Rational Points on Elliptic Curves: x^3+y^3=n (n \in [1..200])

[2002.02.03]x^3+y^3=n(n \in [1..200])の有理点

■楕円曲線x³+y³=n (n \in [1..200])の有理点を求める。

nを200以下の自然数で、３乗以上の素因子を含まないものとする。自然数nに対して、楕円曲線
    C_n: x³+y³=n ----- (1)
の有理点を求める。
双有理変換\phi:(x,y)--->(X,Y)
     X={12*n}/{x+y} --------- (2)
     Y={36*n*(x-y)}/{x+y} --------- (3)
および、双有理変換\phi^-1:(X,Y)--->(x,y)
     x={36*n+Y}/{6X} --------- (4)
     y={36*n-Y}/{6X} --------- (5)
を考える。楕円曲線C_nを双有理変換\phiで写すと、
     E_n: Y²=X³-432*n² --------- (6)
となる。

楕円曲線E_nの判別式Δは、
     Δ=-16*27*(-432*n²)²=-2¹²*3⁹*n⁴≠ 0
なので、E_nは非特異である。

CremonaのmwrankでE_nの有理点群のrankと生成元を求めると、以下のようになる。
rankが決定できなかったのは、E₄₁,E₅₉,E₁₀₁,E₁₁₆,E₁₂₂,E₁₃₁,E₁₃₇,E₁₅₈,E₁₈₅の９個である。
E_nの有理点が求まれば、双有理変換\phi^-1で写すことにより、C_nの有理点が分かる。

