$\theta$-congruent number

[2002.03.16]θ-合同数

π/3-有理三角形,2π/3-有理三角形を探すプログラム(pari/GP)
上記プログラムの実行例(n=67の場合)

合同数の概念を拡張したθ-合同数について、紹介する。

自然数nについて、nが合同数であるとは、面積nで各辺の長さが有理数である直角三角形が存在することをいう。
直角三角形という部分を、ある条件を満たす角θを持つ三角形に拡張したものがθ-合同数である。θ-合同数の定義を述べる。

■θ-合同数
ある実数θ(0<θ<π)に対して、cos θ=s/r (s,r∈Z,r>0,gcd(s,r)=1)とする。このθ(つまり、互いに素な整数s,r)について、一意に決まる値α_θをsqrt(r²-s²)で定義する。
このとき、α_θは高々２次の代数的整数である。

３辺の長さが有理数で、１つの角がθ、面積がnα_θとなる三角形が存在するとき、nはθ-合同数であると言う。

■合同数は、π/2-合同数である。
特に、θ=π/2の場合を考える。
nをπ/2-合同数とする。cos(π/2)=0なので、s=0,r=1とすると、
    α_π/2 = sqrt(1²-0²) = 1
である。よって、３辺の長さが有理数の直角三角形で面積nα_π/2=nとなるものが存在する。これは、nが合同数であることと同値である。よって、π/2-合同数は、合同数に一致する。

また、合同数の場合と同様に、自然数dに対して各辺をd倍した三角形を考えると、nd²のθ-合同性は、nのθ-合同性に帰着できるので、自然数nはsquare-free(２乗因子を含まない)として良い。

■θ-有理三角形
３辺の長さが有理数で、１つの角がθであるような三角形をθ-有理三角形と呼ぶ。

θ-有理三角形の３辺の長さをa,b,c∈Qとし、辺a,bの成す角がθであるとする。
cos θ=s/r、余弦定理より、
    c² = a²+b²-2abs/r ---- (1)
θ-有理三角形の面積がnα_θであることから、
    (1/2)ab(sin θ) = (1/2)abα_θ/r = nα_θ
なので、
    n =ab/(2r) ------ (2)
を得る。

(1),(2)から、
    c²/4 + (r+s)n = {(a+b)/2}² ---- (3)
    c²/4 - (r-s)n = {(a-b)/2}² ---- (4)
ここで、x = c²/4とすると、xは有理数の平方数であり、同時に、x+(r+s)n, x-(r-s)nも有理数の平方数である。
よって、これらの積x(x+(r+s)n)(x-(r-s)n)が有理数の平方数y²になることが必要である。
これより、x,yの方程式
    y²=x(x+(r+s)n)(x-(r-s)n) ------ (5)
を得る。楕円曲線(5)は自明な位数2の有理点(0,0),(-(r+s)n,0),((r-s)n,0)を持つ。楕円曲線(5)の有理点(x,y)で自明でないもの(位数が3以上のもの)が存在すれば、xからθ-合同三角形の３辺の長さa,b,cを求めることができるだろうと予想できる。
素朴なアイデアとしては、(5)のMordell-Weil群のrankが正ならば、(5)の有理点の自由部分群の基底の１つを(x,y)として、(x,y),(x,y)の２倍点,(x,y)の３倍点,...のx座標を順に求めて、x,x+(r+s)n,x-(r-s)nが全て正かつ有理数の平方数になるものを探す。
(5)のMordell-Weil群のrankが0ならば、ねじれ点で位数が３以上になる点(x,y)で、x,x+(r+s)n,x-(r-s)nが全て正かつ有理数の平方数になるものを探す。
xをうまく選択すると、
    a = sqrt(x+(r+s)n)+sqrt(x-(r-s)n)
    b = |sqrt(x+(r+s)n)-sqrt(x-(r-s)n)|
    c = 2*sqrt(x)
として、(a,b,c)がある三角形の３辺の長さになることを示せば良い。

■θ-合同数と楕円曲線との関係
自然数nと実数θ(ただし、cos θ∈Q, s,r∈Zは先に定義したものと同様)について、楕円曲線E_n,θを
     E_n,θ: y²=x(x+(r+s)n)(x-(r-s)n)
で与える。

以下の定理(Fujiwara)が証明されている。

nがθ-合同数である必要十分条件は、E_n,θが位数3以上の有理点を持つことである。
さらに、n≠1,2,3,6の時、nがθ-合同数である必要十分条件は、E_n,θ(Q)のMordell-Weil rankが正となることである。

■π/3-合同数、2π/3-合同数
参考文献[1]では、以下の３つの定理を証明している。

素数pについて、p≡7,11,13 (mod 24)なら、pは2π/3-合同数ではない。[!]
p_iを24を法として、i(i=1,5,7,11,13,17,19,23)に合同な素数とする。
以下の条件を満たす自然数nはπ/3-合同数ではない。[!!]
- n = 2p₇
- n = 2p₁₃
- n = 3p₅
- n = 3p₁₇
- n = 3p₁₉
- n = p₁p₅, (p₅/p₁) = -1
- n = p₁p₇, (p₇/p₁) = -1
- n = p₅p₁₁, (p₁₁/p₅) = -1
- n = p₅p₂₃, (p₂₃/p₅) = -1
- n = p₇p₁₁, (p₁₁/p₇) = 1
- n = p₇p₁₃, (p₁₃/p₇) = -1
- n = p₁₁p₁₇, (p₁₇/p₁₁) = -1
- n = p₁₃p₁₇, (p₁₇/p₁₃) = -1
- n = p₁₇p₂₃, (p₂₃/p₁₇) = -1
- n = p₁₉p₂₃, (p₂₃/p₁₉) = 1
また、以下の条件を満たす自然数nは2π/3-合同数ではない。[!!]
- n = 2p₁₃
- n = 2p₁₉
- n = 3p₁₇
- n = p₁p₇, (p₇/p₁) = -1
- n = p₁p₁₁, (p₁₁/p₁) = -1
- n = p₁p₁₃, (p₁₃/p₁) = -1
- n = p₅p'₅, p₅≠p'₅
- n = p₅p₇, (p₇/p₅) = -1
- n = p₅p₁₁, (p₁₁/p₅) = 1
- n = p₅p₁₇, (p₁₇/p₅) = -1
- n = p₇p'₇, p₇≠p'₇
- n = p₇p₁₉, (p₁₉/p₇) = 1
- n = p₁₁p₂₃, (p₂₃/p₁₁) = 1
- n = p₁₃p₁₉, (p₁₉/p₁₃) = -1
- n = p₁₃p₂₃, (p₂₃/p₁₃) = -1
- n = p₁₇p₁₉, (p₁₉/p₁₇) = -1
- n = p₁₇p₂₃, (p₂₃/p₁₇) = -1
ただし、(・/・)は、Legendre Symbolを意味する。
素数pについて、p≡23 (mod 24)ならば、pはπ/3-合同数かつ2π/3-合同数である。[@]

