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Integral Points on Elliptic Curves: x^3-2y^3=c (c \in [1..100])

[2004.05.23]x^3-2y^3=c (c \in [1..100])の整点

■cを正整数とする。楕円曲線
     Cc: x3-2y3 = c ----- (1)
の整点を求める。

■2(1/3)の有理数による近似
2(1/3)は無理数である。
Backerの定理(1967, [1]p233, [3]p57-58 Thoerem 30)によると、任意の有理数x/y(x,yは整数)に対して、
     |(x/y)-2(1/3)| >= 10-6/|y|2.9955 ----- (2)
が成立する。

簡単のために、β=2(1/3)とすると、Thue方程式(1)の任意の整数解(x,y)に対して、
     c = x3-2y3 = |x-βy|・|x2+βxy+β2y2| = (3/4)β2・|x-βy|
より、
     |β-(x/y)| <= 4c/(3β2|y|3)
     |2(1/3)-(x/y)| <= 4c/(3・2(2/3)|y|3) ------ (3)
を得る。(2),(3)より、
     10-6/|y|2.9955 <= 4c/(3・2(2/3)|y|3)
     |y|0.0045 <= 106・2(4/3)c/3
     |y| <= {106・2(4/3)/3}(10000/45)c(10000/45) <= 101317c223
つまり、
     |y| <= 101317c223
を得る。
よって、(1)の解(x,y)に対する|y|は、上界101317c223を持つ。
ただし、この上界は、実際の整数解(x,y)と比較すると、大き過ぎる。

■c=1,...,100について、楕円曲線Ccの整点をThue方程式の整数解と見なして、pari/gpで求めると、以下のようになる。

c Cc(Z)
1 [1, 0], [-1, -1]
2 [0, -1]
3 [1, -1], [-5, -4]
4 -
5 -
6 [2, 1]
7 -
8 [2, 0], [-2, -2]
9 -
10 [2, -1], [4, 3]
11 [3, 2]
12 -
13 -
14 -
15 [-1, -2]
16 [0, -2]
17 [1, -2]
18 -
19 -
20 -
21 -
22 -
23 -
24 [2, -2], [-10, -8]
25 [3, 1]
  
c Cc(Z)
26 -
27 [3, 0], [-3, -3]
28 -
29 [3, -1]
30 -
31 -
32 -
33 -
34 [-6, -5]
35 -
36 -
37 -
38 -
39 -
40 -
41 -
42 -
43 [3, -2], [9, 7]
44 -
45 -
46 [-2, -3]
47 [63, 50]
48 [4, 2]
49 -
50 -
  
c Cc(Z)
51 -
52 -
53 [-1, -3]
54 [0, -3]
55 [1, -3], [29, 23]
56 -
57 -
58 -
59 -
60 -
61 -
62 [2, -3], [4, 1], [-34, -27]
63 -
64 [4, 0], [-4, -4]
65 -
66 [4, -1]
67 -
68 -
69 -
70 -
71 [5, 3]
72 -
73 -
74 -
75 -
  
c Cc(Z)
76 -
77 -
78 -
79 -
80 [4, -2], [8, 6]
81 [3, -3], [-15, -12]
82 [14, 11]
83 -
84 -
85 -
16 -
87 -
88 [6, 4]
89 [-7, -6]
90 -
91 -
92 -
93 [7, 5]
94 -
95 -
96 -
97 -
98 -
99 -
100 -

ここで、cが完全立方数であるとき、つまり、
     c = α3 (α ∈ Z, α > 0)
であるとき、
     Cc(Z) = {(α,0),(-α,-α)}
であることは、容易に分かる。

■c=1,...,500000について、楕円曲線Ccの整点をpari/gpで求めると、このようになる。
ただし、Ccが整点(x,y)を持たないものは一覧から除く。

c=1,...,500000の中で、
#Cc(Z)=0となるcは、488045個(97.6%),
#Cc(Z)=1となるcは、 11150個(2.23%),
#Cc(Z)=2となるcは、 648個(0.130%),
#Cc(Z)=3となるcは、 139個(0.0278%),
#Cc(Z)=4となるcは、 18個(0.00360%),
#Cc(Z)>=5となるcは、 0個(0%)
である。

ここで、
     {c \in [1..500000] | #Cc(Z)=4 }
       = { 899, 7192, 7750, 24273, 39302, 57536, 62000, 68923, 82522, 112375, 194184, 209250, 236629, 304606, 308357, 314416, 460288, 496000 }
である。

Ccの整数解(x,y)に対して、max{|y|}/cが比較的大きくなるcは、以下のようになる。
gp>  read("zzz.gp")
ii=11955
time = 1,852 ms.
%1 = [11150, 648, 139, 18, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
gp>  vpr(v,30)
3.319310344827586206896551724 ;thue(th,1450)=[[-2, -9], [-6064, -4813]]
2.371555224898477944139619951 ;thue(th,32259)=[[-96389, -76504]]
1.992094861660079051383399209 ;thue(th,253)=[[5, -4], [-635, -504]]
1.333333333333333333333333333 ;thue(th,3)=[[1, -1], [-5, -4]]
1.063829787234042553191489361 ;thue(th,47)=[[63, 50]]
1.000000000000000000000000000 ;thue(th,1)=[[1, 0], [-1, -1]]
0.8298275862068965517241379310 ;thue(th,11600)=[[-4, -18], [-12128, -9626]]
0.5928888062246194860349049877 ;thue(th,258072)=[[-192778, -153008]]
0.5000000000000000000000000000 ;thue(th,2)=[[0, -1]]
0.4980237154150197628458498023 ;thue(th,2024)=[[10, -8], [-1270, -1008]]
0.4450980392156862745098039215 ;thue(th,510)=[[8, 1], [-286, -227]]
0.4354838709677419354838709677 ;thue(th,62)=[[2, -3], [4, 1], [-34, -27]]
0.4181818181818181818181818181 ;thue(th,55)=[[1, -3], [29, 23]]
0.4055636896046852122986822840 ;thue(th,683)=[[349, 277]]
0.3688122605363984674329501915 ;thue(th,39150)=[[-6, -27], [-18192, -14439]]
0.3333333333333333333333333333 ;thue(th,24)=[[2, -2], [-10, -8]]
0.2999999999999999999999999999 ;thue(th,10)=[[2, -1], [4, 3]]
0.2659574468085106382978723404 ;thue(th,376)=[[126, 100]]
0.2500000000000000000000000000 ;thue(th,8)=[[2, 0], [-2, -2]]
0.2486296232185101840632392822 ;thue(th,17331)=[[11, -20], [5429, 4309]]
0.2443597618130566529076326849 ;thue(th,293383)=[[90325, 71691], [23, -52]]
0.2213438735177865612648221343 ;thue(th,6831)=[[15, -12], [-1905, -1512]]
0.2074568965517241379310344827 ;thue(th,92800)=[[-8, -36], [-24256, -19252]]
0.1968854282536151279199110122 ;thue(th,899)=[[-5, -8], [-223, -177], [43, 34], [11, 6]]
0.1959287531806615776081424936 ;thue(th,393)=[[-97, -77]]
0.1818181818181818181818181818 ;thue(th,11)=[[3, 2]]
0.1805644067156805055634630031 ;thue(th,450349)=[[-102453, -81317]]
0.1792452830188679245283018867 ;thue(th,106)=[[24, 19]]
0.1776656530891836802887025094 ;thue(th,29927)=[[-6699, -5317]]
0.1666666666666666666666666666 ;thue(th,6)=[[2, 1]]
time = 87 ms.

[2004.07.28追記]
c=500001,...,1000000について、楕円曲線Ccの整点をpari/gpで求めると、このようになる。
ただし、Ccが整点(x,y)を持たないものは一覧から除く。

c=500001,...,1000000の中で、
#Cc(Z)=0となるcは、492603個(98.5%),
#Cc(Z)=1となるcは、 7057個(1.51%),
#Cc(Z)=2となるcは、 284個(0.0568%),
#Cc(Z)=3となるcは、 50個(0.0100%),
#Cc(Z)=4となるcは、 6個(0.00120%),
#Cc(Z)>=5となるcは、 0個(0%)
である。

[参考文献]

Last Update: 2005.06.12
H.Nakao

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