Rational Points on Elliptic Curve: y^2=x^3+877x

[2002.04.19]y^2=x^3+877xの有理点

y^2=x^3+877xのグラフ(JPEG)

■楕円曲線E
     y²=x³+877x
の有理点を求める。
ここで、877は素数である。

■楕円曲線Eの判別式 Δ,j-不変量 j,導手 Nは、それぞれ、
     Δ = -43169672512
     j = 1728
     N = 49224256
である。

■楕円曲線Eは、２つのねじれ点(0,0),Oを持つ。
つまり、Eのねじれ点群E(Q)_torsは、Z/2Zに同型である。

■楕円曲線Eの有理点群のrankは、Cremonaのmwrankによって、0または1であることが分かる。
Bremner-Casselsによって、楕円曲線Eの有理点群のrankが1であることと、その生成元は、既に良く知られている。[1,2,4,5]
ここでは、FMV-Biblo LOOX T9/80W上で、mwrankを使って求める。
mwrankに与える引数を少し変えてみると、このように有理点群の生成元P
     (375494528127162193105504069942092792346201/6215987776871505425463220780697238044100,
         -256256267988926809388776834045513089648669153204356603464786949/
         490078023219787588959802933995928925096061616470779979261000)
が見つかり、有理点群のrankが1であることが確定する。

Pのx座標は、有理数の平方数であり、素因数分解すると、
         (612776083187947368101/78841535860683900210)²
         = ((41*9013*1658244549709897)/(2*3*5*37*53*577*4013*4337*133451))²
となる。

■他の有理点を計算してみる。
2P,3Pおよび2P+(0,0)を求めると、以下のようになる。
     2P = (11472589076204841027503850994111129000443596097387106034430620664607790165733763\
             25952386130596511427359987504859470507155421089124646528185143444335217912178813\
             5284801/163274791206799038737951080220049245767672550076466955120369778788382989\
             04784136809680724124636767269390852438747966021363935413061146410699221452272739\
             79088677216400,
             -5322830902999433189837600469352665585715151486153939512041083501445401674611807\
             1121511531729756085642856095983662349980166246109775550520488153568670687686098\
             7631673446156762013010595380267961545570843826250217401811097059227269432856186\
             0040502527201/65974894679425281678257769430049247939927922262556891824912946365\
             7438552718778540393147209090466542766504555893031597394239627212239406116561384\
             5332707335258427612227807368806938736108622066685338858209395589297929602876439\
             8060033735270526960712000)

     3P = (56178585520458416830033416237087819970312353993896197856400764697432647423389522\
             87430156053187835859184017290833379370900390428227056515123777476684824959674124\
             14505552744088001142867375167031695713715901300852704507367687485075764478653677\
             83169820371866176150201151001566776468334399920489437334734502082992259669346076\
             941299899125079070987765741574192877243272468566515801/4722009552490493278051772\
             00124084127152661147758068590404319131209209886162641613051557843947358175700139\
             99549869128649481389366796117177512401699608106475491768020016705731046051525123\
             65911345475420747228587110639643505932230906426689475629129573811960169862553307\
             32715772101369754007003564365156318823250393908888610662363130915069673730020892\
             48916389546160097876416636900,
             10489679980743678888087859698961841969187004534495848349781201947808154481515731\
             72806906809128174293621429340172144685133252321346666062742360306377985867262911\
             94625059670873616330926431804339847864509159409382034434239371630856340840147483\
             25209428465006469283502098553575490814709611434155014009390147612675058094515970\
             63856235839224255095862637196140296281504396397626684002391011079509389505838120\
             75232617786884785123494107503536122233964676245224307580282706332965430327550976\
             42448927264081247728248422456299946900158426203900350218520842801702545453634467\
             451/3244817622503196360363783540293435813739063938476606699515344256822188617020\
             35729360246416401783716029680085665859474254073716956480126331676081216306048214\
             22488594805566898585554589241486526303465072180816869888489309659829505390510610\
             82779481009432148186950731928104873585543129261372296385450990823838542474322855\
             02067787646070216491928208988606387879992606719408869509084413873610160936867507\
             91688930503171811951195085130352424152447189879242259273341432864249615060109584\
             37328488665652313276133669372787726004712028953533340726626111234937284629919168\
             47000)

