Rational Points of Projective Curves: X/Y+Y/Z+Z/X=n (n \in [101..200])

Rational Points of Projective Curves: X/Y+Y/Z+Z/X = n (n \in [101..200])

[2006.10.15]X/Y+Y/Z+Z/X=n(n \in [101..200])の有理点

x/y+y/z+z/x=nの有理点を計算するプログラム(pari/gp)

■整数n(n!=3)を固定したとき、射影曲線C_n: X²Z+Y²X+Z²Y=nXYZは、楕円曲線
E_n: Y²+nXY+Y = X³
にQ-isomorphicである。

よって、射影曲線C_nの有理点[X:Y;Z]を求めることは、楕円曲線E_nの有理点を求めることに帰着できる。

射影曲線C_nは、３個のねじれ点[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]を持つ。
従って、曲線X/Y+Y/Z+Z/X=nの有理点[X:Y:Z]を求めるためには、射影曲線C_nのXYZ!=0なる有理点[X:Y:Z]つまり、ねじれ点ではない有理点[X:Y:Z]を求めれば良い。

■n=101,102,...,200に対して、楕円曲線E_nのねじれ点群E_n(Q)_torsを計算すると、
E_n(Q)_tors =Z/3Z if n=101,102,...,200
となる。
これより、楕円曲線E_nのねじれ点は、[0,0],[0,-1],Oの３個である。

[pari/gpによる計算]

gp>  read("de16.gp")
time = 33 ms.
gp>  for(i=101,200,e=ec(i);print("E_{",i,"}(Q)_{tors}=",elltors(e,1)))
E_{101}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{102}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{103}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{104}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{105}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{106}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{107}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{108}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{109}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{110}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{111}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{112}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{113}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{114}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{115}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{116}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{117}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{118}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{119}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{120}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{121}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{122}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{123}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{124}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{125}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{126}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{127}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{128}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{129}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{130}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{131}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{132}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{133}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{134}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{135}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{136}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{137}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{138}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{139}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{140}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{141}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{142}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{143}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{144}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{145}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{146}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{147}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{148}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{149}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{150}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{151}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{152}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{153}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{154}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{155}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{156}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{157}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{158}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{159}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{160}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{161}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{162}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{163}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{164}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{165}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{166}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{167}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{168}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{169}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{170}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{171}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{172}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{173}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{174}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{175}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{176}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{177}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{178}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{179}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{180}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{181}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{182}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{183}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{184}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{185}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{186}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{187}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{188}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{189}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{190}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{191}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{192}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{193}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{194}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{195}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{196}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{197}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{198}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{199}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{200}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
time = 901 ms.

楕円曲線E_nおよび楕円曲線C_nのMordell-Weil群のrankと生成元を求めると以下のようになる。

-	E^~_n: Y²Z+nXYZ+YZ²=X³ E_n: y²+nxy+y=x³				C^~_n: X²Z+Y²X+Z²X=nXYZ C_n: x²+y²x+x=nxy		-
n	[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆] j(E_n) Complex Multiplication. Conductor of E_n	E_n(Q)_tors E_n(Q)_torsの生成元 rank(E_n(Q))	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元 [X:Y:Z]	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元の高さ	C_n(Q)/C_n(Q)_torsの生成元 [x,y]	C^~_nのXYZ!=0である有理点[X:Y:Z]	n
101	[101, 0, 1, 0, 0] 1126746286626629024033833/1030274 147182	Z/3Z [0, 0] 1	[-309058902 : 2053225511 : 29161230552]	15.3490917979624	[100409/9474084, 1615441/243162]	[7932311 : 4972327398 : 748452636], [-2941797384068064088537807433626954394431 : -28976789505157094908578642549010022736 : 1479605680795701965247218404072672466688], ...	101
102	[102, 0, 1, 0, 0] 5218747941743203713024/4367 117909	Z/3Z [0, 0] 1	[-23159807474405861486591886305796028763884464560276733690 : 2306635102448003221734614169385048627635671003656581012941 : 96916671154914922168056225876769166786942923441523064]	87.1469469395440	[50419915699915016678332771388393101235/210991839847863592562711209255920516, 174576559874397743074664375107676797561/1752838804865227366015776385920929490]	[192402745450334916038199264030528822813040689512678634725 : 80189731777793393716327559253959232510102918350616232494 : 805146313531316635767641182709452256660517339852770460], [-4728184336815403998377763458474361772648242430845593038174656738635214839721525602165721218202233735965438393996575013482854950058941187603414480038426023525517106816766853300567740126694953545317924348617882060118042577593595 : 80105217070212628596803382826999435149572582968076614631352289206155874083115285927699903715455090137695153994579598510190881530556010160958427625176943030430823705338916140657696920852370322955154575956623652252974380680154100 : 783618552869514279696280065416692906918180297892989652898677073753824094577797828886416405529872033899602185457303668337041011066504367739036351857566407072726552831532920724842855466745126187750089436427615359695802149189936], ...	102
103	[103, 0, 1, 0, 0] 1425666945240250502381929/1092700 15610	Z/3Z [0, 0] 1	[-2196 : -64 : 226981]	5.32060626366005	[36/3721, -16/549]	[324 : -976 : 33489], [-39539803612608 : 3950538064551 : 34957544744], ...	103
104	[104, 0, 1, 0, 0] 1600929742303642157056000/1124837 1124837	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	104
105	[105, 0, 1, 0, 0] 66509060470601776342875/42874 1157598	Z/3Z [0, 0] 2	[-75986190 : 42875 : 6372783864], [1883662788 : -229670674624 : 912673]	14.6360747864467, 16.8748549579906	[40985/3437316, 1225/2171034], [-19419204/9409, 37503376/307587]	[47993435 : 2271150 : 4025097036], [-61578295884 : 3637827472 : 29835939], [-207740229284248766646529094129221975 : 165781148444331901924006476890440485984 : 1478619261202622885445087262314593280], [-27766840623015700053178539008604024125300928 : 13456843132529818116345331501064403234631155 : 125685101672607635265347380047271577727800], ...	105
106	[106, 0, 1, 0, 0] 2012074831801686696951808/1190989 1190989	Z/3Z [0, 0] 2	[-997929326394 : 4041713610089 : 101736378093987], [415494289326312 : 184900743873 : 7523083955792384]	20.6749344726835, 25.1010769245433	[21376718/2179302489, 253733041/62648586], [-2120474673/38394051136, -32455809/72932120296]	[28687555556 : 11845019553003 : 2924623940238], [-789259757562657 : -6359521038696 : 14290611379279424], [-344296252672184849733156118556541677694048283354450156 : -3241240352002363761766419502749237157262267437209648 : 57621358750980717491537697492652758786569056151100219], [317302951499412414188182327152098251887016646188261342475103279 : -79220639916685398351785155717880414655192785312902964706660055888 : 34366814446335806335249588554552206962347092411023776543068899584], ...	106
107	[107, 0, 1, 0, 0] 2252059222490774199594937/1225016 306254	Z/3Z [0, 0] 1	[21903591101283784602853915233793870 : 7718290250084906381445529447587784 : 578883241385216594868161091663251]	54.703610225248	[-262815917257959399451370/6945880671640158963001, -39055368295853229268036/110834496986298368851855]	[-349512699205512410327585319904578850 : -3254950561547482483254353456477036 : 9237163133926688085493747399065605], [-2052275705219170225117757762170025690353584588435461352622515674920387827977209882762816078496586565435964729604982766515672309262257070506240 : -17728307343631589940587291887229056483127914970172224160859844907073107649685242315222272377120551694867292096550276689428614295555689919775 : 17981334927429458082450858632183125952398472221871683249733695794232407784199819142698233685411525512245462297524853252544706427021209268914064], ...	107
108	[108, 0, 1, 0, 0] 93260229304738085240832/46655 1259685	Z/3Z [0, 0] 1	[-546 : -343 : 59319]	6.23963202903612	[14/1521, -49/78]	[28 : -1911 : 3042], [-20579208113939804 : -186022304791440 : 70887434006025], ...	108
109	[109, 0, 1, 0, 0] 2812508408364785728503625/1295002 1295002	Z/3Z [0, 0] 1	[-2899793864216944710158965064554386348 : -971895494080076391392528793426083 : 381792052740405074023858494637455617088]	58.7120999616530	[399722104480409314047419/52628128046784758001525264, -9811747855877926269529/29274800020190600224982724]	[1613032585906560318239153429729340443 : -71179566781033572445876291555842468 : 212374758671589448838234374597668795408], [-3027305833172875777837089798819966045681592517644712225422645257505284686684010383549424396718559765183209310990815122726405071775491406349184610953483 : 1131575134844910177075655968482998522814935228944088346778147820854910929081975049871920676060579607515719984546615029168516874397564045426122789744766520 : 10073643947127853101706281031801295406063641772591978910289689663462261488689414946358660444743437331857138377255748887791793593961913814577309731460800], ...	109
110	[110, 0, 1, 0, 0] 3138258607548487008256000/1330973 1330973	Z/3Z [0, 0] 1	[-58493111670 : 20683643625 : 6412049636552]	18.5251240749412	[3148515/345142084, 7535025/21308966]	[3611346705 : 139985694450 : 395877970348], [-2270027495664260611634002576743782660400146995725 : -19144339646904014308526204696386302963274967116 : 2233003303666701205558865536256436791453075280], ...	110
111	[111, 0, 1, 0, 0] 4798719371068773390577/1876 8442	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	111
112	[112, 0, 1, 0, 0] 3895776334287185737940992/1404901 1404901	Z/3Z [0, 0] 1	[-2201172302900806914308042355011893805880900428446948672577253875153132899941349311327514451190 : -65894776116339634030810126570703360778433779249606810565182760107352162577330148392976088 : 544031462942661040856780065585657924750803796208364542529553498681464168488237352926230299789625]	146.766995600387	[26963692591540641201989451007481688304281806475525874671436806/6664220291878300525618632562571755774670086682658069275691118225, -163142579393278730881594134517666427905793964870678999305764/5449672164456074723086981117530984302022819397610448572090787945]	[1800010639340561476631947037621286947915240684971323481294582383858472523311320365128373281158 : -13318091576854113300162838591657841686993519959959149070559988026538909081959649861205201860 : 444882220325179840803472420042062236091767720844845203037340381653808676781078204185344064777425], [-4195926935116082093399373866210173523690080459967020292199164313890556945005055262348512910389393753760053983160333795308524688368995644056063148028826577431763080627921925327381088866229901506950895132157647283445741821611947063808373398129195988094783875154203763392352045304917639395095748268511745418606694365832419110872013742238688126904494073049491599306997755452448567824 : 32033267458738372943399786663440000275968729118329995127774821934521394306424233375605591889626152995094108254243836373180553880941071131719559150137213738156797500277950673191694505011216381564205044540328006459748723000339081870106112722728377003243969497990625771565526582880285523343159295507925014740840456372474994658917954558899787435868343441791269929735163911873972361983985 : 200482954143799758332901686005872978346631664166091462267820714266018866502273710746127349340637139187206013360317941867531650776640315649078443736799244646573644912254600251004826395617819519769587566072417089975012873301759852293839553732731415182997108699215961348491161546656274212770067567925741111669608046842869901648695925162172695390756653209405237585228916051268780215900], ...	112
113	[113, 0, 1, 0, 0] 4334306812769744552891449/1442870 1442870	Z/3Z [0, 0] 1	[-33123279106958578650 : 251643901285580152887 : 3491245272784214546875]	32.3555959170499	[2183433003486/230137243575625, 39858804904689/5246518246550]	[755122836791605212 : 604669031575480919475 : 79591124592681301250], [-544307114947376385161291946878757184072656099988456503939048815924955004721082579336 : -4791230719945490073774582998921273680543540573309282520996656347794444131418785600 : 321110338223409171103755891743845299837274712589344514563196497479972388515193338125], ...	113
114	[114, 0, 1, 0, 0] 178432247530661400576000/54871 1481517	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	114
115	[115, 0, 1, 0, 0] 178432247530661400576000/54871 1481517	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	115
116	[116, 0, 1, 0, 0] 5935753232829619479543808/1560869 1560869	Z/3Z [0, 0] 1	[-11566828 : -403583419 : 1745337664]	13.7488233038672	[9607/1449616, -546121/15652]	[124891 : -657529684 : 18845008], [-46474284336666651779825998686157439 : -379214623079145957628919310324408 : 304536478640417523806902070081213376], ...	116
117	[117, 0, 1, 0, 0] 243695243764659963601611/59318 1601586	Z/3Z [0, 0] 1	[-9430290870 : 4716275733 : 1098465877432]	17.3595562927049	[913965/106461124, 2812329/5623310]	[498110925 : 29017610622 : 58021312580], [-2022207258982544708310172428455397766481184555 : -16697645590956552541329698861659451409736600 : 4067321145514738378285292027561240829299904], ...	117
118	[118, 0, 1, 0, 0] 7287273277096073975824384/1643005 1643005	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	118
119	[119, 0, 1, 0, 0] 8063897167796815125699625/1685132 842566	Z/3Z [0, 0] 1	[-931 : -6859 : 117649]	6.67749331306798	[19/2401, -361/49]	[19 : -17689 : 2401], [-77767535289778750 : -651175553458836 : 31553146007694675], ...	119
120	[120, 0, 1, 0, 0] 36690242589425565696000/7111 191997	Z/3Z [0, 0] 1	[5793514608 : 2284322013 : 122023936]	17.0363624235911	[-11680473/246016, -1734489/4399024]	[-103594115037 : -860306544 : 2181915904], [-16194278738470416599095166469063173202169425 : -127674983733714822301019611411086349714528 : 110748142552845579269322233629239264087106560], ...	120
121	[121, 0, 1, 0, 0] 9849332367184219398959833/1771534 1771534	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	121
122	[122, 0, 1, 0, 0] 10871782311419062805757952/1815821 1815821	Z/3Z [0, 0] 1	[-248537161007687309238040329407158638330483957875222975544229043990 : 16758315150394029389411667268602574411671273006069422050841981407313 : 67543420621981741804830650049072717133209611116044586428469000]	103.123527240986	[610281656222442044069919547709936204455301291/165852504458426257019042187515039129892100, 654867697909748999319792823837264790262725089/9712131381554902660916248849745130885956470]	[14554049507949334246210190196766034055065580495776659418631436971593 : 266694823307624831145103216237128972537499433457073757662705534210 : 3955264813048069464525602207632275188350581835414049463118408300], [-48145152695553865794996638425158421912777891700846712200352217750971336546979397881801944897699829266911165083425334156985889744404263982622931731356983034069787923124028339147993242399965899149222545093025418255082166286326123411842227447909676145412814934043728989979 : 207834895783642687070608444046419814763817786243521590299617849618249303639700501572182583065472637289052213190937958659035931894425360474977198467889374379389406315035783384511276961868881358214417356206453150024357033440659768939906196691312646101091001480969210940 : 587683658028029193094508283405240529764840154095048960996394157706963374088016186757440612805356217173292128874798493048781522896032276562267750340113516017929833783801136466971790750853684381469336289677079344389650346124645909044654395262441387685506144154580400], ...	122
123	[123, 0, 1, 0, 0] 444099996180755081111547/68920 465210	Z/3Z [0, 0] 1	[4161123820341904384739462290218645309977741286 : 663963460088060115613118720814649974500174103816 : 92291352564799699924891752516812433307253]	73.6077317876998	[-92078231365503863998009010646078/2042242644391837275256142569, -76107849900312475782760945010436/476975324957180586046851438931]	[-971849937540447098886846055969052395045902219714 : -3439403455503844586046293066684863238274922932 : 21555077209467464278508168043835414001908247], [-737342617588564206702557028535059804545574662082713452100799450088006526720333767668142555585948927433980270816340671542867673139108571140655954876857169452010686846462876875936455970029000000 : -4083044202868504600894770656452247412802216966509063186927599801763896080721652140345395048085441574110119295875876925855520209323346892112671720837000477924267123949812107463041050314835891 : 70902933692724101373413179894480492499385623217324176073633125937905103544639101178520676024716302078647704266776122240884146828191288194189862917005620686665672392406646148331530385369000], ...	123
124	[124, 0, 1, 0, 0] 13214289633904981504000000/1906597 173327	Z/3Z [0, 0] 1	[-627995533082874865115280840 : -6675023643344575923431216951 : 84546908598673051373667620375]	42.5080699206966	[143083858714560504/19263350274641122225, -3545154816787138801/333533109092334840]	[10873357939245159782663616 : -15559696313970066182696901335 : 1463877928139176435696691400], [-131986475490836920282583341283177762179623553851870181001082573642921184760259228974098445191929517181009834064 : -1057685927466640124801842668687954738955306460500085781697934795319917530007383206397562145417970195134462720 : 102640761333104884094436622574717424850604309503722280618532370433018146727535430485335003503720879022563364475], ...	124
125	[125, 0, 1, 0, 0] 14551378793155643166015625/1953098 1953098	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	125
126	[126, 0, 1, 0, 0] 593017002794028601442304/74087 2000349	Z/3Z [0, 0] 2	[-29526 : 1367631 : 2352637], [-2195409720 : -14706125 : 279213318656]	9.60663768395268, 16.5127434150219	[222/17689, 12321/266], [335895/42719296, -60025/8960856]	[444 : 1638693 : 35378], [460512045 : -392323400 : 58568154816], [-134345066112934226715132 : -705920477360946235696 : 8639975255769706942051539], [-1824654852762398140180174453024388547210975 : 2454323659463314602516577691168478293451696 : 19362880524395471484961629572878009296640], ...	126
127	[127, 0, 1, 0, 0] 17604730701129304475054857/2048356 1024178	Z/3Z [0, 0] 1	[-6326145 : -3442951 : 806954491]	12.1900153507487	[6795/866761, -22801/41895]	[305775 : -21227731 : 39004245], [-67697190947479721705121901596480 : -518755017134742275440674609075 : 148336263724229463775880696072], ...	127
128	[128, 0, 1, 0, 0] 19342149038647208631599104/2097125 83885	Z/3Z [0, 0] 1	[-11548608516787342 : -13162644248131 : 1553556520984169339]	27.1256398704588	[9971350298/1341378596041, -557479321/489119838922]	[4211080715150764 : -645660842516459 : 566488325922843038], [-970456787867336205715961593363803938253169834924952887855175290593060 : 37545614980425538478166954118677544390989899097765227331429171818396400 : 292576917576368447052391685227249628041264510673708477812478932441921], ...	128
129	[129, 0, 1, 0, 0] 87388781466270262843875/8834 238518	Z/3Z [0, 0] 2	[-1834716 : -438976 : 237176659], [-103954830 : 343000 : 13160971881]	11.6640451323407, 14.5709654281713	[2964/383161, -5776/24141], [44030/5574321, 4900/1485069]	[115596 : -3575344 : 14943279], [27694870 : 11568900 : 3506247909], [-3012505929249621114958733117760 : -20181865242984150200819193675 : 995768230601237531431070392], [-6762667745948643189387318669335406400 : 40207169483896020230412690983330617029 : 311166783484837279126551289461272040], ...	129
130	[130, 0, 1, 0, 0] 23297321606866839580672000/2196973 2196973	Z/3Z [0, 0] 1	[-10834193788793664768060526868449382340780069953687661684582870 : 1146413549323704322407235500312251979132205738378214364582285869 : 262027409698023119501289834936341430577211284056930848737410231]	96.3574086318633	[16930938216640266449565514530946705530170/409478542764508221499348421125773312116721, 1095370078776303074596810694594153042683321/10351806912007915748885172468569295160830]	[273893428924716913780629078319665322241878470307892222110100 : 700932904724969095571035638167396644142444456017454494349622831 : 6624174083787008689376875910553466286350935859872106340318130], [1075926991600605790167521512447348248057609018905049556303278425268870193040436398986144656779810130107351550603260485312310075459593239067696447828898601058202886561507795857154007272696774519865115088526358780572659828059199174816333555763011439340 : -150155177766105818136267957036982392104242208877998050157550667991417634786379937997968198503340614947681857913555229590208009465048497682925400229225214057831655352532687337350630004049927477246924129986809900695714796273044839899800322633270996400 : 147581087273256179701705111654119386740022882733164899449632834309103786497435177733059132809602677613540908225860194072979306521843773828729074944266186306286463665745853055252021239874915886483236555065625174915848142226184078429926218097978114038579], ...	130
131	[131, 0, 1, 0, 0] 25541220039390275091849433/2248064 35126	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	131
132	[132, 0, 1, 0, 0] 1036358025118750505926656/85183 2299941,	Z/3Z [0, 0] 1	[-78849030 : -741217625 : 11149348904]	14.6867106026321	[35295/4990756, -819025/87126]	[1376505 : -1829701850 : 194639484], [-47213690255607463714998444839089005975 : -356064320438163036765079321774256244 : 27662325909594803505348603696320781040], ...	132
