Rational Points on Elliptic Curves: y^2=x(x+4)(x+n^2+4) (n \in [1..100])

[2003.12.07]y^2=x(x+4)(x+n^2+4) (n \in [1..100])の有理点

底辺が高さのn倍に等しい有理三角形を計算するプログラム(pari/GP)

■nを正整数とする。３辺の長さa,b,cが整数である三角形で、底辺aが高さhのn倍に等しいものを求める。
ただし、相似な(または合同な)三角形は同じと見なす。

ここでは、３辺の長さが有理数である三角形を有理三角形と呼ぶ。

よって、底辺a=n,高さh=1である有理三角形を求めれば、十分である。

■△ABCで、AからBCに下した垂線の足をHとし, BH=u, HC=vとする。
ただし、簡単のため、
     ∠ABC > π/2の場合は、BH=-u (u < 0)
     ∠ACB > π/2の場合は、HC=-v (v < 0)
とする。このとき、
     n = u+v,
     b² = u²+1,
     c² = v²+1
である。
     x = u-v,
     y = 4bc
とすると、x,yは有理数であり、
     u = (n+x)/2,
     v = (n-x)/2
より、
     y² = 16b²c²
         = (4u²+4)(4v²+4)
         = ((n+x)²+4)((n-x)²+4)
         = x⁴-2(n²-4)x²+(n²+4)²
を得る。このとき、点(x,y)は曲線
     C_n: y² = x⁴-2(n²-4)x²+(n²+4)²
の自明でない(y!=0である)有理点である。

曲線C_nは、双有理変換φ: C_n→E_n
     X = (n²+4)(y+n²+4-x²)/{2x²},
     Y = (n²+4){(n²+4)(y²+n²+4)-(n²-4)x²}/{2x²}
[逆変換は、ψ: E_n→C_n
     x = (n²+4)(X+4)/Y,
     y = (n²+4){2X³+(n²+20)X²+8(n²+8)X+16(n²+4)-Y²}/{Y²}
である。]
により、楕円曲線
     E_n: Y² = X³+(n²+8)X²+4(n²+4)X
つまり、
     E_n: Y² = X(X+4)(X+n²+4)
にQ-isomorphicである。

よって、底辺が高さのn倍である有理三角形が存在するためには、楕円曲線E_nが自明でない(y!=0である)有理点を持つことが必要である。

[注意]
後で分かるように、 n=1,...,100については、
     E_n(Q)_tors = { (0,0),(-4,0),(-n²-4,0),O } = Z/2Z×Z/2Z
であるので、rank(E_n) > 0であることが必要である。

■楕円曲線E_nの判別式Δ(E_n)、j-不変量 j(E_n)は以下のようになる。
     Δ(E_n) = 256n⁴(n²+4),
     j(E_n) = 16{(n²-2n+4)³(n²+2n+4)³}/{n⁴(n²+4)²}
nは正整数なので、Δ(E_n) > 0より、E_nは非特異楕円曲線である。

gp>  read("rtriangle.gp")
time = 65 ms.
gp>  e=ec(n)
time = 2 ms.
%127 = [0, n^2 + 8, 0, 4*n^2 + 16, 0, 4*n^2 + 32, 8*n^2 + 32, 0, -16*n^4 - 128*n^2 - 256, 16*n^4 + 64*n^2 + 256, -64*n^6 - 384*n^4 + 1536*n^2 + 4096, 256*n^8 + 2048*n^6 + 4096*n^4, (16*n^12 + 192*n^10 + 1536*n^8 + 7168*n^6 + 24576*n^4 + 49152*n^2 + 65536)/(n^8 + 8*n^6 + 16*n^4), 0, 0, 0, 0, 0, 0]
gp>  e.disc
time = 0 ms.
%128 = 256*n^8 + 2048*n^6 + 4096*n^4
gp>  factor(%128)
time = 1 ms.
%129 = 
[n 4]

[n^2 + 4 2]

gp>  e.j
time = 0 ms.
%130 = (16*n^12 + 192*n^10 + 1536*n^8 + 7168*n^6 + 24576*n^4 + 49152*n^2 + 65536)/(n^8 + 8*n^6 + 16*n^4)
gp>  factor(%130)
time = 13 ms.
%131 = 
[n^2 - 2*n + 4 3]

[n^2 + 2*n + 4 3]

[n -4]

[n^2 + 4 -2]

■楕円曲線E_nは、位数２のねじれ点(0,0),(-4,0),(-n²-4,0)を持つ。
よって、E_nのねじれ点群E_n(Q)_torsは、
     Z/2Z×Z/2Z = {(0,0),(-4,0),(-n²-4,0),O}
を部分群として持つ。
Mazurの定理より、E_nのねじれ点群は、
     Z/2Z×Z/2Z,   Z/2Z×Z/4Z,   Z/2Z×Z/6Z,   Z/2Z×Z/8Z,   Z/2Z×Z/10Z,   Z/2Z×Z/12Z
のどれかに同型である。

■楕円曲線E_nは、位数4の有理点を持たない。
E_nの有理点P(x,y)が位数4であると、仮定する。仮定より、x,yは整数である。
     4P = 0
より、
     2(2P) = 0
を得る。2Pは位数2の有理点であるので、2Pのy座標は0である。
よって、
     -27x⁶+(-54n²-432)x⁵+(-36n⁴-684n²-2736)x⁴+(36y²+(-8n⁶-336n⁴-3264n²-8704))x³+((36n²+288)y²+(-48n⁶-1104n⁴-7296n²-14592))x²+((8n⁴+176n²+704)y²+(-96n⁶-1536n⁴-7680n²-12288))x+(-8y⁴+(16n⁴+192n²+512)y²+(-64n⁶-768n⁴-3072n²-4096)) = 0
を得る。ここで、y²=x³+(n²+8)x³+(4n²+16)xであるので、y²を置き換えると、
     x⁶ + (2n² + 16)x⁵ + (20n² + 80)x⁴ + (-80n⁴ - 640n² - 1280)x² + (-32n⁶ - 512n⁴ - 2560n² - 4096)x + (-64n⁶ - 768n⁴ - 3072n² - 4096) = 0
となる。左辺は因数分解できて、
     (x²+8x+4n²+16)(x²-4n²-16)(x²+(2n²+8)x+4n²+16) = 0 ------ (1)
となる。
[case i]
     x²+8x+4n²+16 = 0 -------- (i)
xは整数、nは正整数なので、(i)の左辺は、(x+4)²+4n² > 0となる。
よって、(i)は整数解を持たない。

[case ii]
     x²-4n²-16 = 0 --------- (ii)
     x² = 4(n²+4) --------- (ii')
(ii)は整数係数の2次方程式であり、整数解を持つので、(ii')より、整数n²+4はある整数mの平方数m²に等しい。
     m² = n²+4
     (m+n)(m-n) = 4
m+n,m-nは整数であり、m+n >= m-n さらにm+nとm-nの偶奇は一致するので、
     m+n = ±2, m-n = ±2
となる。これより、
     m = ±2, n = 0
を得るが、nが正整数であることに反する。
よって、(ii)は整数解を持たない。

[case iii]
     x²+(2n²+8)x+4n²+16 = 0 --------- (iii)
     (x+n²+4)² = n²(n²+4) --------- (iii')
(iii')より、n²+4は整数の平方数であるが、[case ii]と同様にして、これはn=0のときのみ成立する。
よって、(iii)は整数解を持たない。

[case i～iii]により、(1)を満たす整数xは存在しない。
よって、楕円曲線E_nは、位数4の有理点を持たない。

[pari/GPによる計算]

gp>  e=ec(n)
time = 1 ms.
%44 = [0, n^2 + 8, 0, 4*n^2 + 16, 0, 4*n^2 + 32, 8*n^2 + 32, 0, -16*n^4 - 128*n^2 - 256, 16*n^4 + 64*n^2 + 256, -64*n^6 - 384*n^4 + 1536*n^2 + 4096, 256*n^8 + 2048*n^6 + 4096*n^4, (16*n^12 + 192*n^10 + 1536*n^8 + 7168*n^6 + 24576*n^4 + 49152*n^2 + 65536)/(n^8 + 8*n^6 + 16*n^4), 0, 0, 0, 0, 0, 0]
gp>  ellpow(e,[x,y],2)
time = 3 ms.
%45 = [9/(4*y^2)*x^4 + ((3*n^2 + 24)/y^2)*x^3 + ((n^4 + 22*n^2 + 88)/y^2)*x^2 + ((-2*y^2 + (4*n^4 + 48*n^2 + 128))/y^2)*x + (((-n^2 - 8)*y^2 + (4*n^4 + 32*n^2 + 64))/y^2), -27/(8*y^3)*x^6 + ((-27*n^2 - 216)/(4*y^3))*x^5 + ((-9*n^4 - 171*n^2 - 684)/(2*y^3))*x^4 + ((9*y^2 + (-2*n^6 - 84*n^4 - 816*n^2 - 2176))/(2*y^3))*x^3 + (((9*n^2 + 72)*y^2 + (-12*n^6 - 276*n^4 - 1824*n^2 - 3648))/(2*y^3))*x^2 + (((n^4 + 22*n^2 + 88)*y^2 + (-12*n^6 - 192*n^4 - 960*n^2 - 1536))/y^3)*x + ((-y^4 + (2*n^4 + 24*n^2 + 64)*y^2 + (-8*n^6 - 96*n^4 - 384*n^2 - 512))/y^3)]
gp>  %45[2]*8*y^3
time = 0 ms.
%47 = -27*x^6 + (-54*n^2 - 432)*x^5 + (-36*n^4 - 684*n^2 - 2736)*x^4 + (36*y^2 + (-8*n^6 - 336*n^4 - 3264*n^2 - 8704))*x^3 + ((36*n^2 + 288)*y^2 + (-48*n^6 - 1104*n^4 - 7296*n^2 - 14592))*x^2 + ((8*n^4 + 176*n^2 + 704)*y^2 + (-96*n^6 - 1536*n^4 - 7680*n^2 - 12288))*x + (-8*y^4 + (16*n^4 + 192*n^2 + 512)*y^2 + (-64*n^6 - 768*n^4 - 3072*n^2 - 4096))
gp> w(x,y2,n)=-27*x^6+(-54*n^2-432)*x^5+(-36*n^4-684*n^2-2736)*x^4+(36*y2+(-8*n^6-336*n^4-3264*n^2-8704))*x^3+((36*n^2+288)*y2+(-48*n^6-1104*n^4-7296*n^2-14592))*x^2+((8*n^4+176*n^2+704)*y2+(-96*n^6-1536*n^4-7680*n^2-12288))*x+(-8*y2^2+(16*n^4+192*n^2+512)*y2+(-64*n^6-768*n^4-3072*n^2-4096))
time = 0 ms.
gp> w(x,y^2,n)-%45[2]*8*y^3
time = 2 ms.
%48 = 0
gp> w(x,x^3+(n^2+8)*x^2+(4*n^2+16)*x,n)
time = 0 ms.
%49 = x^6 + (2*n^2 + 16)*x^5 + (20*n^2 + 80)*x^4 + (-80*n^4 - 640*n^2 - 1280)*x^2 + (-32*n^6 - 512*n^4 - 2560*n^2 - 4096)*x + (-64*n^6 - 768*n^4 - 3072*n^2 - 4096)

[asirによる因数分解]

[4] fctr(x^6 + (2*n^2 + 16)*x^5 + (20*n^2 + 80)*x^4 + (-80*n^4 - 640*n^2 - 1280)*x^2 + (-32*n^6 - 512*n^4 - 2560*n^2 - 4096)*x + (-64*n^6 - 768*n^4 - 3072*n^2 - 4096));
[[1,1],[x^2+8*x+4*n^2+16,1],[x^2-4*n^2-16,1],[x^2+(2*n^2+8)*x+4*n^2+16,1]]

■楕円曲線E_nは、位数3の有理点を持たない。
E_nの有理点P(x,y)が位数3であると、仮定する。仮定より、x,yは整数である。
     3P = O
より、
     2P = -P
となる。
2Pのx座標は、-Pのx座標つまり Pのx座標と一致するので、
     9x⁴ + (12n² + 96)x³ + (4n⁴ + 88n² + 352)x² + (-12y² + (16n⁴ + 192n² + 512))x + ((-4n² - 32)y² + (16n⁴ + 128n² + 256)) = 0
である。ここで、y²=x³+(n²+8)x²+(4n²+16)xであるので、y²を置き換えると、
     -3x⁴ + (-4n² - 32)x³ + (-24n² - 96)x² + (16n⁴ + 128n² + 256) = 0 --------- (2)
を得る。
これを、t=n²に関する２次方程式と見なすと、
     16t² + (-4x³ - 24x² + 128)t + (-3x⁴ - 32x³ - 96x² + 256) = 0 ----- (3)
であるが、xは整数であり、(3)は整数解t=n²を持つので、(3)の判別式は整数の平方数である。
よって、
     □ = (-4x³ - 24x² + 128)² - 4*16*(-3x⁴ - 32x³ - 96x² + 256) = 16x³(x+4)³
より、ある整数s >= 0に対して、
     s² = x(x+4)
     s² = (x+2)²-4
     (x+2+s)(x+2-s) = 4
を得る。
x+2-s >= x+2-s さらに x+2+sとx+2-sは偶奇が一致するので、
     x+2+s = 2, x+2-s = -2
     x = -2, s = 2
となる。
しかし、x=-2のとき、(3)は、
     16n⁴ + 64n² + 80 = 0
     n⁴ + 4n² + 5 = 0
となり、これを満たす正整数nは存在しない。
これより、(2)は整数解を持たない。
よって、楕円曲線E_nは、位数3の有理点を持たない。

gp>  ellpow(e,[x,y],2)
time = 1 ms.
%53 = [9/(4*y^2)*x^4 + ((3*n^2 + 24)/y^2)*x^3 + ((n^4 + 22*n^2 + 88)/y^2)*x^2 + ((-2*y^2 + (4*n^4 + 48*n^2 + 128))/y^2)*x + (((-n^2 - 8)*y^2 + (4*n^4 + 32*n^2 + 64))/y^2), -27/(8*y^3)*x^6 + ((-27*n^2 - 216)/(4*y^3))*x^5 + ((-9*n^4 - 171*n^2 - 684)/(2*y^3))*x^4 + ((9*y^2 + (-2*n^6 - 84*n^4 - 816*n^2 - 2176))/(2*y^3))*x^3 + (((9*n^2 + 72)*y^2 + (-12*n^6 - 276*n^4 - 1824*n^2 - 3648))/(2*y^3))*x^2 + (((n^4 + 22*n^2 + 88)*y^2 + (-12*n^6 - 192*n^4 - 960*n^2 - 1536))/y^3)*x + ((-y^4 + (2*n^4 + 24*n^2 + 64)*y^2 + (-8*n^6 - 96*n^4 - 384*n^2 - 512))/y^3)]
gp>  ellpow(e,[x,y],2)[1]-x
time = 1 ms.
%54 = 9/(4*y^2)*x^4 + ((3*n^2 + 24)/y^2)*x^3 + ((n^4 + 22*n^2 + 88)/y^2)*x^2 + ((-3*y^2 + (4*n^4 + 48*n^2 + 128))/y^2)*x + (((-n^2 - 8)*y^2 + (4*n^4 + 32*n^2 + 64))/y^2)
gp>  %54*4*y^2
time = 0 ms.
%55 = 9*x^4 + (12*n^2 + 96)*x^3 + (4*n^4 + 88*n^2 + 352)*x^2 + (-12*y^2 + (16*n^4 + 192*n^2 + 512))*x + ((-4*n^2 - 32)*y^2 + (16*n^4 + 128*n^2 + 256))
gp>  g1(x,y2,n)=9*x^4 + (12*n^2 + 96)*x^3 + (4*n^4 + 88*n^2 + 352)*x^2  (-12*y2 + (16*n^4 + 192*n^2 + 512))*x + ((-4*n^2 - 32)*y2 + (16*n^4 + 128*n^2 + 256))
time = 0 ms.
gp>  g1(x,y^2,n)
time = 0 ms.
%56 = 9*x^4 + (12*n^2 + 96)*x^3 + (4*n^4 + 88*n^2 + 352)*x^2 + (-12*y^2 + (16*n^4 + 192*n^2 + 512))*x + ((-4*n^2 - 32)*y^2 + (16*n^4 + 128*n^2 + 256))
gp>  g1(x,x^3+(n^2+8)*x^2+(4*n^2+16)*x,n)
time = 0 ms.
%57 = -3*x^4 + (-4*n^2 - 32)*x^3 + (-24*n^2 - 96)*x^2 + (16*n^4 + 128*n^2 + 256)
gp>  g2(x,n)=-3*x^4 + (-4*n^2 - 32)*x^3 + (-24*n^2 - 96)*x^2 + (16*n^4  128*n^2 + 256)
time = 0 ms.
gp>  a0=polcoeff(g2(x,n),4,n)
time = 0 ms.
%74 = 16
gp>  a1=polcoeff(g2(x,n),2,n)
time = 0 ms.
%75 = -4*x^3 - 24*x^2 + 128
gp>  a2=polcoeff(g2(x,n),0,n)
time = 0 ms.
%76 = -3*x^4 - 32*x^3 - 96*x^2 + 256
gp>  a1^2-4*a0*a2
time = 0 ms.
%77 = 16*x^6 + 192*x^5 + 768*x^4 + 1024*x^3
gp>  factor(%77)
time = 0 ms.
%78 = 
[x 3]

[x + 4 3]

gp>  g2(-2,n)
time = 0 ms.
%79 = 16*n^4 + 64*n^2 + 80
gp>  factor(%79)
time = 1 ms.
%80 = 
[n^4 + 4*n^2 + 5 1]

■楕円曲線E_nのねじれ点群は、Z/2Z×Z/2Z または Z/2Z×Z/10Zに同型である。
E_nのねじれ点群E_n(Q)_torsは、Z/2Z×Z/2Zを部分群として含むので、Mazurの定理より、
     Z/2Z×Z/2Z,   Z/2Z×Z/4Z,   Z/2Z×Z/6Z,   Z/2Z×Z/8Z,   Z/2Z×Z/10Z,   Z/2Z×Z/12Z
のどれかに同型である。
しかし、E_n(Q)_torsは、位数3,4の有理点を持たないので、
     Z/2Z×Z/2Z
または、
     Z/2Z×Z/10Z
に同型であることが分かった。

n=1,..,100については、E_n(Q)_torsがZ/2Z×Z/2Zに同型であることが確認できた。
E_nのねじれ点群が、Z/2Z×Z/10Zに同型になることがあるかどうかは不明である。

■n=5の時
楕円曲線
     E₅: Y² = X³+33X²+116X
のねじれ点群E₅(Q)_torsをpari/GPで求めると、Z/2Z×Z/2Zであり、そのMordell-Weil群E₅(Q)をCremonaのmwrank3で求めると、rank=1で、その基底は(-9,30)である。つまり、
     E₅(Q) = Z×Z/2Z×Z/2Z
である。
E₅の有理点からC₅の有理点を計算して、底辺5,高さ1の有理三角形(n,b,c)を求めると、
     (5, 241/120, 409/120),
     (5, 16354950889/2152746960, 5858756089/2152746960),
     (5, 15224080676149012091689/13756901884302741868440, v 63765406834896547107361/13756901884302741868440),
     (5, 24218187327122647056442140614568372561841/4468251181812602388323869082371370448480,
4701093187965500335736065885533838399441/4468251181812602388323869082371370448480),
     (5, 188505117184298045766443476808536487676309408915680510143752001/155003203560506231309765165551107549384742417766438341246176600,
895804429223810234900835181391095219906663545142679754041146249/155003203560506231309765165551107549384742417766438341246176600),
.....
のようになる。
これらと相似で、３辺の長さが整数になる有理三角形(a,b,c)を計算すると、
     (600, 241, 409),
     (10763734800, 16354950889, 5858756089),
     (68784509421513709342200, 15224080676149012091689, 63765406834896547107361),
     (22341255909063011941619345411856852242400, 24218187327122647056442140614568372561841,
         4701093187965500335736065885533838399441),
     (775016017802531156548825827755537746923712088832191706230883000,
         188505117184298045766443476808536487676309408915680510143752001,
         895804429223810234900835181391095219906663545142679754041146249),
         ....
を得る。

■n=1,...,100について、楕円曲線E_nのMordell-Weil群をCremonaのmwrank3で求める。
ここで、rank(E_n)=0のとき、楕円曲線E_nは自明でない有理点を持たないので、底辺が高さのn倍に等しい有理三角形は存在しない。

さらに、rank(E_n) > 0のとき、３辺が整数で底辺が高さのn倍に等しい有理三角形を求めると、以下のようになる。

高さの大きい解を、赤色で強調した。

n	E_n[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆] j(E_n) Conductor of E_n	rank(E_n)	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元 P[X:Y:Z] E_n(Q)_tors ねじれ点群の生成元	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元の高さ	ψ(P)[X,Y] \in C_n(Q)	底辺が高さのn倍の有理三角形[a:b:c] (最小解と次の解)	n
1	[0, 9, 0, 20, 0] 148176/25 40	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	1
2	[0, 12, 0, 32, 0] 1728 32	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	2
3	[0, 17, 0, 52, 0] 37642192/13689 312	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	3
4	[0, 24, 0, 80, 0] 148176/25 80	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	4
5	[0, 33, 0, 116, 0] 6509904336/525625 1160	1	[-9 : 30 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	1.44396288973895	[-29/6, -725/36]	[600, 241, 409], [10763734800, 16354950889, 5858756089], [68784509421513709342200, 15224080676149012091689, 63765406834896547107361}, ....	5
6	[0, 44, 0, 160, 0] 48228544/2025 480	1	[-8 : 32 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	1.03255693988694	[-5, -25]	[120, 29, 101], [27415440, 27772729, 4569289], [12952017180018840, 7931145035825621, 20696623998383789], ....	6
7	[0, 57, 0, 212, 0] 285455366352/6744409 2968	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	7
8	[0, 72, 0, 272, 0] 20346417/289 272	1	[-36 : 192 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	1.01814871734537	[-34/3, -680/9]	[120, 113, 17], [23974080, 5547169, 19537249], [6523032937889160, 5246728914744017, 11734379884073393], ....	8
9	[0, 89, 0, 340, 0] 5258429611216/47403225 2040	1	[-5 : 20 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.1615509618561	[-17/4, -1105/16]	[9360, 1769, 10841], [2193892307923680, 335564764696849, 1978355617629169], [12178448379798568237750466367618480, 6396641739029283264928166863175801, 6079085342163055967139272754272969], ....	9
10	[0, 108, 0, 416, 0] 17657244864/105625 2080	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	10
11	[0, 129, 0, 500, 0] 55537159171536/228765625 440	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	11
12	[0, 152, 0, 592, 0] 37897488592/110889 1776	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	12
13	[0, 177, 0, 692, 0] 400526463636432/854802169 17992	1	[-121 : 858 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.97325201292239	[-519/22, -191165/484]	[291720, 315121, 31849], [986435564564501697360, 827765313659746079929, 179031046508032125289], [62687588314659471762106066477277703740107671960, 18262064951449431384444049999301413438736978329, 45330877980478080853562634556959992986691592961],	13
14	[0, 204, 0, 800, 0] 942344950464/1500625 1120	1	[-20 : 240 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	1.34170949513954	[-40/3, -520/9]	[2184, 685, 1525], [3102786960, 3874500361, 796811929], [10926168313676339027304, 1056911300043601224325, 10243219909564414588765], ....	14
15	[0, 233, 0, 916, 0] 2190677784534736/2654825625 27480	1	[-49 : 630 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.13974669769533	[-229/14, -14885/196]	[10920, 8297, 2753], [1399306337629200, 184391575222969, 1561148767833769], [6641333487360672798855119718330120, 6656265043500497440780311146987633, 442755606514123583573181744580217], ....	15
16	[0, 264, 0, 1040, 0] 72043225281/67600 1040	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	16
17	[0, 297, 0, 1172, 0] 9719916472968912/7170194329 39848	1	[11236 : 245973 : 64] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	6.14910817841037	[15236/1113, 147362885/1238769]	[116433779280, 8405427241, 111771268729], [11670441288604186032511890990181342444475040, 9569225044530597073751214140775621146980849, 2233967780403995054623788795320612578673809], [1726638167722056812510242375016274169847866144279777727483953933710934546000929387777718228723440, 2355167968796213261326920084074853282962671929092261487519795587872719303931313279855781246018649, 634520338067958791213984242343453257730037840294821510847951189733526852089193839663955666228041], ....	17
18	[0, 332, 0, 1312, 0] 18761723501248/11029041 3936	1	[-200 : 2240 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	3.70632101530802	[-287/10, -50881/100]	[6254640, 6532649, 439289], [121912996594096227283152480, 96186506119044368085563761, 26834058234370029973355281], [19748407201039118280200230103618273622437072530234659096720, 3256310737206108652604732465265839341132141037473600202969, 16718526447516720362824023087854187081026371741899548463689], ....	18
19	[0, 369, 0, 1460, 0] 36616630624840656/17362015225 55480	1	[31680 : 675120 : 1331] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	7.68247675022101	[23287/1164, 118472065/1354896]	[45798405066480, 32279148533449, 13821198008281], [379625543589728572904666977237492035627972880961288160, 86182251259758751530022455146839302807111409456623409, 463890202432451443335875107166868472678484477836703569], [3157940089342367944828489714056445893465478725784151957089075052339942527111245599604862855911392447691468276017356499760, 2966987960423152671479221041821346366855257917973499590304508813202694005187897409386267534678797416585253065614545526841, 256687783240919686083355058064899621510028776333826156256556487847627674807243585745291765096063113488776085442092856169],	19
20	[0, 408, 0, 1616, 0] 16489712964816/6375625 8080	1	[-324 : 2880 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.55038458465872	[-404/9, -131300/81]	[46800, 54781, 8269], [1328412804494162400, 1323626120375260129, 66733491312342529], [16766780921268276749993488544676394316400, 14098178277947786644861085890297744809229, 2820997324306950594016665403161666010621], ....	20
21	[0, 449, 0, 1780, 0] 120954492814841296/38512100025 74760	1	[-125 : 2200 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	4.42910250726267	[-979/40, -292009/1600]	[121265760, 112752209, 10409969], [14794720810392116418692000253120, 1167572755316636045893632472801, 13881540004580080404719114203681], [195150144666474045320575765928745570813200010660734796573319911556320, 1865907783843001322859172472686371984807758473641845947229092487720369, 1670760342118718560356339121830838582733095175467782283515695588668049], ....	21
22	[0, 492, 0, 1952, 0] 205922514748608/54479161 21472	1	[-200 : 3360 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	3.83006801829898	[-427/15, -76921/225]	[11651640, 11532109, 545749], [835113361625825952930340080, 300163776632474933570433721, 538698603464021032708637641], [1773461856472366622323625948486088170369271347673175806462120, 119368615493062590706551047332692824170189147334677094083909, 1863243902327898721486393328894195503317878653469932994360029], ....	22
23	[0, 537, 0, 2132, 0] 358709234763429072/79499749849 98072	1	[9984 : 301600 : 27] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	6.40770178218177	[3567/200, 9057761/40000]	[353650336800, 15616444609, 351257781409], [675461754210651618077300022235786331707454400, 412593069227092345909442481176661188645787361, 265544169518222539349683523320213728865241761], [37175552685429829395793005640709851917595753521457830773553338029133773986280524081610934711971298400, 38469351479276973059788409350925405840477860805154346751338301801181040630239303966756982219107528289, 2049313038059654617525242782036378723621985001432810692420545147986159196728969654080228938875826689], ...	23
24	[0, 584, 0, 2320, 0] 9104453457841/1703025 6960	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	24
25	[0, 633, 0, 2516, 0] 972220997912035536/154547265625 25160	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	25
26	[0, 684, 0, 2720, 0] 1517861692281024/206353225 35360	1	[-40 : 960 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.23628246462448	[-51/2, -425/4]	[15600, 5641, 10009], [3859613000224800, 5654150911242289, 1798724912017489], [211573114753888403984532419207377200, 32539228795839288907497513578996089, 180251593692931534225356141114657961], ...	26
27	[0, 737, 0, 2932, 0] 2441481864008849872/285537403449 17592	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	27
28	[0, 792, 0, 3152, 0] 921129344198352/93180409 22064	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	28
29	[0, 849, 0, 3380, 0] 5742584979688556496/505016316025 15080	2	[-13 : 312 : 1], [-729 : 7830 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.48471070924098 4.1008079141454	[-195/8, -17225/64], [-4225/54, -15413645/2916]	[3480, 169, 3601], [706440, 336841, 371281], [737760, 31681, 719329], [19700280, 24954649, 5288929], [275692560, 44707129, 232202569], [2332838650320, 2254454361289, 113323643641], [1922479369078800, 446361024669001, 2364819517941049], [412064257777120320, 335396785055745169, 78269171337328849], [17520696641831347800, 17970277794351628681, 747063331867000369], [44624509868597770440, 37102937371768551361, 7708639423632398329], [21978026210970006694440, 3233369533049412218449, 18849969322431433560361], [19645374749686521760409880, 906710215971018728538721, 19054745935433762417172601], [78498656448226014596108013360, 81713837046060815474290854121, 4168700119041806592692408761], [15904300363918423131862874954969763979680, 18790840343250365857798348916659055382529, 2930312941749294760729652471833906835041], [22591510490752442253323240770848168166920, 181178982084328017983782988975626120744609, 203770306896028165709190002056428713613721], [45617962319315640160742297329091628485835000, 43823879669349982546383999123861592293612241, 2407342031612867071440533700509283279447241], ...	29
30	[0, 908, 0, 3616, 0] 8415471772483264/646430625 54240	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	30
31	[0, 969, 0, 3860, 0] 12761289596720757456/860005843225 239320	1	[6644070720 : 677370676080 : 704969] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	16.6546472368185	[74221817/7838124, 53827367398789345/61436187839376]	[104244684352498514814278615760, 41559330428614145828995978441, 145706554398443729268886125049], [118101114388092315968048566625068328826892599192049586711959327105322947269837359385687953951174481081014813523869280, 10778437917036096505127194039673184043277579845086045380223889169203050824706098852313447229599103613040442647152209, 128240414024197139116935855232890609317349223905483385004794592064855275214347974531420763615873124968425985700938929], [672616059907535678937883785307907158324417881836923852720017668156145543381631787919205958713567260082043721044890730753995449885663688726746056036730329923501793853747430356735746175944435769288108614582584589046964498758989581946242229530212147068814169684080, 23365566314190632796368111489294299233460290389378652132109943985299758259166418156739708594242009829845078957792720044743117566993390490160899151026695729791841041016979733840177721349657342594806647122017530939537456755817325438424908149015167806205311546009, 681631953440154405198800060036299477910719955827041533484554857897066303592384754485541635922384965916320996845360317241017794274149305421479815635600639226201066434058847059051118529983460056428634539522539428174212629822749622779842795795112608309533632033321], ....	31
32	[0, 1032, 0, 4112, 0] 284799399232257/16908544 4112	1	[14812 : 506736 : 343] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	6.85652167245305	[61166/1863, 487652360/3470769]	[1682662494240, 1142249091713, 544170887297], [626931136425730553498926872903788113093682549760, 184466368790603625738223953849531076013384322049, 810590967813119511621146775200505903394408439809], [394465007974236959182080693915992784372615909420102683451601410123663467336569987081688717906179405503336480, 357333599405636013136605357911761944812197016487532977232271887015294327095630367344450496832046474674505857, 39326037604528498816822557966550987575346536708426553556084673652210399273993270363615573015258219968694913], ....	32
33	[0, 1097, 0, 4372, 0] 26982464934497340112/1416759336729 288552	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	33
34	[0, 1164, 0, 4640, 0]	1	[-8 : 192 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.66948380776007	[-145/6, -21025/36]	[118320, 4441, 121129], [7882082849848590240, 1592987865868012849, 6310313765790694609], [1351332031768258979768436135511205077449360, 1213991200595043452653585035661749269664649, 143601378020164557004015649897602539285241], ....	34
35	[0, 1233, 0, 4916, 0] 54600641315008886736/2266605525625 344120	1	[292144 : 10895880 : 6859] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	9.09614801730458	[677179/18786, 56625271685/352913796]	[13353723023250120, 9619348475988457, 3761344671170593], [2836070683971670756240823190386473057239035282319546160763269200, 514607169256029950647347730688213713992321116244462638110525849, 3345239762087050537950019875225831153546167733036380057165496649], [44358499171186351278612836350197555775866838109520201794809759870146472137139040683674199464879160903372532346449007739928968560074792997822120, 42052413010136898812667471401560697991522165959583307200150918541299448996195610005256958845192853203257403799268515208986720156486731641774993, 2648163485660138786165523295437808811760542055899284336200404225881572079933260620353970332441744518550718260909321267534384362681447580652857], ....	35
36	[0, 1304, 0, 5200, 0] 18681746265374416/693005625 3120	1	[-20 : 640 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	1.47351472877204	[-65/2, -1105/4]	[4896, 305, 4625], [48068683200, 46062838321, 2425759729], [139081500943437192075936, 478318040454615673312625, 617396026616283525577745], ....	36
37	[0, 1377, 0, 5492, 0] 106255893898639649232/3533035251769 406408	1	[31667664 : 2193559208 : 9261] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	10.9083065019947	[2912133/146746, 21155369554085/21534388516]	[19183021384699634280, 1979720899013284729, 21100018634263606801], [18433693433400499944008526654825892883595448201871906546957529211174786358640, 547390219597176259454201580073972460346424599580277969196307402522765862329, 18213737940760827177347355662330951273063556047517468748373094517849987451689], [793099218594697212473107397225367164929935791797154488991507537053711987226950013302937689153889641949323446828746666315187473159393771282614823821306027777722573496874040, 151880727862767655183719022573239728148193436651232598290680261677229342192547165641898938126255970301536749016612975364932080770071808736565007399334831505332304130787521, 643096008123463900768859414371310969735685952371546018185568762375146605467853170544277312366534846064077773854974674652930585128791344401305883891194709192738201414007689], ....	37
38	[0, 1452, 0, 5792, 0] 142835862356607168/4269446281 110048	1	[-75886408 : 1410907680 : 68921] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	12.7627748683742	[-5038859/64935, -19328890757881/4216554225]	[29342993707459360426680, 33220174877531890512541, 3944525541118637149861], [142571874524923564202083658117874019948209238124169916697753845771242008370682898200005360, 142888199486953052337661968961778759324450357909662762790093708030803295840147464101951481, 3761384016923135599418878836758898297884588769969108246256322628322961620996562835258121], [87873987004332012571750989793445370899828363014740547196039350024139724755325804479818946633824577906164634181942410211691774929681498443179256219719344090630909685680134219239822289811366047300288040, 79563183605310622031844913994363237365882177839275429733736862987420117748764360580540042240532388165082883390174094723787224013040083410361679489704939935502140169991600307902105739556268462537340821, 8658915207168686118974333866475161780757361169478216085664279415700179249756799607103871202976679059486912193702400080143525715277503619859371403287890456272134807796207154386951592354536791858980781], ....	38
39	[0, 1529, 0, 6100, 0] 199676126423088918736/5380196225625 95160	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	39
40	[0, 1608, 0, 6416, 0] 4126874048961201/100500625 32080	2	[-36 : 1344 : 1], [-324 : 11520 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.31266179048915, 2.26857348761453	[-802/21, -93032/441], [-401/9, -34085/81]	[24360, 3809, 20609], [24480, 23413, 1237], [741000, 274853, 1015397], [42492145800, 42197454437, 1106071013], [7416023265116760, 7409658819992081, 185603859984881], [8485996363315680, 3443137748967733, 5053855428076117], [15831676290830400, 14939338351047889, 980971084758289], [32202327539054400, 33203239853988961, 1276909945654561], [266661975944293356336000, 21572516201279022136369, 287255936659994945800369], [1545211392177191580995160, 809767100443841951954321, 2354373472598565519047921], [5397940201853363764886880, 561541407992402239773397, 5944557141819976460192053], [1815392184565833930786767391751800, 345690230521325945158877780726597, 1473393290322490636779738426416453], [6369117048464977503833929609447800, 7278043129881406759425277205070053, 921051848116676699364407570368997], [70535807462732672999821240006621920, 330349639844983509215025385193383573, 259815110129244374326841511070543477], [4098691172099297386400796074215051560, 130824641705190513764407891546257089, 4181282893278540937716427916541635489], [626912354123828228762860963013983546080, 653248814088392571327079735209003045877, 30485682947145887334207997122809301973], [1214143134307806706515167930513618281560, 870468655082909766160978385910431811761, 345539632228936749071147231612704042961], [83050696975860969005429134878965455084800, 29016376807957630013689465059379320767089, 54148519951544413690230320858766520491889], [28267011664568041255201216829904073653550356600, 3605987145844226973168758255025600450691744133, 24741041396255372825389988768104125567314123717], [98352699404690107664594560328858990171744574600, 65459429909640349933606217961682992609510316517, 33031109055134877715595899297405577868153460133], ....	40
41	[0, 1689, 0, 6740, 0] 363605294356835960016/8022971275225 552680	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	41
42	[0, 1772, 0, 7072, 0] 473990060352541888/9498646521 148512	2	[-200 : 7840 : 1], [-1300 : 28080 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.30686855686763, 3.47431534277973	[-221/5, -6409/25], [-408/5, -122536/25]	[24360, 21029, 3389], [68880, 26921, 42041], [2270520, 2528389, 262909], [148356248040, 49665746989, 197927747029], [10856369925841440, 10781110419097121, 270101036783681], [30697206805959120, 978278477713321, 31355983526410201], [365562158188227000, 23337667858938029, 344018424578415029], [1180119169909239840, 2000227879281332401, 820392661002924241], [4203545788076182793537040, 4194870590030462256166921, 100569852227439239717881], [106888598536080525844209600, 103202302385889737114926481, 4505330423545341217136081], [2929330682919022689209689080, 2108191247065870565817901589, 825246050666689362409266509], [3422731020787425791349584396033400, 183639904173135206165564479093669, 3259182688869702498648144912127069], [3325472876772924930933110807357110548120, 3626443548147081520269792028583466249629, 310375380809022838885821827027138391749], [3211679755935414775127416034540125320, 3314733585442659139806252390875575949, 127618543065140261554644363857436629], [50877984186596996807791621071463364520, 52970214047029313952797268896180771509, 2405637467087398685206650339724742989], [135776342972691177814019177268504274583760, 28312279458215172450707600236084744786841, 107697762163503459514640626465118390758601], [1819182802667115682730754911232875433630720, 51246952265581366048220156632926433795121, 1847079742800843457431779176738626844260401], ....	42
43	[0, 1857, 0, 7412, 0] 643521495831619929552/11738825882809 637432	1	[749700 : 87338265 : 64] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	10.7584374950067	[188788/11865, 225399295069/140778225]	[7309204832229933360, 1973364681415536361, 9276792399696255001], [1504147792747013100658037308440493846263808648047278919608147652668042832480, 75396673971598678402237506160712525523853477664906944584241096145619740881, 1571328254827784921801430407094430018295870450323979555181163609751486829361], [4877590607012686499486144316951694014892403388138286721689018629263038045206468658659075390770935890880727694252739643342183410972576852420391473481296217818000819643280, 115149358408334434511812115900722566778233797832132838392747604844307574319795982845183318361014627965814443101651556697127238326123584159381821151421132773945077535161, 4859103702237290209397124781872157747556070460101301433274693631856002116073237515811384202222490437613811016957034705800368916878161160414564212557572060608565688855881], ....	43
44	[0, 1944, 0, 7760, 0] 206960199195696336/3443929225 85360	1	[31680 : 1517280 : 1331] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	7.67618143694227	[30943/654, 151194385/427716]	[57232804522080, 52889037442321, 4549668892849], [668114777358229207969248475673751592754651774969376960, 16672448649506147218751369169150354431230295067253729, 661404064830183792151589733963784223918770030729382689], [ 1537296599550290062720606006410136915334665676932909917563182486458990323044035382854472640519648994286600087325859022560, 1955470498231349793876177769992443637354235892652017277559740830189228984440765764093299487973783716680553641184504406129, 419319858695710782866812973664041262654282979151813617765405109771334442135321212713125568021205856783227530801911540561], ....	44
45	[0, 2033, 0, 8116, 0] 1109803985285649808336/16881621125625 243480	1	[6793424 : 328669880 : 24389] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	11.1245533406579	[6413669/150766, 6309402798725/22730386756]	[53350269339592625400, 5670199596158974529, 47820095728400002121], [611336452278235829761055159563938442766541719023013146637993367195563960341200, 614790705815794839847324733483355108802317162461725750528595147469379594773769, 13981289451202513620942219324493027864968914170941845140221593809049361092569], [1965263485087734646111129179726149716454827030051389956189316815658715598862796192803428649718827934838353838437453615605428604729141291862601298491771131613437635329578891800, 164885584119515132557109225450367721325954571291110615636714759327773718771915817425178324048728592614743371615885069254230458297488849411887432963514165027842745882962253081, 2124709118405502171891806171891558930706928590919780224317137063875771474423109946462090182318355260620062714765845897458828077370383912138538903402144753856406795119058129969], ....	45
