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Heron Triangles with a area 1

[2004.07.10]面積１の有理三角形

■面積１の有理三角形について、考察する。

ここで、有理三角形とは、３辺の長さが全て有理数である三角形である。

また、面積が有理数である有理三角形をHeron三角形と呼ぶ。

例えば、３辺の長さが(a,b,c)=(3/2,5/3,17/6)である三角形の面積Sは、Heronの公式より、
    s = (3/2+5/3+17/6)/2 = 3,
    S = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = sqrt{3(3-3/2)(3-5/3)(3-17/8)} = 1
であるので、(面積1の)Heron三角形である。

■一般に、有理三角形の３辺をa,b,cとし、その面積をnとする。
参考文献[4]Theorem 2.1によると、与えられたnに対して、面積nの有理三角形(a,b,c)が存在するための必要十分条件は、
ある有理数τが存在して、楕円曲線
    Eτ(n): y2 = x(x-nτ)(x-nτ-1)
が位数2でない有理点を持つことである。
さらに、nが合同数である必要十分条件は、この場合にτ=1を選ぶことができることである。

ここで、(a,b,c)と(τ,x,y)の対応は、以下の通りである。
    s = (a+b+c)/2,
    n = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},
    τ = {4n}/{(a+b)2-c2},
    x = {(a+c)2-b2}/{4},
    y = a{(a+c)2-b2}/{4},

    y2 = x(x-nτ)(x+nτ-1),
    a = y/x,
    b = n(τ+τ-1)x/y,
    c = (x2+n2)/y

例えば、n=1のHeron三角形(a,b,c)=(3/2,5/3,17/6)に対応するのは、(τ,x,y)=(2,4,6)である。ここで、有理点(4,6)は、楕円曲線
    E2(1): y2 = x(x-2)(x+1/2) = x3-(3/2)x2-x
上にあり、y-座標が0でないので、その位数は2ではない。
楕円曲線E2(1)とその有理点(4,6)を有理変換[1/2, 1/2, 0, 0]で写すと、(係数が整数の)楕円曲線
    C2(1): y2 = x3-28x-48 = (x+2)(x+4)(x-6)
とその上の整点(14, 48)になる。2(14,48)=(217/36, -323/216)は整点ではないので、(14,48)はねじれ点ではない(その位数は無限)である。

参考文献[4]では、n=1..50に対して、面積nのHeron三角形を具体的に求めている。

■楕円曲線E2(1)の有理点を求める。
E2(1)のねじれ点群E2(1)(Q)torsをpari/gpで求めると、
    E2(1)(Q)tors = {(0,0),(-1/2,0),(2,0),O} \cong Z/2Z×Z/2Z
となる。

[pari/gpによる計算]
gp>  e2=ellinit([0,-3/2,0,-1,0])
time = 71 ms.
%1 = [0, -3/2, 0, -1, 0, -6, -2, 0, -1, 84, 648, 100, 148176/25, [2.000000000000000000000000000, 0.E-28, -0.5000000000000000000000000000]~, 2.099276252069730420320000795, 2.855163991767460424285426172*I, -0.7799139606597224776720052596, -2.557250340658766437949249518*I, 5.993777963682044960280715541]
gp>  elltors(e2,1)
time = 64 ms.
%2 = [4, [2, 2], [[0, 0], [-1/2, 0]]]

■楕円曲線E2(1)は、有理変換[1/2,1/2,0,0]によって、楕円曲線     C2(1): y2 = x3-28x-48
にQ-isomorphicである。

ここで、有理変換[1/2,1/2,0,0]:(x,y)→(x',y')は、
    x'=4x-2,
    y'=8y
であり、その逆変換[1/2,1/2,0,0]-1=[2,-2,0,0]:(x',y')→(x,y)は、
    x=(x'+2)/4,
    y=y'/8
である。

C2(1)のねじれ点群C2(1)(Q)torsをpari/gpで求めると、
    C2(1)(Q)tors = {(-2,0),(-4,0),(6,0),O} \cong Z/2Z×Z/2Z
となる。

[pari/gpによる計算]
gp>  ellglobalred(e2)
time = 5 ms.
%3 = [320, [1/2, 1/2, 0, 0], 8]
gp>  ellchangecurve(e2,[1/2, 1/2, 0, 0])
time = 2 ms.
%4 = [0, 0, 0, -28, -48, 0, -56, -192, -784, 1344, 41472, 409600, 148176/25, [6.000000000000000000000000000, -2.000000000000000000000000000, -4.000000000000000000000000000]~, 1.049638126034865210160000397, 1.427581995883730212142713086*I, -1.559827921319444955344010519, -5.114500681317532875898499036*I, 1.498444490920511240070178885]
gp>  c2=ellinit([0, 0, 0, -28, -48])
time = 125 ms.
%5 = [0, 0, 0, -28, -48, 0, -56, -192, -784, 1344, 41472, 409600, 148176/25, [6.000000000000000000000000000, -2.000000000000000000000000000, -4.000000000000000000000000000]~, 1.049638126034865210160000397, 1.427581995883730212142713086*I, -1.559827921319444955344010519, -5.114500681317532875898499036*I, 1.498444490920511240070178885]
gp>  elltors(c2,1)
time = 15 ms.
%6 = [4, [2, 2], [[-2, 0], [-4, 0]]]
gp>  factor(x^3-28*x-48)
time = 44 ms.
%7 = 
[x - 6 1]

[x + 2 1]

[x + 4 1]

gp>  ellchangepoint([x,y],[1/2, 1/2, 0, 0])
time = 3 ms.
%8 = [4*x - 2, 8*y]
gp>  ellchangepoint([x,y],[2,-2,0,0])
time = 1 ms.
%9 = [1/4*x + 1/2, 1/8*y]

■楕円曲線C2(1)のMordel-Weil群C2(1)(Q)をCremonaのmwrank3で求めると、
    rank(C2(1)(Q)) = 1
であり、その生成元は(-3,-3)であることが分かる。よって、
    C2(1)(Q)) \cong Z/2Z×Z/2Z×Z
となる。

[mwrank3による計算]
bash-2.05a$ mwrank3
Program mwrank: uses 2-descent (via 2-isogeny if possible) to
determine the rank of an elliptic curve E over Q, and list a
set of points which generate E(Q) modulo 2E(Q).
and finally search for further points on the curve.
For more details see the file mwrank.doc.
For details of algorithms see the author's book.

Please acknowledge use of this program in published work, 
and send problems to John.Cremona@nottingham.ac.uk.

Version compiled on Feb 11 2003 at 17:40:15 by GCC 3.2.1
using base arithmetic option LiDIA_ALL (LiDIA bigints and multiprecision floating point)
Using LiDIA multiprecision floating point with 15 decimal places.
Enter curve: [0, 0, 0, -28, -48]

Curve [0,0,0,-28,-48] :      
3 points of order 2:
[-2 : 0 : 1], [-4 : 0 : 1], [6 : 0 : 1]

****************************
* Using 2-isogeny number 1 *
****************************

Using 2-isogenous curve [0,12,0,100,0]
-------------------------------------------------------
First step, determining 1st descent Selmer groups
-------------------------------------------------------
After first local descent, rank bound = 1
rk(S^{phi}(E'))=   2
rk(S^{phi'}(E))=       1

-------------------------------------------------------
Second step, determining 2nd descent Selmer groups
-------------------------------------------------------
After second local descent, rank bound = 1
rk(phi'(S^{2}(E)))=  2
rk(phi(S^{2}(E')))=    1
rk(S^{2}(E))=  3
rk(S^{2}(E'))= 2

****************************
* Using 2-isogeny number 2 *
****************************

Using 2-isogenous curve [0,24,0,64,0]
-------------------------------------------------------
First step, determining 1st descent Selmer groups
-------------------------------------------------------
After first local descent, rank bound = 1
rk(S^{phi}(E'))=      2
rk(S^{phi'}(E))=       1

-------------------------------------------------------
Second step, determining 2nd descent Selmer groups
-------------------------------------------------------
After second local descent, rank bound = 1
rk(phi'(S^{2}(E)))=  2
rk(phi(S^{2}(E')))=    1
rk(S^{2}(E))=  3
rk(S^{2}(E'))= 2

****************************
* Using 2-isogeny number 3 *
****************************

Using 2-isogenous curve [0,-36,0,4,0]
-------------------------------------------------------
First step, determining 1st descent Selmer groups
-------------------------------------------------------
After first local descent, rank bound = 1
rk(S^{phi}(E'))=      3
rk(S^{phi'}(E))=       0

-------------------------------------------------------
Second step, determining 2nd descent Selmer groups
-------------------------------------------------------
After second local descent, rank bound = 1
rk(phi'(S^{2}(E)))=  3
rk(phi(S^{2}(E')))=    0
rk(S^{2}(E))=  3
rk(S^{2}(E'))= 2

After second local descent, combined upper bound on rank = 1
Third step, determining E(Q)/phi(E'(Q)) and E'(Q)/phi'(E(Q))
-------------------------------------------------------
1. E(Q)/phi(E'(Q))
-------------------------------------------------------
(c,d)  =(18,80)
(c',d')=(-36,4)
First stage (no second descent yet)...
(-1,0,18,0,-80):  (x:y:z) = (3:1:1)
        Curve E         Point [-9 : -3 : 1], height = 1.44441067612885
(2,0,18,0,40):  (x:y:z) = (2:12:1)
        Curve E         Point [8 : 48 : 1], height = 1.44441067612885
After first global descent, this component of the rank = 3
-------------------------------------------------------
2. E'(Q)/phi'(E(Q))
-------------------------------------------------------
This component of the rank is 0

-------------------------------------------------------
Summary of results:
-------------------------------------------------------
        rank(E) = 1
     #E(Q)/2E(Q) = 8

Information on III(E/Q):
 #III(E/Q)[phi']    = 1
  #III(E/Q)[2]       = 1

Information on III(E'/Q):
 #phi'(III(E/Q)[2]) = 1
  #III(E'/Q)[phi]    = 1
  #III(E'/Q)[2]      = 1

-------------------------------------------------------

List of points on E = [0,0,0,-28,-48]:

I.  Points on E mod phi(E')
Point [-3 : -3 : 1], height = 1.44441067612885
Point [14 : 48 : 1], height = 1.44441067612885

II.  Points on phi(E') mod 2E
--none (modulo torsion).

-------------------------------------------------------
Computing full set of 2 coset representatives for
2E(Q) in E(Q) (modulo torsion), and sorting into height order....done.

Rank = 1
After descent, rank of points found is 1

Generator 1 is [-3 : -3 : 1]; height 1.44441067612885

The rank has been determined unconditionally.
The basis given is for a subgroup of full rank of the Mordell-Weil group
 (modulo torsion), possibly of index greater than 1.
Regulator (of this subgroup) = 1.44441067612885

 (12.6 seconds)
Enter curve: [0,0,0,0,0]

bash-2.05a$

■有理変換[2,-2,0,0]で写すことにより、楕円曲線E2(1)のMordel-Weil群E2(1)(Q)は、rank 1であり、その生成元は、(-1/4,-3/8)であることが分かる。よって、
    E2(1)(Q)) = { m1(-2,0)+m2(-4,0)+n(-1/4,-3/8) : m1, m2 ∈ {0,1}. n ∈ Z } \cong Z/2Z×Z/2Z×Z
となる。

楕円曲線E2(1)の有理点をいくつか計算すると、以下のようになる。

[pari/gpによる計算]
gp>  read("heron1.gp")
time = 12 ms.
gp>  rp(5)
[0]
[2, 0]
[-1/2, 0]
[0, 0]
[-1/4, -3/8]
[-2/9, 10/27]
[9/2, 15/2]
[4, -6]
[-1/4, 3/8]
[-2/9, -10/27]
[9/2, -15/2]
[4, 6]
[289/144, 323/1728]
[722, -19380]
[-1/722, -255/6859]
[-144/289, 228/4913]
[289/144, -323/1728]
[722, 19380]
[-1/722, 255/6859]
[-144/289, -228/4913]
[-82369/422500, 99220779/274625000]
[-257762/927369, -334857250/893056347]
[927369/257762, -449119125/92536558]
[422500/82369, 224716050/23639903]
[-82369/422500, -99220779/274625000]
[-257762/927369, 334857250/893056347]
[927369/257762, 449119125/92536558]
[422500/82369, -224716050/23639903]
[10869522049/60093504, -1128497710174703/465844843008]
[21799137602/10749335041, 421884578809320/1114480307715839]
[-10749335041/21799137602, 104741743964070/1137925882393201]
[-60093504/10869522049, -83909130794808/1133223760262593]
[10869522049/60093504, 1128497710174703/465844843008]
[21799137602/10749335041, -421884578809320/1114480307715839]
[-10749335041/21799137602, -104741743964070/1137925882393201]
[-60093504/10869522049, 83909130794808/1133223760262593]
[-1371617816258881/4486563942585124, -111211849147488516181563/300518209447599225275432]
[-1743328310067362/10344745701429129, 366199787163661363394290/1052155012950376557243867]
[10344745701429129/1743328310067362, 630773454115734524963565/51469953549968082926158]
[4486563942585124/1371617816258881, -201136752556942432985826/50798358235943694773279]
[-1371617816258881/4486563942585124, 111211849147488516181563/300518209447599225275432]
[-1743328310067362/10344745701429129, -366199787163661363394290/1052155012950376557243867]
[10344745701429129/1743328310067362, -630773454115734524963565/51469953549968082926158]
[4486563942585124/1371617816258881, 201136752556942432985826/50798358235943694773279]
time = 173 ms.

■楕円曲線E2(1)の有理点に対応する面積1の有理三角形をいくつか計算すると、以下のようになる。


[pari/gpによる計算]
gp> read("heron1.gp"))
time = 2 ms.
gp>  heron(1,2,[-1/4,-3/8],10)
[5/3, 3/2, 17/6]
[19/204, 510/19, 104257/3876]
[466375/345717, 345717/186550, 185290902161/64493506350]
[10824191279/808200264, 2020500660/10824191279, 118150120802920156417/8748114249274297656]
[6201739190256655/3002855977377957, 3002855977377957/2480695676102662, 22010591444783753284054797467537/7449171839040530947963507821534]
[6715696154503475377421/23900119950235364444700, 59750299875588411111750/6715696154503475377421, 1455546933420454187435887518057277555633746241/160505943641967430308412057535376816583118700]
[4999141320667386961827412594445/4620430773855966029326335191283, 4620430773855966029326335191283/1999656528266954784730965037778, 28491705074659096237402480466981628381761640578672064603037457/9239274560346620304887691221197589105281761206858468951289174]
[13724529360389961405855982079307725839681/2067181510699010884706448645386672917104, 5167953776747527211766121613466682292760/13724529360389961405855982079307725839681, 194959981735611631553357004149814984962557192081867226822317112550321067422790657/28371093336843850018184908559486665976313574338406593004192795509558730106803824]
[893893101097847780844629179876698124591412780064125/343784692005640966038359352750750796999234532845203, 343784692005640966038359352750750796999234532845203/357557240439139112337851671950679249836565112025650, 401813379790005752113774648906741215560920376625637850950895767528682406402047903340411733600265505041/122922705778756352730308410099807261910037338167060444024693282408839223118167080119492292125215456950]
[155377879900137887250451080455140167111653216100937354328837299/327921355902219137089598651544961459612462465147534309909083516, 819803389755547842723996628862403649031156162868835774772708790/155377879900137887250451080455140167111653216100937354328837299, 283973964328114351312323569617882988962672935728575729291658114093708880055411911238706879322349240734038845176470899240969537/50951725054065377400318841999136182616633440339931058029074554103299524638392117089004556555246090818423145650388622966863284]
time = 23 ms.

■他のτに対応する面積1の有理三角形を探してみる。
pari/gpによって、面積が整数の平方数であり、かつ、３辺の長さが整数である有理三角形で、
    max{a,b}<= 1000, a<b<c<a+c, gcd(a,b,c)=1
となるもの(a,b,c,n)を探すと、以下のようになる。
[pari/gp(gp2c-run)による計算]
gp>  findheron1i(1000)
[3, 25, 26]; n=36
[9, 10, 17]; n=36
[17, 113, 120]; n=900
[41, 357, 370]; n=7056
[104, 657, 697]; n=32400
[255, 353, 392]; n=44100
[305, 424, 567]; n=63504
[337, 441, 680]; n=63504
[520, 641, 1089]; n=108900
[539, 890, 1233]; n=213444
[585, 746, 847]; n=213444
[696, 865, 1183]; n=298116
time = 5mn, 29,915 ms.

これらと相似になる面積1の有理三角形と対応するτは、以下のようになる。
[pari/gp(gp2c-run)による計算]
gp>  findheron1(1000)
[1/2, 25/6, 13/3]; tau=4/3
[3/2, 5/3, 17/6]; tau=2
[17/30, 113/30, 4]; tau=36/25
[41/84, 17/4, 185/42]; tau=21/16
[26/45, 73/20, 697/180]; tau=25/18
[17/14, 353/210, 28/15]; tau=49/60
[305/252, 106/63, 9/4]; tau=98/81
[337/252, 7/4, 170/63]; tau=16/9
[52/33, 641/330, 33/10]; tau=121/45
[7/6, 445/231, 411/154]; tau=18/11
[195/154, 373/231, 11/6]; tau=98/121
[116/91, 865/546, 13/6]; tau=169/147
time = 5mn, 29,271 ms.

τ=2の他に、τ=4/3,18/11,16/9,21/16,25/18,36/25,49/60,98/81,121/45,121/98,169/147に対応する面積1の有理三角形が存在する。

さらに、他のτ、例えば、τ=125/98に対応する面積1の有理三角形も存在する。
[注意]1は非合同数なので、τ=1に対応する面積1の有理三角形(直角三角形)は存在しない。また、τ=3/2に対応する面積1の有理三角形は存在しない。

これらのτに対して、楕円曲線Eτ(1)のねじれ点群、Mordell-Weil群、対応する面積1の有理三角形をいくつか求めると、以下のようになる。

τ Eτ(1)
conductor(Eτ(1))
φ:座標変換
Tamagawa数
 C=φ(Eτ(1)):Global minimal model of E
rank(C(Q))
C(Q)/C(Q)torsの生成元
 Eτ(1)(Q)tors
生成元
 rank(Eτ(1)(Q))
生成元
 面積1の有理三角形
4/3 [0, -7/12, 0, -1, 0]
720
[1/6, 7/36, 0, 0]
32
 [0, 0, 0, -1443, -9758]
1
[-9 : -50 : 1]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [-3/4, 0]
 1
[-1/18, -25/108]
 [1/2, 25/6, 13/3],
[77/39, 325/308, 29857/12012],
[81909/44390, 554875/491454, 13186994509/5453910765],
[401793031/717284568, 1494342850/401793031, 1127771170096757377/288199940666245608],
...
18/11 [0, -203/198, 0, -1, 0]
10338240
[1/66, 1489/4356, 0, 0]
512
 [0, 1, 0, -25623121, -34853751121]
1
[-3073 : -121968 : 1]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [18/11, 0]
 1
[-4/11, -14/33]
 [445/231, 7/6, 411/154],
[18577/42196, 853510/167193, 37533482737/7054875828],
[8323818554575/13019565460209, 394532286673/112231261410, 624952674161724590366523/162355806067702581359410],
[1287412299070459663279/529588120203833162472, 1190235926720736147980/1287412299070459663279, 2024246165970310156423655452761717981483457/681798259392019800936638704600870819265688],
...
16/9 [0, -175/144, 0, -1, 0]
2022
[1/6, 5/12, 1/12, 1/432]
32
 [1, 1, 1, -1934, -25909]
1
[147 : 1627 : 1]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [-9/16, 0]
 1
[9/2, 63/8]
 [7/4, 337/252, 170/63],
[5057/21420, 200515/20228, 271814344/27080235],
[695592429/689775988, 58113626989/25041327444, 3208514345180238410/1079556648657288417],
[4501179201891854/920099538986355, 34452616070933515/72018867230269664, 341706739127168415232062250357681/66264526536890627248727866434720],
...
21/16 [0, -185/336, 0, -1, 0]
4918032
[1/84, 185/1008, 0, 0]
256
 [0, 0, 0, -54818211, -68817835870]
2
[130417 : 47021184 : 1], [9910810 : -601140771 : 1000]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [-21/16, 0]
 2
[56/3, 238/3],[2541/1600, -64911/64000]
 [6409/5292, 2583/1508, 2339825/997542],
[7652/3655, 2547535/2571072, 23895688681/9397268160],
[1181622551827/1435212687724, 14710930049171/5838605550204, 2986146144119972520483065/1047455095533568332061962],
[730001523529/2334073710150, 38734508951775/5840012188232, 45816494392777405415597761/6815509457753942204477400],
...
25/18 [0, -301/450, 0, -1, 0]
911040
[1/30, 67/300, 0, 0]
256
 [0, 1, 0, -930801, -179010801, 4]
2
[1257 : 25272 : 1], [1674 : -54375 : 1]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [25/18, 0]
 2
[81/50, 117/125], [25/12, -145/72]
 [91/15, 73/210, 433/70],
[583/2622, 414713/43725, 121747729/12738550],
[15548/10761, 261851/179400, 505597371/214502600],
[539249/181860, 5752838/8088735, 106608855363/32689274380],
...
36/25 [0, -671/900, 0, -1, 0]
28815
[1/15, 56/225, 1/30, 0]
256
 [1, 0, 0, -60005, -3185448, 1]
1
[319 : 3028 : 1]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [36/25, 0]
 1
[5/3, 17/18]
 [17/30, 113/30, 4],
[26/15, 1921/1560, 255/104],
[11407/4830, 18193/20130, 303364/108031],
[1073/3536, 1698164/241425, 6100024321/853678800],
...
49/60 [0, 1199/2940, 0, -1, 0]
9451575
[1/105, -1499/11025, 1/210, 1/2315250]
512
 [1, -1, 1, -128289380, 188939210622]
1..2(BSD予想を仮定すれば、1)
[19874 : 2332875 : 1], ???
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [49/60, 0]
 1..2(BSD予想を仮定すれば、1)
[5/3, 85/42], ???
 [17/14, 353/210, 28/15],
[38/105, 6001/1064, 89041/15960],
[2020161/829486, 20914897/24954930, 254742311068/105611046255],
[8069338049/2842188720, 40609463116/56485366343, 63896065327849661761/22934581580734607280],
...
98/81 [0, -3043/7938, 0, -1, 0]
21725760
[1/126, 2029/15876, 0, 0]
4096
 [0, 1, 0, -264393841, -528106149841]
1
[-6565 : -961632 : 1]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [98/81, 0]
 1
[-2/7, -212/441]
 [305/252, 106/63, 9/4],
[17/56, 64660/9639, 74599/11016],
[30312425/12552876, 5280178/6261255, 53536894713/19802660020],
[5449604431/1643565168, 23428775080/38147231017, 31204967135827294177/8956780022170059408],
...
121/45 [0, -12616/5445, 0, -1, 0]
219991200
[1/165, 7009/9075, 0, 0]
2048
 [0, 1, 0, -2067562758, -34178317300512]
2
[-26472 : -1415700 : 1], [-20734947174 : -943475159484 : 912673]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [121/45, 0]
 2
[-1/5, -52/165], [-160801/2587475, -9530052116/41412537375]
 [169865/307736, 727376/131175, 1992950441/333613800],
[4339237/1513578, 764402756/715974105, 3722429701923/995117221210],
[5572764247917554471/447322963747315830, 775359803828680772/3155871173157679053, 1983435156323194036298222763567900003/156854849597956838370266520151812110],
[37271042879115961541/14627266936341087600, 492480870224364779680/409981471670275576951, 175711805897610173386296958051917252971/49561226653513076338513787438155635600],
...
98/121 [0, 5037/11858, 0, -1, 0]
119479360
[1/154, -1679/11858, 0, 0]
2048
 [0, 0, 0, -596277148, 1964433304272]
1
[44861 : 8093085 : 1]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [98/121, 0]
 1
[7/4, 195/88]
 [195/154, 373/231, 11/6],
[23/84, 145470/19481, 247639/33396],
[60228675/28707602, 69532049/71347815, 732976604987/345458707470],
[62105344031/16540304088, 236729440740/434737408217, 3780666789522912968737/1027241275762595698728],
...
169/147 [0, -6952/24843, 0, -1, 0]
657427680
[1/273, 6952/74529, 0, 0]
4096
 [0, 0, 0, -5699562753, -39287367985448]
2
[166949 : 60517548 : 1], [9445647 : 5452567120 : 27]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [169/147, 0]
 2
[7/3, 116/39], [5041/1053, 8559760/862407]
 [34945/145418, 552908/65793, 9751657/1155354],
[680600/555009, 10199561/6193460, 6349766953/2905685580],
[1037741243734876/1464691214539735, 13922614292053525/4884540681717606, 34040515457735346769470819937/11231308985202049453941186930],
[8571614734460341/2050524097727196, 376830747190378840/780016940835891031, 825509465145442209092679709627/193146182081806917140414276196],
...
- - - - -
3/2 [0, -5/6, 0, -1, 0]
7488
[1/6, 5/18, 0, 0]
32
 [0, 0, 0, -1596, -14960]
0
-
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [3/2, 0]
 0
-
 -
125/98 [0, -6021/12250, 0, -1, 0]
282564800
[1/350, 2007/12250, 0, 0]
256
 [0, 0, 0, -16214664700, -317344026186000]
1
[44885008257005899032497144990654107266547734765964210845054389245 : 22462875410988601280772545291506374870743928685667117001946215234375 : 146349891009622912240833215570513120855007722486779353083609]
 Z/2Z×Z/2Z
[0, 0], [125/98, 0]
 1
[207421841446033093544826242213287001220125/77759411823352520455479671962678852774108, 205374860900467211709920414093772570246801633697527926874936825/57369157275772181598406620503641143375163027214817506408774728]
 [201667092684178012989741181112621262875217/150268428308225492765265322402802476909270, 54158888254117442242498268841432909856342469/35291741219731152273204706694708721003162975, 49070346435977027768808145876124840923342314002862691234648453825382309365980211289/21645855042243335358036563416425421780660792565022839751802733293951015951314686850],
[1816768644056553631123241277782909886580203534765985239889915772495312633974614988013532204036797738456269271361161348745050205444981301937932169251269205297632355357/14870374481561488778624490837406318488525500450967285859261821147223664703922579605053947948125031371845350015466776012240189751619042094485180838806131129686177895100, 1071899079415185143988335083819782883277171002507010442695189959209445248043607888159731579380704047086532387257746548608022134981705180005047506806399663631007377472794/63586902541979377089313444722401846030307123716809483396147052037335942189111524580473627141287920845969424497640647206076757190574345567827625923794422185417132437495, 65173488817068834020216695320017045858394102805451395155426299092897150386831508791796293674855520048949704473054795036486929606766073851226358904334686406286137502898072764094763315434319079095627084851823881772134333098703363940866351056089944896671908600551503674144406608048710049290070203650193920405836707298941466706169954087/3859432869068520377722503013754297984239353088575655387767608728928341315135640028708222296430677370321143629064281612002609653091551492931004986843121130066035323874491206207563361972378858905483141603261677688416535781786395975663037881238673972925511867035625299415718798194121186795310620831611291278435301635249523645924150100],
...