133	[133, 0, 1, 0, 0] 30634189914514207859166889/2352610 2352610	Z/3Z [0, 0] 1	[-152168702269268764675995807957929089447344677553732703167462569716948530786 : 541144178545151871093698197268043728506745509286435318249858671938279823752 : 19696962653023600523653402831927691755532955647084632377625987948957993668257]	116.211608333231	[5634545839049527916442213739450531107826399242402/729344716117236301903533295481354872178469779686849, 66406204812013842384478755692374806281348296983684/18673297079603126203820525081005091615835568795937]	[3895951147516076776099600801011380923185961482580627164893621467240726818 : 1793391392584000273529546355840001579076494779420302023539160839227527313412 : 504298210513991558459282560880914990254368401695790408112874799255026839041], [-341230549083529719707324720588678689834821756047682615193038255461487899128979219586091899933321691283356941351522295330101945555237364601149383374551164964957165895663803257850072131630771931107772626823091527497698083294738300422695571114472511138021419427570960637551996091276795113339242424167403520 : -2562268453338996425578987768324096264072502242896612011517705749896735583594468527306880520745977984178635490689543950988150425439192781718719304924118239911578432692888548577991547831470415938525037099963355356574204375679705100141054647348633346831814842991819083964417776536961232397555764899033975 : 34239259702412749209974590843989697094580763282835955044160109450544250945268523741182068323782165843925957054136775873477966808475855885259976137721894499556598860069077528610605633848567757820715541965153263717039853502390327407071569531046864891305888764771340097843362971193605284225878876446460864], ...	133
134	[134, 0, 1, 0, 0] 33515413701696137986048000/2406077 2406077	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	134
135	[135, 0, 1, 0, 0] 1357152804865571071084875/91124 1230174	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	135
136	[136, 0, 1, 0, 0] 40036349293255424411435008/2515429 2515429	Z/3Z [0, 0] 2	[-10212930 : -8365427 : 1397415032], [-2516645502 : -21881515573 : 364147304221]	12.9250218237095, 16.9887465077141	[9135/1249924, -41209/50310], [352422/50993881, -7823209/899766]	[411075 : -46071662 : 56246580], [44405172 : -55865535469 : 6425229006], [-5091310122038955400038742355319855 : -37019726281936646160295319784900 : 24277061074185164355627903948016], [-50458481509418253604667571818218775655955164 : -369638565491525239458662518818801932704272 : 24863679955274280172001645336364717428975761], ...	136
137	[137, 0, 1, 0, 0] 43715418988161354268853017/2571326 2571326	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	137
138	[138, 0, 1, 0, 0] 65434925198717072736256/3605 32445	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	138
139	[139, 0, 1, 0, 0] 52019474398250879209677625/2685592 95914	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	139
140	[140, 0, 1, 0, 0] 56692424792938552274944000/2743973 2743973	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	140
141	[141, 0, 1, 0, 0] 2286938221616076282623979/103822 2803194	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	141
142	[142, 0, 1, 0, 0] 67212370360701104518070272/2863261 2863261	Z/3Z [0, 0] 1	[-79128158608668248048302617758464329822117153131722791302426068401948258978736108469050771447018531110277800766147143902850 : 11079480796172191948628215861215082224840501085983039501223847507140696248135575562473804951237376982819000630546382221578125 : 285856803897457164954051466443923932056743468074725199102186879016620426117823413661710910629736206154607630285918432024]	189.402204955744	[12011987774002197414363753949532337271167114518844048484638384226195614909915720275/43394266894458566253659985843841890754225439785354922165368556206992714183954276, 49698842351619253899498735911627072941112279297735133326370658921387556891420325625/354942433911233339462030014843411526935549159899422162262782769297554238738982074]	[647227000649281267371988635771087803134448115238487178200859980415730790019463760618736457807240738779916233265738309991525 : 327387769139882890460566179274562428253895116484986922577817123390124690992174499099412180521982402624674563255418744783750 : 2338159323493637212362333265259460723267995320667580082914801368818500874833339590707685028055162560266769298444575042876], [-723365878169764846455331471420098875250717143325141757752400301674001035020191137412020031461052193604123823439880238983082945150951079869358797038673127303621150832869815271223293019638754129952781435142163107148168442592450105918791937367876331516406363192532833803032289083352246481566546450676091599189411853557913564409695297651604995674104371095724696650698619268462831211124882395969562806716947470662043759485530379062537952913110535547121119345720444250329037970624281113919586786875 : 25642475833323712832252251056216503866949915954526955202528008007851163778318928564669994418857685468159587551635091856603387306960530820703318343633420768167202510797909017456809518182491632746981874302647027135376463647544623854171910191452419311518532572373959492482690374651885200860746537373601419941897251115247464411580781291285092247141593019636276894682758266688123703341522611615902821779685046936315040146191846796519937661312933414924148955229356368244778451099399859957356801278276 : 180228782362177026098790130981927361284495529064338417797894556775254660940763793252800653133773532787383544590506334821253115462197889864551264735161833476367961170986438829668918333857235232435327517535491974501008682295408731399124158835222335164486914740913771308742228050980053417394122605368887699760817652671358313676205436184492089932907580958814582023428332616708603749390772537451741095404816675069001158792049924567697576498905705309873463075021402073019089926171598091886068026800], ...	142
143	[143, 0, 1, 0, 0] 73117571136885413784740809/2924180 1462090	Z/3Z [0, 0] 1	[-6059202808091615 : -14437662875 : 4382385821322731677]	28.1474889270178	[3702643955/2677978421209, -5929225/2488378976629]	[5630214479465315 : -9702898038925 : 4072115241441456937], [-308105472289860475214962689158078054670218445655260093816512719544700 : 31937410819165620810889321224617061155716906507511000853483326450864560752 : 79584392303952718378121809124018939839062594335350554203250928604167205], ...	143
144	[144, 0, 1, 0, 0] 2944256679214874099712000/110591 2985957	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	144
145	[145, 0, 1, 0, 0] 86378522254680046032573625/3048598 3048598	Z/3Z [0, 0] 1	[-7089962020771438621527924783680109185448856576363650 : 1024041761366825063146252932545899890768410788074125000 : 88923076286304633097021613714376260312805307002709]	81.7451319236579	[158844585563026120200408459716435850/1992246102067345020687923578545961, 1015964294754249522699505011315122500/7034037610588429072798534364999289]	[25032579790217112771065203536044030039264479795298850 : 45347143805599932824732497025631560074333945099952500 : 313961343630199311224081053523831213771142937469541], [-2398437847039542204337300559800098473414268558344517406409493847793337543408497740396539549708067049782383241781929459266418759798596589302352892845379916978174376594951353977643165238799024466531456822906240000 : 1185638888720576836973911324917415972329559294568707064546635641269848151272877215858277605168650330920998422552737398700736281272665574525167555077256396778446079177089370912550369758816942445777512944270896843511 : 7993002380378747230636230017185588632242894836618094377064485571987161063685518588884992167907192565740132358091781621888074537409339675045016605221693727926657081368646827117149564486268383861373316601040719200], ...	145
146	[146, 0, 1, 0, 0] 93804618572987997825630208/3112109 3112109	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	146
147	[147, 0, 1, 0, 0] 418978656192948786697539/13072 44118	Z/3Z [0, 0] 1	[-29700825 : 791453125 : 3574558889]	13.3840214208074	[19425/2337841, 855625/32109]	[407925 : 1308250625 : 49094661], [-9983783601826957153851742278463125 : -64587078278034212536347753350694 : 75655114594190557060823987258989100], ...	147
148	[148, 0, 1, 0, 0] 110441154792068600176082944/3241765 3241765	Z/3Z [0, 0] 1	[19238114161565600703395739083886492125440938 : 6727586544394288480441034984316019013551144 : 370785384706402267366836897698194387301579]	68.5739561815272	[-267786263327953721182336684782/5161172858902762960272184681, -35637415086433146128185250596/101908263138906688486160163417]	[-379859937628586005664456558619016205321440266 : -2560238345819335034087818057829282042651564 : 7321222440271823488741261503030287747189403], [-2618810230271371855211543113856831140882011165565653519595739258475728054452914732578215830489824998177296882862068048489978074553208483152978999692321253931129458434849806059120 : -16712824671339935656017901677229441218322637830856142635300845326171786609981613416243990185821995663910648833070889126919497265891347957941629198052182117632740225606132125225 : 22767718812586584370172173200189764738502105441527657591987153884974843145620310427212606859400336908406430053834849853757873673464618086656948112081898655729929344259492354229404], ...	148
149	[149, 0, 1, 0, 0] 119736281910347039911515625/3307922 3307922	Z/3Z [0, 0] 2	[-630 : 1 : 91125], [417508 : -65450827 : 3241792]	6.71815926088926, 11.1966840081739	[14/2025, 1/630], [-2821/21904, 162409/1036]	[196 : 45 : 28350], [-19747 : 24036532 : 153328], [-9965030524329496 : 200890751547245760 : 1346590523704725], [820534021817776193360375397 : -2239728412294916698055819240 : 122575168408198646270113963200], ...	149
150	[150, 0, 1, 0, 0] 4805317406978998272000000/124999 482139	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	150
