Rational Points on Curve: x^4+2x^3y+2x^2y^2+2xy^3+y^4=z^4

[2002.07.27]x⁴+2x³y+2x²y²+2xy³+y⁴=z⁴の有理点

x^4+2x^3y+2x^2y^2+2xy^3+y^4=z^4の有理点を計算するプログラム(pari/gp)
x^4+2x^3y+2x^2y^2+2xy^3+y^4=1のグラフ(jpeg)

■射影曲線
     x⁴+2x³y+2x²y²+2xy³+y⁴=z⁴ ------- (1)
の有理点を求める。

曲線(1)の左辺は簡単に因数分解できて、
     (x²+y²)(x+y)² = z⁴ -------- (2)
となる。
(1)は自明な有理点[1 : 0 : ±1], [0 : 1 : ±1], [1 : -1 : 0]を持つことは直ちに分かる。
(x,y,z)!=(0,0,0)が(1)の解であるとすると、(y,x,z),(x,y,-z)も(1)の解であり、さらに、任意のd!=0に対して、(dx,dy,dz)も(1)の解である。
よって、(1)の有理点を求めるには、z=1である有理点(x,y,1)を求めれば、十分である。
(1),(2)の代わりに、z=1とした
     (x²+y²)(x+y)² = 1 -------- (2')
を考察する。
s=x+y, t=xy, v=x-y [(x,y)-->(v,t)の逆変換は、x={sqrt(v²+4*t)+v}/2,y={sqrt(v²+4*t)-v}/2であり、有理変換ではないことに注意する]とおくと、
     x²+y² = s²-2t ------ (3)
     v² = s²-4t
よって、
     s² = v²+4t ------ (3')
(2'),(3),(3')より、
     (v²+2t)(v²+4t) = 1
     v⁴+6tv²+8t² = 1 ------ (4)
1/v⁴を掛けて、
     1+6(t/v²)+8(t/v²)² = (1/v)⁴
ここで、S=t/v²,T=1/v[逆変換は、t=S/T²,v=1/T]とすると、
     1+6S+8S² = T⁴ ------ (5)
両辺に8を掛けて、
     8+48S+64S² = 8T⁴
     (8S+3)² = 1+8T⁴
両辺に1/T⁴を掛けて、
     {(8S+3)/T²}² = (1/T)⁴+8
ここで、U=1/T, V=(8S+3)/T² [逆変換は、S=(V-3U²)/{8U²}, T=1/U]とすると、
     V² = U⁴+8 ------ (6)
さらに、U=Y/{2X},V=(64X+Y²)/{4X²} [逆変換は、X=16/(V-U²),Y=32U/(V-U²)]とすると、
     E: Y² = X³-32X ------- (7)
となり、楕円曲線の有理点を求める問題に帰着できることが分かる。

楕円曲線Eのねじれ点群は、E_tors(Q) = {(0,0), O}であり、Z/2Zと同型である。
Cremonaのmwrankで楕円曲線EのMordell-Weil群を調べると、そのrankは1であることが分かり、その生成元は、(-4,-8)である。
よって、E(Q) = {m(-4,-8),m(-4,-8)+(0,0):m \in Z}である。

よって、(7)の有理点をpari/gpで計算すると、

[0,0]
[-4, -8]
[8, -16]
[-4, 8]
[8, 16]
[9, 21]
[-32/9, 224/27]
[9, -21]
[-32/9, -224/27]
[-4/169, -1912/2197]
[1352, -49712]
[-4/169, 1912/2197]
[1352, 49712]
[12769/1764, -900271/74088]
[-56448/12769, -10707648/1442897]
[12769/1764, 900271/74088]
[-56448/12769, 10707648/1442897]
[-7214596/2325625, 29548761208/3546578125]
[18605000/1803649, 67106270800/2422300607]
[-7214596/2325625, -29548761208/3546578125]
[18605000/1803649, -67106270800/2422300607]
....

となる。
(7)-->(6)の有理変換から、(6)の有理点を計算すると、

[1, -3]
[-1, 3]
[-1, -3]
[1, 3]
[7/6, 113/36]
[-7/6, -113/36]
[-7/6, 113/36]
[7/6, -113/36]
[239/13, -57123/169]
[-239/13, 57123/169]
[-239/13, -57123/169]
[239/13, 57123/169]
[-7967/9492, 262621633/90098064]
[7967/9492, -262621633/90098064]
[7967/9492, 262621633/90098064]
[-7967/9492, -262621633/90098064]
[-2750257/2048075, -14070212996451/4194611205625]
[2750257/2048075, 14070212996451/4194611205625]
[2750257/2048075, -14070212996451/4194611205625]
[-2750257/2048075, 14070212996451/4194611205625]
....

となる。
(6)-->(5)の有理変換から、(5)の有理点を計算すると、

[-3/4, 1]
[0, -1]
[-3/4, -1]
[0, 1]
[-17/196, 6/7]
[-65/98, -6/7]
[-17/196, -6/7]
[-65/98, 6/7]
[-114243/228484, 13/239]
[-14280/57121, -13/239]
[-114243/228484, -13/239]
[-14280/57121, 13/239]
[36101183/253892356, -9492/7967]
[-113260225/126946178, 9492/7967]
[36101183/253892356, 9492/7967]
[-113260225/126946178, -9492/7967]
[-18380976847299/30255654264196, -2048075/2750257]
[-1077690962712/7563913566049, 2048075/2750257]
[-18380976847299/30255654264196, 2048075/2750257]
[-1077690962712/7563913566049, -2048075/2750257]
....

となる。
(5)-->(4)の有理変換から、(4)の有理点を計算すると、

[1, -3/4]
[-1, 0]
[-1, -3/4]
[1, 0]
[7/6, -17/144]
[-7/6, -65/72]
[-7/6, -17/144]
[7/6, -65/72]
[239/13, -114243/676]
[-239/13, -14280/169]
[-239/13, -114243/676]
[239/13, -14280/169]
[-7967/9492, 36101183/360392256]
[7967/9492, -113260225/180196128]
[7967/9492, 36101183/360392256]
[-7967/9492, -113260225/180196128]
[-2750257/2048075, -18380976847299/16778444822500]
[2750257/2048075, -1077690962712/4194611205625]
[2750257/2048075, -18380976847299/16778444822500]
[-2750257/2048075, -1077690962712/4194611205625]
....

となる。
(2')の有理点を計算すると、以下のようになる。

[0, 1]
[-1, 0]
[1, 0]
[0, -1]
[-119/13, 120/13]
[-120/13, 119/13]
[120/13, -119/13]
[119/13, -120/13]
[2276953/2048075, -473304/2048075]
[473304/2048075, -2276953/2048075]
[-473304/2048075, 2276953/2048075]
[-2276953/2048075, 473304/2048075]
[1061652293520/5135764561703, 4565486027761/5135764561703]
[-4565486027761/5135764561703, -1061652293520/5135764561703]
[4565486027761/5135764561703, 1061652293520/5135764561703]
[-1061652293520/5135764561703, -4565486027761/5135764561703]
[-1223746274969130365039/415249038189318103511, 1319559556940881359600/415249038189318103511]
[-1319559556940881359600/415249038189318103511, 1223746274969130365039/415249038189318103511]
[1319559556940881359600/415249038189318103511, -1223746274969130365039/415249038189318103511]
[1223746274969130365039/415249038189318103511, -1319559556940881359600/415249038189318103511]
[54420629434406206268103685648441/43696202356681630705292570379109, -21864804036399372236043874332600/43696202356681630705292570379109]
[21864804036399372236043874332600/43696202356681630705292570379109, -54420629434406206268103685648441/43696202356681630705292570379109]
[-21864804036399372236043874332600/43696202356681630705292570379109, 54420629434406206268103685648441/43696202356681630705292570379109]
[-54420629434406206268103685648441/43696202356681630705292570379109, 21864804036399372236043874332600/43696202356681630705292570379109]
[109945628264924023237017010068507003594693720/279211430663365370073513110246515355103722077, 214038981475081188634947041892245670988588201/279211430663365370073513110246515355103722077]
[-214038981475081188634947041892245670988588201/279211430663365370073513110246515355103722077, -109945628264924023237017010068507003594693720/279211430663365370073513110246515355103722077]
[214038981475081188634947041892245670988588201/279211430663365370073513110246515355103722077, 109945628264924023237017010068507003594693720/279211430663365370073513110246515355103722077]
[-109945628264924023237017010068507003594693720/279211430663365370073513110246515355103722077, -214038981475081188634947041892245670988588201/279211430663365370073513110246515355103722077]
[-128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647/78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225, 158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496/78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[-158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496/78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225, 128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647/78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496/78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225, -128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647/78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647/78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225, -158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496/78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
....

よって、(1)の有理点を計算すると、以下のようになる。

[0, 1, 1]
[-1, 0, 1]
[1, 0, 1]
[0, -1, 1]
[-119, 120, 13]
[-120, 119, 13]
[120, -119, 13]
[119, -120, 13]
[2276953, -473304, 2048075]
[473304, -2276953, 2048075]
[-473304, 2276953, 2048075]
[-2276953, 473304, 2048075]
[1061652293520, 4565486027761, 5135764561703]
[-4565486027761, -1061652293520, 5135764561703]
[4565486027761, 1061652293520, 5135764561703]
[-1061652293520, -4565486027761, 5135764561703]
[-1223746274969130365039, 1319559556940881359600, 415249038189318103511]
[-1319559556940881359600, 1223746274969130365039, 415249038189318103511]
[1319559556940881359600, -1223746274969130365039, 415249038189318103511]
[1223746274969130365039, -1319559556940881359600, 415249038189318103511]
[54420629434406206268103685648441, -21864804036399372236043874332600, 43696202356681630705292570379109]
[21864804036399372236043874332600, -54420629434406206268103685648441, 43696202356681630705292570379109]
[-21864804036399372236043874332600, 54420629434406206268103685648441, 43696202356681630705292570379109]
[-54420629434406206268103685648441, 21864804036399372236043874332600, 43696202356681630705292570379109]
[109945628264924023237017010068507003594693720, 214038981475081188634947041892245670988588201, 279211430663365370073513110246515355103722077]
[-214038981475081188634947041892245670988588201, -109945628264924023237017010068507003594693720, 279211430663365370073513110246515355103722077]
[214038981475081188634947041892245670988588201, 109945628264924023237017010068507003594693720, 279211430663365370073513110246515355103722077]
[-109945628264924023237017010068507003594693720, -214038981475081188634947041892245670988588201, 279211430663365370073513110246515355103722077]
[-128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647, 158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496, 78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[-158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496, 128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647, 78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496, -128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647, 78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
[128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647, -158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496, 78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
....

■曲線(1)の有理点で、本質的に異なるものは、以下の通りである。

[1 : -1 : 0]
[0 : 1 : 1]
[-119 : 120 : 13]
[-473304 : 2276953 : 2048075]
[1061652293520 : 4565486027761 : 5135764561703]
[-1223746274969130365039 : 1319559556940881359600 : 415249038189318103511]
[-21864804036399372236043874332600 : 54420629434406206268103685648441 : 43696202356681630705292570379109]
[109945628264924023237017010068507003594693720 : 214038981475081188634947041892245670988588201 : 279211430663365370073513110246515355103722077]
[-128600573119168516286052060745905579832163412806814636735647 : 158757861479135991999273467976683422870482292936058749358496 : 78494619671344635711384228104442580653673502896864950274225]
....

[参考文献]

[1]Joseph H.Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Alf van der Poorten(著), 山口周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, ISBN4-627-06101-3, {3800円}.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao