The irrationality of $\zata(3)$

The irrationality of $\zeta(3)$

[2004.05.07]ζ(3)の無理数性

ζ(3)を良く近似する有理数列を計算するプログラム(pari/gp)

■ζ関数
ζ(s)は、Riemannのζ関数である。
     ζ(s) = Σ_n=1^∞(1/n^s) = Π_p(1-1/p^s)^-1

■参考文献[1](p23-24)によると、ζ(3)が無理数であることは、Ap\'eryが1978年に証明した。
以下では、その証明の粗筋を述べる。

数列{a_n},{b_n}を以下のように定義する。
     a₀=0, a₁=6,
     n³a_n-(34n³-51n²+27n-5)a_n-1+(n-1)³a_n-2 = 0 (n >= 2)

     b₀=1, b₁=5,
     n³b_n-(34n³-51n²+27n-5)b_n-1+(n-1)³b_n-2 = 0 (n >= 2)

n=0,1,...,20について、a_n,b_nを計算すると、以下のようになる。

n	a_n	b_n	a_n/b_n continued fraction of a_n/b_n
0	0	1	0 [0]
1	6	5	6/5 [1, 5]
2	351/4	73	351/292 [1, 4, 1, 18, 1, 2]
3	62531/36	1445	62531/52020 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 1, 2]
4	11424695/288	33001	11424695/9504288 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 20]
5	35441662103/36000	819005	35441662103/29484180000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 3, 3, 4]
6	20637706271/800	21460825	20637706271/17168660000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 3]
7	963652602684713/1372000	584307365	963652602684713/801669704780000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 3]
8	43190915887542721/2195200	16367912425	43190915887542721/35930841355360000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 11, 1, 2]
9	1502663969043851254939/2667168000	468690849005	1502663969043851254939/1250077234358967840000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 1, 2, 5, 19, 8, 1, 3, 1, 7, 1, 1, 2, 41, 2]
10	43786938951280269198311/2667168000	13657436403073	43786938951280269198311/36426677336311407264000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 7, 3, 9, 1, 6, 1, 29, 1, 3, 1, 4, 1, 2]
11	13780864457900933987428453/ 28400004864	403676083788125	13780864457900933987428453/ 11464402743063221545440000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 4, 3, 1, 21, 2, 1, 44, 2, 2, 1, 1, 16, 5, 1, 2]
12	51520703555193710949642777493/ 3550000608000	12073365010564729	51520703555193710949642777493/ 42860453128110714373355232000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 55, 1, 2, 13, 3, 2, 3, 40, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 5, 11]
13	136771442677233425923549477964981/ 311974053431040	364713572395983725	136771442677233425923549477964981/ 113781171521690101855852249824000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 21, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 2, 1, 28, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 11, 1, 24, 5, 4, 12, 1, 4]
14	104173922187571891465660988498144377/ 7799351335776000	11111571997143198073	104173922187571891465660988498144377/ 86663053898489997946605099159648000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 16, 1, 1, 3, 11, 2, 2, 10, 2, 2, 1, 4, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 6, 4, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 5, 28, 1, 37, 1, 2]
15	3197288551652994854721199255809398693/ 7799351335776000	341034504521827105445	3197288551652994854721199255809398693/ 2659847918388018547000584352900320000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 16, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 22, 1, 3, 1, 1, 20, 8, 1, 1, 1, 1, 17, 3, 1, 1, 2, 4, 2, 2, 1, 5, 1, 1, 5, 6, 1, 1, 1, 14]
16	14365662242585012368392132880796944823/ 1134451103385600	10534522198396293262825	14365662242585012368392132880796944823/ 11950900331610771482824900828120320000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 16, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 6, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 31, 1, 10, 5, 1, 1, 1, 11, 1, 2, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 2, 11, 39]
17	120590281944220165054316733078740077141613381/ 306545704901339904000	327259338516161442321485	120590281944220165054316733078740077141613381/ 100319944610982925475355470520988827037440000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 16, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 6, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 5, 3, 1, 1, 2, 6, 3, 2, 21, 31, 3, 1, 20, 2, 1, 1, 45, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 6, 38, 5]
18	83668284422823479668615750270459069051925549/ 6812126775585331200	10217699252454924737153425	83668284422823479668615750270459069051925549/ 69604262662526415447251227767762073839360000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 16, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 6, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 4, 378, 3, 190, 5, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 14, 3, 1, 5, 1, 4, 1, 13, 9, 9, 1, 2, 4, 3, 3, 4, 1, 5, 2]
19	89992020702735963548504687159368221150445866910847/ 233621887768698933504000	320453816254421403579490445	89992020702735963548504687159368221150445866910847/ 74865025496041707189489625115514788159258369280000 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 16, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 6, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 4, 428, 7, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 12, 1, 1, 4, 1, 28, 2, 2, 5, 1, 35, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 1, 9, 7, 1, 1, 2, 1, 5, 2, 8, 1, 84, 17, 1, 1, 4]
20	33338907204591442108470222377672879064526073959663/ 2748492797278810982400	10090942470266994032842836001	33338907204591442108470222377672879064526073959663/ 27734882697283685349587539578392633767240897382400 [1, 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 30, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 16, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 6, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 4, 428, 5, 1, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 32, 2, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 29, 18, 19, 1, 6, 2, 1, 4, 5, 2, 12, 1, 1, 7, 5, 2]