151	[151, 0, 1, 0, 0] 140512281470664512296721833/3442924 1721462	Z/3Z [0, 0] 2	[-15561 : -729 : 2352637], [-6042582 : -729 : 1170905464]	8.18651938303414, 13.4676614453577	[117/17689, -81/1729], [5733/1110916, -81/671398]	[1521 : -10773 : 229957], [3651921 : -85374 : 707653492], [-1717704503633537368911 : 22843011776083655702 : 100987637682191652], [-123436087921420864524701076288069 : 151558658913855303241871002483268776 : 954785187766831647814631003734848], ...	151
152	[152, 0, 1, 0, 0] 152094724762025035380293632/3511781 501683	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	152
153	[153, 0, 1, 0, 0] 6094311870504721721558427/132650 716310	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	153
154	[154, 0, 1, 0, 0] 177926275736948461735936000/3652237 192223	Z/3Z [0, 0] 2	[-1638 : 250047 : 8], [-240941610 : 238328 : 35449174125],	7.20255138324249, 13.9077929164838	[819/4, 3969/26], [73346/10791225, 3844/3886155]	[10647 : 7938 : 52], [86768318 : 12627540 : 12766019175], [-61819249407959043 : 5237464956769189300 : 33886299800430000], [-26839776311817492352750479236882704 : 1394254887028180797162076971777124785 : 9032734431394357297720028633109900], ...	154
155	[155, 0, 1, 0, 0] 192296766275472610042917625/3723848 930962	Z/3Z [0, 0] 1	[94565992638222 : 86778854146186489 : 96071912]	26.0539864928995	[-206475966459/209764, -196008967441/213597918]	[-96294402953450289 : -89772107087978 : 97827846444], [-81622635351279296801596948070795621857471187403383624250628016312763 : -141192495731006527638131350106876435709443898016382248106924766600 : 333713687809604754007005877676769121190001072922961125208120000], ...	155
156	[156, 0, 1, 0, 0] 854831800876806432915456/15623 421821	Z/3Z [0, 0] 1	[21186178558036905327605801322700725060746317705674 : 14407975196080658832152398941868514282040481237 : 188902171261520895480725035021957240463632497569003]	78.3366907438876	[-369238500233800908298662166607502/3292238579810004131427861211718569, -5921094168371216213786755240489/8706661179163328810211639577371378]	[-56029013060386321213581985332970150575524719826388 : -339740731886387608420816785282391045721202856043 : 499571085543035901841949783787258633663134880776886], [2301880747846404387093638414657505622921402439028738565927566021797929309234128124406758850721202593624179210635253625383514809015908898680296298644454943709773054916583138923856553368707289898342317764 : -164696761626701435185964171266226701182701500052560677009932401781904323954856775597460387965132551131324920252111155737193269172520779323628802232938221361988597446751904651178964848508972841287826994032 : 360178137746846944462920782108785372597354036855619484075051226553811946363441509895508968770003667630643036884058018606653738581643269483664546300550258996573477081672986524950396866932273737691033068759], ...	156
157	[157, 0, 1, 0, 0] 224278554709319346132905737/3869866 3869866	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	157
158	[158, 0, 1, 0, 0] 242034411003386502363480064/3944285 3944285	Z/3Z [0, 0] 1	[-3345840988408167803104285059578833056750 : 528068367962391689862166588754593359130833 : 179617635230578000654653995407029296875]	62.7844630045651	[593001291324744094448624346/31834594054365068662515625, 6533212268554264985236706529/41394430570506629496812750]	[4350587359716200500299726074345920116708 : 36861790545628544674100785838214431833875 : 233556291564247458402366345438610906250], [-1172574099616900413328172377898537723150448364205934528673350011522988426156724143764570444288257144507631029170316612305147507028257895126153455919907184855804 : 44656455290510568105654980932452447165656094443307490330702820634120592449945598758685038680305610584791782193410953753800681728988420899754737654870581593000238000 : 154234903212380606612632758506649541953327394247990909079598100537149352398650851841731003485014409120744389051275737758113132409314227828812026168066700775453125], ...	158
159	[159, 0, 1, 0, 0] 9669275815527832766200875/148876 2009826	Z/3Z [0, 0] 1	[186 : 216 : 1]	5.75780867479977	[-186, -36/31]	[-5766 : -36 : 31], [-212961929564160 : -1332977705575 : 160951884598848], ...	159
160	[160, 0, 1, 0, 0] 281470028937321980624896000/4095973 4095973	Z/3Z [0, 0] 2	[279969732 : 79507 : 5489031744], [-550973670587550 : -3174125004678347 : 91330489268014472]	15.7963996210039, 25.1627767638565	[-158713/3111696, -1849/6510924], [1223466975/202804314244, -21598123369/3749063850]	[-585809683 : -3261636 : 11485269936], [10185362566875 : -9726455681748722 : 1688345916081300], [116526068280193448200883409717838120175 : -36408131985303615210654715373425295676888 : 18869378855381145595007863130536712700480], [-141739314879702787705725896898605777420479090706875341100753214175 : -884622910987721021458916279615572289679299920222357427533777500 : 27415355294194286668812075816167907814085081975724048578216252656], ...	160
161	[161, 0, 1, 0, 0] 303321377519261394836560633/4173254 4173254	Z/3Z [0, 0] 2	[-5320 : -512 : 857375], [-108262 : 17373979 : 54872]	7.83827713715813, 9.91929130798206	[56/9025, -64/665], [2849/1444, 67081/418]	[392 : -6080 : 63175], [31339 : 2549078 : 15884], [-282746442440744481024 : -578984001571248455 : 1768703890215600], [36634533479571388858497 : -23959953884719153869149296 : 6043457551774010165247744], ...	161
162	[162, 0, 1, 0, 0] 12100659917980318531485696/157463 4251501	Z/3Z [0, 0] 1	[-186948090 : 42875 : 23912763841]	15.5291826631459	[64890/8300161, 1225/5341374]	[120306060 : 3529225 : 15388498494], [-16708328342423435800662389201829446100 : 36086684094594489789422640004490099536464 : 206936066330498070536311733499321827795], ...	162
163	[163, 0, 1, 0, 0] 351758039857356276029481049/4330720 270670	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	163
164	[164, 0, 1, 0, 0] 378546371389662724329472000/4410917 4410917	Z/3Z [0, 0] 1	[5973636694484431578069632143947789398766871365433891636212458656573536810 : 10469327310350801936014785486086152067672895575131764204069348789378712875 : 20563143002005822544263776860758572586087541456706797314143175221417256]	114.057132677646	[-21804307970690023944196732983344211004655480070585/75057310277181415121457475412866090102573980196, -4785704200325464754767739313628923731458525149225/2730649006622236580119155666552069832406895540526]	[-217326001231290136494427163495674683194380234682405185313558366404324196235 : -1311119722691559710035440947710460112623446940137514171086484935950035850 : 748104692322406409686789632367891108060499288847557816386031652078022636], [-488668661295590181420425975002308056386490777567415007081516314779514676683923512751341308990120083980387283489584869603253907421550334545743695052703899568926500062410644236520939229098370463892429907553351038652902961296871758426662881091805647035194919282993222703756427968676522320217254523225 : -2973316092169652334106589814885114389579791381483258063351529668928516757059200377787474061812583889688172254945565533110830589849623223067076490753668435657111410654429192854567746543389729615536566198632130339145671201253717095868684727846100700528086197012200600967020355437821156422728111196 : 162792734276920108200014760580040179081212381902318836940988421695389625827984592671789588656248851462659438208874825126733875693673647137959370392195519085956008047707955828737757541385714873204883023953968807565880444963725513445219858911261691506622534614931527477322838712979052747519040754320], ...	164
165	[165, 0, 1, 0, 0] 558563871099374680956625/6162 18486	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	165
166	[166, 0, 1, 0, 0] 437814580368142709511159808/4574269 4574269	Z/3Z [0, 0] 1	[-4344210 : 493039000 : 228099131]	13.1000429121531	[7110/373321, 624100/5499]	[63990 : 381325100 : 3359889], [77426297995173577224923865704400 : -1712779653879203653050008236821 : 16352833615217212758361478303922380], ...	166
167	[167, 0, 1, 0, 0] 470533923811216839440008297/4657436 2328718	Z/3Z [0, 0] 1	[285122825950805167652532714944360446440704980 : 654378362263673454258678050801325536010693625 : 733810828239110567301841770490574288309312]	70.6300599522673	[-3161093061363462671800803691685/8135596684567995346264232464, -753736049307207278826227595025/328414514893254024429678836404]	[-11509724264877276573876413589229565883137633905 : -67985139389338687527363016392166779205357700 : 29622182185689477649590073301152252246906832], [-4179916465139610303514258165862550435518794652704829728718800481285102955704278420858255839972006985510130855889657270731223671422745995616029763798486193345563593441129376104356329725 : -24995632359961223497757900951663353127973491820457178005568074821501351742624729062244806561726285997237105365292936177886546641210573366823290288989026820979648342386215011763102136 : 816112975351613890948841564570370104557246942443947973180157133687702669660215980013589358570487895350546132268425075014411328854823809413236975956505548976878917926617915258224950080], ...	167
168	[168, 0, 1, 0, 0] 18721516367268884943470592/175615 4741605	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	168
169	[169, 0, 1, 0, 0] 542792673625328996205129625/4826782 4826782	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	169
170	[170, 0, 1, 0, 0] 582613698944362867314688000/4912973 4912973	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	170
171	[171, 0, 1, 0, 0] 23151722428966421269621179/185192 1250046	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	171
172	[172, 0, 1, 0, 0] 670401871092756505153994752/5088421 391417	Z/3Z [0, 0] 1	[49804413636526342510048814522716318975972081680 : 4566585820265123675429098775048171430413968539875 : 2059916791923002428182715046655489362071552]	75.0714402129939	[-391427444157035967235346812492185/16189488163098037588492259584, -275250267175328396027799480888025/3001953472357726488180394680624]	[-9235037633598680996444253290416482293289213824355 : -3502227134197746346946336557742022868815197200 : 381962314310615727875129444438654600793852672], [-5114828727397599349117197884957848713693748422259236114696618526505457279102477376830576983684047446405161720292142545622082602445537592091458324226448901813533328755521750372669298875094026974225 : -26141831676772376165571687221898256028088834424511500824317500592098748326383591366062741679740265410335779987052856153452648404427677844782151589507994602451130550841129005640548604265927576416 : 1105052373225029897485799967520609498446814267703164359470981445229715101244367607449353435446254939364549279797567016437335990966937328898974320563353947473549523907798289395663716846904878080], ...	172
173	[173, 0, 1, 0, 0] 718699261081191416300215369/5177690 5177690	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	173
174	[174, 0, 1, 0, 0] 3169412526936576000000000/21679 585333	Z/3Z [0, 0] 2	[-2730 : 474552 : 343], [-465515352 : -36926037 : 81070295552]	7.42915482785651, 15.4560026221809	[390/49, 6084/35], [107559/18731584, -110889/1397944]	[1950 : 42588 : 245], [34741557 : -479927592 : 6050301632], [685554505056720 : -18670116595516712725 : 187536570819809484], [-19108869537154361213108001163793485521663 : -9587688740981661147881433828920977040 : 5270673816319715459873137154707200], ...	174
175	[175, 0, 1, 0, 0] 824993923450210642953015625/5359348 2679674	Z/3Z [0, 0] 1	[970392842544776352368652923175 : -172010288400916476648150865085473 : 2426721315539748107357795473]	48.0918704208403	[-722117078270081954775/1805842777609351009, 3092926616895797731009/17448687979386704775]	[-9376276903468485431090412920625 : 4156325811794971920905062655473 : 23447834757705449819113673175], [-4128919713676653787374371991837444914167549757274087317498636559775333037118538157874976890776991461104586831508199997396775 : 145969917065156695102424663386610256610799300153470864505011186032467613098780978190517729512661970392571949908872862649442500 : 833018804578289762791288650173738233790999211556918821240812386017228000024734773087464746879174450120135275914112820905648], ...	175
176	[176, 0, 1, 0, 0] 883377387637896952265310208/5451749 5451749	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	176
177	[177, 0, 1, 0, 0] 35019488081852165044325691/205378 5545206	Z/3Z [0, 0] 1	[-5461636442761594014171919424023426150646841058660049684922149023875792333637597082802353641504347770591970680404616974804091692685465453320657020733275279621057234852422892186459523793130 : 1555371831231064508837517246086353482925674787902694370390914020313575093486766409558832503105390894974393447525724542109762102327324756178752928004662594218167549839901560409953676327 : 124347175111911581634216089854095301322813193424898378286427925876758718206060861827662311160123598868396526167200856202443092460304858583212154721649484487428380133998789454378197744517000]	289.452212563561	[10942355322521611088389912059061636414600054157462081106381932512164706116187996558020063329907139902570259565396232151985381/249128807397945346023248337727682651262792157096256498954534560369802700831220591521446834164303845309389620273302866622432900, 134242331474895897103042987353533962087567003820363198505771146743883646448992678927431464225722055179243672530752095651409/471387481130004005501734186306797196316065770056075131579669793080146628469214348071870998128858023623504467632196010355764710]	[10334200498494644606841282655093397662749362772170493469773044052586488428803854861846509700196209608898397937115904791936882543852103629560630264511628625546180498045738322999741337178287 : 67004112746689245894845035093478420717087413554821739249086830867573190246821201828835844247706698413689323500606581754604515896693321364062362735282350333883573876757975774656615413570 : 235282712881958543668350090723651687131912302945600735107022397716287828781360357944718172025610640458926697882601390229536243780108591303004941258892433694430172938126885796029123491388300], [8127398666071803598024958310921312317389390493121925931054565455546508922725611417328426938430658979631920077176460884707530741430547114044504957906386196837737377389782028094083020758967782603641345608209735418803931632010190472631235901176927742129742899990933718294674524598912029032571396601720951467419446954794559831043077326550250839847940374341665547798584890007408281054759826534489144496079401389559569156892078573447516415852654230999825332667629168980553105167686202887319179173389891334299101402035396652737542309448081869911058901406759191508504213977214895542820473364604245496211435561469901774139960155580952170953304977847634207721671493938843742573116149351797322782229560304306250293797331528059913997019434429346336865053863252171 : -5798324347403335378322879531117213774506648800681523202864503355043247579682556569981693780106121042050654589780399084033967253371985284995549436967346101729829150382253032561304681340430181489299473222490368069238600908103236721839166417405974515312761639468008088682623097386149143531368880252751747264698909948146425912074541469285334660743851398082011812508881368581170588497131776490462678150858092960594071013533838053206010836228293610407024693190207213036616186375392617056113793691399328924625884337816209772635709818994109343052090707699579753316912350437764856288063299327568026550386226338349103701907578583666910671625322062524399807119005089937519990318672803845898834628812473579894808191592490705505576425400719760293061427361965205831080 : 1470605773373773817696486987028722226496733064477277256513560445860367641708592649036792342199625325611971842573106568919886732021455999533597432083813512914876758524323200583020914280609458775944770815653738913574904831805996070434246216858750908499334660846276575065717040749690533128779452577879099154103358183942526855081236559605548953286479190342539452557148865585728906761303116982649402409277762631470445087274755768623286436692895801556742953592467694348913086290070932424337812217123310106080175309408508086563876250160362371102306371010948273605345891277051545161089570410586729544341531442109415137857401716798268424240139323242737867518025053209904654828786586361314504184823863250418329057165560123781825704448426698413624496914567642785600], ...	177
178	[178, 0, 1, 0, 0] 1011659777519809530914504704/5639725 1127945	Z/3Z [0, 0] 1	[-5238 : 19683 : 912673]	7.38145300066113	[54/9409, 729/194]	[108 : 70713 : 18818], [-8675947163468897676 : -48700076643275120 : 718022573076752775], ...	178
179	[179, 0, 1, 0, 0] 1082009115943970249105241625/5735312 716914	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	179
180	[180, 0, 1, 0, 0] 42845077763557131350016000/215999 5831973	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	180
181	[181, 0, 1, 0, 0] 1236339159325350636634083433/5929714 5929714	Z/3Z [0, 0] 1	[-45397870251187155045259910222981945569751322411618 : 9377998379676140962054665011413494455114274839349 : 8206420772053330333344516895918342524976973427429128]	78.4139146966722	[225069969606531363033250643731089/40685143675790630891735685258589444, 444706457267363069462979919754601/2152775595551558363013305786042282]	[2402140396641295522107581088362604503298340138629 : 89699776839099870278691241015417009403581054662162 : 434226864373005668495641478790680256250746173027284], [-2619330779117520429396334616344335086396248197857791909958989633972432296181131674848205399776374429215801644395051024290713452147668355807067890430596315917214125760182200759828476985770962284744790329071 : -12600972661441504008097786248211734501581370118063039949296160923101923028169185883832852295356177859990386538618832585329693289808876076882071650923165359030641707758840881695780152612114964898758250576 : 469010051817708098762651515302598331580184764471604333038895613932183177782752129647203403202107927013876963081987379339501663688183683220802318427801407275756084891729980521538451943004792127394842368], ...	181
182	[182, 0, 1, 0, 0] 1320843821304774918261440512/6028541 6028541	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	182
183	[183, 0, 1, 0, 0] 5804993006795888791582323/25220 340470	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	183
184	[184, 0, 1, 0, 0] 1505944118144959393005568000/6229477 6229477	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	184
185	[185, 0, 1, 0, 0] 1607147741250405706336881625/6331598 6331598	Z/3Z [0, 0] 1	[265300 : 5359375 : 64]	11.2167104279872	[-66325/16, -30625/1516]	[-25137175 : -122500 : 6064], [-184357388735036200054825768125 : -986853152524242342216222216 : 545090453014881510385006400], ...	185
186	[186, 0, 1, 0, 0] 63501898152329290393288704/238327 6434829	Z/3Z [0, 0] 2	[-84420 : -300763 : 16003008], [-2954941203942 : 11681631109 : 545558814028431]	10.069948677504, 21.4986224014496	[335/63504, -4489/1260], [36163322/6676687521, 5148361/1302309918]	[1675 : -1131228 : 317520], [576371026036 : 420677725671 : 106413045709698], [-93716854950428340730950455 : -503454881837122370555400 : 6154158058245927298086336], [-13126485040329834827410703396958403732546898782498866676 : 24937865571602675049706882126344867375105877522510747728 : 133688895099655864155837193077518929209880451183722179], ...	186
187	[187, 0, 1, 0, 0] 1828498029375758606664285817/6539176 1634794	Z/3Z [0, 0] 1	[636999755735117284755823018794301181688939561944102451550084797822803417619447681862700569444197277513467590077710 : 16707119166758944194939959080570664886145147966181198520286135771546279199584178625065019731567207288285251094984 : 129718474038027097038829111556983428780226916570582585664705881195935049073862013821868517448691827512217344875371]	176.898500880566	[-12583612092509342235283383278679924389449419946208349897171177724699429578810/2562523680473034865662876173624642340568662657126090628058767636686412941481, -653533288125106325302109365514413330649429570272048123684138835431710407236/24917554052570987798876736666735446612092745253508718599490720378360604007215]	[-6194079674641010684855777402289318704702841725044887798659955689207343308380691243314797425156276550525879896515650 : -33082754128146746029995649061126999252539456209515724021191134019284100485350175760971917655504911453429194472076 : 1261360865887841821669578213366009957739901745247072037281469359657573178622238294623924351286007745413131923665565], [518243968122249256555632249315838638646209581214745429782235827596655445773046781903649122851989800410506665125923366208860562039085403631112508435168012893934873229991741082105174469584884075178486242186552246394176738929698327350322426982620912650105029596440068674514701450780175718664343346636146462301558511209707087476278971689815196901145887562934220641433507525900087705451040236867346849900310759542549553843725985149461299234603754758021032453338880 : -18685136154282381376247926799610865090125708576875218106980130252641199533677287433578868801153946001955088629522497211208746854469416491892398758780860447703100183819877821828903559404156069737088223028504770464980686978642905849633743552382242137137361629054731965330355956928807058075986804233152999429448183307972717752724910256609166248836619356185181831711452740296301748441117236968269096847946320896123742573008619827756168924366196399265016607032975 : 111285530484373566729023538147765974880870338746243374765793227971489757326098952764349598084238089432220748650526070897926818035356263892190249191701658663943835943518661597759070524396854101488659206588929810975428907934279308855008261483189978940881644165168845938941061515026026693687036410069407517899523829331557122382380792045663276679643054728651712695801324574767447199397448591091513214250712142825989669904493299541284548993379084233023389558836623664], ...	187
188	[188, 0, 1, 0, 0] 1949348486675086461286580224/6644645 949235	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	188
189	[189, 0, 1, 0, 0] 76943733284728397274712875/250046 6751242	Z/3Z [0, 0] 1	[30339032724 : -6225442163136 : 9129329]	18.930041686321	[-145162836/43681, 338412816/1649219]	[-1145479938876 : 70728278544 : 344686771], [-4013523467027818708983682801057632609941680378560 : 3387773296120836586987218432842788978144376558675 : 17812653127154597009020977638045972462998176408], ...	189
190	[190, 0, 1, 0, 0] 2213291685633216099549184000/6858973 6858973	Z/3Z [0, 0] 1	[10049071245494312968152605107595921523764978709861516459933905864138616249093478843142831594373142006001855976 : 20053014548919644718813294601156560624222189830679412628710988872649056413640100728280520117533938554364420717 : 26228605863894433391123924161084267999450488754229387861565190236249724038006503277088530531216958405554531]	169.748846138205	[-33822122351633566185115867185977968676031907043891401146144673535273999416/88277522864529597920288540276191008453886093294518288869907277285800921, -7381077736294885545038348603668050985148364038589091152653364431885423929/3698844174256845360596874400963888863074924593877924496694182052643658312]	[-421057902702248498499558148743965165949552352407693424498755943695267019371380748844513160514389824054897982272 : -2193031391389805190369198444038789367124483466588940828315239345578004928273225294672739203446358685489458819 : 1098983329509875024001951756546018195047555656673893546904598497938270701687411866331120555369147345474638232], [-6850615758570810595275637722183385647009863954252436787678637588766930181961344095382195458978964264616046104606180060863853863253958655274487024226141529638432330863640731506089665961778500595198564482157640726158148525693027497285604443462082614628800643415923643493076522603041898961635852576738196224565614729366891977558286685925813753438281597198728919207282497643008379395607498457869531559796986517864602361906006645307848676962422128 : -36003349439993249011223780539662193735019675822178612789555997882121340920710881977425615012295008666957057181401615908100257185723076143440065173616854900574293756524625464202491933096049822625667842093584234495074786813053626930925069386601653747924050810227877762146384087874441130642629669332151619949957807255991594907162821958891865868319022173679113922809866542591139280907184650208978636666635173958342806639888999406170951855435520 : 1758594111494165220424035757851949026787853543557893220865807976522100504512061560575430272459247354818764080954058416106021476596175683000899235479929761047662771741050527616557212491096866682100811525561057844132065912912612414827455487605422890040321012437010395896507135172437286975602475310034004826235134258707852938760244730769598038974947361892095005592520847959848013817843920555611579426905525040629939790117824061368345042343246175], ...	190
191	[191, 0, 1, 0, 0] 2357197215156009823461543433/6967844 3483922	Z/3Z [0, 0] 1	[-914061335355 : -1583203836375 : 176171657013379]	20.4207849804342	[16305345/3142611481, -135839025/78426541]	[22811177655 : -7614999902475 : 4396513461919], [-131056735869579732007149042264826516826713023091359075 : -684886866429548135836240838577997141376046749207368 : 2014772105788338443493183266547434910103525150706880], ...	191
192	[192, 0, 1, 0, 0] 3442570146140016049389568/9709 87381	Z/3Z [0, 0] 1	[-180114870 : -2845178713 : 37427288625]	15.5118440077343	[53846/11189025, -2007889/127110]	[2046148 : -6716388705 : 425182950], [-4304369457682720832549936702371011406844 : -22288506383349171886071830310846696720 : 4803451911518347842343609600628877690225], ...	192
193	[193, 0, 1, 0, 0] 2671058246205520695191532409/7189030 7189030	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	193
194	[194, 0, 1, 0, 0] 2841950285571687746351104000/7301357 7301357	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	194
195	[195, 0, 1, 0, 0] 111955995265747451587630875/274624 231714	Z/3Z [0, 0] 2	[-15015 : 2924207 : 343], [-130047395556 : -851971392 : 25461484367059]	7.59533267079629, 19.3802674884933	[2145/49, 20449/105], [4420524/865477561, -898704/137180797]	[32175 : 143143 : 735], [20612903412 : -26438972976 : 4035721866943], [-16103079425066205 : 76812431210718613200 : 354001016824302848], [-69726797819403298038683595048453178381191421284672 : 41695264792868001721087957276495259067280759978405 : 212000475923443602850959120477944479022000392200], ...	195
196	[196, 0, 1, 0, 0] 3214168965238204747401822208/7529509 7529509	Z/3Z [0, 0] 2	[-1011331900888470 : -75204885861 : 252658912192450856], [-7862417768226716571492 : -2407035497900696943489 : 1543571733519483614478784]	26.2518178992755, 35.8557349866307	[1599737895/399659138596, -17816841/239595333070], [68032094838543/13356250158731536, -179606340189441/586671896456548]	[606292663515525 : -11263557444426 : 151468815232191020], [345355881179250013281 : -20756968953300513152604 : 67801227549529531209712], [-160897473884632513850543562911276790107718870028117373946049253415 : 315559441525440835322504320582856877974624360105254724285740402303900 : 1535252904679397371852347343999430436758636650596328369866351605616], [-3358964729559620575608500738702304506791422782790562075340425433155749436927793780373427877679 : -16202035966502451658534512433406395445287766550710585558181707276262138933355164278046623864 : 1431652071980659541568785837575220246829981254184626832259266512494484712169830471306130368], ...	196
197	[197, 0, 1, 0, 0] 3416572366686126933776548777/7645346 7645346	Z/3Z [0, 0] 1	[-9292601430 : 2048383 : 1583203836375]	18.1807466509663	[797306/135839025, 16129/73170090]	[5005487068 : 187983495 : 852797398950], [-286039888938680873250418552418677325397081616 : 284896938756880967368449648800405219477922328320 : 1410846425499303351917279872662965184352901025], ...	197
198	[198, 0, 1, 0, 0] 134466620694576828222799872/287495 7762365	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	198
199	[199, 0, 1, 0, 0] 3856851779315182104775515625/7880572 562898	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	199
200	[200, 0, 1, 0, 0] 4095963136110591889408000000/7999973 7999973	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	200

[2007.06.21追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₀₂,C₁₀₂の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.06.23追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₀₉,C₁₀₉の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.09.25追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₃₃,C₁₃₃の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.09.26追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₄₂,C₁₄₂の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.09.30追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₄₅,C₁₄₅,E₁₁₂,C₁₁₂,E₁₅₆,C₁₅₆,E₁₇₂,C₁₇₂の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.10.02追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₂₃,C₁₂₃,E₁₈₇,C₁₈₇の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.10.03追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₉₀,C₁₉₀の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.10.09追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₆₇,C₁₆₇の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.10.10追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₆₄,C₁₆₄,E₁₅₈,C₁₅₈の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.10.11追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₄₈,C₁₄₈の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.10.12追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₃₀,C₁₃₀の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.10.13追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₂₂,C₁₂₂の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.10.29追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E₁₈₁,C₁₈₁の自明でない有理点を求めることができた。
pari/gpの.gprc中で、素数表の限界値を

primelimit = 1000M

のように設定すると、計算時間を短縮できる。
[2007.11.21追記]
楕円曲線A₁₇₇:X^3+Y^3+Z^3=177XYZの有理点[x:y:z]と、isogeny A₁₇₇→C₁₇₇:[x:y:z]→[x^2*y:y^2*z:z^2*x]を使って、E₁₇₇,C₁₇₇の自明でない有理点を求めることができた。

[関連リンク]

X/Y+Y/Z+Z/X=n(n \in [0..100])の有理点

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
[3]Dave Rusin, "For which values of n is a/b + b/c + c/a = n solvable?", 2003.08.01.
[4]Allan MacLeod, "x/y+y/z+z/x=N".
[5]AT&T Labs Research, "Integers expressible as (x^3+y^3+z^3)/xyz with positive integers x,y, and z.

Last Update: 2010.06.12

H.Nakao