cos(2π/13)-cos(5π/13)+cos(6π/13)=?

[2013.07.21]cos(2π/13)-cos(5π/13)+cos(6π/13)=?

■問題

       cos(2π/13)-cos(5π/13)+cos(6π/13)を求めよ。

直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

■予想を立てる。
       A=cos(2π/13)-cos(5π/13)+cos(6π/13)
とする。
Aは正の実数であるので、Aを300桁程度の精度で計算して、連分数で表示してみると、
       A≒[0, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 7]
となり、
       A=[0, 1^・, 1, 1, 6, 1^・]
と予想できる。

循環節以降の部分をcとおくと、
       c = [1, 1, 1, 6, 1, c]
       = (23*c + 20)/(15*c + 13)
より、cは2次方程式
       3*x^2 - 2*x - 4=0
の正根であるので、
       c=(1+sqrt(13))/3
である。よって、
       A=[0, c]
       =1/c
       =3/(1+sqrt(13))
       =(-1+sqrt(13))/4 ---------(*****)
と予想できる。

[pari/gp-2.6.0による計算]

gp> \p 300
   realprecision = 308 significant digits (300 digits displayed)
gp> f(x)=cos(2*x)-cos(5*x)+cos(6*x)
time = 14 ms.
%1 = (x)->cos(2*x)-cos(5*x)+cos(6*x)
gp> f(Pi/13)
time = 29 ms.
%2 = 0.651387818865997323279805316867623986562824143461311553177613264056791737073252611301154770504622679418378545506015885094007669566174451926290754291723177439435672641068538158308457598740586736199068307499072000817214106803268028183292268051324375446389709611203663467230268848848120640827561170709160
gp> contfrac(%2)
time = 4 ms.
%3 = [0, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 7]
gp> contfracpnqn([1, 1, 1, 6, 1, c])
time = 5 ms.
%4 =
[23*c + 20 23]

[15*c + 13 15]

gp> factor(c*(15*c + 13)-(23*c + 20))
time = 18 ms.
%5 =
[3*c^2 - 2*c - 4 1]

gp> contfracpnqn([0, c])
time = 13 ms.
%6 =
[1 0]

[c 1]

gp> u=Mod(x,x^2-13)
time = -2 ms.
%7 = Mod(x, x^2 - 13)
gp> 1/((1+u)/3)
time = 7 ms.
%8 = Mod(1/4*x - 1/4, x^2 - 13)
gp> (-1+sqrt(13))/4
time = 5 ms.
%9 = 0.651387818865997323279805316867623986562824143461311553177613264056791737073252611301154770504622679418378545506015885094007669566174451926290754291723177439435672641068538158308457598740586736199068307499072000817214106803268028183292268051324375446389709611203663467230268848848120640827561170709160
gp> %2-%9
time = 0 ms.
%10 = 0.E-308

■予想(*****)を証明する。
1の原始26乗根
    ζ = ζ₂₆ = e^2πi/26 = e^πi/13
を使って、a=2*AをQ(ζ)上で計算する。

ζの最小多項式は、(ζ¹³+1)/(ζ+1)、つまり、
    ζ¹² - ζ¹¹ + ζ¹⁰ - ζ⁹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ⁴ - ζ³ + ζ² - ζ + 1
である。

    a = 2*A = 2cos(2π/13)-2cos(5π/13)+2cos(6π/13)
    = {ζ²+ζ^-2}-{ζ⁵+ζ^-5}+{ζ⁶+ζ^-6}
    = -ζ¹¹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ²

ここで、σ:ζ→ζ⁵∈Gal(Q(ζ)/Q)をa∈Q(ζ)に作用させると、
    a^σ = {ζ¹⁰+ζ^-10}-{ζ²⁵+ζ^-25}+{ζ³⁰+ζ^-30}
    = -{ζ³+ζ^-3}-{ζ+ζ^-1}+{ζ⁴+ζ^-4}
    = ζ¹¹ - ζ⁸ + ζ⁷ - ζ⁶ + ζ⁵ - ζ² - 1
となる。
よって、
    a+a^σ = (-ζ¹¹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ²)+(ζ¹¹ - ζ⁸ + ζ⁷ - ζ⁶ + ζ⁵ - ζ² - 1)
    = -1

    a・a^σ = (-ζ¹¹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ²)*(ζ¹¹ - ζ⁸ + ζ⁷ - ζ⁶ + ζ⁵ - ζ² - 1)
    = -3
となるので、aとa^σは、２次方程式
    x²- x - 3 = 0
の2実根であり、a > 0 > a^σなので、
    a = (-1+sqrt(13))/2
    a^σ = (-1-sqrt(13))/2
である。
よって、a=2*Aより、
    A = a/2 = (-1+sqrt(13))/4
となる。

[pari/gp-2.6.0による計算]

gp> z=Mod(x,(x^13+1)/(x+1))
time = 1 ms.
%11 = Mod(x, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(x)=(x^2+1/x^2)-(x^5+1/x^5)+(x^6+1/x^6)
time = 2 ms.
%12 = (x)->(x^2+1/x^2)-(x^5+1/x^5)+(x^6+1/x^6)
gp> g(z)
time = 19 ms.
%13 = Mod(-x^11 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^2, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z^5)
time = 6 ms.
%14 = Mod(x^11 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^2 - 1, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)+g(z^5)
time = 2 ms.
%15 = Mod(-1, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)*g(z^5)
time = 7 ms.
%16 = Mod(-3, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> f(5*Pi/13)
time = 18 ms.
%17 = -1.15138781886599732327980531686762398656282414346131155317761326405679173707325261130115477050462267941837854550601588509400766956617445192629075429172317743943567264106853815830845759874058673619906830749907200081721410680326802818329226805132437544638970961120366346723026884884812064082756117070916

■同様に、cos(π/13)+cos(3π/13)-cos(4π/13)を求める。
A^σから求めることができる。直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

a^σ=2*A^σが求まったので、
    A^σ = cos(10π/13)-cos(25π/13)+cos(30π/13)
    = -cos(3π/13)-cos(π/13)+cos(4π/13)
    = -{cos(π/13)+cos(3π/13)-cos(4π/13)}
から、
    cos(π/13)+cos(3π/13)-cos(4π/13)
    = -A^σ
    = -a^σ/2
    = (1+sqrt(13))/4
となる。

[参考文献]

[1]B. Mazur, "Modular Curves and Arithmetic", Proc. of the Inetnational Congress of Math., Aug 16-24, 1983, Warszawa.

Last Update: 2016.05.14

H.Nakao