-	E_n: Y²Z=X³-432n²Z³				C_n: x³+y³=n*z³
n	E_n(Q)_tors, 生成元 [X:Y:Z] conductor(E_n)	rank(E_n)	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元 [X:Y:Z]	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元の高さ	C_n(Q)_torsの生成元 [x:y:z]	C_n(Q)/C_n(Q)_tors の生成元 [x:y:z]
1	Z/3Z [12 : 36 : 1] 27	0	-	-	[1 : 0 : 1]	-
2	Z/2Z [12 : 0 : 1] 36	0	-	-	[1 : 1 : 1]	-
3	{O} - 243	0	-	-	-	-
4	{O} - 108	0	-	-	-	-
5	{O} - 675	0	-	-	-	-
6	{O} - 972	1	[28 : 80 : 1]	2.44408632170048	-	[37 : 17 : 21]
7	{O} - 441	0	[84 : 756 : 1]	0.298091926737864	-	[2 : -1 : 1]
9	{O} - 243	1	[36 : 108 : 1]	0.506367355380099	-	[2 : 1 : 1]
10	{O} - 2700	0	-	-	-	-
11	{O} - 1089	0	-	-	-	-
12	{O} - 972	1	[52 : 280 : 1]	2.99936797313638	-	[89 : 19 : 39]
13	{O} - 4563	1	[52 : 260 : 1]	1.31030271883743	-	[7 : 2 : 3]
14	{O} - 5292	0	-	-	-	-
15	{O} - 6075	1	[49 : 143 : 1]	4.41233140515220	-	[683 : 397 : 294]
17	{O} - 7803	1	[84 : 684 : 1]	1.92729407377905	-	[18 : -1 : 1]
18	{O} - 972	0	-	-	-	-
19	{O} - 9747	2	[372 : 7164 : 1] [1236 : 43452 : 1]	3.15640770789653 4.29529771577806	-	[109 : -90 : 31] [613 : -594 : 103]
20	{O} - 900	1	[84 : 648 : 1]	1.78023119769327	-	[19 : 1 : 7]
21	{O} - 11907	0	-	-	-	-
22	{O} - 13068	1	[1659 : 4085 : 27]	6.84885093721606	-	[25469 : 17299 : 9954]
23	{O} - 14283	0	-	-	-	-
25	{O} - 225	0	-	-	-	-
26	{O} - 18252	1	[156 : 1872 : 1]	0.742761132992599	-	[3 : -1 : 1]
28	{O} - 5292	1	[84 : 504 : 1]	0.750639728889846	-	[3 : 1 : 1]
29	{O} - 7569	0	-	-	-	-
30	{O} - 24300	2	[124 : 1232 : 1] [241 : 3689 : 1]	3.77814447146135 5.66806136597131	-	[289 : -19 : 93] [4769 : -2609 : 1446]
31	{O} - 25947	1	[217 : 3131 : 1]	3.29775246085836	-	[137 : -65 : 42]
33	{O} - 29403	1	[97 : 665 : 1]	5.02906214052883	-	[1853 : 523 : 582]
34	{O} - 10404	1	[273 : 4455 : 1]	4.13761866117959	-	[631 : -359 : 182]
35	{O} - 33075	1	[84 : 252 : 1]	0.814506075074969	-	[3 : 2 : 1]
36	{O} - 972	0	-	-	-	-
37	{O} - 36963	2	[444 : 9324 : 1] [148 : 1628 : 1]	0.952914891256158 1.53623746460511	-	[4: -3 : 1] [10 : -1 : 3]
38	{O} - 12996	0	-	-	-	-
39	{O} - 41067	0	-	-	-	-
41	{O} - 45387	0^*	-	-	-	-
42	{O} - 47628	1	[172 : 2080 : 1]	4.07414210488825	-	[449 : -71 : 129]
43	{O} - 16641	1	[129 : 1161 : 1]	1.11712802365384	-	[7 : 1 : 2]
44	{O} - 13068	0	-	-	-	-
45	{O} - 6075	0	-	-	-	-
46	{O} - 57132	0	-	-	-	-
47	{O} - 19881	0	-	-	-	-
49	{O} - 1323	1	[196 : 2548 : 1]	1.60220527620862	-	[11 : -2 : 3]
50	{O} - 2700	1	[8148 : 138736 : 27]	6.72559431448814	-	[23417 : -11267 : 6111]
51	{O} - 70227	1	[32838 : -333935 : 216]	9.00201916180956	-	[62641 : 730511 : 197028]
52	{O} - 6084	0	-	-	-	-
53	{O} - 75843	1	[2604 : 132876 : 1]	5.03887618723232	-	[1872 : -1819 : 217]
55	{O} - 81675	0	-	-	-	-
57	{O} - 87723	0	-	-	-	-
58	{O} - 90828	1	[9444 : 173600 : 27]	6.86378794687595	-	[28747 : -14653 : 7083]
59	{O} - 93987	0^*	-	-	-	-
60	{O} - 24300	0	-	-	-	-
61	{O} - 33489	1	[732 : 19764 : 1]	0.918917687168568	-	[5 : -4 : 1]
62	{O} - 103788	1	[124 : 496 : 1]	1.6730166988138	-	[11 : 7 : 3]
63	{O} - 11907	1	[252 : 3780 : 1]	0.930563220125188	-	[4 : -1 : 1]
65	{O} - 38025	2	[129 : 567 : 1] [5044 : 358228 : 1]	3.7366581548713 5.44459330496485	-	[323 : 197 : 86] [3467 : -3422 : 291]
66	{O} - 117612	0	-	-	-	-
67	{O} - 121203	1	[118188 : 1110860 : 729]	5.73143124103554	-	[5353 : 1208 : 1323]
68	{O} - 31212	1	[827340 : 12043304 : 3375]	9.83506966114954	-	[2538163 : -472663 : 620505]
69	{O} - 128547	1	[553 : 12925 : 1]	6.45541159055216	-	[15409 : -10441 : 3318]
70	{O} - 44100	1	[156 : 1296 : 1]	2.48052194199155	-	[53 : 17 : 13]
71	{O} - 136107	1	[516 : 11628 : 1]	3.54771467600123	-	[197 : -126 : 43]
73	{O} - 143883	0	-	-	-	-
74	{O} - 49284	0	-	-	-	-
75	{O} - 6075	1	[601 : 14651 : 1]	6.53489574304561	-	[17351 : -11951 : 3606]
76	{O} - 38988	0	-	-	-	-
77	{O} - 160083	0	-	-	-	-
78	{O} - 164268	1	[217 : 2755 : 1]	5.74927369182001	-	[5563 : 53 : 1302]
79	{O} - 56169	1	[316 : 5372 : 1]	1.7190386790227	-	[13 : -4 : 3]
82	{O} - 181548	0	-	-	-	-
83	{O} - 62001	0	-	-	-	-
84	{O} - 47628	1	[148 : 440 : 1]	4.15080925064939	-	[433 : 323 : 111]
85	{O} - 195075	1	[55083 : 2487509 : 27]	9.86199384331478	-	[2570129 : -2404889 : 330498]
86	{O} - 199692	2	[172 : 1376 : 1] [4251 : 22715 : 27]	1.73490195538443 7.77545594912741	-	[13 : 5 : 3] [106307 : 60877 : 25506]
87	{O} - 204363	1	[36044435 : -1042214111 : 42875]	13.9528484709789	-	[-907929611 : 1176498611 : 216266610]
89	{O} - 213867	1	[156 : 612 : 1]	2.73224122027696	-	[53 : 36 : 13]
90	{O} - 24300	1	[364 : 6688 : 1]	4.76018078725086	-	[1241 : -431 : 273]
91	{O} - 223587	2	[1092 : 36036 : 1] [196 : 1988 : 1]	1.2232197092066 3.03817573134505	-	[6 : -5 : 1] [94 : 23 : 21]
92	{O} - 19044	1	[7644 : 117800 : 27]	6.77688080930308	-	[25903 : -3547 : 5733]
93	{O} - 233523	0	-	-	-	-
94	{O} - 238572	1	[98456009729175 : -15629405421521177 : 3906984375]	24.862434564568	-	[-15616184186396177 : 15642626656646177 : 590736058375050]
95	{O} - 243675	0	-	-	-	-
97	{O} - 84681	1	[388 : 7372 : 1]	1.77094466949782	-	[14 : -5 : 3]
98	{O} - 5292	1	[588 : 14112 : 1]	1.0968923722335	-	[5 : -3 : 1]
99	{O} - 29403	0	-	-	-	-
100	{O} - 2700	0	-	-	-	-
101	{O} - 91809	0^*	-	-	-	-
102	{O} - 280908	0	-	-	-	-
103	{O} - 286443	1	[16068 : -387692 : 27]	4.27913806014742	-	[-349 : 592 : 117]
105	{O} - 297675	1	[169 : 253 : 1]	5.67715337065701	-	[4033 : 3527 : 1014]
106	{O} - 101124	1	[34356 : 1224080 : 27]	8.04117530418888	-	[165889 : -140131 : 25767]
107	{O} - 309123	1	[228 : 2628 : 1]	3.00521741379784	-	[90 : 17 : 19]
109	{O} - 320787	0	-	-	-	-
110	{O} - 108900	2	[201 : 1701 : 1] [35652 : 1294048 : 27]	4.14001694076013 8.07721076939114	-	[629 : 251 : 134] [175121 : -148391 : 26739]
111	{O} - 332667	0	-	-	-	-
113	{O} - 344763	0	-	-	-	-
114	{O} - 350892	1	[313 : 5005 : 1]	6.07916852297422	-	[9109 : -901 : 1878]
115	{O} - 119025	1	[1544046 : 36034713 : 2744]	10.1549144160761	-	[5266097 : -2741617 : 1029364]
116	{O} - 90828	0^*	-	-	-	-
117	{O} - 41067	1	[468 : 9828 : 1]	1.08677903386927	-	[5 : -2 : 1]
118	{O} - 375948	0	-	-	-	-
119	{O} - 127449	0	-	-	-	-
121	{O} - 3267	0	-	-	-	-
122	{O} - 401868	0^*	-	-	-	-
123	{O} - 408483	1	[6174235480 : -87020043139 : 21952000]	17.2933570471904	-	[10183412861 : 184223499139 : 37045412880]
124	{O} - 34596	2	[372 : 6696 : 1] [993 : 31185 : 1]	0.894144494258719 5.36844436179371	-	[5 : -1 : 1] [3961 : -2969 : 662]
126	{O} - 47628	2	[252 : 3024 : 1] [441 : 8883 : 1]	1.07899679487079 2.85166610019356	-	[5 : 1 : 1] [71 : -23 : 14]
127	{O} - 435483	2	[1524 : 59436 : 1] [10668 : 1101852 : 1]	1.32536270613704 3.20544557323251	-	[7 : -6 : 1] [121 : -120 : 7]
129	{O} - 449307	0^*	-	-	-	-
130	{O} - 456300	1	[1880949 : -9613297 : 9261]	11.931191451671	-	[33728183 : 52954777 : 11285694]
131	{O} - 463347	0^*	-	-	-	-
132	{O} - 117612	2	[1057 : 34255 : 1] [723660 : -5152472 : 3375]	7.07647374018062 9.90669874308465	-	[39007 : -29503 : 6342] [1360691 : 2648809 : 542745]
133	{O} - 159201	1	[228 : 2052 : 1]	0.917029831870064	-	[5 : 2 : 1]
134	{O} - 484812	1	[201 : 603 : 1]	1.57765063683501	-	[9 : 7 : 2]
137	{O} - 168921	0^*	-	-	-	-
138	{O} - 514188	0	-	-	-	-
139	{O} - 521667	1	[556 : 12788 : 1]	1.86420383252271	-	[16 : -7 : 3]
140	{O} - 132300	1	[7068 : -83096 : 27]	6.82119867134211	-	[6623 : 27397 : 5301]
141	{O} - 536787	1	[705005 : -52944749 : 125]	11.8788473456802	-	[-52310249 : 53579249 : 4230030]
142	{O} - 181476	1	[707460 : -2385712 : 3375]	9.91586471640214	-	[1858411 : 2454839 : 530595]
143	{O} - 552123	1	[273 : 3393 : 1]	2.86670402164028	-	[73 : 15 : 14]
145	{O} - 567675	0	-	-	-	-
146	{O} - 191844	0	-	-	-	-
147	{O} - 11907	0	-	-	-	-
148	{O} - 147852	0	-	-	-	-
149	{O} - 599427	0	-	-	-	-
150	{O} - 24300	0	-	-	-	-
151	{O} - 205209	1	[12684 : -261532 : 27]	3.88982003538953	-	[-95 : 338 : 63]
153	{O} - 70227	2	[468 : 9612 : 1] [684 : 17604 : 1]	2.83966906101416 3.1355078017222	-	[70 : -19 : 13] [107 : -56 : 19]
154	{O} - 640332	0	-	-	-	-
155	{O} - 216225	0	-	-	-	-
156	{O} - 164268	1	[628 : 15400 : 1]	5.26636195974625	-	[2627 : -1223 : 471]
157	{O} - 665523	1	[29886206 : -3118978171 : 2744]	11.2154417481765	-	[-19767319 : 19964887 : 1142148]
158	{O} - 674028	0^*	-	-	-	-
159	{O} - 682587	1	[3191853 : 50740885 : 9261]	12.3050648683436	-	[103750849 : 2269079 : 19151118]
161	{O} - 699867	1	[588 : 13860 : 1]	2.45673849647865	-	[39 : -16 : 7]
163	{O} - 717363	2	[652 : 16300 : 1] [25428 : 4054788 : 1]	1.90637099157881 3.90211776285443	-	[17 : -8 : 3] [346 : -345 : 13]
164	{O} - 60516	1	[562966404 : 19707789240 : 456533]	12.8829474477818	-	[311155001 : -236283589 : 46913867]
165	{O} - 735075	0	-	-	-	-
166	{O} - 744012	1	[22805771343993 : 1334810774734255 : 6655280841]	23.2594187161884	-	[1374582733040071 : -1295038816428439 : 136834628063958]
167	{O} - 753003	0	-	-	-	-
169	{O} - 1521	1	[2028 : 91260 : 1]	1.23055425788892	-	[8 : -7 : 1]
170	{O} - 780300	1	[6708 : 45584 : 27]	6.84449218023134	-	[26353 : 14957 : 5031]
171	{O} - 87723	1	[252 : 1836 : 1]	2.45971759658323	-	[37 : 20 : 7]
172	{O} - 199692	1	[1204 : 41624 : 1]	3.31821883823722	-	[139 : -103 : 21]
173	{O} - 269361	0	-	-	-	-
174	{O} - 817452	0	-	-	-	-
175	{O} - 33075	0	-	-	-	-
177	{O} - 845883	1	[78037866920 : 416352836753 : 314432000]	19.0891661756587	-	[2419913540753 : 1587207867247 : 468227201520]
178	{O} - 285156	1	[3278037 : 51279425 : 9261]	12.3484939514233	-	[110623913 : 8065063 : 19668222]
179	{O} - 865107	1	[4293996 : 125623188 : 4913]	9.75507881413459	-	[2184480 : -1305053 : 357833]
180	{O} - 24300	1	[244 : 728 : 1]	4.65448303935882	-	[901 : 719 : 183]
181	{O} - 884547	0	-	-	-	-
182	{O} - 298116	2	[273 : 2457 : 1] [364 : 5824 : 1]	1.45144699226403 1.88927835186458	-	[11 : 5 : 2] [17 : 1 : 3]
183	{O} - 904203	2	[244 : 244 : 1] [16530756 : -327133484 : 35937]	1.91896572558295 9.30956276327092	-	[14 : 13 : 3] [-185206 : 1155505 : 203247]
185	{O} - 924075	0^*	-	-	-	-
186	{O} - 934092	1	[13215860 : 162368144 : 42875]	11.9083049093141	-	[56182393 : 15590357 : 9911895]
187	{O} - 314721	1	[85605 : 2186919 : 125]	8.31728621490735	-	[336491 : -149491 : 57070]
188	{O} - 238572	0	-	-	-	-
190	{O} - 974700	0	-	-	-	-
191	{O} - 328329	0	-	-	-	-
193	{O} - 1005723	1	[4329787476 : 194262526484 : 2146689]	12.5109596679228	-	[135477799 : -116157598 : 16825599]
194	{O} - 1016172	0	-	-	-	-
195	{O} - 1026675	1	[1561 : 61541 : 1]	7.45272162919363	-	[68561 : -54521 : 9366]
196	{O} - 1764	0	-	-	-	-
197	{O} - 1047843	1	[2964 : 161316 : 1]	5.19621000475418	-	[2339 : -2142 : 247]
198	{O} - 117612	1	[412 : 7280 : 1]	4.9974124731123	-	[1801 : -19 : 309]
199	{O} - 1069227	0	-	-	-	-

■nは３乗以上の素因子を含まない自然数とする。楕円曲線E_nが位数２のねじれ点を持つのは、n = 2のときのみである。

なぜなら、(x,y)がE_nの位数２のねじれ点とすると、y = 0である。よって、
     x³-432*n² = 0
     x³ = 2⁴*3³*n²
となる。xは正整数であるので、左辺は３乗数である。
nを素因数分解して、両辺を比較すると、nは３乗以上の素因子は含まないので、n = 2の場合のみ、この等式は成立する。

■[2004.05.24追加]
n=41,59,101,116,122,129,131,137,158,185に対して、L-関数 L(E_n,s)はs=1における値が消えない、つまり、
     L(E_n,1) != 0
であるので、
     rank(E_n) = 0
     E_n(Q) = { [0:1:0] }
     C_n(Q) = { [1:-1:0] }
であることが分かる。

これにより、n=1, ... ,200に対して、E_n(Q)とC_n(Q)が完全に決定できた。

[pari/gpによる計算]

gp>  ec(n)=ellinit([0,0,0,0,-432*n^2])
time = 2 ms.
gp>  elllseries(ec(41),1)
time = 663 ms.
%1 = 2.681008788224093715262162664
gp>  elllseries(ec(59),1)
time = 533 ms.
%2 = 2.672826050015687125086497997
gp>  elllseries(ec(101),1)
time = 514 ms.
%3 = 4.058701256700248965732750145
gp>  elllseries(ec(116),1)
time = 514 ms.
%4 = 4.346866827865767966967979205
gp>  elllseries(ec(122),1)
time = 1,061 ms.
%5 = 4.274405513646399950314028530
gp>  elllseries(ec(129),1)
time = 1,122 ms.
%6 = 5.584992012922096538376886286
gp>  elllseries(ec(131),1)
time = 1,132 ms.
%7 = 1.985729412352488552063379613
gp>  elllseries(ec(137),1)
time = 690 ms.
%8 = 3.614325951341308179974902389
gp>  elllseries(ec(158),1)
time = 1,376 ms.
%9 = 3.921419486477370708308717492
gp>  elllseries(ec(185),1)
time = 1,619 ms.
%10 = 5.244897649364793905446444671

[参考文献]

[1]Joseph H.Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Alf van der Poorten(著), 山口周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, ISBN4-627-06101-3, {3800円}.

Last Update: 2022.04.25

H.Nakao