Rational Points on Elliptic Curve: y^2=x^3-1063395x-422075394

[2003.02.11]y^2=x^3-1063395x-422075394の有理点

y^2=-216x^4+252x^3-315x^2-1476x-762からy^2=x^3-1063395x-422075394への有理変換を計算するプログラム(pari/gp)

■Siksekの論文[1]の9.A second exampleに取り上げられている楕円曲線
E₁: y² = x³-1063395x-42207594 ----- (1)
の有理点(x,y)を求める。
pari/gp-2.1.4で計算すると、E₁のねじれ点群は{O},E₁のConductor(導手)は3672=2³・3³・17である。

? e=ellinit([0,0,0,-1063395,-422075394])
%1 = [0, 0, 0, -1063395, -422075394, 0, -2126790, -1688301576, -1130808926025, 51042960, 364673140416, -6167549952, -366558926349750/17, [1190.739266175691898977876954, -595.3696330878459494889384770 + 0.003077162860452102306337554147*I, -595.3696330878459494889384770 - 0.003077162860452102306337554147*I]~, 0.07433543813631374726650230950, 0.03716771906815687363 + 0.3632304415030142033*I, -22.12853126436995392 - 1.26219551 E-18*I, -11.06426563218497695 - 150.3905689512429146*I, 0.02700089401357324173]
? ellglobalred(e)
%2 = [3672, [1, 0, 0, 0], 1]
? elltors(e,1)
%3 = [1, [], []]
? factorint(3672)
%4 = 
[2 3]

[3 3]

[17 1]

■CremonaのmwrankでE₁の有理点を求めると、このようになる。
E₁(Q)のrankは1であり、生成元は
P(5580280211292650758/87420573910609, -13180351117189258356213783626/817373361745081357273)
であることがわかる。
Pの２倍点と３倍点をpari/gpで計算すると、以下のようになる。

? p = [52175045206724521444271926 , -13180351117189258356213783626 , 817373361745081357273]
%5 = [52175045206724521444271926, -13180351117189258356213783626, 817373361745081357273]
? x=p[1]/p[3]
%6 = 5580280211292650758/87420573910609
? y=p[2]/p[3]
%7 = -13180351117189258356213783626/817373361745081357273
? ellisoncurve(e,[x,y])
%8 = 1
? ellpow(e,[x,y],2)
%9 = [970188943305137494448239173109267275614242171012355767693471239534766593745/60747387323358664479238930995497876149754093602521644606519725005025936, -30154678118039119985935294485429488413051422650289468457338096526703323028147423943580728237515899897216405005031/14972399486379051636748122242279318631835150356353803598284148040297063101927798401426364504356780245669184]
? ellpow(e,[x,y],3)
%10 = [5264175710276283808031854005766831123477374971109750456834169954109727269063839581819942087115079588906050975267535983175171969172426672334511731428947591028547844004454/739001076667945907720128319537937806353397117602001866979258539825809683408460085420640135550328289391013403438390262329532527569314964677606050888685948476012828721, -11943657934615464840285191745100303366315132297098549445922779642378166769234319979128338352772299839475285315249333739293977990555100423063886859551769139032465526069284036089033656229956894918248579640146854368384810932659672744864926696238625278962370/20089429632906351868638669773450648648733786415163370343001733873643561789427359058320811590678445229344476506419380976744931950664336691070519158801997834009287948317675962798363008240897207000816163215457666450425099121865417896321003719279410519]

■楕円曲線C₁
     C₁: y² = -216x⁴+252x³-315x²-1476x-762 ----- (2)
から楕円曲線E₁とQ-isomorphicな楕円曲線
     E: y² = 4x³-(1063395/4)x-211037697/8 ----- (3)
への有理変換を求めると、以下のようになる。
論文[2]によると、曲線C₁はCremonaのmwrankで求めることができ、曲線Eの2-coveringである。
このC₁からEへの有理変換は、Sang Yook An他の論文[2] 3.2 case n=2による。

UをX,Yの４次２項形式
     U(X,Y) = a₀X⁴+4a₁X³Y+6a₂X²Y²+4a₃XY³+a₄Y⁴
とする。
また、U_X,U_YをそれぞれUのX,Yによる偏微分(∂U/∂X), (∂U/∂Y)とする。U_XY=(∂²U/∂X∂Y)なども同様とする。
g(X,Y), h(X,Y)と２つの不変量I,Jを以下のように定義する。
     g(X,Y) = (1/144)(U_XY²-U_XXU_YY),
     h(X,Y) = (1/8)(U_Xg_Y-U_Yg_X),
     I = a₀a₄-4a₁a₃+3a₂²,
     J = a₀a₂a₄+2a₁a₂a₃-a₀a₃²-a₄a₁²-a₂²