     2P+(0,0) = (5451421280316310258131244624671477764675700/375494528127162193105504069942092792346201,
             28915277188538778175376314749786089767316948966312631462931224330/
             230094066204268982894707440563804275878997592508073394775934301)

[2016.06.19追記]
楕円曲線 E: y^2=x^3+877x は、analyticrank(E)=1なので、rank(E)=1であることが分かり、そのHeegner点を計算することにより、有理点を求めることができる。
Windows 10(x64)上のpari/gp-2.7.5(x64)により、楕円曲線EのHeegner点を計算すると、以下のようになる。

Reading GPRC: gprc.txt ...Done.

                  GP/PARI CALCULATOR Version 2.7.5 (released)
          amd64 running mingw (x86-64/GMP-6.0.0 kernel) 64-bit version
                compiled: Oct 26 2015, gcc version 4.9.3 (GCC)
                            threading engine: single
                 (readline v6.2 enabled, extended help enabled)

                     Copyright (C) 2000-2015 The PARI Group

PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and comes
WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.

Type ? for help, \q to quit.
Type ?12 for how to get moral (and possibly technical) support.

parisize = 256000000, primelimit = 500000
(00:54) gp > e=ellinit([0,0,0,877,0])
%1 = [0, 0, 0, 877, 0, 0, 1754, 0, -769129, -42096, 0, -43169672512, 1728, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, -1])], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
(00:55) gp > ellanalyticrank(e)
time = 10,865 ms.
%2 = [1, 32.700903561223938884738447573645575630]
(00:55) gp > P=ellheegner(e)
time = 6min, 167 ms.
%3 = [5451421280316310258131244624671477764675700/375494528127162193105504069942092792346201, 28915277188538778175376314749786089767316948966312631462931224330/230094066204268982894707440563804275878997592508073394775934301]
(01:01) gp > ellisoncurve(e,P)
%4 = 1
(01:01) gp > ellheight(e,P)
time = 1 ms.
%5 = 95.980371987963983972849693507545153976
(01:05) gp > elltors(e,1)
%6 = [2, [2], [[0, 0]]
(01:05) gp > elladd(e,P,[0,0])
%7 = [375494528127162193105504069942092792346201/6215987776871505425463220780697238044100, -256256267988926809388776834045513089648669153204356603464786949/490078023219787588959802933995928925096061616470779979261000]
(01:05) gp > ellheight(e,%7)
time = 1 ms.
%8 = 95.980371987963983972849693507545153976
(01:05) gp >

このように、楕円曲線Eの有理点
       (5451421280316310258131244624671477764675700/375494528127162193105504069942092792346201,
        28915277188538778175376314749786089767316948966312631462931224330/230094066204268982894707440563804275878997592508073394775934301),
       heihgt 95.98037198796

       (375494528127162193105504069942092792346201/6215987776871505425463220780697238044100,
        -256256267988926809388776834045513089648669153204356603464786949/490078023219787588959802933995928925096061616470779979261000)
       heihgt 95.98037198796
が計算できた。

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, p127, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, p235, ISBN0-387-96203-4.
[3]Joseph H. Silverman, "Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 151, Springer-Verlag New York Inc., 1994, ISBN0-387-94328-5.
[4]上野健爾, "代数幾何", 岩波講座応用数学2[基礎9], 岩波書店, 1993, p91, ISBN4-00-0105120-4, {3分冊合計 3495円}
[5]Alf van der Poorten(著), 山口周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, p209, ISBN4-627-06101-3, {3800円}.

Last Update: 2016.06.19

H.Nakao