■a_n ∈ Q
さらに、a_nの分母は、2*lcm(1,2,...,n)を割り切る。
[証明]
n >= 0に対して、次が成立する。
     a_n = Σ_j=0ⁿ{binomial(n,j)²binomial(n+j,n)²}-Σ_{0<=i,j<=n,i!=j}({(-1)^i+j}/{2|i-j|}*binomial(n,j)*binomial(n,i)*binomial(n+j,n)*bonomial(n+i,n)*Σ_k=min(i,j)+1^max(i,j){1/k²})
よって、a_n ∈ Qである。
各k=1,...,nに対して、k|lcm(1,2,...,n)より、
     2*lcm(1,2,...,n)³*Σ_j=0ⁿ{1/k³} ∈ Z
     2*lcm(1,2,...,n)³*(1/2|i-j|)*Σ_k=min(i,j)+1^max(i,j){1/k²} ∈ Z
であるので、
     2*lcm(1,2,...,n)³*a_n ∈ Z
を得る。
よって、a_nの分母は、2*lcm(1,2,...,n)³を割り切る。

■b_n ∈ Z
[証明]
n >= 0に対して、次が成立する。
     b_n = Σ_j=0ⁿ{binomial(n,j)²binomial(n+j,n)²}
ここで、
     binomial(n,j)={n!}/{j!(n-j)!} ∈ Z,
     binomial(n+j,n)={(n+j)!}/{n!j!} ∈ Z
であるので、
     b_n ∈ Z
を得る。

■a_nb_n-1-a_n-1b_n=6/n³
[証明]
     n³a_n-(n-1)³a_n-2 = (34n³-51n²+27n-5)a_n-1 ---- (1)
     n³b_n-(n-1)³b_n-2 = (34n³-51n²+27n-5)b_n-1 ---- (2)
(1)*b_n-1-(2)*a_n-1より、
     n³(a_nb_n-1-a_n-1b_n) = (n-1)³(a_n-1b_n-2-a_n-2b_n-1)
よって、
     n³(a_nb_n-1-a_n-1b_n) = 1³(a₁b₀-a₀b₁) = 6
つまり、
     a_nb_n-1-a_n-1b_n = 6/n³
を得る。

■ζ(3)は次のような連分数表示を持つ。
     ζ(3) = 6/(3-1⁶/(117-2⁶/(535-3⁶/(1465-4⁶/(...-n⁶/(34n³+51n²+27n+5-...))))))

■|ζ(3)-a_n/b_n| = Σ_m=n+1^∞{6}/{m³b_mb_m-1} = O(1/b_n²)

■b_n < αⁿ, ここで α=(1+sqrt{2})⁴である。

■lcm(1,2,...,n) ≪ eⁿ
[証明]
     lcm(1,2,...,n) = Π_p<=np^{[log(n)/log(p)]} <= Π_p<=nn = n^π(n) ≪ eⁿ

■p_n=2a_nlcm(1,2,..,n)³,q_n=2b_nlcm(1,2,..,n)³とすると、
     p_n,q_n ∈ Z
     q_n ≪ αⁿe³ⁿ
なので、
     |p_nζ(3)-q_n| = O(q_n^-δ)
が成立する。ここで、
     δ = (log(α)-3)/(log(α)+3) = 0.08052...
である。よって、ζ(3)は無理数である。

[2004.05.14追記]
     b_n = Σ_k=0ⁿ{binomial(n,k)²binomial(n+k,n)²} (n >= 0)
を証明する。
n >= 0に対して、
     F(n,k)=binomial(n,k)^2*binomial(n+k,n)^2,
     G(n,k)={-4(2n+3)(4n²+12n+8+3k-2k²)k⁴}/{(n+1-k)²(n+2-k)²}F(n,k)
とすると、
     (n+1)³F(n,k)-(17n²+51n+39)(2n+3)F(n+1,k)+(n+2)³F(n+2,k) = G(n,k+1)-G(n,k)
が成立する。

