Rational Points on Curves: (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n (n \in [2..100])

[2002.07.13](x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n (n \in [2..100])の有理点

(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=nの有理点を計算するプログラム(pari/GP)
G₁₀₀: (x+y+1)(1/x+1/y+1)=100のグラフ(jpeg)
E₁₀₀: y^2=x^3+9397x^2+1600xのグラフ(jpeg)
E₁₀₀: y^2=x^3+9397x^2+1600xのグラフ,原点付近の拡大図(jpeg)

■nを有理整数とするとき、Diophantus方程式
     C_n: (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = n ------ (1)
の表す曲線の有理点について、考察する。
     Q^* = Q - { 0 },
     S(n)={(x,y,z) ∈ Q^*³ : (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = n },
     x,y,z,d ∈ Q^*
とすると、
    (i) (x,y,z) ∈ S(n) <====> (σ(x),σ(y),σ(z)) ∈ S(n),    ただし、σは{x,y,z}の任意の置換.
    (ii) (x,y,z) ∈ S(n) <====> (1/x,1/y,1/z) ∈ S(n).
    (iii) (x,y,z) ∈ S(n) <====> (xy,yz,zx) ∈ S(n).
    (iv) (x,y,z) ∈ S(n) <====> (dx,dy,dz) ∈ S(n).
であることは、直ちに分かる。

よって、(x,y,z) ∈ S(n)を見つけるには、z=1である(x,y,1) ∈ S(n)を見つければ十分である。

また、(1)の両辺にxyzを掛けると、
     C^~_n: (x+y+z)(xy+yz+zx) = nxyz ------ (1')
となるので、[x:y:z]を複素射影空間P²C上の点と考えると、曲線(1)は３次代数曲線(1')からxyz=0である点[x:y:z]を除いたものと考えることができる。

■参考文献[1]の導入部分では、Bremnerによって、nがこのような形(3数の和とその逆数和の積)に表現できるものを見つけることは、以下の楕円曲線
     E_n: v²=u³+(n²-6n-3)u²+16nu ------- (2)
が有限でない位数の点(位数無限の点)を持つことと同値であることが証明されているとあるが、詳細は書いていない。
実際にnをいくつか与えて、mwrankで楕円曲線E_nの有理点を計算して、参考文献[4]の結果と比較すると、楕円曲線E_nのMordell-Weil群のrankが1以上になるnの値と、曲線C_nが有理点をもつnの値が良く一致している。
ここでは、曲線(1)から楕円曲線(2)への有理変換(双有理変換であれば、なお良い)を求めてみることにする。

■最初に、曲線(1)がz=1である有理点[x:y:1]を持つ条件を考える。
     G_n: (x+y+1)(1/x+1/y+1) = n ------ (3)
の両辺にxyを掛けて、展開して整理すると、
     (y+1)x²+(y²-(n-3)y+1)x+(y²+y) = 0 ------ (4)
を得る。
y=-1なら、n=1となり、任意のQ^*の元xについて、(3)が成立する。
y!=-1なら、(4)はxの２次式である。x,yは有理数なので、xに関する判別式は(有理数の)平方数である。
よって、ある有理数wに対して、
     w² = (y²-(n-3)y+1)²-4*(y+1)(y²+y)
右辺を整理して、
     w² = y⁴+(-2n+2)y³+(n²-6n+3)y²+(-2n+2)y+1 --------- (5)
となる。yの奇数次の項を消すために、y=(v-1)/(v+1)とする(逆変換は、v=-(y+1)/(y-1)である)と、
     w² = ((n²-10n+9)v⁴+(-2n²+12n+6)v²+(n²-2n+1))/(v+1)⁴ ------- (6)
となる。両辺に、(n-1)⁴(v+1)⁴/v⁶を掛けて、
     ((n-1)²(v+1)²w/v³)² = (n-1)³(n-9)((n-1)²/v²)-2(n²-6n-3)((n-1)²/v²)²+((n-1)²/v²))³
となる。 V=(n-1)²(v+1)²w/v³,U=(n-1)²/v²とする(逆変換は、w=((n-1)/sqrt(U))³V/{(n-1)²((n-1)/sqrt(U)+1)²},v=(n-1)/sqrt(U)であるが、単独では有理変換ではないことに注意する)と、
     V² = (n-1)³(n-9)U-2(n²-6n-3)U²+U³
すなわち、楕円曲線のWeierstrass標準形
     E^~_n: V² = U³-2(n²-6n-3)U²+(n-1)³(n-9)U --------- (7)
を得る。
(7)の判別式Δ₁は
     Δ₁ = 16*(n-1)⁶(n-9)²{4(n²-6n-3)²-4*(n-1)³(n-9)} = 4096n(n-1)⁶(n-9)²
である。よって、n!=0,1,9のとき、(7)は非特異楕円曲線である。
(7)は、上記の楕円曲線(2)
     E_n: v² = u³+(n²-6n-3)u²+16nu
と、準同型写像φ:E_n ---> E^~_n, ψ:E^~_n ---> E_nによって、互いに写し合うことが分かっている。
(2)の判別式Δ₂は、
     Δ₂ = 16*256n²{(n²-6n-3)²-4*16n} = 4096n²(n-1)³(n-9)
である。
ここで、φ:(u,v) ---> (U,V)は、v!=0のとき、
     U=v²/u²,
     V=v((u²-16n)/u²)
u=0のとき、φ(0,0)=O^~, φ(O)=O^~   ただし、OはE_nの無限遠点
であり、ψ:(U,V) ---> (u,v)は、U!=0のとき、
     u=V²/U²,
     v=V((U²-(n-1)³(n-9))/U²)
U=0のとき、ψ(0,0)=O, ψ(O^~)=O   ただし、O^~はE^~_nの無限遠点
である。
さらに、φoψ:E^~_n-->E^~_n,ψoφ:E_n-->E_nは、それぞれ、E^~_n, E_n上の２倍写像である。
よって、(1)の有理点を求めるには、楕円曲線(2)の有理点を求めれば良い。

■曲線(1)上の有理点[x:y:1]から楕円曲線(2)上の有理点(u,v)への有理変換とその逆変換を導くことができた。
楕円曲線(6)上の点(v,w)と楕円曲線(2)上の有理点(x,y)を写し合う変換は、上記の変換を合成すれば良いので、
     v = y/{2(n-1)x}
     w = y⁴(x²-16n)/[16(n-1)³x³{4(n-1)²x²+y²}]

     x = (n-1)²(v+1)⁴w²/{4v²}
     y = (v+1)w{(n-1)-(n-9)v⁴}/{8(n-1)v³}
となり、双有理変換である。よって、曲線C_nと楕円曲線E_nについても、双有理変換で写し合うことができる。

■例外となるn=0,1,9の場合を考察する。

n=0のとき、
(1)より、x+y+1=0 または 1/x+1/y+1=0である。
よって、任意のt∈ Q-{0,-1}に対して、
[x:y:z]=[t:-(1+t):1],[t:-t/(t+1):1]
はC₀の有理点である。
n=1のとき、
(4)の左辺は因数分解できて、
     (y+1)(x+y)(x+1) = 0
となる。よって、
     y = -1 または x = -y または x = -1
つまり、C₁の有理点は、任意のt∈ Q^*に対して、
     [x:y:z] = [t:-1:1],[1:-1:1],[-1:t:1]
となるが、まとめて、
     [x:y:z] = [t:-1:1],[-1:t:1]
となる。
n=9のとき、
(5)の右辺は因数分解できて、
     w² = y⁴-16y³+30y²-16y+1 = (y-1)²(y²-14y+1)
となるので、y-1=0 または y²-14y+1 = r² ------ (a)である。ただし、rはある有理数である。
y=1のとき、(4)は、2x²-4x+2=0となり、x=1を得る。
     [x:y:z] = [1:1:1]
y!=1のとき、(a)は自明な解(y,r)=(0,1)を持つので、(0,1)を通り傾きp/qの直線
     r = (p/q)*y+1
との交点を考える。これを(a)に代入して、
     y²-14y+1 = ((p/q)y+1)²
整理すると、
     y{(q²-p²)y-2q(p+7q)} = 0
よって、もう一つの交点のy座標は、
     y = -2q(p+7q)/{(p+q)(p-q)}
となる。これを、(4)に代入して、両辺に{(p+q)(p-q)}²を掛けて、左辺を因数分解すると、
     {(p²+4qp+3q²)x-2qp+10q²}{(p²-6qp+5q²)x+p²+10qp+21q²} = 0
となり、xが以下のように求まる。
     x = 2q(p-5q)/{(p+3q)(p+q)}, -(p+3q)(p+7q)/{(p-q)(p-5q)}
よって、
     [x:y:z] = [2q(p-5q)/{(p+3q)(p+q)}:-2q(p+7q)/{(p+q)(p-q)}:1], [-(p+3q)(p+7q)/{(p-q)(p-5q)}:-2q(p+7q)/{(p+q)(p-q)}:1]
         = [2q(p-q)(p-5q):-2q(p+3q)(p+7q):(p-q)(p+q)(p+3q)], [-(p-q)(p+3q)(p+7q):-2q(p-5q)(p+7q):(p-q)(p+q)(p-5q)]
と[1:1:1]を合わせたものが、C₉の有理点である。

■楕円曲線E_n(n!=0,1,9)のねじれ点群を求める。
E_nのねじれ点群E_n(Q)_torsは、n=10の場合を除いて、Z/6Zであり、その生成元は(4n,4n(n-1))であり、その位数は6である。
また、2(4n,4n(n-1))=(4,4(n-1))は位数3のねじれ点、3(4n,4n(n-1))=(0,0)は(自明な)位数2のねじれ点である。
     E_n(Q)_tors = {(4n,±4n(n-1)), (4,±4(n-1)), (0,0), O}

n=10の場合、E₁₀:y²=x³+37x²+160x=x(x+5)(x+32)のねじれ点群E₁₀(Q)_torsは、Z/6Z×Z/2Zであり、その生成元は、(-20, 60)(位数6), (0, 0)(位数2)である。
     E₁₀(Q)_tors = {(-20,±60), (4,±36), (-5,0), (-8,±24), (40,±360), (-32,0), (0,0), O}

この場合のみ、E₁₀の位数6の有理点(-20, 60)がC₁₀の有理点[1:1:2],[1:2:2]に対応する。

[証明]
P(4n,4n(n-1))とすると、２倍点公式より、2Pのx座標は、
     {(4n)²-16n}²/{4*(4n(n-1))²} = 4
である。
楕円曲線E_n上の点(4n,4n(n-1))での接線の傾きは、
     {3(4n)³+2(n²-6n-3)(4n)+16n}/{2*4n(n-1)} = n+1
であるので、接線は、y = (n+1)(x-4n)+4n(n-1) = (n+1)x-8nとなる。
この接線とE_nのもう一つの交点は、(4,-4(n-1))であるので、2Pのy座標は4(n-1)であることが分かる。
     2P=(4,4(n-1))

n!=0,1,9のとき、相異なる３点(0,0),(4,4(n-1)),(4n,4n(n-1))は、いずれも直線y=(n-1)x上にあることから、
     2P+P=-(0,0)
よって、
     3P=(0,0)
     6P=2(0,0)=O
となり、Pは位数6のねじれ点である。
楕円曲線E_nのねじれ点群は、Z/6Zを部分群として含む。よって、Mazurの定理より、Z/12Z, Z/6Z, Z/6Z×Z/2Zのいずれかに同型である。
楕円曲線E_nのねじれ点群を決定するには、位数2または位数4のねじれ点の個数を調べれば良い。
E_n上の点P(x,y)が(0,0)以外の位数2のねじれ点とすると、y = 0より、
     x³+(n²-6n-3)x²+16nx = 0
x!=0より、
     x²+(n²-6n-3)x+16n = 0
が有理数解を持つ条件を考える。
左辺の２次式の判別式(n-1)³(n-9)が有理数の平方数になるのは、n=0,1,9,10の時に限ることが分かる。
n!=0,1,9,10のとき、位数2のねじれ点は、(0,0)のみである。n=10のとき、位数2のねじれ点は、(0,0),(-5,0),(-32,0)の３個である。

また、楕円曲線E_nの位数4のねじれ点は存在しないことが簡単に分かるので、E_nのねじれ点群は、Z/12Zと同型にはならない。
[ E_n上の有理点P(x,y)が位数4のねじれ点と仮定すると、4P = Oより、2(2P) = Oである。
ここで、2P = Oなら、Pは位数2のねじれ点になるので、仮定より、2P != Oである。
2P=(x₁,y₁)とすると、x₁,y₁は有理数である。ここで、y₁!=0である。
2(x₁,y₁) = Oなので、
     y₁=0 ------------------- (8)
     x₁³+(n²-6n-3)x₁²+16nx₁ = 0 -------------------- (9)
を満たす。
(9)より、
     x₁ = 0 ----------------------------- (10)
または、
     x₁²+(n²-6n-3)x₁+16n = 0 -------------------- (11)
である。

[case 1]x₁ = 0のとき
2倍点公式から、
     x₁ = {(3x²+2(n²-6n-3)x+16n)²}/{(2y)²}-2x-(n²-6n-3)= 0 ------------------------- (12)
を得る。
(12)より、
     (3x²+2(n²-6n-3)x+16n)² - 4(2x+(n²-6n-3))y² = 0
P(x,y)は楕円曲線E_n上の点なので、
     y² = x³+(n²-6n-3)x²+16nx
より、y²を消去すると、
     (3x²+2(n²-6n-3)x+16n)² - 4(2x+(n²-6n-3))(x³+(n²-6n-3)x²+16nx) = 0
     x⁴-32nx²+256n² = 0
     (x²-16n)² = 0
よって、
     x²=16n
である。
xは有理数、nは有理整数(n!=0,1,9)なので、ある有理整数mが存在して、
     n = m² --------------- (13)
     x = ±4m ------------- (14)
となる。さらに、P(x,y)がE_n上の有理点であるので、
     y² = x³+(n²-6n-3)x³+16nx ---------- (15)
となる。
(14)でx = -4mの場合は、mの代わりに、-mを考えることにより、(13)およびx = 4mを同時に満たすことができるので、x = 4mのときだけを考察すれば十分である。(15)より、
     y² = 16m²(m-1)³(m+3)
yは有理数、mは有理整数なので、(m-1)(m+3)はある有理整数の平方数k²(k>= 0)に一致する。
     (m-1)(m+3) = k²
より、
     (m+1+k)(m+1-k) = 4
m+1+k,m+1-kは有理整数で偶奇が一致し、m+1+k>=m+1-kなので、
     (m+1+k,m+1-k) = (2,2) or (-2,-2)
よって、
     (m,k) = (1,0) or (-3,0)
     n = m² = 1 or 9
となるが、これは、n!=0,1,9に反する。

よって、E_nには、位数4のねじれ点P(x₀,y₀)は存在しない。

[case 2]x₁ != 0のとき
x₁の2次方程式(11)が有理根を持つので、x₁は有理整数、かつ、(11)の左辺の判別式
     (n²-6n-3)²-4*16n = (n-1)(n-9)³
は有理整数の平方数である。よって、(n-1)(n-9)がある有理整数の平方数r²(r>=0)と一致する。
     (n-1)(n-9) = r²
つまり、
     (n-5+r)(n-5-r) = 16
となる。n-5+r,n-5-rは有理整数で偶奇が一致し、n-5+r>=n-1-rなので、
     (n-5+r,n-5-r) = (8,2) or (4,4) or (-4,-4) or (-2,-8)
     (n,r) = (10,3) or (9,0) or (1,0) or (0,3)
仮定より、n!=0,1,9なので、n=10である。
ところが、E₁₀(Q)_tors = Z/2Z×Z/6Zであり、その中に、位数4のねじれ点は存在しない。

[case 1][case 2]のどちらでも、E_n(Q)_torsの中に、位数4のねじれ点は存在しない。
よって、E_n(Q)_torsは、Z/12Zに同型ではない。
]

ここまでの議論で、位数3のねじれ点の個数を考慮しなくても、位数2のねじれ点の個数から、ねじれ点群を決定できる。

以上により、楕円曲線E_nのねじれ点群E_n(Q)_torsは、

n=10のとき、Z/6Z×Z/2Z
n!=0,1,9,10のとき、Z/6Z

であることが証明された。

■位数3のねじれ点
上記の証明では必要なかったが、位数3のねじれ点を決定する。

E_n上の点P(x,y)(y!=0)が(4,±4(n-1))以外の位数3のねじれ点とすると、3P = Oより、
     2P = -P
よって、左辺に2倍点公式を使って、両辺のx座標を比較して、
     {(3x²+2(n²-6n-3)x+16n)²}/{(2y)²} - (2x+(n²-6n-3)) = x
     (3x²+2(n²-6n-3)x+16n)² - 4(3x+(n²-6n-3))y² = 0
P(x,y)は楕円曲線E_n上の点なので、
     y² = x³+(n²-6n-3)x²+16nx
より、y²を消去すると、
     (3x²+2(n²-6n-3)x+16n)² - 4(3x+(n²-6n-3))(x³+(n²-6n-3)x²+16nx) = 0
     (x-4)(3x³+4n(n-6)x²+16n²x+64n²) = 0
x!=4なので、
     (3x³+4n(n-6)x²+16n²x+64n²) = 0
     (-4x³-96x²+256)n²+24x²n+(-3x⁴+12x³) = 0 -----------(16)
となる。nの2次方程式とみると、有理整数解をもつので、判別式
     4*((12x³)²-(-4x³-96x²+256)(-3x⁴+12x³)=16*x²*(-3)x(x⁴+8x³-96x²-64x+256)
は、有理整数の平方数になる。よって、ある有理整数Yに対して、
     Y² = (-3)x(x⁴+8x³-96x²-64x+256)
となる。この超楕円曲線の整点(x.Y)を求めれば良い。

別に証明が必要になるが、この超楕円曲線の整点は、(0,0), (4,±96)の3個であると予想される。

[ratpointsによる有理点計算]

-bash-3.1$ ratpoints '0 -768 192 288 -24 -3' 100000

This is ratpoints-1.5 by Michael Stoll (2001-04-23).

Please acknowledge use of the program in published work.


y^2 = - 3 x^5 - 24 x^4 + 288 x^3 + 192 x^2 - 768 x

max. Height = 100000
Search region:
  [-100000.500000, 100000.500000]
Using speed ratios 1800.000000 and 7.500000
10 primes used for first stage of sieving,
52 primes used for both stages of sieving together.
Sieving primes:
 First stage: 37, 149, 109, 173, 223, 239, 107, 211, 131, 53
 Second stage: 89, 241, 163, 251, 157, 103, 83, 67, 59, 43, 191, 179, 151, 113, 193, 61, 47, 233, 127, 79, 73, 181, 137, 101, 97, 29, 199, 139, 167, 41, 227, 229, 19, 197, 17, 31, 23, 7, 71, 11, 13, 5
Probabilities: Min(37) = 0.447772, Cut1(53) = 0.481666, Cut2(5) = 0.840000, Max(3) = 1.000000

(1 : 0)
(0 : 1)
(4 : 1)
(-4 : 3)

7023938 candidates survived the first stage,
3 candidates survived the second stage.

4 rational point pairs found.

仮定より、x!=4なので、x=0であり、このとき、(16)から、
     256n² = 0
     n = 0
となるが、n!=0,1,9に反する。

よって、楕円曲線E_nの位数3のねじれ点は、(4,±4(n-1))だけであると予想される。

■楕円曲線E_nのj-不変量は、
    b₂=4(n²-6n-3)
    b₄=32n
    b₆=0
    c₄ = b₂²-24b₄ = 16(n-3)(n³-9n²+3n-3)
    c₆ = -b₂³+36b₂b₄-216b₆ = -64(n²-6n-3)(n⁴-12n³+30n²-36n+9)
より、
    j(E_n) = 1728c₄³/(c₄³-c₆²) = {(n-3)³(n³-9n²+3n-3)³}/{n²(n-1)³(n-9)}
となる。

■一般に、楕円曲線Eが虚数乗法を持つのは、
    j(E) = 0, 54000, -12288000, 1728, 287496, -3375, 16581375, 8000, -32768, -884736, -884736000, -147197952000, -262537412640768000
の場合に限る。
楕円曲線E_nについて、この条件を満たす有理整数nが存在するのは、
    j(E_n) = 0, 54000
の場合だけである。
よって、E_nが虚数乗法を持つnは、
    n=3, j(E₃) = 0
    n=-3, j(E_-3) = 54000
に限る。これらの場合について、
    E₃: y² = x³-12x²+48x = (x-4)³+4³
より、E₃は、虚２次体K = Q(sqrt(-3))の整数環Z+R_Kによる虚数乗法を持つ。
    E_-3: y² = x³+24x²-48x = (x+8)³-2⁴・15(x+8)+2⁶・22
より、E_-3は、虚２次体K = Q(sqrt(-3))の整数環Z+2R_Kによる虚数乗法を持つ。

■n=2,...,8,10,...,100について、楕円曲線(2)の有理点をCremonaのmwrankで求めてみると、以下のようになる。
E_n(Q)/E_n(Q)_torsの生成元の高さの大きい解を、赤色で強調した。
E^~_n(Q)/E^~_n(Q)_torsの基底を逆変換しても、(1)の有理点は得られない。(7)の有理点が(1)の有理点に対応するためには、基底の偶数倍点であることが必要であるようだ。
また、(2)の有理点から(1)の有理点に変換するプログラムを実行すると、以下のように(1)の有理点を求めることができる。

-	E_n: Y²Z=X³+(n²-6n-3)X²Z+16nXZ² y²=x³+(n²-6n-3)x²+16nx				E^~_n: Y²Z=X³-2*(n²-6n-3)X²Z+(n-1)³(n-9)XZ² y²=x³-2(n²-6n-3)x²+(n-1)³(n-9)nx		(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n	-
n	[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆] j(E_n) CM:Complex Multiplication. Conductor of E_n	rank of E_n(Q)	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元 [X:Y:Z] E_n(Q)_tors ねじれ点群の生成元	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元の高さ	[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆]	E^~_n(Q)/E^~_n(Q)_tors の生成元 [X:Y:Z]	[x:y:z] (最小解と次の解)	n
2	[0, -11, 0, 32, 0] -15625/28 14	0	- Z/6Z [8, 8]	-	-	-	-	2
3	[0, -12, 0, 48, 0] 0 CM 36	0	- Z/6Z [12, 24]	-	-	-	-	3
4	[0, -11, 0, 64, 0] 357911/2160 30	0	- Z/6Z [16, 48]	-	-	-	-	4
5	[0, -8, 0, 80, 0] 21296/25 20	0	- Z/6Z [20, 80]	-	-	-	-	5
6	[0, -3, 0, 96, 0] 804357/500 90	0	- Z/6Z [24, 120]	-	-	-	-	6
7	[0, 4, 0, 112, 0] 2048000/1323 84	0	- Z/6Z [28, 168]	-	-	-	-	7
8	[0, 13, 0, 128, 0] 9938375/21952 14	0	- Z/6Z [32, 224]	-	-	-	-	8
10	[0, 37, 0, 160, 0] 702595369/72900 30	0	- Z/6Z×Z/2Z [-20, 60], [0, 0]	-	[0, -74, 0, 729, 0]	-	[1 : 1 : 2] [1 : 2 : 2]	10
11	[0, 52, 0, 176, 0] 643956736/15125 220	1	[-4 : -8 : 1] Z/6Z [44, 440]	0.673594857184961	[0, -104, 0, 2000, 0]	[4 : 80 : 1]	[1 : 2 : 3] [2 : 3 : 6]	11
12	[0, 69, 0, 192, 0] 2714704875/21296 198	0	- Z/6Z [48, 528]	-	-	-	-	12
13	[0, 88, 0, 208, 0] 1409938000/4563 156	0	- Z/6Z [52, 624]	-	-	-	-	13
14	[0, 109, 0, 224, 0] 1408317602329/2153060 910	1	[-4 : -28 : 1] Z/6Z [56, 728]	1.51870218672685	[0, -218, 0, 10985, 0]	[49 : 364 : 1]	[2 : 3 : 10] [3 : 10 : 15]	14
15	[0, 132, 0, 240, 0] 10788913152/8575 1260	1	[-12 : -120 : 1] Z/6Z [60, 840]	1.03381685303953	[0, 132, 0, 240, 0]	[-12 : -120 : 1]	[1 : 2 : 6] [1 : 3 : 6]	15
16	[0, 157, 0, 256, 0] 13619385906841/6048000 210	0	- Z/6Z [64, 960]	-	-	-	-	16
17	[0, 184, 0, 272, 0] 8805624625/2312 34	0	- Z/6Z [66, 1088]	-	-	-	-	17
18	[0, 213, 0, 288, 0] 120920208625/19652 306	1	[-36 : -468 : 1] Z/6Z [72, 1224]	1.68788702948039	[0, -426, 0, 44217, 0]	[169 : -364 : 1]	[2 : 3 : 15] [2 : 10 : 15]	18
19	[0, 244, 0, 304, 0] 12592337649664/1315845 1140	0	- Z/6Z [76, 1368]	-	-	-	-	19
20	[0, 277, 0, 320, 0] 434985385981609/30179600 2090	0	- Z/6Z [80, 1520]	-	-	-	-	20
21	[0, 312, 0, 336, 0] 129348709488/6125 1260	0	- Z/6Z [84, 1680]	-	-	-	-	21
22	[0, 349, 0, 352, 0] 1760384222493625/58270212 6006	0	- Z/6Z [88, 1848]	-	-	-	-	22
23	[0, 388, 0, 368, 0] 208583809024000/4928693 7084	0	- Z/6Z [92, 2024]	-	-	-	-	23
24	[0, 429, 0, 384,0] 226568219476347/3893440 2070	0	- Z/6Z [96, 2208]	-	-	-	-	24
25	[0, 472, 0, 400, 0] 2656166199049/33750 30	0	- Z/6Z [100, 2400]	-	-	-	-	25
26	[0, 517, 0, 416, 0] 18829800329506921/179562500 2210	1	[-1 : -10 : 1] Z/6Z [104, 2600]	1.72166299585031	[0, -1034, 0, 265625, 0]	[100 : 4150 : 1]	[1 : 6 : 14] [3 : 7 : 42]	26
27	[0, 564, 0, 432, 0] 2725888000000/19773 468	0	- Z/6Z [108, 2808]	-	[0, -1128, 0, 316368, 0]	-	-	27
28	[0, 613, 0, 448, 0] 52492168638015625/293197968 798	0	- Z/6Z [112, 3024]	-	-	-	-	28
29	[0, 664, 0, 464, 0] 331625968043344/1442315 4060	1	[12 : 496 : 27] Z/6Z [116, 3248]	3.06776193627718	[0, -1328, 0, 439040, 0]	[720 : 960 : 1]	[2 : -15 : 78] [-5 : 26 : -195]	29
30	[0, 717, 0, 480, 0] 4989954429855387/17072300 18270	1	[-216 : -4824 : 1] Z/6Z [120, 3480]	3.39075763351921	[0, -1434, 0, 512169, 0]	[13467 : -128908 : 27]	[10 : 77 : 165] [14 : 30 : 231]	30
31	[0, 772, 0, 496, 0] 13131877655658496/35677125 20460	1	[484 : -17160 : 1] Z/6Z [124, 3720]	2.75467200740796	[0, -1544, 0, 594000, 0]	[180 : 7920 : 1]	[-1 : 12 : -44] [3 : -11 : 132]	31
32	[0, 829, 0, 512, 0] 322412557611777625/701637632 1426	0	- Z/6Z [128, 3968]	-	-	-	-	32
33	[0, 888, 0, 528, 0] 4406910829875/774 198	0	- Z/6Z [132, 4224]	-	-	-	-	33
34	[0, 949, 0, 544, 0] 726497538898787209/1038579300 5610	1	[-24 : -440 : 27] Z/6Z [136, 4488]	1.30258691809008	[0, -1898, 0, 898425, 0]	[9075 : 302500 : 27]	[1 : 6 : 21] [2 : 7 : 42]	34
35	[0, 1012, 0, 560, 0] 66807326870339584/78239525 30940	1	[-16 : -496 : 1] Z/6Z [140, 4760]	2.86238816326288	[0, -2024, 0, 1021904, 0]	[961 : 589 : 1]	[3 : 10 : 65] [6 : 39 : 130]	35
36	[0, 1077, 0, 576, 0] 2131200347946769/2058000 630	0	- Z/6Z [144, 5040]	-	-	-	-	36
37	[0, 1144, 0, 592, 0] 8720611169506000/6986007 3108	1	[20 : 1392 : 125] Z/6Z [148, 5328]	3.23846309225013	[0, -2288, 0, 1306368, 0]	[1200 : 960 : 1]	[2 : -35 : 110] [-7 : 22 : -385]	37
38	[0, 1213, 0, 608, 0] 3173574284386053625/2121145028 40774	1	[-676 : -15652 : 1] Z/6Z [152, 5624]	5.25136679075421	[0, -2426, 0, 1468937, 0]	[1177813 : -34341692 : 2197]	[90 : 391 : 2210] [207 : 1170 : 5083]	38
39	[0, 1284, 0, 624, 0] 10337753432604672/5795855 44460	0	- Z/6Z [156, 5928]	-	-	-	-	39
40	[0, 1357, 0, 640, 0] 6224721371657832889/2942222400 12090	0	- Z/6Z [160, 6240]	-	-	-	-	40
41	[0, 1432, 0, 656, 0] 2099167877572921/840500 410	0	- Z/6Z [164, 6560]	-	-	-	-	41
42	[0, 1509, 0, 672, 0] 436131709285588875/148593676 56826	1	[-8664 : -298376 : 27] Z/6Z [168, 6888]	6.59921366460535	[0, -3018, 0, 2274393, 0]	[219642033 : -2033204732 : 185193]	[561 : 6450 : 13889] [1650 : 3553 : 40850]	42
43	[0, 1588, 0, 688, 0] 999807024381952000/291101013 61404	1	[6724 : -613032 : 1] Z/6Z [172, 7224]	4.97538785845239	[0, -3176, 0, 2518992, 0]	[84 : 13776 : 1]	[-24 : 65 : -1640] [39 : -984 : 2665]	43
44	[0, 1669, 0, 704, 0] 21565017005140267849/5387394320 33110	1	[14896 : 665392 : 6859] Z/6Z [176, 7568]	7.52727627802677	[0, -3338, 0, 2782745, 0]	[1805 : 5320 : 1]	[-777 : 40810 : -74518] [1155 : -2109 : 110770]	44
45	[0, 1752, 0, 720, 0] 154639330142416/33275 1980	0	- Z/6Z [180, 7920]	-	-	-	-	45
46	[0, 1837, 0, 736, 0] 38353250292246281881/7134358500 25530	0	- Z/6Z [184, 8280]	-	-	-	-	46
47	[0, 1924, 0, 752, 0] 3164580559833088000/510661157 82156	0	- Z/6Z [188, 8648]	-	-	-	-	47
48	[0, 2013, 0, 768, 0] 2460128970701158875/345522944 10998	1	[9199680 : -423343936 : 1157625] Z/6Z [192, 9024]	10.7297594067252	[0, -4026, 0, 4049097, 0]	[47775 : 269360 : 27]	[70633 : -3329130 : 6685382] [200445 : -402523 : 18972030]	48
49	[0, 2104, 0, 784, 0] 21145699168383889/2593080 210	0	- Z/6Z [196, 9408]	-	-	-	-	49
50	[0, 2197, 0, 800,0] 112287744132511049929/12059022500 2870	0	- Z/6Z [200, 9800]	-	-	-	-	50
51	[0, 2292, 0, 816, 0] 335117149277257728/31609375 21420	0	- Z/6Z [204, 10200]	-	-	-	-	51
52	[0, 2389, 0, 832, 0] 185663690961016515625/15423597072 57018	1	[8 : 1887 : 512] Z/6Z [208, 10608]	4.90720255014314	[0, -4778, 0, 5703993, 0]	[2448 : 612 : 1]	[5 : -464 : 720] [-29 : 45 : -4176]	52
53	[0, 2488, 0, 848, 0] 925394101677250000/67885103 30316	1	[3468 : -177616 : 27] Z/6Z [212, 11024]	5.56336142430785	[0, -4976, 0, 6186752, 0]	[1584 : 35904 : 1]	[15 : -1190 : 1974] [85 : -141 : 11186]	53
54	[0, 2589, 0, 864, 0] 412630052957036641/26797860 4770	1	[-1764 : -50652 : 1] Z/6Z [216, 11448]	4.51072900298448	[0, -5178, 0, 6699465, 0]	[282807 : -17368812 : 343]	[55 : 595 : 2002] [85 : 286 : 3094]	54
55	[0, 2692, 0, 880, 0] 23760502964664254464/1369444725 15180	1	[-80 : -4080 : 1] Z/6Z [220, 11880]	2.22629739923563	[0, -5384, 0, 7243344, 0]	[2601 : -3519 : 1]	[1 : 14 : 35] [2 : 5 : 70]	55
56	[0, 2797, 0, 896, 0] 478307355569347280761/24522344000 36190	0	- Z/6Z [224, 12320]	-	-	-	-	56
57	[0, 3013, 0, 928, 0] 5417927574172875/247646 2394	0	- Z/6Z [228, 12768]	-	-	-	-	57
58	[0, 3013, 0, 928, 0] 747472421657357691625/30526473348 23142	0	- Z/6Z [232, 13224]	-	-	-	-	58
59	[0, 3124, 0, 944, 0] 58045430930022989824/2122452725 34220	1	[-36 : -1992 : 1] Z/6Z [236, 13688]	3.09619783215107	[0, -6248, 0, 9755600, 0]	[82668 : -14608 : 27]	[2 : 15 : 85] [6 : 34 : 255]	59
60	[0, 3237, 0, 960, 0] 42573002096909131947/1396577200 90270	0	- Z/6Z [240, 14160]	-	-	-	-	60
61	[0, 3352, 0, 976, 0] 5536617583498447696/163258875 47580	0	- Z/6Z [244, 14640]	-	-	-	-	61
62	[0, 3469, 0, 992, 0] 1741420112275875921625/46243293092 200446	1	[-637 : -4382 : 2197] Z/6Z [248, 15128]	8.58198027418168	[0, -6938, 0, 12029993, 0]	[35660716 : 17734649486 : 753571]	[5075 : 128050 : 160602] [34475 : 43239 : 1090986]	62
63	[0, 3588, 0, 1008, 0] 182793612716032000/4379277 7812	1	[-3 : -171 : 1] Z/6Z [252, 15624]	2.64589312579157	[0, -7176, 0, 12869712, 0]	[3249 : 18981 : 1]	[5 : 119 : 170] [7 : 10 : 238]	63
64	[0, 3709, 0, 1024, 0] 2601656892010848045529/56330588160 2310	1	[16384 : -2322432 : 1] Z/6Z [256, 16128]	3.32752420180303	[0, -7418, 0, 13752585, 0]	[3780 : 1890 : 1]	[1 : -40 : 104] [-5 : 13 : -520]	64
65	[0, 3832, 0, 1040, 0] 772531501373731009/15142400 910	0	- Z/6Z [260, 16640]	-	-	-	-	65
66	[0, 3957, 0, 1056, 0] 142091762982490663083/2525451500 244530	0	- Z/6Z [264, 17160]	-	-	-	-	66
67	[0, 4084, 0, 1072, 0] 289829892646764544000/4678314597 256476	1	[1764 : -134904 : 1] Z/6Z [268, 17688]	4.26277557167492	[0, -8168, 0, 16674768, 0]	[1188 : 99792 : 1]	[-5 : 68 : -420] [17 : -105 : 1428]	67
68	[0, 4213, 0, 1088, 0] 5588678677485490107625/82052958608 134402	0	- Z/6Z [272, 18224]	-	-	-	-	68
69	[0, 4344, 0, 1104, 0] 971642440651216752/12994885 70380	1	[96100 : -30456880 : 1] Z/6Z [276, 18768]	9.16977000480395	[0, -8688, 0, 18865920, 0]	[48 : 29760 : 1]	[-4823 : 7458 : -930930] [5989 : -747565 : 1155990]	69
70	[0, 4477, 0, 1120, 0] 8048299677728292146809/98191340100 294630	1	[-1620 : -86580 : 1] Z/6Z [280, 19320]	5.39008635301204	[0, -8954, 0, 20039049, 0]	[2082249 : -63089884 : 729]	[70 : 551 : 3654] [95 : 630 : 4959]	70
71	[0, 4612, 0, 1136, 0] 601183485921311113216/6700119125 308140	1	[3364 : -300440 : 1] Z/6Z [264, 19880]	4.0600024608223	[0, -9224, 0, 21266000, 0]	[980 : 113680 : 1]	[-4 : 33 : -348] [11 : -116 : 957]	71
72	[0, 4749, 0, 1152, 0] 15728446204516662625/160344128 8946	0	- Z/6Z [288, 20448]	-	-	-	-	72
73	[0, 4888, 0, 1168, 0] 3328404840479049625/31078728 438	1	[1444 : -114912 : 1] Z/6Z [292, 21024]	2.97688197131706	[0, -9776, 0, 23887872, 0]	[1728 : 131328 : 1]	[-1 : 20 : -95] [4 : -19 : 380]	73
74	[0, 5029, 0, 1184, 0] 16169880709102933718569/138466710980 351130	2	[-1 : -62 : 1], [1764 : 131068 : 729] Z/6Z [296, 21608]	3.82491508345059 7.10236671517554	[0, -10058, 0, 25286105, 0]	[5265 : 16380 : 1] [3844 : 73346 : 1]	[5 : 22 : 270] [11 : 135 : 594] [224 : -369 : 41760] [-287 : 32480 : -53505]	74
75	[0, 5172, 0, 1200, 0] 44288604333860585472/348239375 73260	1	[2429900 : 203275000 : 1331] Z/6Z [300, 22200]	9.10891625435626	[0, -10344, 0, 26744784, 0]	[15972 : 1364880 : 1]	[10153 : -58656 : 957719] [-13728 : 224147 : -1294944]	75
76	[0, 5317, 0, 1216, 0] 22585610178197997061321/163262250000 38190	1	[704 : 61440 : 1331] Z/6Z [304, 22800]	4.42130818678977	[0, -10634, 0, 28265625, 0]	[5445 : 7920 : 1]	[14 : -99 : 1309] [-18 : 238 : -1683]	76
77	[0, 5464, 0, 1232, 0] 103911323290047250000/691339187 99484	0	- Z/6Z [308, 23408]	-	-	-	-	77
78	[0, 5613, 0, 1248, 0] 1157848270602495046875/7098175084 414414	0	- Z/6Z [312, 24024]	-	-	-	-	78
79	[0, 5764, 0, 1264, 0] 2291264026326204104704/12957345765 431340	0	- Z/6Z [316, 24648]	-	-	-	-	79
80	[0, 5917, 0, 1280, 0] 42900910292632358538649/224036921600 56090	0	- Z/6Z [320, 25280]	-	-	-	-	80
81	[0, 6072, 0, 1296, 0] 16778985534208729/81000 90	0	- Z/6Z [324, 25920]	-	-	-	-	81
82	[0, 6229, 0, 1312, 0] 58395288883386218487625/260858877732 17958	1	[-3872 : -187968 : 1] Z/6Z [328, 26568]	5.60028104176275	[0, -12458, 0, 38795193, 0]	[3136716 : -250163514 : 1331]	[119 : 475 : 7106] [175 : 2618 : 10450]	82
83	[0, 6388, 0, 1328, 0] 4245631077336088576000/17567480453 503644	0	- Z/6Z [332, 27224]	-	-	-	-	83
84	[0, 6549, 0, 1344, 0] 2921216127076034025867/11207025200 52290	1	[108 : 8820 : 1] Z/6Z [336, 27888]	3.09288912090045	[0, -13098, 0, 42884025, 0]	[180075 : 210700 : 27]	[2 : -78 : 247] [6 : -19 : 741]	84
85	[0, 6712, 0, 1360, 0] 357070294510083177424/1271303775 135660	1	[3 : 413 : 27] Z/6Z [340, 28560]	4.57888865059071	[0, -13424, 0, 45045504, 0]	[8400 : 154560 : 1]	[5 : -138 : 570] [-23 : 95 : -2622]	85
86	[0, 6877, 0, 1376, 0] 105750010307317704867001/349739274500 562870	1	[196 : 16492 : 1] Z/6Z [344, 29240]	4.8221051731666	[0, -13754, 0, 47287625, 0]	[9625 : 269500 : 1]	[3 : -336 : 592] [21 : -37 : 4144]	86
87	[0, 7044, 0, 1392, 0] 282697961992685568000/869250031 583596	0	- Z/6Z [348, 29928]	-	-	-	-	87
88	[0, 7213, 0, 1408, 0] 140795835820198468773625/402856331328 151206	0	- Z/6Z [352, 30624]	-	-	-	-	88
89	[0, 7384, 0, 1424, 0] 39562897706857339849/105428510 9790	0	- Z/6Z [356, 31328]	-	-	-	-	89
90	[0, 7557, 0, 1440, 0] 255429141422627949841/634472100 8010	1	[-67032 : -5766264 : 6859] Z/6Z [360, 32040]	7.74994729753809	[0, -15114, 0, 57102489, 0]	[17409231973 : 27842222668 : 2352637]	[1386 : 35226 : 81473] [3762 : 8701 : 221141]	90
91	[0, 7732, 0, 1456, 0] 13351679325680262578176/30938851125 223860	0	- Z/6Z [364, 32760]	-	-	-	-	91
92	[0, 7909, 0, 1472, 0] 244701972651828689439625/529392670352 347438	1	[19600 : 1868048 : 15625] Z/6Z [368, 33488]	6.71708479594771	[0, -15818, 0, 62546393, 0]	[8125 : 18200 : 1]	[-203 : 8778 : -27550] [231 : -725 : 31350]	92
93	[0, 8088, 0, 1488, 0] 40490600124422646000/81847409 179676	1	[45783380 : 28012359824 : 125] Z/6Z [372, 34224]	11.6324302693721	[0, -16176, 0, 65409792, 0]	[1481200 : 1792844480 : 1]	[-106865 : 144690 : -37646466], [124285 : -32337349 : 43783194]	93
94	[0, 8269, 0, 1504, 0] 319618548166660894473049/604120368420 743070	1	[1532644 : -275094123 : 64] Z/6Z [376, 34968]	12.1699718804879	[0, -16538, 0, 68370345, 0]	[612 : 189414 : 1]	[-571064 : 1799160 : -79045681] [1005720 : -44186077 : 139210005]	94
95	[0, 8452, 0, 1520, 0] 22780003050255803367424/40291110725 767980	1	[-560 : -48560 : 343] Z/6Z [380, 35720]	5.82566452834231	[0, -16904, 0, 71430224, 0]	[2579143 : 27642173 : 343]	[102 : 2530 : 6545] [138 : 357 : 8855]	95
96	[0, 8637, 0, 1536, 0] 15372102447389483208603/25460608000 49590	1	[868332 : -175389076 : 27] Z/6Z [384, 36480]	9.26295518168213	[0, -17274, 0, 74591625, 0]	[513 : 183996 : 1]	[-6816 : 18921 : -1024352] [11289 : -611168 : 1696583]	96
97	[0, 8824, 0, 1552, 0] 115227234113785998625/178846272 6402	0	- Z/6Z [388, 37248]	-	-	-	-	97
98	[0, 9013, 0, 1568, 0] 535970366644545517119625/780112722788 120862	1	[-7396 : -297388 : 1] Z/6Z [392, 38024]	7.55237294648677	[0, -18026, 0, 81227897, 0]	[128545963 : -23643749948 : 79507]	[1221 : 2950 : 79550] [1947 : 52503 : 126850]	98
99	[0, 9204, 0, 1584, 0] 52112158467655991296/71177645 13860	0	- Z/6Z [396, 38808]	-	-	-	-	99
100	[0, 9397, 0, 1600, 0] 688437529087783927489129/882972090000 30030	1	[4624 : -547536 : 1] Z/6Z [400, 39600]	4.03959537308976	[0,-18794,0,88297209,0]	[9261 : -10584 : 1]	[-5 : 56 : -595] [8 : -85 : 952]	100

mwrankによって、Mordell-Weil群のrankが決定できなかったのは、E₈₇だけである。

■最後に、n=564の場合、C₅₆₄の有理点[x:y:z]を求めてみる。
mwrankで
E₅₆₄: y²=x³+214709x²+9024x
のMordell-Weil群のrankと基底を求めると、

Rank = 1
After descent, rank of points found is 1
Transferring points back to original curve [0,314709,0,9024,0]

Generator 1 is [2129438949067496432419395272021725333195578515664 : 1194955984164680399362147214400455515753478272579088 : 25487842572639882217532655792128439170480773629]; height 76.0200844556415

となる。次に、pari/gp-2.1.4を使って、このE₅₆₄の有理点からC₅₆₄の有理点に逆変換すると、

? read("reciprocal.gp")
? ew(2129438949067496432419395272021725333195578515664,1194955984164680399362147214400455515753478272579088,25487842572639882217532655792128439170480773629,564)
[u,v]=[123337838439628048913846078421920168719619469034080534278519995816729/391672340078898758968875253143884434890460681168601971094893761, -106411790244435536227493512332740150548123624536385740734363544344083171422039598483101145870895756/7751475060853765905994973354463548831636263790821430505099558225712833643689219536328562784991]
[w,v]=[-1348621213590728986827947007237010052915201052770930317228496385691/123742582693557222992796979376815973687082818168809591848149498035600, 11142171689687269431741614982484653/11105756995343813523570072977404027]
[w,v]=[1348621213590728986827947007237010052915201052770930317228496385691/123742582693557222992796979376815973687082818168809591848149498035600, -11142171689687269431741614982484653/11105756995343813523570072977404027]
[y0,y1]=[18207347171727954085771002540313/11123964342515541477655843979944340, 11123964342515541477655843979944340/18207347171727954085771002540313]
[x,y]=[-20796625132826551920753377097903/449544591011056670998290630391883, 18207347171727954085771002540313/11123964342515541477655843979944340]
[x,y]=[-17326676266922073490316233273001/489720475955819702398163242285380, 18207347171727954085771002540313/11123964342515541477655843979944340]
[x,y]=[-330728380129428420243400942636216416001009380757686874403809065737078781564426716701074319622914440767796140238140413/13260916397891248043690924451196464254569794722109366474613758786006327985554154968766093075901470286127825634250400, 11123964342515541477655843979944340/18207347171727954085771002540313]
[x,y]=[-755749452504810025101931175070166458885464027091863447054910274215776150423294989067094622333039459522824867822237637/30302579860230457800499939807736085425838996927008184056547790519042504788703281613892686406309920289728426152930400, 11123964342515541477655843979944340/18207347171727954085771002540313]
[x:y:z]=[-3460695868425504865645892262188752089713065424460, 122442005010002877811635117117995213613513491867, 74807191015302527837945836017146464948205905528060]
[x:y:z]=[-1158255252278102629666593663959067366161157601937, 53582671822566098968681023490522468099010526717, 32736879519520344322223209847960433779114725401060]

となる。pari/gpで検算すると、

? f(x,y,z)=(x+y+z)*(1/x+1/y+1/z);
time = 0 ms.
? f(-3460695868425504865645892262188752089713065424460,122442005010002877811635117117995213613513491867,74807191015302527837945836017146464948205905528060)
time = 4 ms.
%94 = 564
? f(-1158255252278102629666593663959067366161157601937,53582671822566098968681023490522468099010526717,32736879519520344322223209847960433779114725401060)
time = 0 ms.
%95 = 564

となり、これらの点がC₅₆₄の有理点であることが確認できる。

■問題
nを自然数とする。曲線C_n: (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=nに対して、

C_nが有理点[x:y:z]を持つとき、x > 0,y > 0,z > 0なるものは必ず存在するか？
あるいは、どういうnに対して、x > 0,y > 0,z > 0なるC_nの有理点[x:y:z]が存在するか？
[注意] (x+y+z)/3 >= (xyz)^(1/3), (1/x+1/y+1/z)/3 >= {1/(xyz)}^(1/3)より、
n = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 3(xyz)^(1/3)・3{1/(xyz)}^(1/3) = 9となるので、
n >= 9は、必要条件である。
x > 0,y > 0,z > 0なるC_nの有理点[x:y:z]を求めるには、どうしたら良いか？

という問題がまだ残っている。

[2008.06.15追記]
L-関数を使うと、楕円曲線E₈₇のrankを決定できる。
L(E₈₇,1)!=0より、rank(E₈₇) = 0である。

gp> read("./reciprocal3.gp")
time = 150 ms.
gp> e=ec(87)
time = 190 ms.
%1 = [0, 7044, 0, 1392, 0, 28176, 2784, 0, -1937664, 793820160, -22365735524352, 1538113590853632, 282697961992685568000/869250031, [0.E-38, -0.1976205357575458687486246680, -7043.802379464242454131251375]~, 0.1579220061174284138998048111,0.03743254345325088310161754278*I, 101.4658579562660793917338921, 4.157321069562217958906911586*I, 0.005911422356215190886629717785]
gp> ar(e,1.00001)
time = 10,357 ms.
%2 = -0.00004223270920957417715898942507
gp> elllseries(e,1.00001)
time = 5,085 ms.
%3 = 2.526645387048929117771802362
gp> elllseries(e,1.00000001)
time = 4,922 ms.
%4 = 2.526751991164278372085617594

[2020.04.17追記]
E_n(n!=0,1,9)のねじれ点群E_n(Q)_torsは、位数4の元を持たないことの証明を追加した。

[2021.04.19追記]
参考文献[5]Bremner他を追加した。

[2021.04.22追記]
E_n(n!=0,1,9)のねじれ点群を決定するために、位数3のねじれ点を考慮する必要がなくなったので、証明を修正した。

[参考文献]

[1]Allan J. MacLeod, "A simple practical higher descent for large height rational points on certain elliptic curves", Dept. of Mathmatics and Statics Univercity of Paisley, June 15, 2002.
[2]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[3]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
[4]三島久典,数学者の密室３章 n=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z).
[5]Andrew Bremner, Richard K. Guy, Richard J. Nowakowski,"Which integers are representable as the product of the sum of three integers with teh sum of their reciprocals?", Math Comp, Volume 61, Number 203, July 1993, pages 117-130.

Last Update: 2021.04.24

H.Nakao