Rational Points of a Selmer Curve: X^3-2Y^3-3Z^3=0

Rational Points of a Selmer Curve: X^3-2Y^3-3Z^3 = 0

[2004.05.31]X^3-2Y^3-3Z^3=0の有理点

X^3-2Y^3-3Y^3=0の有理点を求めるプログラム(pari/gp)

■Selmer曲線(楕円曲線)
C: X³-2Y³-3Z³ = 0
の有理点[X:Y:Z]を求める。

ここで、X,Y,Zをgcd(X,Y,Z)=1である整数として良い。
(1/2),(1/3),(-2/3)はいずれも有理数の完全立方数ではないので、XYZ!=0であることは容易に得られる。

max{|X|,|Y|} <= 1000, Z > 0の範囲で、Cを満たす[X:Y:Z]をpari/gpで探すと、
[-5:-4:1], [1:-1:1], [655:488:253]
の３個の有理点を得る。

[pari/gpによる計算]

gp>  read("x3m2y3m3.gp")
time = 23 ms.
gp>  find(1000)
[-5, -4, 1]
[1, -1, 1]
[655, 488, 253]
time = 3mn, 47,542 ms.

■Nagellのアルゴリズム(参考文献[1],p115-117)を使って、Selmer曲線CをWeierstrass標準形に変換する。
ここでは、X,Y,Zの代わりに、U,V,Wを使用する。
     C: U³-2V³-3W³ = 0
u=U/W,v=V/Wとすると、曲線
     C': u³-2v³-3 = 0
を得る。
曲線C'は有理点(1,-1)を持つので、u-1,v+1を改めて、u,vとすると、曲線
     C'₂: u³-2v³-3u²+6v²+3u-6v = 0
を得る。
     F₃(U,V)=U³-2V³,
     F₂(U,V)=-3U²+6V²,
     F₁(U,V)=3U-6V
とする。
曲線C'₂は有理点P(0,0)[射影座標では[0:0:1]]を持つ。
Pにおける接線F₁=0つまり3U-6V=0がC'₂自身と交わる点をQとすると、
     Q[-6:-3:1]
である。
座標変換
     U=U'-6W', V=V'-3W', W=W'
により、曲線
     C₃: U'³-2V'³+(-15U'²+24V'²)W'+(75U'-96V')W'² = 0
を得る。u'=U'/W', v'=V'/W'とすると、曲線
     C'₃: u'²φ₃+u'φ₂+φ₁ = 0
を得る。ここで、
     v' = tu',
     φ₃ = f'₃(1,t) = 1-2t³,
     φ₂ = f'₂(1,t) = -15+24t²,
     φ₁ = f'₁(1,t) = 75-96t
である。
よって、
     u' = (-φ₂±√δ)/(2φ₃)
     δ = φ₂²-4φ₁φ₃ = -192t⁴ + 600t³ - 720t² + 384t - 75
を得る。
ここで、t=1/2+1/τ, ρ=τ⁴δとすると、
     ρ = 18τ³-108τ²+216τ-192
となる。
τは有理数であり、δは有理数の平方数であるので、ρも有理数の平方数である。
よって、τ=x/18, ρ=y²/18²とすると、x,yは有理数であり、Weierstrass標準形の楕円曲線
     E: y² = x³-108x²+3888x-62208
を得る。

[pari/gpによる計算]

gp>  f(t)=(-15+24*t^2)^2-4*(1-2*t^3)*(75-96*t)
time = 0 ms.
gp>  f(t)
time = 2 ms.
%3 = -192*t^4 + 600*t^3 - 720*t^2 + 384*t - 75
gp>  f(1/2+18/x)*(x/18)^4
time = 11 ms.
%4 = 1/324*x^3 - 1/3*x^2 + 12*x - 192
gp>  f(1/2+18/x)*(x/18)^4*18^2
time = 6 ms.
%5 = x^3 - 108*x^2 + 3888*x - 62208

以上の各有理変換を合成すると、楕円曲線C': u³-2v³-3 = 0から楕円曲線E: y² = x³-108x²+3888x-62208への双有理変換
     x = {36(u+5)}/{2v-u+3},
     y = {216(5u²-8v²+3)}/{(2v-u+3)²}
[逆変換は、
     u = {x³ - 108x² + 12xy + 1296x + 77760}/{x³ - 36x² - 1296x - 15552},
     v = {-x³ + 108x² + 6xy - 2592x + 216y - 31104}/{x³ - 36x² - 1296x - 15552}
]
を得る。

[pari/gpによる計算]

gp>  g(x)=x^3 - 108*x^2 + 3888*x - 62208
time = 0 ms.
gp>  g(36*(u+5)/(2*v-u+3))*(2*v-u+3)^4
time = 6 ms.
%24 = -388800*u^4 + (1990656*v + 186624)*u^3 + (-3732480*v^2 + 1399680)*u^2 + (3110400*v^3 + 4665600)*u + (-995328*v^4 - 373248*v^3 - 2239488*v^2 - 5971968*v - 139968)
gp>  gg(u,v,u3,v3)=-388800*u^4 + (1990656*v + 186624)*u3 + (-3732480*v^ + 1399680)*u^2 + (3110400*v3 + 4665600)*u + (-995328*v^4 - 373248*v^3 - 2239488*v^2 - 5971968*v - 139968)
time = 0 ms.
gp>  gg(u,v,2*v^3+3,(u^3-3)/2)
time = 2 ms.
%25 = 1166400*u^4 + (-3732480*v^2 + 1399680)*u^2 + (2985984*v^4 - 2239488*v^2 + 419904)
gp>  sqrt(46656)
time = 0 ms.
%26 = 216.0000000000000000000000000

[asirによる計算]

[1] fctr(1166400*u^4 + (-3732480*v^2 + 1399680)*u^2 + (2985984*v^4 - 2239488*v^2 + 419904));
[[46656,1],[5*u^2-8*v^2+3,2]]

■楕円曲線EのMordell-Weil群E(Q)を求める。
楕円曲線Eのねじれ点群E(Q)_torsは自明な群{O}である。
Cremonaのmwrank3により、Mordell-Weil群E(Q)のrankは1、その生成元は(64,80)である。

E(Q) = { n(64,80) : n ∈ Z } \cong Z

[pari/gpによる計算]

gp>  e=ellinit([0, -108, 0, 3888, -62208])
time = 27 ms.
%1 = [0, -108, 0, 3888, -62208, -432, 7776, -248832, 11757312, 0, 13436928, -104485552128, 0, [60.96100587662284937436068189, 23.51949706168857531281965905 - 21.61686519316804908015837697*I, 23.51949706168857531281965905 + 21.61686519316804908015837697*I]~, 0.4861093857100564298972304561, 0.2430546928550282149486152280 + 0.4209830770429570495600316702*I, -3.731257650137354094718453637 + 0.E-28*I, -1.865628825068677047359226818 - 9.694091739251933361098354000*I, 0.2046438249756812106753143162]
gp>  elltors(e,1)
time = 121 ms.
%2 = [1, [], []]

[mwrank3による計算]

bash-2.05a$ mwrank3
Program mwrank: uses 2-descent (via 2-isogeny if possible) to
determine the rank of an elliptic curve E over Q, and list a
set of points which generate E(Q) modulo 2E(Q).
and finally search for further points on the curve.
For more details see the file mwrank.doc.
For details of algorithms see the author's book.

Please acknowledge use of this program in published work, 
and send problems to John.Cremona@nottingham.ac.uk.

Version compiled on Feb 11 2003 at 17:40:15 by GCC 3.2.1
using base arithmetic option LiDIA_ALL (LiDIA bigints and multiprecision floating point)
Using LiDIA multiprecision floating point with 15 decimal places.
Enter curve: [0, -108, 0, 3888, -62208]

Curve [0,-108,0,3888,-62208] :  Working with minimal curve [0,0,0,0,-243]
        [u,r,s,t] = [2,36,0,0]
No points of order 2
Basic pair: I=0, J=6561
disc=-43046721
2-adic index bound = 2
2-adic index = 2
Two (I,J) pairs
Looking for quartics with I = 0, J = 6561
Looking for Type 3 quartics:
Trying positive a from 1 up to 3 (square a first...)
Trying positive a from 1 up to 3 (...then non-square a)
Trying negative a from -1 down to -5
(-3,0,0,9,0)    --trivial
Finished looking for Type 3 quartics.
Looking for quartics with I = 0, J = 419904
Looking for Type 3 quartics:
Trying positive a from 1 up to 14 (square a first...)
(1,0,-42,80,-147)       --nontrivial...(x:y:z) = (1 : 1 : 0)
Point = [7 : 10 : 1]
        height = 2.44408632170048
Doubling global 2-adic index to 2
global 2-adic index is equal to local index
so we abort the search for large quartics
Rank of B=im(eps) increases to 1
Exiting search for large quartics after finding enough globally soluble ones.
Mordell rank contribution from B=im(eps) = 1
Selmer  rank contribution from B=im(eps) = 1
Sha     rank contribution from B=im(eps) = 0
Mordell rank contribution from A=ker(eps) = 0
Selmer  rank contribution from A=ker(eps) = 0
Sha     rank contribution from A=ker(eps) = 0
Rank = 1
Points generating E(Q)/2E(Q):
Point [64 : 80 : 1], height = 2.44408632170048
After descent, rank of points found is 1
Transferring points back to original curve [0,-108,0,3888,-62208]

Generator 1 is [64 : 80 : 1]; height 2.44408632170048

The rank has been determined unconditionally.
The basis given is for a subgroup of full rank of the Mordell-Weil group
 (modulo torsion), possibly of index greater than 1.
Regulator (of this subgroup) = 2.44408632170048

 (5.5 seconds)
Enter curve: [0,0,0,0,0]

bash-2.05a$

■楕円曲線E: y² = x³-108x²+3888x-62208の有理点(x,y)をいくつか求めると、以下のようになる。

[pari/gpによる計算]

gp>  read("x3m2y3m3.gp")
time = 25 ms.
gp>  rpE(10)
[0]
[64, 80]
[64, -80]
[19609/100, -2021723/1000]
[19609/100, 2021723/1000]
[17636085184/174477681, 1175338498126960/2304675688329]
[17636085184/174477681, -1175338498126960/2304675688329]
[126533396204360161/1634945555491600, -15555812914322611749235441/66108140665702880536000]
[126533396204360161/1634945555491600, 15555812914322611749235441/66108140665702880536000]
[1431368917622697402484652224/2748049948733834191932241, 48634161677528352645166181049924808355600/4555509255479338169817728682404755289]
[1431368917622697402484652224/2748049948733834191932241, -48634161677528352645166181049924808355600/4555509255479338169817728682404755289]
[229826172401773460686594866728241804889/3766047815433653993412616470370848900, -80549792656857714540591189567969163783229307039281920763/7308508300995255104188282694593493205652950930540987000]
[229826172401773460686594866728241804889/3766047815433653993412616470370848900, 80549792656857714540591189567969163783229307039281920763/7308508300995255104188282694593493205652950930540987000]
[41982316536154499242616070722217239072828592890814784/45654150956000824329693651613352716655043445042081, -8101753678206258749524359197208111911968222358955307165638710714634169271379760/308475307434160081847976431995971856325250799427330662439629991660968286479]
[41982316536154499242616070722217239072828592890814784/45654150956000824329693651613352716655043445042081, 8101753678206258749524359197208111911968222358955307165638710714634169271379760/308475307434160081847976431995971856325250799427330662439629991660968286479]
[114743992491523985774235109372402350710639226117948761361403406778241/1582518184231558850667992498795812083139796332949932311761175438400, 362212296076083732858963263422807716904365300962187463935672704617510133268989810350398430864093400639/1990779058270675348755970660598675466582049252203973156807309740757423650746975185637578651206848000]
[114743992491523985774235109372402350710639226117948761361403406778241/1582518184231558850667992498795812083139796332949932311761175438400, -362212296076083732858963263422807716904365300962187463935672704617510133268989810350398430864093400639/1990779058270675348755970660598675466582049252203973156807309740757423650746975185637578651206848000]
[456923188486332270293077263372298166849702610147082430433080929691956604503242724243264/3970017026473293414576601674795388508111604793663376624045638385469318233878486824801, -5476019780468711261724490578403347830101837304328782982349061125005128917821917285198725356804168952532065307294949779036416544720/7910219849099107935094931620613943517370204543451458315853335424956901278471658455369947167859245225469659849468658355271122799]
[456923188486332270293077263372298166849702610147082430433080929691956604503242724243264/3970017026473293414576601674795388508111604793663376624045638385469318233878486824801, 5476019780468711261724490578403347830101837304328782982349061125005128917821917285198725356804168952532065307294949779036416544720/7910219849099107935094931620613943517370204543451458315853335424956901278471658455369947167859245225469659849468658355271122799]
[15982232606043652173403152287288658736893149605326999999843568021870202139783211871966342924815868035660249/101561128205780303049212501440946804219065441161347801746079735083763830297413506435768826833366498402500, 1362503347986107528122108842655325203497385295696288660433457506934718804485938255870502345300149019064717989874577371264997227427309209762527286581672571567557/1023508078724656216270940736798166329529735956809262074061896534296589908536109529410924470233463624633302907492302668525446083796746394506896697474580125000]
[15982232606043652173403152287288658736893149605326999999843568021870202139783211871966342924815868035660249/101561128205780303049212501440946804219065441161347801746079735083763830297413506435768826833366498402500, -1362503347986107528122108842655325203497385295696288660433457506934718804485938255870502345300149019064717989874577371264997227427309209762527286581672571567557/1023508078724656216270940736798166329529735956809262074061896534296589908536109529410924470233463624633302907492302668525446083796746394506896697474580125000]
time = 322 ms.

■楕円曲線C': u³-2v³ = 3の有理点(u,v)をいくつか求めると、以下のようになる。

[pari/gpによる計算]

gp>  rpC(10)
[1, -1]
[655/253, 488/253]
[-5, -4]
[-56829019/322184141, -369033521/322184141]
[26309/18269, -3449/18269]
[483407899445154725/331181768668393439, 125896480637499244/331181768668393439]
[-120418942015/129900299507, -160841972528/129900299507]
[-645141681199796715762969576431/380737323320831566250511476449, -600965611115311695257886071689/380737323320831566250511476449]
[2448019471461667668049/1516051662263738506369, 1282299793323988869671/1516051662263738506369]
[1793984047837470883062951691301324725262602495/1307858335918621966586468212651205223746821453, -776816163261079460156066892355332760791625312/1307858335918621966586468212651205223746821453]
[11413817533850662496182055198963515/32443214040144819428485331539350721, -36957652843867563353499877552601884/32443214040144819428485331539350721]
[7304759680742448522771772535417358085843857537890512849887965851/402511456427902039227427163921507185946643455427951593197551331, 5796821421020054309305727041509617981162280399787645494198086729/402511456427902039227427163921507185946643455427951593197551331]
[1329467930388101435786027575939842745344796318109381/191292538654965553056918519957488149872700168458701, 1052046618423424785525584776754888955871105143081439/191292538654965553056918519957488149872700168458701]
[15267280021806202415368576157398788109654564148015198769695261099351505189761045953445/28634337820940323287405730447973351975785772033498536197933430632195719321472054463199, -32216533831062414222550408721695382098639762175933750546013428723169628691222093626796/28634337820940323287405730447973351975785772033498536197933430632195719321472054463199]
[50749372219838934627984629667956105830661963807043003778886093451223025/38733430910055943915211524952421928667825808305362533456587251803588227, -27941176329466683506926425731950164834246073337374566612807918688076408/38733430910055943915211524952421928667825808305362533456587251803588227]
[354227418197336705343805084710835473891544312703596174076719515126226595959381503890987186288507645981413426559/203506047122897120196589919039107216499482202685366085741655406840999454717425188585309023599027650275580970719, 212395044224020600029321196363538223779241560590930980887272075391138428603656018205783005529710045393138630001/203506047122897120196589919039107216499482202685366085741655406840999454717425188585309023599027650275580970719]
[-3372508881773385139814225532073624580758670616492403975875305688757242127415501105229655745281/1604862436724641704994417621169225829384723145986376047247109929703224042064116712747987091359, -2938732608152697714151190456567441067864379240834746825252419056658393548555533790565205584879/1604862436724641704994417621169225829384723145986376047247109929703224042064116712747987091359]
[-2321616764218436695056194137522400415056154677577126370503615104782592640236252028216410324611547754644486405658126195785743271862602122865/3227179081414294106717578151371512197568247334829941644973867934835308381345459347449281293215601879954696345776047248005797041454225604093, -3841098809108720591274176007323513487397300369295414448184933537359219696376665441556566529872538615214366943443819450502475007709177608872/3227179081414294106717578151371512197568247334829941644973867934835308381345459347449281293215601879954696345776047248005797041454225604093]
[386868992269990685021505011063597096957584194805369691418910418583759374878729688880638765919914221194391837997163908635/267506831901054228961877629992687183651575559393299443277344257466168097623993658312785716895863410011252003120939559521, 61861541071405251231017523931590289304996808766187077712802216053538234079248773249323320265149088929772470560353699916/267506831901054228961877629992687183651575559393299443277344257466168097623993658312785716895863410011252003120939559521]
[102165545998004139662060197039615916994440254448057361352627286881326733670372107062472005015643556310190884154720491896594127583555338258326470262846704666978716802811899/70838799820627244848414121618659249891563349971783106711343385312251580963033374506473168603226255946672057559939743554411156856568961457436704304494156659320991064722099, -2975521663131649740279362986138243078402630277462395028028958837751476833016612532069361625088677500379213291491396818163079307097060647662965187071878253217237063707199/70838799820627244848414121618659249891563349971783106711343385312251580963033374506473168603226255946672057559939743554411156856568961457436704304494156659320991064722099]
[-14930695992004133997133774765894862656034665735537538656637854404629759337849224535493525486094768875482481473487404515188950437556415730905267261349/41199468587232630735467700132647546012346980463861987315457659888188629602005762028633044640634003526965499273976174838918590772546464956238572378851, -47409719660183929811193503048693441765458892629334940877729961928559561819717955168097063284303466037958028607424371375688613336359019583797347668951/41199468587232630735467700132647546012346980463861987315457659888188629602005762028633044640634003526965499273976174838918590772546464956238572378851]
time = 124 ms.

