	-	[22 : 5 : 3], [554 : -527 : 39]
401	{O} - 4341627	0	-	-	-	-
402	{O} - 4363308	1	[106003150452707508 : -1931604225230359520 : 190297893529359]	27.2789594054819	-	[102798361240815491 : 585699417548405371 : 79502362839530631]
403	{O} - 1461681	1	[1092 : 35100 : 1]	2.47838011285269	-	[53 : -22 : 7]
404	{O} - 1101708	0	-	-	-	-
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412	{O} - 381924	0	-	-	-	-
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436	{O} - 1283148	2	[436 : 872 : 1], [4003243 : -74094821 : 6859]	2.11167182237867, 9.55630296827611	-	[19 : 17 : 3], [307927 : 1667465 : 220362]
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444	{O} - 1330668	1	[91033549628 : 2450377322315 : 107850176]	19.3766364505861	-	[4174254535499 : -726500109131 : 546201297768]
445	{O} - 5346675	1	[7905466715422678777722310297419408351 : -210789567556537978957474974171907585207 : 9479439414108154373245135505552799]	59.1939387600467	-	[-58928948142525345898087903372951745227 : 362650186970550612016862044970863425187 : 47432800292536072666333861784516450106]
446	{O} - 5370732	2	[19303423228 : 497925307376 : 24137569], [665034288120 : -9855108984763 : 1259712000]	13.3503126626033, 20.7095700413215	-	[496344235 : -61867993 : 64921827], [10370826887237 : 30081044856763 : 3990205728720]
447	{O} - 5394843	1	[96005 : 2393801 : 125]	10.199779620392	-	[4405301 : -382301 : 576030]
449	{O} - 5443227	1	[516 : 7092 : 1]	3.87748855865864	-	[323 : 126 : 43]
450	{O} - 24300	1	[481 : 4879 : 1]	6.6890684388668	-	[21079 : 11321 : 2886]
451	{O} - 5491827	0	-	-	-	-
452	{O} - 459684	1	[1339520756181428100 : -22570663000600524888 : 2380607294078125]	27.3516959033507	-	[224535817897760071 : 851498679025552429 : 111626729681785675]
453	{O} - 5540643	2	[604 : 11476 : 1], [3618272268 : 298513057868 : 531441]	2.09481200098481, 12.9239080595692	-	[23 : 4 : 3], [254287912 : -239939005 : 17971551]
454	{O} - 5565132	1	[129825034597022889519856910271603051180 : 3830615365686228770979728693764416218032 : 134391718983970274831044620178996125]	59.6857551662467	-	[753389202595029867852290245746241110629 : -204264638826527324892641927694862943879 : 97368775947767167139892682703702288385]
455	{O} - 5589675	0	-	-	-	-
457	{O} - 1879641	1	[457 : 2285 : 1]	2.58226100946246	-	[41 : 31 : 6]
458	{O} - 5663628	1	[3720563 : 196300403 : 1331]	9.20733784895402	-	[953039 : -761375 : 97482]
460	{O} - 1428300	1	[23288460 : -1934255512 : 3375]	12.9092387341122	-	[-234795689 : 248768189 : 17466345]
461	{O} - 1912689	0	-	-	-	-
462	{O} - 5762988	2	[1852 : 79120 : 1], [59645 : 506717 : 125]	6.2861218639908, 9.9112298101046	-	[11969 : -7811 : 1389], [2585717 : 1572283 : 357870]
463	{O} - 5787963	1	[12964 : 1476044 : 1]	4.01327703904538	-	[403 : -394 : 21]
465	{O} - 5838075	1	[8717971493 : -1204714579627 : 456533]	18.5594583408511	-	[-1197072217207 : 1212356942047 : 52307828958]
466	{O} - 1954404	1	[10009633657305165933 : 187870972531310928145 : 16491996649262421]	31.7305358617674	-	[464540708319337302841 : 88798763256715446551 : 60057801943830995598]
467	{O} - 5888403	1	[1668 : 67428 : 1]	4.73381067872079	-	[1170 : -703 : 139]
468	{O} - 164268	2	[468 : 2808 : 1], [4329 : 284661 : 1]	1.39207509630509, 4.53049436431634	-	[7 : 5 : 1], [859 : -763 : 74]
469	{O} - 5938947	2	[1876 : 80668 : 1], [10452 : 1068516 : 1]	2.19818178277017, 3.62715004647814	-	[26 : -17 : 3], [225 : -218 : 13]
470	{O} - 1988100	0	-	-	-	-
471	{O} - 5989707	0	-	-	-	-
473	{O} - 6040683	0	-	-	-	-
474	{O} - 6066252	1	[76836 : 4090240 : 27]	8.86333898159004	-	[568871 : -453689 : 57627]
475	{O} - 81225	0	-	-	-	-
476	{O} - 1529388	0	-	-	-	-
477	{O} - 682587	2	[468 : 2052 : 1], [18828 : 2583468 : 1]	3.10782891284607, 6.27465457165829	-	[89 : 70 : 13], [12040 : -11881 : 523]
478	{O} - 6169068	0	-	-	-	-
479	{O} - 2064969	0	-	-	-	-
481	{O} - 6246747	1	[481 : 3367 : 1]	2.59158086558154	-	[43 : 29 : 6]
482	{O} - 6272748	0	-	-	-	-
483	{O} - 6298803	1	[58805 : 228241 : 125]	9.91685903452903	-	[2401741 : 1945259 : 352830]
484	{O} - 4356	1	[302820 : 14851512 : 125]	8.09471811644798	-	[236521 : -176021 : 25235]
485	{O} - 6351075	1	[1164 : 38412 : 1]	1.39879761888068	-	[8 : -3 : 1]
487	{O} - 6403563	0	-	-	-	-
489	{O} - 6456267	0	-	-	-	-
490	{O} - 132300	1	[32052 : 1069552 : 27]	8.12738550094643	-	[193229 : -74159 : 24039]
491	{O} - 6509187	0	-	-	-	-
492	{O} - 1633932	0	-	-	-	-
493	{O} - 2187441	1	[1600137114576 : -42706402106985 : 1869959168]	19.6608045736753	-	[-1057596310369 : 8432715268961 : 1066758076384]
494	{O} - 6588972	1	[1596 : 62928 : 1]	2.74041803631365	-	[59 : -33 : 7]
495	{O} - 735075	1	[7202 : 199801 : 8]	8.49884286461312	-	[342361 : -57241 : 43212]
497	{O} - 2223081	2	[588 : 9828 : 1], [5404 : 397124 : 1]	2.50200321731422, 5.9652227436031	-	[55 : 16 : 7], [7411 : -6772 : 579]
498	{O} - 6696108	2	[1245020 : 124247008 : 125], [19443347 : 2349957725 : 1331]	11.0682430552685, 14.4051117798856	-	[15811001 : -15250751 : 933765], [2373819893 : -2326095557 : 116660082]
499	{O} - 6723027	1	[851827431 : -15835017997 : 1367631]	12.1468426454993	-	[17501213 : 80968219 : 10242414]

これにより、n \in [201..500]に対して、E_n(Q)とC_n(Q)が、n=346の場合を除いて、決定できた。

[2006.11.29追記]
CremonaのHeegner点の計算プログラム[4](heegner.gp)により、n=346の場合について、E₃₄₆とC₃₄₆の有理点を求めることができた。

n \in [1..200]に対する結果は計算済みであり、こちらを参照のこと。

[参考文献]

[1]Joseph H.Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Alf van der Poorten(著), 山口周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, ISBN4-627-06101-3, {3800円}.
[3]Jarrod Anthony Cunningham, Nancy Ho, Karen Lostritto, Jon Anthony Middleton, Nikia Trenille Thomas, "On Large Rational Solutions of Cubic Thue Equations: What Thue did to Pell", 2000, p1-18.
[4]John Cremona,"Pari/GP Scripts".

Last Update: 2006.12.18

H.Nakao