■100以下のsquare-freeな自然数nについて、π/3-合同数あるいは2π/3-合同数かどうかを調べてみる。
E_n,π/3(Q),E_n,2π/3(Q)を調べるために、Cremonaのmwrankを使った。
これらのMordell-Weil群の位数3以上の有理点から、π/3-有理三角形あるいは2π/3-有理三角形を探すプログラムをpari/GPで作成した。

	E_n,π/3: y²=x(x+3n)(x-n) =x³+2nx²-3n²x Δ(E_n,π/3)=2304n⁶=2⁸・3²n⁶ j(E_n,π/3)=35152/9=2⁴・13²/3²		E_n,2π/3: y²=x(x+n)(x-3n) =x³-2nx²-3n²x Δ(E_n,2π/3)=2304n⁶=2⁸・3²n⁶ j(E_n,2π/3)=35152/9=2⁴・13²/3²
n	E_n,π/3(Q)_tors E_n,π/3(Q)_torsの生成元 rank(E_n,π/3) E_n,π/3(Q)/E_n,π/3(Q)_torsの生成元 conductor of E_n,π/3	nはπ/3-合同数か？ π/3-有理三角形(a,b,c): c²=a²+b²-ab, ab=4n	E_n,2π/3(Q)_tors E_n,2π/3(Q)_torsの生成元 rank(E_n,2π/3) E_n,2π/3(Q)/E_n,2π/3(Q)_torsの生成元 conductor of E_n,2π/3	nは2π/3-合同数か？ 2π/3-有理三角形(a,b,c): c²=a²+b²+ab, ab=4n	n
1	Z/4Z×Z/2Z [3,6],[0,0] 0 - 24	π/3-合同数 (2,2,2)	Z/2Z×Z/2Z [3,0],[0,0] 0 - 48	2π/3-非合同数	1
2	Z/2Z×Z/2Z [3,0],[0,0] 0 - 192	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [6,0],[0,0] 0 - 192	2π/3-非合同数	2
3	Z/2Z×Z/2Z [3,0],[0,0] 0 - 144	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [9,0],[0,0] 0 - 72	2π/3-非合同数	3
5	Z/2Z×Z/2Z [5,0],[0,0] 0 - 600	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [15,0],[0,0] 1 [-1,-8] 1200	2π/3-合同数 (5/2, 8, 19/2), (231/76, 1520/231, 149521/17556), (138088/316303, 1581515/34522, 502638430579/10919412166), ...	5
6	Z/2Z×Z/2Z [6,0],[0,0] 1 [-2,-16] 576	π/3-合同数 (3, 8, 7), (55/14, 336/55, 4129/770), (10088/9519, 28557/1261, 265702087/12003459), ...	Z/2Z×Z/2Z [18,0],[0,0] 0 - 576	2π/3-非合同数	6
7	Z/2Z×Z/2Z [7,0],[0,0] 0 - 2352	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [21,0],[0,0] 0 - 1176	2π/3-非合同数!!	7
10	Z/2Z×Z/2Z [10,0],[0,0] 1 [-6,-48] 4800	π/3-合同数 (5, 8, 7), (39/14, 560/39, 7201/546), (27032/11023, 55115/3379, 567403207/37246717), ...	Z/2Z×Z/2Z [30,0],[0,0] 1 [80,600] 4800	2π/3-合同数 (16/3, 15/2, 67/6), (1001/804, 32160/1001, 26371921/804804), (260774145/70717798, 565742384/52154829, 48267550970400547/3688274661946542), ...	10
11	Z/2Z×Z/2Z [11,0],[0,0] 1 [75,-720] 5808	π/3-合同数 (55/12, 48/5, 499/60), (256151/59880, 2634720/256151, 137273178001/15338321880), (466054449552/1324184441515, 14566028856665/116513612388, 19261015351832597364924499/ 154285512748898965487820), ...	Z/2Z×Z/2Z [33,0],[0,0] 0 - 2904	2π/3-非合同数!!	11
13	Z/2Z×Z/2Z [13,0],[0,0] 1 [-12,-90] 4056	π/3-合同数 (104/15, 15/2, 217/30), (7361/13020, 677040/7361, 8788093921/95840220), (121422744945/18962676358, 986059170616/121422744945, 17068073105316034630297/ 2302500214892015510310), ...	Z/2Z×Z/2Z [39,0],[0,0] 0^* - 8112	2π/3-非合同数!	13
14	Z/2Z×Z/2Z [14,0],[0,0] 0 - 9408	π/3-非合同数!!	Z/2Z×Z/2Z [42,0],[0,0] 2 [-7,-49], [50,160] 9408	2π/3-合同数 (7, 8, 13), (3, 56/3, 61/3), (16/5, 35/2, 193/10), (15/26, 1456/15, 37969/390), (1176/323, 323/21, 118621/6783), (20496/3055, 3055/366, 14607889/1118130), (216160/29601, 29601/3860, 1481568001/114259860), ...	14
15	Z/2Z×Z/2Z [15,0],[0,0] 0 - 3600	π/3-非合同数!!	Z/2Z×Z/2Z [45,0],[0,0] 1 [-5,-50] 1800	2π/3-合同数 (6, 10, 14), (16/7, 105/4, 769/28), ...	15
17	Z/2Z×Z/2Z [17,0],[0,0] 1 [-1,-30] 6936	π/3-合同数 (34/15, 30, 434/15), (55335/12584, 50336/3255, 565316449/40960920), ...	Z/2Z×Z/2Z [51,0],[0,0] 1 [-169/25,-7904/125] 13872	2π/3-合同数 (1105/152, 608/65, 142609/9880), (3381886431/2817953840, 191620861120/3381886431, 545787202788503108161/ 9529999854680345040), ...	17
19	Z/2Z×Z/2Z [19,0],[0,0] 0 - 17328	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [57,0],[0,0] 1 [-1216/289,-303240/4913] 8664	2π/3-合同数 (544/105, 1995/136, 254659/14280), (38406143369/7273061040, 552752639040/38406143369, 4926224221841941530961/ 279330225033728243760), ...	19
21	Z/2Z×Z/2Z [21,0],[0,0] 1 [-27, -216] 3528	π/3-合同数 (8, 21/2, 19/2), (185/76, 6384/185, 469009/14060), ...	Z/2Z×Z/2Z [63,0],[0,0] 1 [-189/25, -10584/125] 7056	2π/3-合同数 (15/2, 56/5, 163/10), (6919/3260, 273840/6919, 917591761/22555940), ...	21
22	Z/2Z×Z/2Z [22,0],[0,0] 1 [-50, -240] 23232	π/3-合同数 (24/5, 55/3, 247/15), (652080/70441, 70441/7410, 4898218081/521967810), ...	Z/2Z×Z/2Z [66,0],[0,0] 1 [-704/81, -67760/729] 23232	2π/3-合同数 (288/35, 385/36, 20707/1260), (74080201/52181640, 4591984320/74080201, 242407805300782801/3865626379709640), ...	22
23	Z/2Z×Z/2Z [23,0],[0,0] 1 [15987/169, 2312640/2197] 25392	π/3-合同数@ (21827/2640, 10560/949, 25075873/2505360), (348142723284671/125648178358560, 11559632408987520/348142723284671, 1395797409328911093169010432641/ 43743498989507141340389633760), ...	Z/2Z×Z/2Z [69,0],[0,0] 1 [1127, 37030] 12696	2π/3-合同数@ (14/5, 230/7, 1202/35), (483805/82056, 328224/21035, 33211913569/1726047960), ...	23
26	Z/2Z×Z/2Z [26,0],[0,0] 0 - 32448	π/3-非合同数!!	Z/2Z×Z/2Z [78,0],[0,0] 0 - 32448	2π/3-非合同数!!	26
29	Z/2Z×Z/2Z [29,0],[0,0] 0 - 20184	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [87,0],[0,0] 1 [-529/25, -16744/125] 40368	2π/3-合同数 (728/115, 3335/182, 464179/20930), (129536235609/19430532940, 2253941821040/129536235609, 54170589294458251489681/ 2516958092924275460460), ...	29
30	Z/2Z×Z/2Z [30,0],[0,0] 1 [54, 432] 14400	π/3-合同数 (8, 15, 13), (161/26, 3120/161, 71761/4186), ...	Z/2Z×Z/2Z [90,0],[0,0] 0 - 14400	2π/3-非合同数	30
31	Z/2Z×Z/2Z [31,0],[0,0] 0 - 46128	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [93,0],[0,0] 0 - 23064	2π/3-非合同数!	31
33	Z/2Z×Z/2Z [33,0],[0,0] 0 - 8712	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [99,0],[0,0] 1 [7425/64, -277695/512] 17424	2π/3-合同数 (187/40, 480/17, 20971/680), (3764713920/358533959, 358533959/28520560, 204585420100751281/10225589289697040), ...	33
34	Z/2Z×Z/2Z [34,0],[0,0] 1 [98, -1120] 55488	π/3-合同数 (80/7, 119/10, 817/70), (53889/114380, 15555680/53889, 1777808445121/6163823820), ...	Z/2Z×Z/2Z [102,0],[0,0] 1 [-50/9, -3520/27] 55488	2π/3-合同数 (255/44, 352/15, 17713/660), (225247519/23381160, 3179837760/225247519, 108967995559316161/5266548281342040), ...	34
35	Z/2Z×Z/2Z [35,0],[0,0] 1 [135, -1800] 58800	π/3-合同数 (21/2, 40/3, 73/6), (2431/876, 122640/2431, 104603041/2129556), ...	Z/2Z×Z/2Z [105,0],[0,0] 0 - 29400	2π/3-非合同数!! (7/5)=-1	35
37	Z/2Z×Z/2Z [37,0],[0,0] 1 [-972/169, -353430/2197] 32856	π/3-合同数 (34632/6545, 6545/234, 39414937/1531530), (17868086905228560/1769337710134081, 1769337710134081/120730316927220, 2775009993398190480886006452961/ 213612702495769313090118584820), ...	Z/2Z×Z/2Z [111,0],[0,0] 0^* - 65712	2π/3-非合同数	37
38	Z/2Z×Z/2Z [38,0],[0,0] 0^* - 69312	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [114,0],[0,0] 0 - 69312	2π/3-非合同数!!	38
39	Z/2Z×Z/2Z [39,0],[0,0] 2 [-9, -216], [75, -720] 24336	π/3-合同数 (13/2, 24, 43/2), (48/5, 65/4, 283/20), (2135/172, 26832/2135, 4586929/367220), (68761/11320, 1765920/68761, 18095527921/778374520), ...	Z/2Z×Z/2Z [117,0],[0,0] 1 [-27, -216] 12168	2π/3-合同数 (8, 39/2, 49/2), (1265/196, 30576/1265, 6932929/247940), ...	39
41	Z/2Z×Z/2Z [41,0],[0,0] 1 [-121, -198] 40344	π/3-合同数 (18/11, 902/9, 9842/99), (19974339/6151240, 24604960/487179, 146727689184481/2996754951960), ...	Z/2Z×Z/2Z [123,0],[0,0] 1 [-529/169, -268640/2197] 80688	2π/3-合同数 (12259/2920, 11680/299, 36078241/873080), (10331734533947840/1149756493635519, 1149756493635519/62998381304560, 1741149368238334544606180434561/ 72432797993444338796372666640), ...	41
42	Z/2Z×Z/2Z [42,0],[0,0] 1 [-108, -540] 28224	π/3-合同数 (5, 168/5, 157/5), (263760/27599, 27599/1570, 660493201/43330430), ...	Z/2Z×Z/2Z [126,0],[0,0] 0 - 28224	2π/3-非合同数	42
43	Z/2Z×Z/2Z [43,0],[0,0] 0 - 88752	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [129,0],[0,0] 1 [-346820800/29604481, -36580320973560/161077981121] 44376	2π/3-合同数 (61809760/6966141, 299544063/15452440, 2694329789198083/107643875834040), (3441937557409803944571408039689/ 580056202568787228148788290640, 99769666841831403241591585990080/ 3441937557409803944571408039689, 6461521339645032938669590116503\ 6207836516662175882692223882321/ 199651722903001795639304271660\ 7125023019929401735279587210960), ...	43
46	Z/2Z×Z/2Z [46,0],[0,0] 1 [54, 288] 101568	π/3-合同数 (16/3, 69/2, 193/6), (426144/41825, 41825/2316, 1519120129/96866700), ...	Z/2Z×Z/2Z [138,0],[0,0] 1 [6962/49, 113280/343] 101568	2π/3-合同数 (960/413, 9499/120, 3981937/49560), (72622885560960/15377340569569, 15377340569569/394689595440, 252019848187153344748416961/ 6069276328346287785165360), ...	46
47	Z/2Z×Z/2Z [47,0],[0,0] 1 [98739507/2076481, 210381756480/2992209121] 106032	π/3-合同数@ (12223680/8267017, 388549799/3055920, 3193634349088033/25263342590640), (30336386380012705707097320981120/ 10316498083182097149582423693889, 10316498083182097149582423693889/ 161363757340493115463283622240, 10406891943544810822581231570465\ 1939833410268570044768548129921/ 166470889329825828420927683991\ 4306166733196426578296872491360), ...	Z/2Z×Z/2Z [141,0],[0,0] 1 [45167/289, 3423950/4913] 53016	2π/3-合同数@ (2350/527, 1054/25, 587042/13175), (181755541225/19067626704, 76270506816/3867139175, 1905571067653994945089/73737166201314529200), ...	47
51	Z/2Z×Z/2Z [51,0],[0,0] 0 - 41616	π/3-非合同数!!	Z/2Z×Z/2Z [153,0],[0,0] 0 - 20808	2π/3-非合同数!!	51
53	Z/2Z×Z/2Z [53,0],[0,0] 0 - 67416	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [159,0],[0,0] 1 [-167281/4225, -89165272/274625] 134832	2π/3-合同数 (218008/26585, 1409005/54502, 44602537459/1448935670), (1261952692503040401369/ 129252414993712525060, 27401511978667055312720/ 1261952692503040401369, 4551935684502213259050\ 159134475130798895761/ 16311043311383587078\ 9934163737584870807140), ...	53
55	Z/2Z×Z/2Z [55,0],[0,0] 2 [75, 600], [1280, -47600] 145200	π/3-合同数 (8, 55/2, 49/2), (704/119, 595/16, 65899/1904), (2769/196, 43120/2769, 8088001/542724), (55207546240/4886470329, 4886470329/250943392, 20767100097415047601/1226227439266615968), ...	Z/2Z×Z/2Z [165,0],[0,0] 0 - 72600	2π/3-非合同数!! (11/5)=1	55
57	Z/2Z×Z/2Z [57,0],[0,0] 0 - 25992	π/3-非合同数!!	Z/2Z×Z/2Z [171,0],[0,0] 1 [-9408/169, -284760/2197] 51984	2π/3-合同数 (1695/728, 55328/565, 40766059/411320), (7646160296873280/1621463299113031, 1621463299113031/33535790775760, 2766280960013502001815376893361/ 54377053949628162799414928560), ...	57
58	Z/2Z×Z/2Z [58,0],[0,0] 1 [-3174/25, -131376/125] 161472	π/3-合同数 (952/115, 3335/119, 341287/13685), (134257254681/9341025190, 2167117844080/134257254681, 19230238254061482464161/ 1254100397915466414390), ...	Z/2Z×Z/2Z [174,0],[0,0] 1 [2358774/13225, 651819168/1520875] 161472	2π/3-合同数 (173264/72105, 2091045/21658, 152685664387/1561650090), (110636893830694112001120/ 22718958587762625944681, 22718958587762625944681/ 476883163063336689660, 5444522267786407019399\ 29669598692887134241361/ 1083428883283719778315\ 6851619207924824698460), ...	58
59	Z/2Z×Z/2Z [59,0],[0,0] 1 [18228675/267289, -54196712640/138188413] 167088	π/3-合同数 (7328832/1274405, 75189895/1832208, 89864009823619/2334975036240), (99039863648640103531553608320/ 9001618455175100086560820489, 9001618455175100086560820489/ 419660439189152981065905120, 7018112255824485568794190049\ 8670951849711908510322659921/ 377762315431196728940928972\ 9442801496517028970626003680), ...	Z/2Z×Z/2Z [177,0],[0,0] 0 - 83544	2π/3-非合同数!	59
61	Z/2Z×Z/2Z [61,0],[0,0] 1 [-108, -1170] 89304	π/3-合同数 (65/6, 1464/65, 7609/390), (59308031/5935020, 1448144880/59308031, 7484039530808161/351994350145620), ...	Z/2Z×Z/2Z [183,0],[0,0] 0^* - 178608	2π/3-非合同数!	61
62	Z/2Z×Z/2Z [62,0],[0,0] 0 - 184512	π/3-非合同数!!	Z/2Z×Z/2Z [186,0],[0,0] 0^* - 184512	2π/3-非合同数	62
65	Z/2Z×Z/2Z [65,0],[0,0] 1 [75, 450] 101400	π/3-合同数 (6, 130/3, 122/3), (11895/1036, 4144/183, 3718129/189588), ...	Z/2Z×Z/2Z [195,0],[0,0] 1 [-1, -112] 202800	2π/3-合同数 (65/28, 112, 3169/28), (46140640/9830271, 9830271/177464, 100977683675521/1744519212744), ...	65
66	Z/2Z×Z/2Z [66,0],[0,0] 1 [-6, -288] 69696	π/3-合同数 (11/2, 48, 91/2), (96096/9095, 9095/364, 71920369/3310580), ...	Z/2Z×Z/2Z [198,0],[0,0] 2 [-2, -160], [3718/9, -176176/27] 69696	2π/3-合同数 (33/10, 80, 817/10), (616/39, 117/7, 7687/273), (4313760/638911, 638911/16340, 447632445121/10439805740), (2227625/4197102, 1108034928/2227625, 4653018753511969/9349569342750), ...	66
67	Z/2Z×Z/2Z [67,0],[0,0] 0 - 215472	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [201,0],[0,0] 1 [-224766668800/3406006321, -26500146916837440/ 198777934899881] 107736	2π/3-合同数 (6828808371/3380269120, 13521076480/101922513, 46056826394932825123/344525523326698560), (8505115188033888352905321542070934663680/ 2088451379545949870481153917764259279671, 2088451379545949870481153917764259279671/ 31735504432962269973527319186831845760, 450265787110556743661226301681955321298\ 8136613503370605687384523764112621106641/ 66278058013606660316013260547009084138\ 992382636474469808531645829140975544960), ...	67
69	Z/2Z×Z/2Z [69,0],[0,0] 1 [1521, 61776] 38088	π/3-合同数 (299/44, 528/13, 21553/572), (6805230432/524617055, 524617055/24656632, 240253579967264449/12935289666058760), ...	Z/2Z×Z/2Z [207,0],[0,0] 1 [9936/25, -742716/125] 76176	2π/3-合同数 (299/20, 240/13, 7537/260), (7931231/3919240, 1081710240/7931231, 4271281672244161/31084397784440), ...	69
70	Z/2Z×Z/2Z [70,0],[0,0] 1 [-10, -400] 235200	π/3-合同数 (7, 40, 37), (20720/1551, 1551/74, 2109361/114774), ...	Z/2Z×Z/2Z [210,0],[0,0] 1 [-560/9, -9800/27] 235200	2π/3-合同数 (35/6, 48, 307/6), (1031520/81719, 81719/3684, 9187693201/301052796), ...	70
71	Z/2Z×Z/2Z [71,0],[0,0] 1 [279309603/3374569, 3327413650560/6199083253] 241968	π/3-合同数@ (114948480/17725213, 1258490123/28737120, 20852523535377601/509371573006560), (6033115781763070120445759635534080/ 486690780514856080829055270537601, 486690780514856080829055270537601/ 21243365428743204649456900125120, 205364248883980664146695762544295\ 800496757057112367342930529350401/ 10338950101277340558805975043389\ 721910149313978947074346564637120), ...	Z/2Z×Z/2Z [213,0],[0,0] 1 [20519/49, 2228122/343] 120984	2π/3-合同数@ (1846/119, 238/13, 45362/1547), (56557920/35087507, 2491212997/14139480, 87813034329690721/496119103476360), ...	71
73	Z/2Z×Z/2Z [73,0],[0,0] 2 [-27, -720], [75, 210] 127896	π/3-合同数 (14/5, 730/7, 3602/35), (219/20, 80/3, 1393/60), (4601555/832056, 3328224/63035, 2636234484769/52448649960), (2128351/167160, 48810720/2128351, 7080406641601/355775153160), ...	Z/2Z×Z/2Z [219,0],[0,0] 0^* - 255792	2π/3-非合同数	73
74	Z/2Z×Z/2Z [74,0],[0,0] 0 - 262848	π/3-非合同数!!	Z/2Z×Z/2Z [222,0],[0,0] 0 - 262848	2π/3-非合同数!!	74
77	Z/2Z×Z/2Z [77,0],[0,0] 0 - 142296	π/3-非合同数!! (11/7)=1	Z/2Z×Z/2Z [231,0],[0,0] 1 [-7/16, -5635/64] 284592	2π/3-合同数 (176/115, 805/4, 92929/460), (26332361440/8569635009, 8569635009/85494680, 74589767558116039681/ 732658202811252120), ...	77
78	Z/2Z×Z/2Z [78,0],[0,0] 1 [441, 10395] 97344	π/3-合同数 (728/55, 165/7, 7879/385), (56386409/6066830, 1892850960/56386409, 10269890711726881/342086757713470), ...	Z/2Z×Z/2Z [234,0],[0,0] 0 - 97344	2π/3-非合同数	78
79	Z/2Z×Z/2Z [79,0],[0,0] 0 - 299568	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [237,0],[0,0] 0 - 149784	2π/3-非合同数!	79
82	Z/2Z×Z/2Z [82,0],[0,0] 1 [5618/49, 398560/343] 322752	π/3-合同数 (3760/371, 15211/470, 4999681/174370), (28723624604961/1743588751940, 571897110636320/28723624604961, 923211104766517231062021121/ 50082188776157025522374340), ...	Z/2Z×Z/2Z [246,0],[0,0] 1 [-3847538/88209, -18242267840/26198073] 322752	2π/3-合同数 (6576160/411939, 16889499/822020, 10734900290161/338622096780), (19184046312857461132090721/ 7270148889957096447563160, 2384608835905927634800716480/ 19184046312857461132090721, 17523373844866256130336662\ 444527840447493732154978241/ 1394708730063062000407530\ 51513872403561916497438360), ...	82
83	Z/2Z×Z/2Z [83,0],[0,0] 1 [256403813403/1846506841, 137624578389642960/ 79346245464611] 330672	π/3-合同数 (156918133680/12562528879, 1042689896957/39229533420, 11350738389711742848403/492822146498445636180), (133684952761489870398741883636931736282407209/ 11187790515120102899445475127453597264041080, 3714346451019874162615897742314594291661638560/ 133684952761489870398741883636931736282407209, 3610510926357272325678306496423386045030103600\ 1564709324992955438694961472968658948587281/ 14956392465192753797545100240505745986014788\ 08099850521946033671807265140062757464145720), ...	Z/2Z×Z/2Z [249,0],[0,0] 0 - 165336	2π/3-非合同数!	83
85	Z/2Z×Z/2Z [85,0],[0,0] 1 [-15, -600] 173400	π/3-合同数 (17/2, 40, 73/2), (99280/6111, 6111/292, 33947041/1784412), ...	Z/2Z×Z/2Z [255,0],[0,0] 0^* - 346800	2π/3-非合同数!! (17/5)=-1	85
86	Z/2Z×Z/2Z [86,0],[0,0] 0^* - 355008	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [258,0],[0,0] 0 - 355008	2π/3-非合同数!!	86
87	Z/2Z×Z/2Z [87,0],[0,0] 0 - 121104	π/3-非合同数!!	Z/2Z×Z/2Z [261,0],[0,0] 1 [-10469/121, -159790/1331] 60552	2π/3-合同数 (290/209, 1254/5, 262814/1045), (11946867405/4292935556, 17171742224/137320315, 74550995809467228769/589507262824620140), ...	87
89	Z/2Z×Z/2Z [89,0],[0,0] 1 [-32761/289, -9223398/4913] 190104	π/3-合同数 (50958/3077, 547706/25479, 1528996322/78398883), (288617797090881280/59935801877954163, 5334286367137920507/72154449272720320, 309827555748638671119028635222075841/ 4324634776222658946133447278692160), ...	Z/2Z×Z/2Z [267,0],[0,0] 1 [-121/289, -489280/4913] 380208	2π/3-合同数 (16643/11120, 44480/187, 496181041/2079440), (734626437174692480/244636884185717919, 244636884185717919/2063557407794080, 60619394962016903646129048203309761/ 504822254581100632359270918119520), ...	89
91	Z/2Z×Z/2Z [91,0],[0,0] 0 - 397488	π/3-非合同数!! (13/7)=-1	Z/2Z×Z/2Z [273,0],[0,0] 1 [-1456/25, -99372/125] 198744	2π/3-合同数 (273/20, 80/3, 2131/60), (1889239/255720, 93082080/1889239, 25773587707921/483116197080), ...	91
93	Z/2Z×Z/2Z [93,0],[0,0] 0 - 69192	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [279,0],[0,0] 1 [-188325/1026169, -71685333720/1039509197] 138384	2π/3-合同数 (45585/46046, 5709704/15195, 263256045859/699668970), (137038912320614835651120/ 69120678473934239581831, 69120678473934239581831/ 368384172904878590460, 48031086550385244876774\ 46199465209770243710161/ 2546296397024431053993\ 4917742471175105932260), ...	93
94	Z/2Z×Z/2Z [94,0],[0,0] 1 [486, 12096] 424128	π/3-合同数 (423/28, 224/9, 5473/252), (24844735/2758392, 1037155392/24844735, 2607631472815489/68531518266120), ...	Z/2Z×Z/2Z [282,0],[0,0] 1 [2658818/49, 4327900800/343] 424128	2π/3-合同数 (379337/234600, 1876800/8071, 441836050177/1893456600), (629121233764830007286400/ 193852321203711756828671, 193852321203711756828671/ 1673194770651143636400, 38115946674247117436092\ 684910228333136980106241/ 3243526901166363214664\ 09801769523366719224400), ...	94
95	Z/2Z×Z/2Z [95,0],[0,0] 1 [320, -6600] 433200	π/3-合同数 (608/33, 165/8, 5179/264), (5989529/2734512, 1039114560/5989529, 2823704926016881/16378438924848), ...	Z/2Z×Z/2Z [285,0],[0,0] 1 [-76, -722] 216600	2π/3-合同数 (19/2, 40, 91/2), (6039/364, 138320/6039, 75506161/2198196), ...	95
97	Z/2Z×Z/2Z [97,0],[0,0] 0^* - 225816	π/3-非合同数	Z/2Z×Z/2Z [291,0],[0,0] 2 [-121/25, -45408/125], [101910625/278784, 522630196975/147197952] 451632	2π/3-合同数 (5335/1032, 4128/55, 4414129/56760), (5256527/541200, 2164800/54191, 1336974446593/29328169200), (194423666543040/18062319698591, 18062319698591/501091924080, 384334737505569735514226881/ 9050882531115049854971280), ...	97
---	---	---	---	---	---
191	Z/2Z×Z/2Z [191,0],[0,0] 1 [12804274318478396698659/ 3395785273999850017, -822231053452532502239040/ 3395785273999850017] 1751088	π/3-合同数@ (15298197437849183/1285836673102320, 5143346692409280/80095274543713, 6093948713754558407726167288321/ 102989441350504865478161714160), ...	Z/2Z×Z/2Z [573,0],[0,0] 1 [101039/49, 28528142/343] 875544	2π/3-合同数@ (322/17, 6494/161, 143522/2737), (2375031360/196409857, 37514282687/593757840, 8165120898295583041/116619892447028880), ...	191
---	---	---	---	---	---
1583	Z/2Z×Z/2Z [1583,0],[0,0] 1 [5369195434234340213489688746959694\ 6752443656152752085161295750474227/ 3216352535486901089527253385322088\ 40552414621383539446663082369, 3970873675330389040434244798556546\ 5321459735896107862773722646555133\ 0137138700292931160788400635516160/ 5768268488456127104940405861819031\ 8489092126242403126855519957752236\ 66274354737310586554860097] 120282672	π/3-合同数@ (12010379100197414025392009405041271\ 3039328899350998896543095003350887/ 78218745510631137055500958555409195\ 71877476967523820643103961498560, 31287498204252454822200383422163678\ 287509907870095282572415845994240/ 75870998737823209257056281775371265\ 343859064656348007923622870089, 24030030483419888769732334381259514\ 91787356032589880457125357907875885\ 28115472445391667616516629235747966\ 333606797279574720380678872993/ 59345343419112098149904681592609160\ 55964513560995237083510541923072517\ 49134073451250795297433820945113965\ 837083136034825740640571840), (18059755690099856921651759012043568\ 42456386631343415119969910670487213\ 23023951365127857885049906670274859\ 78126526332797880225873406812417077\ 84244735611245294019411956535941096\ 33389022480008251685968664044792707\ 43958376420810563577384892145344299\ 10904922384052683344007680/ 59808212981808114113230022519713106\ 52245541304964857119062036633198843\ 50122039841925817148357901793601567\ 95025468760686616558413184816637533\ 64415278401523303085714865741459371\ 64843122464385013562798300387836033\ 10045465613120603793491297575697316\ 600977718482228877122751, 59808212981808114113230022519713106\ 52245541304964857119062036633198843\ 50122039841925817148357901793601567\ 95025468760686616558413184816637533\ 64415278401523303085714865741459371\ 64843122464385013562798300387836033\ 10045465613120603793491297575697316\ 00977718482228877122751/28521408228\ 20571213147782535066893307732764736\ 80261389761514635263299625748501840\ 06294675465872815899377729195398504\ 10277988925048454266752659893770706\ 32548013173082207192213571366112571\ 08062489887660146050648679656311466\ 85180602871903371027210851081684118\ 84504634240, 33493161909154228287936066724188782\ 12218473423490554354686937092126591\ 46453011750697158779792070365789821\ 72976713574370354186660260437654482\ 94571598500622401248487733537445242\ 04621776851638489837069020695214659\ 56660130423905615594013555723225870\ 08165989754323282368068565335111067\ 69413192103489065375084057055319320\ 83948372485878181402421296276819554\ 10185439658193322614499427936762556\ 91064711757537549511389775846505665\ 96606540235208712804550481935517570\ 10006508188985784959657343437395459\ 36035740404345390033772295836301491\ 0111778166401/ 17058144578536216351586091796786091\ 09513090782676905701555139015639708\ 42876081163384363058710864021726510\ 96258745152817488378507390843453741\ 94096166500664583966926072722918470\ 05644877819516047118978762416083353\ 35776752302606849063088716245041936\ 01864133256991675052919337183732140\ 94690016520824558141689702762061858\ 46202977296984834921729512031967315\ 34714500676030357531327295327895494\ 77810789581225524673595702073206626\ 31207968011247427075748628367036804\ 25727592964922761188084393651439857\ 10269003881211929671940307685180857\ 76837594240), ...	Z/2Z×Z/2Z [4749,0],[0,0] 1 [1009679827220274675/ 80109105236161, 849735725491620571624778730/ 717006052123473093409] 60141336	2π/3-合同数@ (16439290249661837710/244118905969480367, 488237811938960734/5192447962622185, 177949624413143565751332508060744322/ 1267574715938785087338783196141895), (17298604404077280984977937551507028\ 05832801093906583487312369952756096/ 1127822223084519756539628568018113\ 29580463932107663031888646213785095, 178534257914279477460223202317267334\ 725874404526430579479726956421805385/ 4324651101019320246244484387876757\ 01458200273476645871828092488189024, 20519772877201716596266432469630477\ 04819835667843955855796247807525650\ 16381974404720355715646514177557817\ 21376574965936201527289247340854529/ 4877437618816525784245351363143414\ 8924848111633256237504899794373640\ 4937754781787482187047856878383383\ 21820156395092157543677780873797280), ...	1583
---	---	---	---	---	---
2039	Z/2Z×Z/2Z [2039,0],[0,0] 1 [500506537134642336659558261980034776285439189\ 66342677609412809406242201491098247824336403/ 13533563765013555843226042402492478519755957\ 196518902156846636563649647704881838441, 112035006981902929878685248180486137963796631\ 777932317075359973375723239953828348360202437\ 40024114606048932639134821368768500199273600/ 157441152518890776729952322581840182882998836\ 343993631619109475842404279045931560077000346\ 2303142075227994238030431676999989] 199561008	π/3-合同数@ (306385044432829766463950455375042496144572182\ 18356839449036037671734773136140871626662419/ 722816819511123903957390107890609263451664747\ 3230585296704952764527261974415756508047200, 289126727804449561582956043156243705380665898\ 92922341186819811058109047897663026032188800/ 150262405312814990909244951140285677363694056\ 98066130185893103321105823019196111636421, 208755851798889599360020830981005335171709448\ 227446926917694493534174825817371064427335120\ 204311204434825608253838301809140270967999711\ 200354164831304704783385245711583823317601/ 108612193900300338886048027779812917011080486\ 203306216563188133768274237868871143854104278\ 139794655834959648273744354926827780169924545\ 572599842885870893942696617047107071200), (369849007343115583368662130728321151582500162\ 276110860262083707496159360487326692660458722\ 222713713561500232694430561961117115821251219\ 985735100006547139906311032769332800894062119\ 105780045859209363826171632913118674927278600\ 193694249513326551571530489770972977122243306\ 467080674714290936131729970397553447564271607\ 864414181836000560332428732885358854400/ 436747948982224649163718446159250175040477496\ 524019093802767487473179195664952385797042257\ 664394929337666465323237655516852942646729967\ 198006953721475434221887490949897416145163762\ 762687996959377486052625624968809065862747125\ 990609190843675334331307496567012751378446782\ 369322860016918084529582270946529481583753662\ 42501003267716033860419395973930964799, 436747948982224649163718446159250175040477496\ 524019093802767487473179195664952385797042257\ 664394929337666465323237655516852942646729967\ 198006953721475434221887490949897416145163762\ 762687996959377486052625624968809065862747125\ 990609190843675334331307496567012751378446782\ 369322860016918084529582270946529481583753662\ 42501003267716033860419395973930964799/ 453468621068067169407383681618834173102624034\ 178654806598925585453849142333652148921602160\ 645799060276483855682234627220594796249694973\ 008503065236080357903765366318456107030483225\ 975698928223650519649548348348600631347815841\ 336064553106089445281425318502909486417659767\ 615351489350528367008006339379050328058204521\ 65818315575772506171214901040382400, 189915750524378998630938398342255581324177702\ 657262320641522273197863307464616108358875604\ 426011118426398041709979979012604174371125579\ 669999249059514198614369641602204506258627306\ 294981589265330833125732617595077279633503119\ 569425469760470207198399215871853134934003475\ 837260590190193034982640658932010953466724343\ 719200718341613808247850460556949513235400144\ 468736554626215470520045396034002849028409937\ 723016166906409204466883181792137604559457275\ 580439029609069707068338673836913493961009079\ 565006244210131471011320940968340590248872764\ 932250580771710304621846419502381934045964888\ 253229711661892908689740339452913663112780316\ 473447226980031540512498997798240768204407492\ 0809351588890665793227615830401/ 198051490179275961800180657598543892420684243\ 261248698332008870217878883294251197517529729\ 213169069900394308509884085636377277658748327\ 370777523495180609853783862936808425376374387\ 282229505975407036147336328337776295987489963\ 460229523636531050386733597418497709042982910\ 564949269427806767330199313333581582238240144\ 381612883408186163895542987044553277579087081\ 426864878593659396798640390260893725410771197\ 997279650512560326609492046767693047137746043\ 124595124221497681307631497567221961978269191\ 630682353869437216933930826310589856891862451\ 920152157079184288636711361442115334175747820\ 472213800719285032880088299750976009751725249\ 203626983673702990382106664166966523609360662\ 4239405228872939691899137600), ...	Z/2Z×Z/2Z [6117,0],[0,0] 1 [1301146576116859521747036311/ 3112555705896294528049, 46703019356647046694277885494323935722826/ 173650364485145856786552841575593] 99780504	2π/3-合同数@ (89133931107869573473198/7031144327156015001179, 28673006566142229174807962/44566965553934786736599, 203619325887790636644152984834372643535677913202/ 313356767033106103474434490264672606547450221), ...	2039

100以下のsquare-freeな自然数nについて、π/3-合同数と2π/3-合同数を整理すると、以下のようになる。

π/3-合同数と判明したものは、
1, 6, 10, 11, 13, 17, 21, 22, 23, 30, 34, 35, 37, 39, 41, 42, 46, 47, 55, 58,
59, 61, 65, 66, 69, 70, 71, 73, 78, 82, 83, 85, 89, 94, 95
である[35個]。
π/3-合同数かどうか不明なものは、38, 86, 97である[3個]。→いずれもπ/3-非合同数と判明[2004.05.25]。
2π/3-合同数と判明したものは、
5, 10, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 33, 34, 39, 41, 43, 46, 47, 53, 57, 58,
65, 66, 67, 69, 70, 71, 77, 82, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97
である[35個]。
2π/3-合同数かどうか不明なものは、13, 37, 61, 62, 73, 85である[6個]。→いずれも2π/3-非合同数と判明[2004.05.25]。

[2004.05.25追記]
38, 86, 97は全てπ/3-非合同数であることが確認できた[3個]。
また、13, 37, 61, 62, 73, 85は全て2π/3-非合同数であることが確認できた[6個]。

n=38, 86, 97に対して、L-関数 L(E_n,π/3,s)はs=1における値が消えない、つまり、
     L(E_38,π/3,1) ≒ 5.597328528449898916869873787 != 0
     L(E_86,π/3,1) ≒ 3.720689003623922774491474942 != 0
     L(E_97,π/3,1) ≒ 3.503375828383049849659567562 != 0
であるので、
     rank(E_38,π/3) = 0
     rank(E_86,π/3) = 0
     rank(E_97,π/3) = 0
であることが分かる。
よって、38,86,97は、いずれもπ/3-非合同数である。

また、n=13, 37, 61, 62, 73, 85に対して、L-関数 L(E_n,2π/3,s)はs=1における値が消えない、つまり、
     L(E_13,2π/3,1) ≒ 3.740344210405186562424120546 != 0
     L(E_37,2π/3,1) ≒ 2.217085209446700179058713725 != 0
     L(E_61,2π/3,1) ≒ 1.726705726207817166732810994 != 0
     L(E_62,2π/3,1) ≒ 3.425448146429054313954540529 != 0
     L(E_73,2π/3,1) ≒ 6.313668973233612117202162744 != 0
     L(E_85,2π/3,1) ≒ 5.851049539799336661680858620 != 0
であるので、
     rank(E_13,2π/3) = 0
     rank(E_37,2π/3) = 0
     rank(E_61,2π/3) = 0
     rank(E_62,2π/3) = 0
     rank(E_73,2π/3) = 0
     rank(E_85,2π/3) = 0
であることが分かる。
よって、13, 37, 61, 62, 73, 85は、いずれも2π/3-非合同数である。

以上より、100以下の平方因子を含まない自然数nについて、π/3-合同数(35個)と、2π/3-合同数(35個)を、完全に決定できた。

[pari/gpによる計算]

gp>  read("theta-congr.gp")
time = 32 ms.
gp>  elllseries(ec1(38),1)
time = 640 ms.
%1 = 5.597328528449898916869873787
gp>  elllseries(ec1(86),1)
time = 1,175 ms.
%2 = 3.720689003623922774491474942
gp>  elllseries(ec1(97),1)
time = 762 ms.
%3 = 3.503375828383049849659567562
gp>  elllseries(ec2(13),1)
time = 155 ms.
%4 = 3.740344210405186562424120546
gp>  elllseries(ec2(37),1)
time = 415 ms.
%5 = 2.217085209446700179058713725
gp>  elllseries(ec2(61),1)
time = 676 ms.
%6 = 1.726705726207817166732810994
gp>  elllseries(ec2(62),1)
time = 684 ms.
%7 = 3.425448146429054313954540529
gp>  elllseries(ec2(73),1)
time = 805 ms.
%8 = 6.313668973233612117202162744
gp>  elllseries(ec2(85),1)
time = 939 ms.
%9 = 5.851049539799336661680858620

[2003.09.23追記]
mwrank3により、このように、2039が2π/3-合同数であることが確認できた。
これより、
     rank(E_2039,2π/3) = 1
であり、E_2039,2π/3(Q)/E_2039,2π/3(Q)_torsの生成元は、
     [1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 46703019356647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593]
     = [2039*(7*79*1444539319/55790283257)², (2*71*109*2039²*6673*25889*26209*200657*1444539319)/55790283257³]
であり、最小の2π/3-有理三角形は、
     (89133931107869573473198/7031144327156015001179,
         28673006566142229174807962/44566965553934786736599,
         203619325887790636644152984834372643535677913202/313356767033106103474434490264672606547450221)
であり、２番目の2π/3-有理三角形は、
     (65049700792138862306225729536840930704375072877507017319914642431843127162479876047149165136019/
         2539275735087582366863073759093986651398949214529688721783686771249732727296433077533231489800,
         10157102940350329467452295036375946605595796858118754887134747084998930909185732310132925959200/
         31902746832829260571959651562943075382233973946791082550227877602669508171888119689626858821,
         2688944583193117328094504658308718489770434722432220260393205337009993146858808138299804221930\
         8250532970140744647936091629274261770329740241394476958306881485383504099414259465444416946401/
         810098709152455608454219813621926429170784939180222682613652484389453341360772699133708854329\
         54523335561247966119089501433875465289128445034158219328220575681886150174065752216101525800)
であることが分かった。

gp>  read("theta-congr.gp")
time = 4 ms.
gp>  p1=[1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 4670301936647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593];
time = 0 ms.
gp>  e2=ec2(2039)
time = 8 ms.
%15 = [0, -4078, 0, -12472563, 0, -16312, -24945126, 0, -155564827788969, 864764368, 18988895114560, 165571593828869679577344, 35152/9, [6117.000000000000000000000000, 0.E-28, -2039.000000000000000000000000]~, 0.03733229138118746639737558942, 0.04775776572771170133270784806*I, -43.72005711966352862084493415, -140.0815408225423516369724906*I, 0.001782906825861421716803576917]
gp>  factor(2039)
time = 0 ms.
%16 = 
[2039 1]

gp>  factor(p1)
time = 18 ms.
%17 = [[7, 2; 79, 2; 2039, 1; 1444539319, 2; 55790283257, -2], [2, 1; 7, 1; 71, 1; 79, 1; 109, 1; 2039, 2; 6673, 1; 25889, 1; 26209, 1; 200657, 1; 1444539319, 1; 55790283257, -3]]
gp>  ellisoncurve(e2,p1)
time = 0 ms.
%18 = 1
gp> search2(e2,p1,2039,6)
2Pi/3-congruent number
2([1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 46703019356647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593]):[89133931107869573473198/7031144327156015001179, 28673006566142229174807962/44566965553934786736599, 203619325887790636644152984834372643535677913202/313356767033106103474434490264672606547450221]
4([1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 46703019356647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593]):[65049700792138862306225729536840930704375072877507017319914642431843127162479876047149165136019/2539275735087582366863073759093986651398949214529688721783686771249732727296433077533231489800, 10157102940350329467452295036375946605595796858118754887134747084998930909185732310132925959200/31902746832829260571959651562943075382233973946791082550227877602669508171888119689626858821, 26889445831931173280945046583087184897704347224322202603932053370099931468588081382998042219308250532970140744647936091629274261770329740241394476958306881485383504099414259465444416946401/81009870915245560845421981362192642917078493918022268261365248438945334136077269913370885432954523335561247966119089501433875465289128445034158219328220575681886150174065752216101525800]
6([1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 46703019356647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593]):[7088793504913084888607278846158349331065422062478187264458999582862097988275953944621610090664731953245656678463890589983653833503261464291458399131444515571228297362338807015456597130556885827364478259607381198/181057547726648684602354918151099580703994218949921276152160237572998651972330415816086784487912201511000290195199426347585615074693565604931357227959954784461086125172857046007494771930833843267945321841021621, 738352679629273335808403356220184090110888424877778964148509448822688502743163435698001907141705957761859183416023260645454138274600360536910074775620695611032309218454911033618563679933940412846681022467686170438/3544396752456542444303639423079174665532711031239093632229499791431048994137976972310805045332365976622828339231945294991826916751630732145729199565722257785614148681169403507728298565278442913682239129803690599, 147856939481994118813759813407752885844720721042475065715979395601963675053058137157957429344395202184658684407480877390500318238682327137154000209909218485691622135712732403093443541589408883444800570964375270644390430371610352640058224082300750051607284575571149509375781881080125626723256982805235660713578841093083293789544483306348211048370682941254174993357644077479592645586872493816696468749259566609140806445538802/641739784170079036948406227179577220663720252862633229164743204086635360955493652526585884935606340044509107861119744994067339929547084430636491634168602715434998856413092063048288628765441678157091311358904817504183497620335518711260726503849833070886776126894948009646163375006529215973980590380797619209029484893336608748595515319363537378523713411861133826723280508344776815295947863716216105152333390866558353440979]
time = 57 ms.

[2007.12.11追記]
東京理科大)後藤丈志氏より、MAGMAで求めたE_2039,π/3(Q)/E_2039,π/3(Q)_torsの生成元
     (50050653713464233665955826198003477628543918966342677609412809406242201491098247824336403/
     13533563765013555843226042402492478519755957196518902156846636563649647704881838441,
     11203500698190292987868524818048613796379663177793231707535997337572323995382834836\
     020243740024114606048932639134821368768500199273600/
     15744115251889077672995232258184018288299883634399363161910947584240427904593156007\
     70003462303142075227994238030431676999989)
を教えて貰った(感謝)。
これにより、素数2039がπ/3-合同数であることが分かった。
最小のπ/3-有理三角形は、
     (30638504443282976646395045537504249614457218218356839449036037671734773136140871626662419/
     7228168195111239039573901078906092634516647473230585296704952764527261974415756508047200,
     28912672780444956158295604315624370538066589892922341186819811058109047897663026032188800/
     15026240531281499090924495114028567736369405698066130185893103321105823019196111636421,
     20875585179888959936002083098100533517170944822744692691769449353417482581737106442733512\
     0204311204434825608253838301809140270967999711200354164831304704783385245711583823317601/
     10861219390030033888604802777981291701108048620330621656318813376827423786887114385410427\
     8139794655834959648273744354926827780169924545572599842885870893942696617047107071200)
である。

[2007.12.12追記]
東京理科大)後藤丈志氏より、MAGMAで求めたE_1583,π/3(Q)/E_1583,π/3(Q)_torsの生成元
     (53691954342343402134896887469596946752443656152752085161295750474227/
     321635253548690108952725338532208840552414621383539446663082369,
     397087367533038904043424479855654653214597358961078\
     627737226465551330137138700292931160788400635516160/
     576826848845612710494040586181903184890921262424031\
     2685551995775223666274354737310586554860097)
を教えて貰った(感謝)。
これにより、素数1583がπ/3-合同数であることが分かった。
最小のπ/3-有理三角形は、
     (120103791001974140253920094050412713039328899350998896543095003350887/
     7821874551063113705550095855540919571877476967523820643103961498560,
     31287498204252454822200383422163678287509907870095282572415845994240/
     75870998737823209257056281775371265343859064656348007923622870089,
     2403003048341988876973233438125951491787356032589880457125357907875\
     88528115472445391667616516629235747966333606797279574720380678872993/
     59345343419112098149904681592609160559645135609952370835105419230\
     7251749134073451250795297433820945113965837083136034825740640571840)
である。

[参考文献]

[1]菅真紀子, "θ-合同数と楕円曲線", 1999--論文(dviファイル)を著者より送付していただきました。感謝.
[2]Jaap Top, Noriko Yui, "Congruent number problems and their variants", Algorithmic Number Theory, MSRI Publications, Vol. 44, 2008, p613-639.
[3]Shin-ichi Yoshida, "Some variants of the congruent number problem I", Kyushu J. Math, Vol 55. 2001, p387-404.
[4]Shin-ichi Yoshida, "Some variants of the congruent number problem II", Kyushu J. Math, Vol 56. 2002, p147-165.
[5]日比野剛士, 菅真紀子, "$¥theta$-congruent numbers and modular parameterrizations", 数理解析研究所講究録, Vol. 1160, 2000, p251-258.

Last Update: 2008.09.27

H.Nakao