[pari/gpによる計算]

gp>  read("./zeta3.gp")
time = 12 ms.
gp>  ff(n,k)
time = 5 ms.
%17 = (-32*n^7 - 336*n^6 + (80*k^2 - 56*k - 1496)*n^5 + (600*k^2 - 420*k - 3660)*n^4 + (-32*k^4 + 80*k^3 + 1760*k^2 - 1248*k - 5312)*n^3 + (-144*k^4 + 360*k^3 + 2520*k^2 - 1836*k - 4572)*n^2 + (-216*k^4 + 544*k^3 + 1752*k^2 - 1336*k - 2160)*n + (-108*k^4 + 276*k^3 + 468*k^2 - 384*k - 432))/(n^4 + (-4*k + 6)*n^3 + (6*k^2 - 18*k + 13)*n^2 + (-4*k^3 + 18*k^2 - 26*k + 12)*n + (k^4 - 6*k^3 + 13*k^2 - 12*k + 4))
gp>  gg(n,k)
time = 26 ms.
%18 = (-32*n^7 - 336*n^6 + (80*k^2 - 56*k - 1496)*n^5 + (600*k^2 - 420*k - 3660)*n^4 + (-32*k^4 + 80*k^3 + 1760*k^2 - 1248*k - 5312)*n^3 + (-144*k^4 + 360*k^3 + 2520*k^2 - 1836*k - 4572)*n^2 + (-216*k^4 + 544*k^3 + 1752*k^2 - 1336*k - 2160)*n + (-108*k^4 + 276*k^3 + 468*k^2 - 384*k - 432))/(n^4 + (-4*k + 6)*n^3 + (6*k^2 - 18*k + 13)*n^2 + (-4*k^3 + 18*k^2 - 26*k + 12)*n + (k^4 - 6*k^3 + 13*k^2 - 12*k + 4))
gp>  ff(n,k)-gg(n,k)
time = 28 ms.
%19 = 0

一方、
     b_n = Σ_k=0ⁿF(n,k) = Σ_k=-∞^∞F(n,k)
なので、
     Σ_k=-∞^∞{(n+1)³F(n,k)-(17n²+51n+39)(2n+3)F(n+1,k)+(n+2)³F(n+2,k)} = Σ_k=-∞^∞{G(n,k+1)-G(n,k)}
より、
     (n+1)³Σ_k=-∞^∞{F(n,k)}-(17n²+51n+39)(2n+3)Σ_k=-∞^∞{F(n+1,k)}+(n+2)³Σ_k=-∞^∞{F(n+2,k)} = Σ_k=-1^n-1{G(n,k+1)}-Σ_k=0ⁿ{G(n,k)}
つまり、
     (n+1)³b_n-(17n²+51n+39)(2n+3)b_n+1+(n+2)³b_n+2 = 0
を得る。
最後に、nをn-2で置き換えると、n >=2 であり、
     (n-1)³b_n-2-(17n²-17n+5)(2n-1)b_n-1+n³b_n = 0
を得る。

[pari/gpにより計算]

gp>  w(n)=(17*n^2+51*n+39)*(2*n+1)
time = 10 ms.
gp>  w(n-2)
time = 10 ms.
%23 = 34*n^3 - 85*n^2 + 61*n - 15
gp>  w(n)=(17*n^2+51*n+39)*(2*n+3)
time = 8 ms.
gp>  w(n-2)
time = 17 ms.
%24 = 34*n^3 - 51*n^2 + 27*n - 5
gp>  factor(%24)
time = 97 ms.
%25 = 
[2*n - 1 1]

[17*n^2 - 17*n + 5 1]

[参考文献]

[1]J\"orn Steuding, "DiophantineAnalysis", March, 2003, p1-79.
[2]\'Edouard Lebreau, "Nombres irrationals, nombres transcendants", Le journal de maths des eleves, Vol.1, No.3, 1995, p128-133.
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[17]Tanguy Rivoal, "Valeurs aux entiers de la fonction z\^eta de Riemann", p1-11.
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[23]Nicolas Brisebarre, "A=B Preuves automatiques de certaines identit\'es, d'apr\`es M. Petkov\v sek, H, Wilf et D. Zeilberber", May 6, 2003, p1-62.
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[26]Frits Beukers, "Consequences of Ap\'ery's work on $\zeta(3)$", May 9, 2003, p1-6.

Last Update: 2007.08.05

H.Nakao

The irrationality of $\zeta(3)$

[2004.05.07]ζ(3)の無理数性

ζ(3)を良く近似する有理数列を計算するプログラム(pari/gp)

[参考文献]

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