unit
[2001.10.27]単数
■単数
代数体kにおいて、１の約数(１を割り切る代数的整数)を単数(unit)と呼ぶ。
例えば、有理数体Qの単数は、1,-1の２個である。また、虚２次体Q(\sqrt{-1})の単数は、\pm 1, \pm\sqrt{-1}の４個である。また、虚２次体Q(\sqrt{-3})の単数は、\pm 1,(\pm 1 + \pm\sqrt{-3})/2の６個である。
■１の根(整巾根)は、単数である。
また、εが単数なら、1/εも単数である。
■単数群
代数体kの単数は、乗法に関して群を成す。これをkの単数群Ekと呼ぶ。
kの単数群は、{1,-1}を部分群として含む。また、kに含まれる１の根は有限個であり、乗法に関して群Wkを成し、Ekの部分群である。
■共役数(conjugate number)
代数的数θを解とする係数が有理数係数のmonicな既約方程式f(x)=0は、一意に決まる。
f(x)の次数をmとしたとき、
θをm次の代数的数と呼び、f(x)=0のθ以外の(m-1)個の解θ(1),θ(2),...,θ(m-1)をθの共役数(conjugate number)と呼ぶ。
■norm
m次の代数的数θの共役数をθ(1),θ(2),...,θ(m-1)とする。θとθの共役数全部の積をθのnormと呼び、Nθと書く。
θが代数的整数なら、そのnormは有理整数である。つまり、Nθ \in Z。
■代数体kの単数εに対して、Nεは単数かつ有理整数なので、Nε = \pm 1である。
逆に、kの代数的整数εに対して、Nε= \pm 1なら、εはkの単数である。
■Dirichletの単数定理
kと共役なるn個の体中で,r1だけは、実で、2r2は虚とする。
n=r1+2r2
体kに含まれる単数は、乗法に関して、rank r=r1+r2-1の(有限生成)自由Abel群であり、次の形に表される。
ε=ρε1x1ε2x2・・・εrxr
ただし、ρは１の根である。この表現は一意である。
底なる単数ε1,ε2,...,εrを一組の基本単数(fundamental units)と呼ぶ。
■共役差積
代数体kの代数的整数θに対して、その共役数θ(i)との差の積
Π(θ-θ(i))
をkにおけるθの共役差積と呼ぶ。
■K=Q(-61/3)の単数を求める。
θ=-61/3とする。θを解とする既約方程式は、θ3+6=0なので、θの共役数は、θ(1)=θωとθ(2)=θω2である。ただし、ω=(-1+\sqrt{-3})/2である。
θのnormは、Nθ=θθ(1)θ(2)=-6である。
Kは虚数を含まないので、Kに含まれる１の根は、WK={\pm 1}のみである。
1,θ,θ2は、Kの整数環OKの底であり、OK=Z[θ]である。
Dirichletの単数定理より、EKのrankは１である。基本単数εを求めると、
ε=1+6θ+3θ2
である。実際、
Nε=(1+6θ+3θ2)(1+6θω+3θ2ω2)(1+6θω2+3θ2ω4)
=(1+6θ+3θ2)(109-60θ+33θ2)
=1
から、εは単数である。
よって、Kの単数は、\pm(1+6θ+3θ2)n (n \in Z)である。
θの共役差積δは、
δ=Π(θ-θ(i))=3θ2
なので、
δθ=3θ3=-18
δθ2=3θ4=-18θ
θを消去すると、
δ3+972=0
Nδ=-972=-2235
を得る。θの判別式d(θ)は、
d(θ)=(-1)3(3-1)/2Nδ=2235
となる。
PARI/GP 2.1.1で計算してみる。
gp> bnf=bnfinit(x^3+6) /*数体K=Q(-6^(1/3))*/
%13 = [[;], matrix(0,8), [-5.789932142319291516526504589 - 12.56637061435917295385057353*I; 5.789932142319291516526504589 - 9.590701812201609056340229381*I], [-0.7384478947135952746909346924 + 3.141592653589793238462643383*I, 0.3870785805832832722525103990 + 0.E-37*I, 8.179720113433959390051592243 + 1.99834039 E-37*I, 113.8686654656127331583545902 + 3.141592653589793238462643383*I, -113.8686654656127331583545902 + 12.56637061435917295385057353*I, 113.0217762946878791847524937 + 2.53906779 E-36*I, -1.523303539085574946403018715 + 0.E-38*I, 112.9735999719506494442973653 + 2.53906779 E-36*I; 0.7384478947135952746909346924 + 1.379045244613108495625257593*I, -0.3870785805832832722525103990 + 9.540859288724226873025135602*I, -8.179720113433959390051592243 + 6.670003877843738793591718179*I, -113.8686654656127331583545902 + 10.59355193654336126180805278*I, 113.8686654656127331583545902 + 4.067213780209007184350949672*I, -113.0217762946878791847524937 + 9.264686288637403162619933764*I, 1.523303539085574946403018715 + 3.890564330323601567138010018*I, -112.9735999719506494442973653 + 6.759765517519167863773160094*I], [[2, [0, 1, 0]~, 3, 1, [0, 0, 1]~], [3, [0, 1, 0]~, 3, 1, [0, 0, 1]~], [5, [1, 1, 0]~, 1, 1, [1, -1, 1]~], [7, [-2, 1, 0]~, 1, 1, [-3, 2, 1]~], [7, [-1, 1, 0]~, 1, 1, [1, 1, 1]~], [7, [3, 1, 0]~, 1, 1, [2, -3, 1]~], [11, [-3, 1, 0]~, 1, 1, [-2, 3, 1]~], [17, [5, 1, 0]~, 1, 1, [8, -5, 1]~]]~, [3, 5, 4, 1, 2, 6, 7, 8], [x^3 + 6, [1, 1], -972, 1, [[1, -1.817120592832139658891211756, 3.301927248894626683874609952; 1, 0.9085602964160698294456058781 + 1.573672595132472278291282234*I, -1.650963624447313341937304976 + 2.859552878990809721272226986*I], [1, 2; -1.817120592832139658891211756, 1.817120592832139658891211756 - 3.147345190264944556582564469*I; 3.301927248894626683874609952, -3.301927248894626683874609952 - 5.719105757981619442544453972*I], [3, 0.E-96, 0.E-96; 0.E-96, 9.905781746683880051623829857, 3.74534108 E-96; 0.E-96, 3.74534108 E-96, 32.70817067097851386004181161], [3, 0, 0; 0, 0, -18; 0, -18, 0], [18, 0, 0; 0, 18, 0; 0, 0, 3], [-324, 0, 0; 0, 0, 54; 0, 54, 0], [324, [0, 54, 0]~]], [-1.817120592832139658891211756, 0.9085602964160698294456058781 + 1.573672595132472278291282234*I], [1, x, x^2], [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1], [1, 0, 0, 0, 0, -6, 0, -6, 0; 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, -6; 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0]], [[1, [], []], 5.789932142319291516526504589, 0.9803244459404400962, [2, -1], [3*x^2 + 6*x + 1], 116], [[;], [], []], 0]
gp> bnf.disc /*Kの判別式*/
%15 = -972
gp> bnf.zk /*Kの整数環の基底*/
%16 = [1, x, x^2]
gp> bnf.fu /*Kの基本単数*/
%17 = [3*x^2 + 6*x + 1]
gp> bnf.clgp /*Kのイデアル類群*/
%18 = [1, [], []]
gp> bnf.futu /*Kの基本単数と１の根の生成元*/
%19 = [3*x^2 + 6*x + 1, -1]
[参考文献]
- [1]高木 貞治, "代数的整数論 第２版 一般論及類体論", 岩波書店, 1971(1刷), 1997(13刷), ISBN4-00-005630-1, {3700円}.
- [2]山口 周, "整数論 美しき円分体論・ベルヌーイ数への旅路", 産業図書, 1994, ISBN4-7828-9013-3, {5871円}.
- [3]Nigel P. Smart, "The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations", LMSST 41, Cambridge University Press, 1998, ISBN0-521-64633-2.
- [4]Henri Cohen, "A Course in Computational Algebraic Number Theory", GTM 138, Springer-Verlag New York Inc., 1996, ISBN-387-55640-0.
- [5]C.Batut, K.Belabas, B.Bernardi, H.Cohen, M.Olibier, "A Tutorial for PARI/GP", 2000, Version 2.1.1.
| Last Update: 2005.06.12 |
| H.Nakao |