Birational map between x^4+2x^3y+2x^2y^2+2xy^3+y^4=z^4 and Y^2=X^3+8X
[2002.07.28]x4+2x3y+2x2y2+2xy3+y4=z4からY2=X3+8Xへの双有理変換
■射影曲線
x4+2x3y+2x2y2+2xy3+y4=z4 ------- (1)
つまり、
(x2+y2)(x+y)2 = z4 -------- (2)
の有理点を求める。
(1),(2)の代わりに、z=1とした曲線
C: (x2+y2)(x+y)2 = 1 -------- (2')
の有理点を求めれば十分であることが直ちに分かる。
曲線Cから楕円曲線
E: Y2=X3+8X -------- (3)
への双有理変換を具体的に求めることができる。
(2)の自明な有理点[1 : -1 : 0]以外を考察する。
(2')でx+y!=0とする。両辺に1/(x+y)4を掛けて、
{x/(x+y)}2+{y/(x+y)}2 = {1/(x+y)}4
u=1/(x+y),w=x/(x+y),とすると、y/(x+y)=1-wなので、
w2+(1-w)2 = u4 ------ (4)
2w2-2w+1 = u4
両辺に2を掛けて、
4w2-4w+2 = 2u4
(2w-1)2 = 2u4-1
v=2w-1 [逆変換は、w=(v+1)/2]とすると、
v2 = 2u4-1 -------- (5)
となる。
曲線(5)と楕円曲線(3)との間の双有理変換は、既に分かっている。
(5)から(3)への有理変換(u,v)-->(X,Y)は、
X=2(v+2u2-1)/(u-1)2
Y=4((2u-1)v+2u3-1)/(u-1)3
であり、(3)から(5)への有理変換(X,Y)-->(u,v)は、
u=(Y-2X-8)/(Y-4X+8)
v=(Y2-24X2+48Y-16X-64)/(Y-4X+8)2
である。
よって、曲線(2')と楕円曲線(5)の間の双有理変換は、上記の各変換を合成して、以下のようになる。
u=1/(x+y),v=2w-1=(x-y)/(x+y)より、(2')から(3)への有理変換(x,y)-->(X,Y)は、
X=-4(y2+xy-1)/(x+y-1)2
Y=8(x3+2x2y+xy2-x2+y2-1)/(x+y-1)3
である。
x=(v+1)/{2u},y=-(v-1)/{2u}より、(3)から(2')への有理変換(X,Y)-->(x,y)は、
x=-(4X2+4XY-Y2+40X-32Y)/{(4X-Y-8)(2X-Y+8)}
y=4(5X2-XY-6X-4Y+16)/{(4X-Y-8)(2X-Y+8)}
である。
■楕円曲線(5)のねじれ点群は、
Etors(Q)={(0,0),O} \cong Z/2Z
である。
■楕円曲線(5)のMordell-Weil群のrankは1で、生成元は(1,-3)である。
E(Q)={m(1,-3), m(1,-3)+(0,0) : m \in Z} \cong Z+Z/2Z
■楕円曲線(5)の有理点から、曲線(1)の有理点をpari/gpで計算すると、以下のようになる。
曲線(1)の有理点は、これらに、[1 : -1 : 0]を追加したものである。
[119 : -120 : 13]
[-1 : 0 : 1]
[0 : 1 : 1]
[-2276953 : 473304 : 2048075]
[-473304 : 2276953 : 2048075]
[-119 : 120 : 13]
[-120 : 119 : 13]
[4565486027761 : 1061652293520 : 5135764561703]
[-1061652293520 : -4565486027761 : 5135764561703]
[2276953 : -473304 : 2048075]
[473304 : -2276953 : 2048075]
[1223746274969130365039 : -1319559556940881359600 : 415249038189318103511]
[1319559556940881359600 : -1223746274969130365039 : 415249038189318103511]
[-4565486027761 : -1061652293520 : 5135764561703]
[1061652293520 : 4565486027761 : 5135764561703]
[-54420629434406206268103685648441 : 21864804036399372236043874332600 : 43696202356681630705292570379109]
[-21864804036399372236043874332600 : 54420629434406206268103685648441 : 43696202356681630705292570379109]
[-1223746274969130365039 : 1319559556940881359600 : 415249038189318103511]
[-1319559556940881359600 : 1223746274969130365039 : 415249038189318103511]
[214038981475081188634947041892245670988588201 : 109945628264924023237017010068507003594693720 : 279211430663365370073513110246515355103722077]
[-109945628264924023237017010068507003594693720 : -214038981475081188634947041892245670988588201 : 279211430663365370073513110246515355103722077]
[54420629434406206268103685648441 : -21864804036399372236043874332600 : 43696202356681630705292570379109]
[21864804036399372236043874332600 : -54420629434406206268103685648441 : 43696202356681630705292570379109]
[128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647 : -158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496 : 78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496 : -128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647 : 78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[-214038981475081188634947041892245670988588201 : -109945628264924023237017010068507003594693720 : 279211430663365370073513110246515355103722077]
[109945628264924023237017010068507003594693720 : 214038981475081188634947041892245670988588201 : 279211430663365370073513110246515355103722077]
[-13779063329755623503992788103683929645944800365793516526874588373814352775841 : 8044461663446579613606055327261968870973242740175996822313750641823846066080 : 9565462455304462540296694871773041377031443817151096934649161597591167225007]
[-8044461663446579613606055327261968870973242740175996822313750641823846066080 : 13779063329755623503992788103683929645944800365793516526874588373814352775841 : 9565462455304462540296694871773041377031443817151096934649161597591167225007]
[-128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647 : 158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496 : 78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[-158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496 : 128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647 : 78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[101090445912315611189797633103062269281831072658850463814345155519536067859788318450595485833321 : 90600415152500364825256074903956700803695382187386257981355501221895481526026353330711612866200 : 161312702430425477749818281818620878887818963111488721517443901756115957348520425810189126528579]
[-90600415152500364825256074903956700803695382187386257981355501221895481526026353330711612866200 : -101090445912315611189797633103062269281831072658850463814345155519536067859788318450595485833321 : 161312702430425477749818281818620878887818963111488721517443901756115957348520425810189126528579]
[13779063329755623503992788103683929645944800365793516526874588373814352775841 : -8044461663446579613606055327261968870973242740175996822313750641823846066080 : 9565462455304462540296694871773041377031443817151096934649161597591167225007]
[8044461663446579613606055327261968870973242740175996822313750641823846066080 : -13779063329755623503992788103683929645944800365793516526874588373814352775841 : 9565462455304462540296694871773041377031443817151096934649161597591167225007]
[135951287434257630810020634681233321801534589672781446589583097158090073752196883290367461362599539670443245437539719 : -207205143062106795125518688295793668786965821648588362129410121817717714597343806705145935746065596039549487022241800 : 132884964988572220443389363708209270020066530217095807917191477194387498600522720845503788399031714123523421358413819]
[207205143062106795125518688295793668786965821648588362129410121817717714597343806705145935746065596039549487022241800 : -135951287434257630810020634681233321801534589672781446589583097158090073752196883290367461362599539670443245437539719 : 132884964988572220443389363708209270020066530217095807917191477194387498600522720845503788399031714123523421358413819]
[-101090445912315611189797633103062269281831072658850463814345155519536067859788318450595485833321 : -90600415152500364825256074903956700803695382187386257981355501221895481526026353330711612866200 : 161312702430425477749818281818620878887818963111488721517443901756115957348520425810189126528579]
[90600415152500364825256074903956700803695382187386257981355501221895481526026353330711612866200 : 101090445912315611189797633103062269281831072658850463814345155519536067859788318450595485833321 : 161312702430425477749818281818620878887818963111488721517443901756115957348520425810189126528579]
....
[参考文献]
- [1]Joseph H.Silverman, John Tate(著), 足立 恒雄, 木田 雅成, 小松 啓一, 田谷 久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
- [2]Alf van der Poorten(著), 山口 周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, ISBN4-627-06101-3, {3800円}.
| Last Update: 2005.06.12 |
| H.Nakao |