射影楕円曲線C
     C: Z²Y² = U(X,Y)
に対するsyzygyは、
     h(X,Y)² = 4g(X,Y)³ - Ig(X,Y)Z⁴Y⁴ -JZ⁶Y⁶ ------ (4)
となる。これをpari/gpで確認すると、このようになる。
(4)の両辺をZ⁶Y⁶で割ると、
     (h(X,Y)/Z³Y³)² = 4(g(X,Y)/Z²Y²)³ - I(g(X,Y)/Z²Y²) -J
を得る。よって、楕円曲線Cから楕円曲線E
     E: y² = 4x³ - Ix -J
への有理変換ψ: C → Eは、
     ψ: [X : Y : Z] → (g(X,Y)/(ZY)²,h(X,Y)/(ZY)³)
で与えられる。

この結果を楕円曲線C₁に適用する。
     U(X,Y) = -216X⁴ +252X³Y - 315X²Y² - 1476XY³ - 762Y⁴
つまり、
     a₀ = -216,
     a₁ = 252/4,
     a₂ = -315/6,
     a₃ = -1476/4,
     a₄ = -762
とすると、
     g(X,Y) = -7371X⁴ - 166023X³Y - (439317/4)X²Y² + 134757XY³ + 96156Y⁴,
     h(X,Y) = 18859230X⁶ + 21401253X⁵Y - 99967770X⁴Y² - 263863980X³Y³ - 255695535X²Y⁴ - (227958057/2)XY⁵ - 19620711Y⁶
     I = 1063395/4
     J = 211037697/8
     E: y² = 4x³ - (1063395/4)x -(211037697/8)
を得る。

楕円曲線Eから楕円曲線E₁への双有理変換φ:(X,Y)→(x,y)は、
     x = 4X, y = 4Y (逆変換φ^-1:(x,y)→(X,Y)は、X = x/4, Y = y/4)
である。
よって、楕円曲線C₁から楕円曲線E₁への有理変換φoψ:(X,Y)→(x,y)は、
     x = (-29484X⁴ - 664092X³ - 43917X² + 539028X + 38624)/Y²,
     y = (75436920X⁶ + 85605012X⁵ - 399871080X⁴ - 1055455920X³ - 1022782140X² - 455916114X - 78482844)/Y³
である。

Siksek[1]によると、楕円曲線C₁は、有理点Q(-2021077/2486082,9349897/34336687281)を持つ。
C₁の有理点Qを有理変換φoψでE₁上に写すと、
     -P(5580280211292650758/87420573910609,13180351117189258356213783626/817373361745081357273)
となる。
同様に、C₁の有理点-Q(-2021077/2486082,-9349897/34336687281)を有理変換φoψでE₁上に写すと、E₁(Q)の生成元
     P(5580280211292650758/87420573910609,-13180351117189258356213783626/817373361745081357273)
となる。

[2003.02.12追記]C₁の有理点をCremonaのratpointで求めると、このようになり、射影曲線上の有理点
     [-2021077 : 168298146 : 2486082]
が見つかり、affine曲線上の有理点
     (-2021077/2486082, 9349897/343366872818)
を得る。

■mwrank3によって、楕円曲線Eの2-coveringを求めると、
     C₂: y² = -3x⁴+4x³+891x²-594x-66366 ----- (5)
となる。
C₂に対して、I, Jを計算すると、I=1063395/4, J=211037697/8 となり、C₁に対するI, Jと同一となる。

[2003.02.12追記]C₂の有理点をCremonaのratpointで求めると、このようになり、射影曲線上の有理点
     [211715 : 9349897 : 16886]
が見つかり、affine曲線上の有理点
     (211715/16886, 9349897/285136996)
を得る。

[参考文献]

[1]S. Siksek, "Sieving for rational points on hyperelliptic curves", Math. of Comp. Vol.70, number 236, p1661-1674, 2001.
[2]Sang Yook An, Seog Young Kim, David C. Marshall, Susan H. Marshall, William G. MacCallum, Alexander R. Perlis, "Jacobians of Genus One Curves".
[3]J. R. Merriman, S. Siksek, N. P. Smart, "Explicit 4-descents on an elliptic curve", Acta Arithetica, LXXVII.4, 1996, p385-404.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao