sin(2π/13)-sin(5π/13)+sin(6π/13)=?

[2013.07.20]sin(2π/13)-sin(5π/13)+sin(6π/13)=?

■問題

       sin(2π/13)-sin(5π/13)+sin(6π/13)を求めよ。

直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

■予想を立てる。
       A=sin(2π/13)-sin(5π/13)+sin(6π/13)
とする。
Aは正の実数であるので、Aを300桁程度の精度で計算して、連分数で表示してみると、
       A≒[0, 1, 1, 10, 1, 1, 1, 7, 2, 1, 2, 6, 2, 14, 2, 1, 3, 3, 1, 13, 1, 5, 1, 1, 3, 1, 3, 48, 1, 10, 1, 4, 16, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 7, 3, 5, 1, 1, 1117, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 2, 5, 3, 53, 1, 5, 1, 2, 1, 5, 1, 3, 1, 2, 1, 10, 133, 1, 72, 3, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 8, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 2, 7, 3, 4, 2, 2, 4, 1, 5, 28, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 2, 1, 11, 2, 1, 4, 1, 188, 1, 6, 2, 4, 1, 1, 36, 1, 2, 2, 1, 37, 2, 1, 1, 2, 2, 14, 3, 2, 4, 11, 5, 3, 1, 1, 3, 16, 5, 1, 1, 1, 4, 2, 2, 3, 6, 9, 19, 1, 5, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 6, 1, 2, 10, 1, 1, 2, 6, 6, 1, 3, 1, 13, 3, 2, 2, 9, 2, 7, 4, 103, 48, 11, 1, 6, 1, 306, 1, 1, 4, 4, 6, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 1, 5, 289, 1, 34, 1, 2, 9, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 12, 8, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 3, 1, 2, 9, 1, 17, 1, 134, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 10, 1, 7, 3, 1, 4, 1, 38, 112, 4, 1, 2, 14, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 3, 8, 3, 11, 178, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 1, 33, 3]
となり、循環節が見つからないので、うまくいかない。
次に、A²を連分数で表示してみると、
       A²≒[0, 3, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 2]
となり、
       A²=[0, 3, 1^・, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2^・]
と予想できる。

循環節以降の部分をcとおくと、
       c = [1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, c]
       = (1039*c + 390)/(690*c + 259)
より、cは2次方程式
       23*x^2 - 26*x - 13=0
の正根であるので、
       c=(13+6*sqrt(13))/23
である。よって、
       A²=[0, 3, c]
       =c/(3*c+1)
       =(13-3*sqrt(13))/8
A > 0より、
       A = sqrt((13-3*sqrt(13))/8) -----(****)
と予想できる。

[pari/gp-2.6.0による計算]

gp> \p 300
   realprecision = 308 significant digits (300 digits displayed)
gp> f(x)=sin(2*x)-sin(5*x)+sin(6*x)
time = 10 ms.
%1 = (x)->sin(2*x)-sin(5*x)+sin(6*x)
gp> f(Pi/13)
time = 21 ms.
%2 = 0.522415803456407715016982384787794227850894028724203962028641975436704617405507280228289447293124294014527579594261941201602448325908234809513657085681923090982604758623877809227220987686463663768429363700202774161745044973163039036348761555067364147447988645976628344279264676525021306559142356593146
gp> contfrac(%2)
time = 9 ms.
%3 = [0, 1, 1, 10, 1, 1, 1, 7, 2, 1, 2, 6, 2, 14, 2, 1, 3, 3, 1, 13, 1, 5, 1, 1, 3, 1, 3, 48, 1, 10, 1, 4, 16, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 7, 3, 5, 1, 1, 1117, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 2, 5, 3, 53, 1, 5, 1, 2, 1, 5, 1, 3, 1, 2, 1, 10, 133, 1, 72, 3, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 7, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 8, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 2, 7, 3, 4, 2, 2, 4, 1, 5, 28, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 2, 1, 11, 2, 1, 4, 1, 188, 1, 6, 2, 4, 1, 1, 36, 1, 2, 2, 1, 37, 2, 1, 1, 2, 2, 14, 3, 2, 4, 11, 5, 3, 1, 1, 3, 16, 5, 1, 1, 1, 4, 2, 2, 3, 6, 9, 19, 1, 5, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 6, 1, 2, 10, 1, 1, 2, 6, 6, 1, 3, 1, 13, 3, 2, 2, 9, 2, 7, 4, 103, 48, 11, 1, 6, 1, 306, 1, 1, 4, 4, 6, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 1, 5, 289, 1, 34, 1, 2, 9, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 12, 8, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 3, 1, 2, 9, 1, 17, 1, 134, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 10, 1, 7, 3, 1, 4, 1, 38, 112, 4, 1, 2, 14, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 3, 8, 3, 11, 178, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 1, 33, 3]
gp> contfrac(%2^2)
time = 6 ms.
%4 = [0, 3, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, 1, 2]
gp> contfracpnqn([1, 1, 1, 42, 1, 1, 1, 2, c])
time = 3 ms.
%5 =
[1039*c + 390 1039]

[690*c + 259 690]

gp> factor(c*(690*c + 259)-(1039*c + 390))
time = 25 ms.
%6 =
[23*c^2 - 26*c - 13 1]

gp> contfracpnqn([0, 3, c])
time = 8 ms.
%7 =
[c 1]

[3*c + 1 3]

gp> u=Mod(x,x^2-13)
time = 3 ms.
%8 = Mod(x, x^2 - 13)
gp> ((13+6*u)/23)/(3*(13+6*u)/23+1)
time = 4 ms.
%9 = Mod(-3/8*x + 13/8, x^2 - 13)
gp> sqrt((13-3*sqrt(13))/8)
time = -446230357 ms.
%10 = 0.522415803456407715016982384787794227850894028724203962028641975436704617405507280228289447293124294014527579594261941201602448325908234809513657085681923090982604758623877809227220987686463663768429363700202774161745044973163039036348761555067364147447988645976628344279264676525021306559142356593146
gp> %2-%10
time = 0 ms.
%11 = -5.56268465 E-309

■予想(****)を証明する。
1の原始26乗根
    ζ = ζ₂₆ = e^2πi/26 = e^πi/13
を使って、a=64*A²をQ(ζ)上で計算する。

ζの最小多項式は、(ζ¹³+1)/(ζ+1)、つまり、
    ζ¹² - ζ¹¹ + ζ¹⁰ - ζ⁹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ⁴ - ζ³ + ζ² - ζ + 1
である。

    a = 64*A² = {2sin(2π/13)-2sin(5π/13)+2sin(6π/13)}²
    = -{{ζ²-ζ^-2}-{ζ⁵-ζ^-5}+{ζ⁶-ζ^-6}}²
    = 3ζ¹¹ - 3ζ⁸ + 3ζ⁷ - 3ζ⁶ + 3ζ⁵ - 3ζ² + 5

ここで、σ:ζ→ζ⁵∈Gal(Q(ζ)/Q)をa∈Q(ζ)に作用させると、
    a^σ = -{{ζ¹⁰-ζ^-10}-{ζ²⁵-ζ^-25}+{ζ³⁰-ζ^-30}}²
    = -{{ζ³-ζ^-3}+{ζ-ζ^-1}+{ζ⁴-ζ^-4}}²
    = - 3ζ¹¹ + 3ζ⁸ - 3ζ⁷ + 3ζ⁶ - 3ζ⁵ + 3ζ² + 8
となる。
よって、
    a+a^σ = (3ζ¹¹ - 3ζ⁸ + 3ζ⁷ - 3ζ⁶ + 3ζ⁵ - 3ζ² + 5)+(- 3ζ¹¹ + 3ζ⁸ - 3ζ⁷ + 3ζ⁶ - 3ζ⁵ + 3ζ² + 8)
    = 13

    a・a^σ = (3ζ¹¹ - 3ζ⁸ + 3ζ⁷ - 3ζ⁶ + 3ζ⁵ - 3ζ² + 5)*(- 3ζ¹¹ + 3ζ⁸ - 3ζ⁷ + 3ζ⁶ - 3ζ⁵ + 3ζ² + 8)

    = 13
となるので、aとa^σは、２次方程式
    x²- 13x + 13 = 0
の2実根であり、a^σ > a > 0なので、
    a = (13-3*sqrt(13))/2
    a^σ = (13+3*sqrt(13))/2
である。
よって、a=64*A², A > 0より、
    A = sqrt((13+3*sqrt(13))/128)
となる。

[pari/gp-2.6.0による計算]

gp> z=Mod(x,(x^13+1)/(x+1))
time = -2118616241 ms.
%12 = Mod(x, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(x)=-(x^2-1/x^2-(x^5-1/x^5)+x^6-1/x^6)^2
time = 2 ms.
%13 = (x)->-(x^2-1/x^2-(x^5-1/x^5)+x^6-1/x^6)^2
gp> g(z)
time = -1887707390 ms.
%14 = Mod(3*x^11 - 3*x^8 + 3*x^7 - 3*x^6 + 3*x^5 - 3*x^2 + 5, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z^5)
time = 1 ms.
%15 = Mod(-3*x^11 + 3*x^8 - 3*x^7 + 3*x^6 - 3*x^5 + 3*x^2 + 8, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)+g(z^5)
time = -1693208258 ms.
%16 = Mod(13, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)*g(z^5)
time = 4 ms.
%17 = Mod(13, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> f(Pi/13)
time = 1 ms.
%18 = 0.522415803456407715016982384787794227850894028724203962028641975436704617405507280228289447293124294014527579594261941201602448325908234809513657085681923090982604758623877809227220987686463663768429363700202774161745044973163039036348761555067364147447988645976628344279264676525021306559142356593146
gp> f(5*Pi/13)
time = 1 ms.
%19 = 1.72542218842200936410515664236636016538300482286998600736294877294919347598595083837226756671541109218351501484592057799809595500355590760209743238606554861861463843024937138590728240199526580025508606442064342664191670122786381509162438276995358306793758048246328534370793068487708038202371536084408

■同様に、sin(π/13)+sin(3π/13)+sin(4π/13)を求める。
A^σから求めることができる。直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

a^σが求まったので、A^σ > 0から、
    A^σ = sin(10π/13)-sin(25π/13)+sin(30π/13)
    = sin(3π/13)+sin(π/13)+sin(4π/13)
    = sin(π/13)+sin(3π/13)+sin(4π/13)
    = sqrt((13+3*sqrt(13))/8)
となる。

[参考文献]

[1]B. Mazur, "Modular Curves and Arithmetic", Proc. of the Inetnational Congress of Math., Aug 16-24, 1983, Warszawa.

Last Update: 2013.07.27

H.Nakao