Rational Points on Elliptic Curve: y^2+x^4=17

[2001.04.01]y^2+x^4=17の有理点

y^2+x^4=17,y^2=x^3+68xの有理点を求めるプログラム(Common LISP)
上記プログラムの実行例
y^2+x^4=17のグラフ(Postscript)
y^2=x^3+68xのグラフ(Postscript)

Serreの方程式
     x⁴+y⁴=17 ----------------------------- (1)
で定義される種数2の代数曲線上の有理点(x,y)は、
     (x,y)=(±1,±2),(±2,±1)
のみであること(参考文献[1])が既に知られている。

(1)のy⁴をy²に修正したDiophantus方程式で定義される楕円曲線
     y²+x⁴=17 ----------------------------- (2)
つまり、
     y² = -x⁴+17 -------------------------- (3)
上の有理点について考察する。楕円曲線(2)は、8個の整点
     (x,y)=(±1,±4),(±2,±1)
を持つことは、すぐに分かる。

まず、楕円曲線(3)をある双有理変換\phiによって、Weierstrass標準形に変形する。
ここでは、x,yをQ(i)上で(ただし、i=sqrt{-1})考える。
有理変換\phi:(x,y)→(X,Y)を
     X=-2iy-2x² --------------------------- (4)
     Y=-4xy+4ix³ --------------------------- (5)
で定義すると、
     x={iY}/{2X} --------------------------- (6)
     y={i(2X³-Y²)}/{4X²} ----------------- (7)
となり、\phi^-1も有理変換であり、方程式(3)は、
     Y²=X³+68X ----------------------------- (8)
と同値になる。よって、楕円曲線(3)は、双有理変換\phiに
よって、楕円曲線(8)と有理同値になる。

\phiの代わりに、有理変換\psi: (x,y)→(X,Y)を
     \psi(x,y)=\phi(x,y)-\phi(2,1)
で定義すると、その逆変換\psi^-1: (X,Y)→(x,y)は
     \psi^-1(X,Y)=\phi^-1((X,Y)+\phi(2,1))
となり、\psiは楕円曲線(3)上の有理点を楕円曲線(8)上の有理点に写し、\psi^-1は楕円曲線(8)上の有理点を楕円曲線(3) 上の有理点に写す双有理変換となる。

[2002.10.23 追記]
asirで\psi(x,y), \psi^-1(X,Y)を計算してみると、以下のようになる。
     X = -34(x+2)²/(4x²+y-17)
     Y = -68(x+2)(2x³-8xy-17y+17)/(4x²+y-17)²

     x = 2*(X²-Y-68)/(X²+16X+68)
     y = (X⁴-16X³+32X²Y+(544Y+1088)X+2176Y-4624)/(X²+16X+68)²
[2002.10.23 ここまで]

楕円曲線(8)の判別式Dは、
     D=-4*68³=-2⁸*17³ ≠ 0
となるので、(8)は非特異楕円曲線である。
よって、(8)の有理点で有限位数のもの(ねじれ点)は、整点(x座標,y座標がともに有理整数である点)であり、Y=0 または Y|Dとなることが分かっている。
有限の組合せを調べて、
     (0,0),(2,±12),(34,±204),
     (16,±72),(272,±4488),O(ただし、Oは無限遠点)
が候補にあがるが、

     2(2,±12)=2(34,±204)=(64/9,\mp{784/27})
     2(16,±72)=(2209/1296,±{512911/46656})
     2(272,±4488)=(1181569/17424,±{1293826751/2299968})

であり、(8)の有理点
     (2,±12),(34,±204),(16,±72),(272,±4488)
は、いずれも２倍点が整点でないので、位数有限の点(ねじれ点)ではない。
また、
     (2,12)+(0,0)=(34,-204),
     (16,72)+(272,4488)=(153/16,2499/64)=2(2,12)+(0,0),
     2(0,0)=O
なので、(8)の有限位数の有理点は、(0,0),Oのみである。

楕円曲線(8)の有理点は、有限生成Abel群を成すので、結局、無限位数の有理点(2,12),(16,72)と位数2の有理点(0,0)から生成される。
つまり、このAbel群のrankは2である。
よって、(8)の有理点は、
     m(2,12)+n(16,72),
     m(2,12)+n(16,72)+(0,0),
     O (だだし、m,nは任意の有理整数)
である。具体的に求めると、以下のようになる。

m	n	m(2,12)+n(16,72)	m(2,12)+n(16,72)+(0,0)
0	0	O	(0,0)
1	0	(2,12)	(34,-204)
0	1	(16,72)	(17/4,-153/8)
1	1	(18/49,-1716/343)	(1666/9,68068/27)
-1	0	(2,-12)	(34,204)
0	-1	(16,-72)	(17/4,153/8)
1	-1	(18,84)	(34/9,-476/27)
2	0	(64/9,-784/27)	(153/16,2499/64)
0	2	(2209/1296,512911/46656)	(88128/2209,-26715024/103823)
2	1	(10609/100,-1096023/1000)	(6800/10609,7235880/1092727)
1	2	(1158242/146689,-1802373708/56181887)	(4987426/579121,15420834708/440711081)
2	-1	(1/4,-33/8)	(272,4488)
1	-2	(6050,-470580)	(34/3025,145452/166375)
3	0	(29282/529,5066028/12167)	(17986/14641,-16370388/1771561)
3	1	(11548818/2211169,73348239636/3288008303)	(75179746/5774409,-771606387748/13875904827)
3	2	(10115824322/268366477681, 222580902430155348/139024838464342921)	(9124460241154/5057912161, -27562290888355317324/359713654978159)
3	3	(7081720468431347538/2074750434401158801, -49275336663876085780641021684 /2988469282935918930666278201)	(70541514769639399234/3540860234215673769, 641220002416615682279389726556 /6662898182679880017870951147)
3	-1	(4050/49,-259020/343)	(1666/2025,684964/91125)
3	-2	(32258/5041,-9450324/357911)	(171394/16129,89815284/2048383)
...	...	...	...

また、楕円曲線(8)の整点は、以下の14個のみである。
     (0,0),
     (2,12),
     (2,-12)=-(2,12)
     (16,72),
     (16,-72)=-(16,72)
     (18,84)=(2,12)-(16,72),
     (18,-84)=-(2,12)+(16,72)
     (34,204)=-(2,12)+(0,0),
     (34,-204)=(2,12)+(0,0)
     (272,4488)=2(2,12)-(16,72)+(0,0),
     (272,-4488)=-2(2,12)+(16,72)+(0,0)
     (6050,470580)=-(2,12)+2(16,72),
     (6050,-470580)=(2,12)-2(16,72)
     O

楕円曲線(3)の有理点は、(8)の有理点を\psi^-1で写したものであるから、具体的に求めると、以下のようになる。

m	n	\psi^-1(m(2,12)+n(16,72))	\psi^-1(m(2,12)+n(16,72)+(0,0))
0	0	(2,1)	(-2,-1)
1	0	(-19/13,596/169)	(19/13,-596/169)
0	1	(2/5,103/25)	(-2/5,-103/25)
1	1	(-389/229,-154444/52441)	(389/229,154444/52441)
-1	0	(-1,-4)	(1,4)
0	-1	(26/29,-3401/841)	(-26/29,3401/841)
1	-1	(43/85,29732/7225)	(-43/85,-29732/7225)
2	0	(94/941,-3650921/885481)	(-94/941,3650921/885481)
0	2	(-3238/2089,14622481/4363921)	(3238/2089,-14622481/4363921)
2	1	(117598/62329,-8082259919/3884904241)	(-117598/62329,8082259919/3884904241)
1	2	(105629/512989,-1084969683004/263157714121)	(-105629/512989,1084969683004/263157714121)
2	-1	(-2042/1153,-3557759/1329409)	(2042/1153,3557759/1329409)
1	-2	(95549/47293,1301063396/2236627849)	(-95549/47293,-1301063396/2236627849)
3	0	(788087/613705,1423291929692/376633827025)	(-788087/613705,-1423291929692/376633827025)
3	1	(-150180551/213071737, 185823456165728156/45399565108197169)	(150180551/213071737, -185823456165728156/45399565108197169)
3	2	(-13351053474601/6580086426121, -9809073870288849048917524 /43297537375221834391106641)	(13351053474601/6580086426121, 9809073870288849048917524 /43297537375221834391106641)
3	3	(-17721141357070605479/29844927717933118201, -3659080054489806010332889730974085011444 /890719710488652522610394863811037476401)	(17721141357070605479/29844927717933118201, 3659080054489806010332889730974085011444 /890719710488652522610394863811037476401)
3	-1	(347161/189817,-86856699604/36030493489)	(-347161/189817,86856699604/36030493489)
3	-2	(-48361/7897609, -257167283795764/62372227916881)	(48361/7897609, 257167283795764/62372227916881)
...	...	...	...

[参考文献]

[1]E.Victor Flynn, Joseph L. Wetherell, "Covering Collection and a Challenge Problem of Serre".
[2]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[3]足立恒雄, "フェルマーの大定理が解けた！", 講談社, BLUE BACKS B-1074, 1995, ISBN4-06-257074-2, {740円}.
[4]長尾孝一, "rankの高い楕円曲線の構成法について", p1-2.

Last Update: 2005.08.21

H.Nakao