■楕円曲線C: X³-2Y³-3Z³ = 0の有理点[X:Y:Z]をいくつか求めると、以下のようになる。

[pari/gpによる計算]

gp>  rpCC(10)
[1, -1, 1]
[655, 488, 253]
[-5, -4, 1]
[-56829019, -369033521, 322184141]
[26309, -3449, 18269]
[483407899445154725, 125896480637499244, 331181768668393439]
[-120418942015, -160841972528, 129900299507]
[-645141681199796715762969576431, -600965611115311695257886071689, 380737323320831566250511476449]
[2448019471461667668049, 1282299793323988869671, 1516051662263738506369]
[1793984047837470883062951691301324725262602495, -776816163261079460156066892355332760791625312, 1307858335918621966586468212651205223746821453]
[11413817533850662496182055198963515, -36957652843867563353499877552601884, 32443214040144819428485331539350721]
[7304759680742448522771772535417358085843857537890512849887965851, 5796821421020054309305727041509617981162280399787645494198086729, 402511456427902039227427163921507185946643455427951593197551331]
[1329467930388101435786027575939842745344796318109381, 1052046618423424785525584776754888955871105143081439, 191292538654965553056918519957488149872700168458701]
[15267280021806202415368576157398788109654564148015198769695261099351505189761045953445, -32216533831062414222550408721695382098639762175933750546013428723169628691222093626796, 28634337820940323287405730447973351975785772033498536197933430632195719321472054463199]
[50749372219838934627984629667956105830661963807043003778886093451223025, -27941176329466683506926425731950164834246073337374566612807918688076408, 38733430910055943915211524952421928667825808305362533456587251803588227]
[354227418197336705343805084710835473891544312703596174076719515126226595959381503890987186288507645981413426559, 212395044224020600029321196363538223779241560590930980887272075391138428603656018205783005529710045393138630001, 203506047122897120196589919039107216499482202685366085741655406840999454717425188585309023599027650275580970719]
[-3372508881773385139814225532073624580758670616492403975875305688757242127415501105229655745281, -2938732608152697714151190456567441067864379240834746825252419056658393548555533790565205584879, 1604862436724641704994417621169225829384723145986376047247109929703224042064116712747987091359]
[-2321616764218436695056194137522400415056154677577126370503615104782592640236252028216410324611547754644486405658126195785743271862602122865, -3841098809108720591274176007323513487397300369295414448184933537359219696376665441556566529872538615214366943443819450502475007709177608872, 3227179081414294106717578151371512197568247334829941644973867934835308381345459347449281293215601879954696345776047248005797041454225604093]
[386868992269990685021505011063597096957584194805369691418910418583759374878729688880638765919914221194391837997163908635, 61861541071405251231017523931590289304996808766187077712802216053538234079248773249323320265149088929772470560353699916, 267506831901054228961877629992687183651575559393299443277344257466168097623993658312785716895863410011252003120939559521]
[102165545998004139662060197039615916994440254448057361352627286881326733670372107062472005015643556310190884154720491896594127583555338258326470262846704666978716802811899, -2975521663131649740279362986138243078402630277462395028028958837751476833016612532069361625088677500379213291491396818163079307097060647662965187071878253217237063707199, 70838799820627244848414121618659249891563349971783106711343385312251580963033374506473168603226255946672057559939743554411156856568961457436704304494156659320991064722099]
[-14930695992004133997133774765894862656034665735537538656637854404629759337849224535493525486094768875482481473487404515188950437556415730905267261349, -47409719660183929811193503048693441765458892629334940877729961928559561819717955168097063284303466037958028607424371375688613336359019583797347668951, 41199468587232630735467700132647546012346980463861987315457659888188629602005762028633044640634003526965499273976174838918590772546464956238572378851]
time = 67 ms.

楕円曲線Cは無数の有理点を持つので、不定方程式
X³-2Y³-3Z³ = 0
は、gcd(X,Y,Z)=1,(X,Y,Z)!=(0,0,0)である整数解[X:Y:Z]を無数に持つことが分かる。

[参考文献]

[1]I.Connell, "Elliptic Curve Handbook", 1997, p101-166(Chap.1),p201-281(Chap.2),p301-384(Chap.3),p401-441(Chap.4),p501-543(Chap.5).

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao