sin(2π/13)sin(5π/13)sin(6π/13)=?

[2013.07.14]sin(2π/13)sin(5π/13)sin(6π/13)=?

■問題

       sin(2π/13)sin(5π/13)sin(6π/13)を求めよ。

直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

■予想を立てる。
       A=sin(2π/13)sin(5π/13)sin(6π/13)
とする。
Aは正の実数であるので、Aを300桁程度の精度で計算して、連分数で表示してみると、
       A≒[0, 2, 3, 7, 22, 2, 9, 1, 7, 1, 33, 1, 14, 1, 1, 3, 2, 5, 1, 1, 2, 58, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 4, 3, 5, 31, 1, 2, 5, 1, 1, 6, 6, 2, 1, 4, 2, 2, 1, 2, 1, 7, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 20, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 2, 10, 1, 7, 4, 5, 1, 7, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 14, 3, 1, 1, 55, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 11, 2, 1, 4, 18, 2, 1, 3, 1, 2, 6, 3, 3, 1, 4, 1, 2, 1, 1, 6, 3, 5, 1, 5, 1, 16, 1, 3, 2, 18, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 41, 2, 1, 3, 19, 2, 2, 27, 2, 1, 1, 13, 2, 7, 3, 24, 35, 14, 5, 1, 1, 3, 1, 47, 14, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 53, 1, 1, 3, 7, 1, 13, 1, 8, 51, 2, 4, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 6, 2, 2, 38, 1, 12, 1, 19, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 11, 2, 11, 4, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 5, 1, 4, 6, 1, 5, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 7, 1, 59, 2, 1, 23, 1, 5, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 216, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 6, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 11, 9, 1, 86, 2, 1, 15, 1, 2, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 5, 8, 14, 3, 3, 3, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 3]
となり、循環節が見つからないので、うまくいかない。
次に、A²を連分数で表示してみると、
       A²≒[0, 5, 2, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 2]
となり、
       A²=[0, 5, 2, 1^・, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1^・]
と予想できる。

循環節以降の部分をcとおくと、
       c=[1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, c]
       = (6019005774856148660363086*c + 3037827295565239657160835)/(4038797209046506364118045*c + 2038404491012041523393716)
より、cは2次方程式
       347*x^2 - 342*x - 261=0
の正根であるので、
       c=(171+96*sqrt(13))/347
である。よって、
       A²=[0, 5, 2, c]
       =(2*c+1)/(11*c+5)
       =(13+3*sqrt(13))/128
A > 0より、
       A = sqrt((13+3*sqrt(13))/128) -----(**)
と予想できる。

[pari/gp-2.6.0による計算]

gp> \p 300
   realprecision = 308 significant digits (300 digits displayed)
gp> f(x)=sin(2*x)*sin(5*x)*sin(6*x)
time = 18 ms.
%1 = (x)->sin(2*x)*sin(5*x)*sin(6*x)
gp> f(Pi/13)
time = 30 ms.
%2 = 0.431355547105502341026289160591590041345751205717496501840737193237298368996487709593066891678852773045878753711480144499523988750888976900524358096516387154653659607562342846476820600498816450063771516105160856660479175306965953772906095692488395766984395120615821335926982671219270095505928840211020
gp> contfrac(%2)
time = 15 ms.
%3 = [0, 2, 3, 7, 22, 2, 9, 1, 7, 1, 33, 1, 14, 1, 1, 3, 2, 5, 1, 1, 2, 58, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 4, 3, 5, 31, 1, 2, 5, 1, 1, 6, 6, 2, 1, 4, 2, 2, 1, 2, 1, 7, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 20, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 2, 10, 1, 7, 4, 5, 1, 7, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 14, 3, 1, 1, 55, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 11, 2, 1, 4, 18, 2, 1, 3, 1, 2, 6, 3, 3, 1, 4, 1, 2, 1, 1, 6, 3, 5, 1, 5, 1, 16, 1, 3, 2, 18, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 41, 2, 1, 3, 19, 2, 2, 27, 2, 1, 1, 13, 2, 7, 3, 24, 35, 14, 5, 1, 1, 3, 1, 47, 14, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 53, 1, 1, 3, 7, 1, 13, 1, 8, 51, 2, 4, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 6, 2, 2, 38, 1, 12, 1, 19, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 11, 2, 11, 4, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 5, 1, 4, 6, 1, 5, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 7, 1, 59, 2, 1, 23, 1, 5, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 216, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 6, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 11, 9, 1, 86, 2, 1, 15, 1, 2, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 5, 8, 14, 3, 3, 3, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 3]
gp> contfrac(%2^2)
time = 28 ms.
%4 = [0, 5, 2, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, 1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 2]
(18:20) gp > contfracpnqn([1, 2, 25, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 2, 6, 13, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 25, 2, 1, 1, 1, 52, 1, 1, c])
time = 19 ms.
%5 =
[6019005774856148660363086*c + 3037827295565239657160835 6019005774856148660363086]

[4038797209046506364118045*c + 2038404491012041523393716 4038797209046506364118045]

gp> factor(x-(6019005774856148660363086*x + 3037827295565239657160835)/(4038797209046506364118045*x + 2038404491012041523393716))
time = 49 ms.
%6 =
[347*x^2 - 342*x - 261 1]

[4038797209046506364118045*x + 2038404491012041523393716 -1]

gp> contfracpnqn([0, 5, 2, c])
time = 14 ms.
%7 =
[2*c + 1 2]

[11*c + 5 11]

gp> u=Mod(x,x^2-13)
time = 17 ms.
%8 = Mod(x, x^2 - 13)
gp> contfracpnqn([0, 5, 2, (171+96*u)/347])
time = 20 ms.
%9 =
[Mod(192/347*x + 689/347, x^2 - 13) 2]

[Mod(1056/347*x + 3616/347, x^2 - 13) 11]

gp> Mod(192/347*x + 689/347, x^2 - 13)/Mod(1056/347*x + 3616/347, x^2 - 13)
time = 6 ms.
%10 = Mod(3/128*x + 13/128, x^2 - 13)
gp> sqrt((13+3*sqrt(13))/128)
time = 29 ms.
%11 = 0.431355547105502341026289160591590041345751205717496501840737193237298368996487709593066891678852773045878753711480144499523988750888976900524358096516387154653659607562342846476820600498816450063771516105160856660479175306965953772906095692488395766984395120615821335926982671219270095505928840211020
(18:56) gp > %2-%11
time = 4 ms.
%12 = 2.781342324 E-309

■予想(**)を証明する。
1の原始26乗根
    ζ = ζ₂₆ = e^2πi/26 = e^πi/13
を使って、a=64*A²をQ(ζ)上で計算する。

ζの最小多項式は、(ζ¹³+1)/(ζ+1)、つまり、
    ζ¹² - ζ¹¹ + ζ¹⁰ - ζ⁹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ⁴ - ζ³ + ζ² - ζ + 1
である。

    a = 64*A² = {2sin(2π/13)*2sin(5π/13)*2sin(6π/13)}²
    = -{ζ²-ζ^-2}²{ζ⁵-ζ^-5}²{ζ⁶-ζ^-6}²
    = -3ζ¹¹ + 3ζ⁸ - 3ζ⁷ + 3ζ⁶ - 3ζ⁵ + 3ζ² + 8

ここで、σ:ζ→ζ⁵∈Gal(Q(ζ)/Q)をa∈Q(ζ)に作用させると、
    a^σ = -{ζ¹⁰-ζ^-10}²{ζ²⁵-ζ^-25}²{ζ³⁰-ζ^-30}²
    = -{ζ³-ζ^-3}²{ζ-ζ^-1}²{ζ⁴-ζ^-4}²
    = 3ζ¹¹ - 3ζ⁸ + 3ζ⁷ - 3ζ⁶ + 3ζ⁵ - 3ζ² + 5
となる。
よって、
    a+a^σ = (-3ζ¹¹ + 3ζ⁸ - 3ζ⁷ + 3ζ⁶ - 3ζ⁵ + 3ζ² + 8)+(3ζ¹¹ - 3ζ⁸ + 3ζ⁷ - 3ζ⁶ + 3ζ⁵ - 3ζ² + 5)
    = 13

    a・a^σ = (-3ζ¹¹ + 3ζ⁸ - 3ζ⁷ + 3ζ⁶ - 3ζ⁵ + 3ζ² + 8)*(3ζ¹¹ - 3ζ⁸ + 3ζ⁷ - 3ζ⁶ + 3ζ⁵ - 3ζ² + 5)
    = 13
となるので、aとa^σは、２次方程式
    x²- 13x + 13 = 0
の2実根であり、a > a^σ > 0なので、
    a = (13+3*sqrt(13))/2
    a^σ = (13-3*sqrt(13))/2
である。
よって、a=64*A², A > 0より、
    A = sqrt((13+3*sqrt(13))/128)
となる。

[pari/gp-2.6.0による計算]

gp> z=Mod(x,(x^13+1)/(x+1))
time = 21 ms.
%13 = Mod(x, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(x)=-(x^2-1/x^2)^2*(x^5-1/x^5)^2*(x^6-1/x^6)^2
time = 3 ms.
%14 = (x)->-(x^2-1/x^2)^2*(x^5-1/x^5)^2*(x^6-1/x^6)^2
gp> g(z)
time = 33 ms.
%15 = Mod(-3*x^11 + 3*x^8 - 3*x^7 + 3*x^6 - 3*x^5 + 3*x^2 + 8, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z^5)
time = 43 ms.
%16 = Mod(3*x^11 - 3*x^8 + 3*x^7 - 3*x^6 + 3*x^5 - 3*x^2 + 5, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)+g(z^5)
time = 8 ms.
%17 = Mod(13, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)*g(z^5)
time = 8 ms.
%18 = Mod(13, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> f(2*Pi/13)
time = 19 ms.
%19 = 0.130603950864101928754245596196948556962723507181050990507160493859176154351376820057072361823281073503631894898565485300400612081477058702378414271420480772745651189655969452306805246921615915942107340925050693540436261243290759759087190388766841036861997161494157086069816169131255326639785589148287

■同様に、sin(π/13)sin(3π/13)sin(4π/13)を求める。
A^σを求めれば良い。直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

a^σが求まったので、A^σ > 0から、
    A^σ = sin(10π/13)sin(25π/13)sin(30π/13)
    = sin(3π/13)sin(π/13)sin(4π/13)
    = sin(π/13)sin(3π/13)sin(4π/13)
    = sqrt((13-3*sqrt(13))/128)
となる。

[参考文献]

[1]B. Mazur, "Modular Curves and Arithmetic", Proc. of the Inetnational Congress of Math., Aug 16-24, 1983, Warszawa.

Last Update: 2013.07.27

H.Nakao