[2003.07.11追記]
■定理１
面積1の有理三角形は、無数に存在する。

[証明]
τ=2に対応する面積1の有理三角形が無数に存在することを示せば十分である。
楕円曲線
    E2(1): y2=x3-(3/2)x2-x
のMordell-Weil群の基底P(-1/4,-3/8)を取る。
任意の正整数nに対して、Pのn倍点を nP(xn,yn)とする。
xn,ynを使って、Pの2n倍点 2nP(x2n,y2n)のx座標を計算する。
簡単のため、有理数xn,ynの添字nを省略する。
    x2n = {9x4 - 18x3 + 3x2 + (-8y2 + 6)x + (6y2 + 1)}/{4y2}
ここで、y2 = x3-(3/2)x2-xより、
          = {9x4 - 18x3 + 3x2 + (-8x+6)(x3-(3/2)x2-x) + 6x+ 1}/{4y2}
          = {x4 + 2x2 + 1}/{4y2}
          = ({x2 + 1}/{2y})2
より、2nPのx座標は、有理数の平方数である。
また、x2n > 0である。2nPは位数２のねじれ点ではないので、|y2n| > 0である。

(2,x2n,|y2n|)に対応する(an,bn,cn)を計算すると、
    an = |y2n|/x2n,
    bn = (5/2)x2n/|y2n| = (5/2)an-1,
    cn = (x2n2+1)/|y2n|
となる。

有理三角形(an,bn,cn)の面積は、1である。
[pari/gpによる計算]
gp>  a=y/x;b=(5/2)*x/y;c=(x^2+1)/y;s=(a+b+c)/2;
time = 3 ms.
gp>  S=s*(s-a)*(s-b)*(s-c)
time = 5 ms.
%11 = (-16/y^4*x^12 + 136/y^4*x^10 - 321/y^4*x^8 + ((32*y^4 + 136)/y^4)*x^6 + ((264*y^4 - 16)/y^4)*x^4 + 32*x^2 - 16*y^4)/(256*x^4)
gp>  f(x,y2)=(-16/y2^2*x^12 + 136/y2^2*x^10 - 321/y2^2*x^8 + ((32*y2^2  136)/y2^2)*x^6+ ((264*y2^2 - 16)/y2^2)*x^4 + 32*x^2 - 16*y2^2)/(256*x^4)
time = 0 ms.
gp>  f(x,x^3-(3/2)*x^2-x)
time = 10 ms.
%12 = 1

また、{an : n > 0}は互いに異なることを示す。
異なる正整数m,nに対して、am=anであると仮定する。
    |y2m|/x2m=|y2n|/x2n
よって、E2(1)の３個の有理点T(0,0),(x2m,|y2m|),(x2n,|y2n|)は直線y=anx上にある。
y2m,y2nの符号(正負)に応じて、±(それぞれ+,-)を選ぶと、
    ±2nP±2mP=-T
    2(n±m)P=±T
    4(n±m)P=±2T=O
を得る。
n±m!=0より、Pはねじれ点でなければならない。しかし、Pは無限位数の有理点であるので、矛盾する。

さらに、bn=(5/2)an-1より、{bn : n > 0}も互いに異なる。

よって、有理三角形(an,bn,cn)で、互いに異なる(合同でない)ものが無数に存在する。
つまり、(τ=2に対応する)面積1の有理三角形は無数に存在することが証明された。

■系２
３辺の長さa,b,cが整数で、その面積が整数の平方数であるような有理三角形(相似な三角形は同一とみなす)は、無数に存在する。

[証明]
定理１より、容易に得られる。

[参考文献]

Last Update: 2005.06.12
H.Nakao

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