Birational map between x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=n and (X+Y+Z)(1/X+1/Y+1/Z)=2(n+3)
[2025.09.17]x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=nと(X+Y+Z)(1/X+1/Y+1/Z)=2(n+3)の間の双有理変換
■Google Geminiに、不定方程式
E2025: x/(y+z)+y/(z+x)+x/(y+z)=2025
の整数解(x,y,z)を見つけてもらうために、いろいろ試してみたが、まだ一度も成功していない。
Google Geminiは、楕円曲線論を十分に学習していないようだ。
平均的な能力を持つ数学者を超えるようなAIが開発されるまでには、さらに長い時間が必要であると思う。
そのときに、Google Geminiに、２つの楕円曲線
En: x/(y+z)+y/(z+x)+x/(y+z)=n ------- (1)
C2(n+2): (X+Y+Z)(1/X+1/Y+1/Z)=2(n+3) ------- (2)
の間の双有理変換を教えてもらったので、記録しておく。
■Google Geminiによると、以下のように双有理変換を導出した。
(1)より、
{x/(y+z)+1}+{y/(z+x)+1}+{x/(y+z)+1}=n+3
{(x+y+z)/(y+z)}+{(x+y+z)/(z+x)}+{(x+y+z)/(y+z)}=n+3
(x+y+z){1/(y+z)+1/(z+x)+1/(y+z)}=n+3 --------(3)
ここで、
X=y+z --------(4)
Y=z+x --------(5)
Z=x+y --------(6)
とすると、
X+Y+Z=2(x+y+z) ------- (7)
(3),(4),(5),(6),(7)より、
(X+Y+Z)(1/X+1/Y+1/z)=2(n+3)
となる。
また、(4).(5).(6),(7)より、
x=(Y+Z-X)/2 --------(8)
y=(Z+X-Y)/2 --------(9)
z=(X+Y-Z)/2 --------(10)
である。
まとめると、
有理変換
φ: Cn ----> C2(n+3)
[x : y : z] ----> [X : Y : Z]
φ([x : y : z])=[y+z : z+x : x+y]
逆有理変換
ψ: C2(n+3) ----> Cn
[X : Y : Z] ----> [x : y : z]
ψ([X : Y : Z])=[(Y+Z-X)/2 : (Z+X-Y)/2 : (X+Y-Z)/2]=[Y+Z-X : Z+X-Y : X+Y-Z]
である。
よって、２つの楕円曲線EnとC2(n+3)は同型であり、
rank En=rank C2(n+3)
である。
■この双有理変換φにより、例えば、楕円曲線E2025の有理点
[-1088999194034852697246328822122740914496127706625800359723956415099829692435 : -781196710994987736015709715922006323574875849224193531299329511619461188677 : 1088614202028611278009255660801488290536019146306153752077604123119506281272]
から、楕円曲線C4056の有理点
[307417491033623541993545944879481966961143297081960220778274611500045092595, -384992006241419237073161321252623960108560319646607646352291980323411163, -1870195905029840433262038538044747238071003555849993891023285926719290881112]
を求めることができる。
rank E2025=rank C4056=1
■この双有理変換ψにより、例えば、楕円曲線C992の有理点
[3949055398265737966484099620330711426637882835 : -90281970249597467262978418415051266740116322346 : 4178944772116543646801937927780365963685218503831]
から、楕円曲線E493の有理点
[4084713746468680441572475409744983985518464298650, 4273175797764406852031400445815747941851972709012, -4265277686967875376098432246575086518998696943342]
を求めることができる。
rank E493=rank C992=1
■楕円曲線Enを標準形に変換すると、
E~n: Y^2=X^3+(4n^2+12n-3)X^2+32(n+3)X
である。
また、楕円曲線Cmを標準形に変換すると、
C~m: Y^2=X^3+(m^2-6m-3)X^2+16mX
である。
ここで、m=2(n+3)とすると、
C~2(n+3): Y^2=X^3+(4n^2+12n-3)X^2+32(n+3)X
となり、E~nに一致する。
[関連リンク]
[参考文献]
| Last Update: 2025.09.17 |
| H.Nakao |