46	[0, 2124, 0, 8480, 0]	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	46
47	[0, 2217, 0, 8852, 0] 1869199414654216246992/23897598459289 832088	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	47
48	[0, 2312, 0, 9232, 0] 36711219370550977/431475984 27696	1	[-1156 : 39168 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	2.65658029104758	[-1154/17, -669320/289]	[118320, 121537, 4033], [7232280791948858880, 6440764841882823169, 807460900508418049], [775833982531677797303013228078016369463760, 149099046296103760048031380338986943287233, 627821713080134766274424267821183967768257], ....	48
49	[0, 2409, 0, 9620, 0] 3080670962355699527376/33343753104025 134680	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	49
50	[0, 2508, 0, 10016, 0] 3833066515775120064/38269140625 50080	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	50
51	[0, 2609, 0, 10420, 0] 4976996081244284928976/45908823116025 1062840	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	51
52	[0, 2712, 0, 10832, 0] 1533659409218945232/13090334569 140816	1	[95481 : 5164523 : 729] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	8.41406125131075	[706788/13699, 39681420740/187662601]	[838277691516720, 328192275646069, 510736056359461], [25669462596490444494299869517202425158779937175883765807840, 43721820101361275642883663892073431092873357821194186675489, 18056319807755243780396135941483680883227867775377723675649], [793024547787103081367985278138587803977562181173678561696197468601467946985933330881228221729152814654241939838712898928911469872240, 166578126591392191929221477954797170371215426044724898792531753472621717694254292833718237649908114556360259527660797445843990754661, 627331389170777874895304434725770724644616183673752860603854134668374246571329242763303329606180959825162223312636982653925949727349], ....	52
53	[0, 2817, 0, 11252, 0] 7893816652370463997392/62437131548089 1192712	2	[-2601 : 37842 : 1], [116928 : 6605040 : 343] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	4.90219694402899, 8.02744538057581	[-19691/102, -358559045/10404], [44135/876, 261387937/767376]	[364040040, 538493929, 174545281], [30845014200, 1117024561, 29897242489], [227701121990160, 205868008159129, 22295792037289], [408980761574676378491040, 7814734715495286377761, 407819317114677420700801], [24391721117970818972774848713835920, 27238713805508809527462651163076089, 2880112270332082748934102291196009], [177203510116485709010555646105467880, 133150875981788713371259500969531361, 44221195368375852972434727212973769], [7709488087035765354588554488485870568440, 7562108141301789041528163802998254000569, 208073127761557179365777900854885011121], [29809140676423161678584774006267495019600, 27816792815567637515472606458058546236809, 2075687055035142585143469833318105717209], ....	53
54	[0, 2924, 0, 11680, 0] 9645696383080717504/70801227225 35040	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	54
55	[0, 3033, 0, 12116, 0] 12308247331661747760336/83955529425625 1332760	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	55
56	[0, 3144, 0, 12560, 0] 233109125578211121/1479556225 87920	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	56
57	[0, 3257, 0, 13012, 0] 18889622503376599763152/111703697586009 1483368	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	57
58	[0, 3372, 0, 13472, 0] 22725114275318839488/125359191721 390688	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	58
59	[0, 3124, 0, 944, 0] 58045430930022989824/2122452725 34220	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	59
60	[0, 3608, 0, 14416, 0] 8531462587325803216/41097425625 216240	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	60
61	[0, 3729, 0, 14900, 0] 42606840259871917584336/192119697525625 363560	2	[-845 : 45240 : 1], [13738800 : 9836189000 : 27] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	5.9226604643707, 9.95290487604489	[-21605/312, -107602585/97344], [61239/11770, 512292950429/138532900]	[133224, 132505, 2305], [318866467296, 315138868945, 6445538545], [268423426440, 70219825849, 198390420289], [8577412012631280, 2853241679926681, 5729363054241961], [66528906816423480, 229889487219080209, 163361634003622729], [751641328221777234384, 27056267377568001145, 775826738391651519145], [2091665370976747083197127451136016, 2092269308654601905132521811706745, 34291116917088996029465916701545], [2120622938797037505816181774104943416, 56753330968950384738397228565345905, 2165761566494881280265349786532891305], [9965893726928086476665463622496189764776, 497381796555436945157792006938195582105, 10436956669982372396486586377555651056705], [322628993969902611495534787876930873083840, 64915585550950779779867495968728616516081, 257983449339572324503991310743751379087921], ....	61
62	[0, 3852, 0, 15392, 0] 50568114701682341568/213666742081 477152	2	[-1300 : 65520 : 1], [1152 : 81600 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	4.76874878151513, 5.70339294051691	[-2664/35, -2412104/1225], [8177/150, 20317921/22500]	[226920, 93061, 133981], [636599880, 639625309, 10681189], [26713208400, 26436613369, 513904969], [192566301156659040, 3126345417440209, 192948191093349169], [115838455613129016240, 223815027669135504361, 107984938036831752601], [13361518156805113999080, 337737405722565667309, 13623266498074551242389], [19141938458086834344344482143480, 13193391705760140870448482532981, 32333191293554623756022514403501], [2794315208431844402219980468715760, 1761289230165880508861689856933881, 1034584864546535137836106114170121], [731017979053941439878484922423642760, 725689825491318650561838277013173669, 12978355400941832416377309441442909], [9491528005340811698863393706894200591200, 7400555537908184203604332346684243559121, 2098148497770484007651546909602828150321], [90061504273961932828415597504445483421148160, 87528994966176073929001416709669859521631809, 2929994046277252296733600700726415066427969], [184609403023190634608618258668653923184524760, 1011617846368577515707773996508611843427113821, 1196226573123563803672776482617176464954336581], [6219792131292670730145207614314333618760189640, 1562504463701526929857325442285979896380313901, 4661591026413321616908050330211643899217582261], ....	62
63	[0, 3977, 0, 15892, 0] 62736501487536844583632/248656220332569 667464	1	[-41905 : 2512328 : 125] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	6.15279424016493	[-8905/136, -7568017/18496]	[123059270880, 108877743809, 14332776929], [18178400254835733326338477293681888329403840, 384604914934703963603215343954043144375841, 18434946058683924255018613205619940248060001], [4727543278563283522471769963117024677343014621088978902229287379907669270187906809918648412049760, 4853805190318833606191088090459826500968382501485914757969893094856909221567733595052656534678049, 146379556746830981633845752663644579211452302261647129183559235384188808550974587549816329255809], ...	63
64	[0, 4104, 0, 16400, 0] 1156305808919628801/4303360000 3280	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	64
65	[0, 4233, 0, 16916, 0] 91267119661382393942736/319248449625625 2199080	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	65
66	[0, 4364, 0, 17440, 0] 107039532762104469184/352248185025 575520	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	66
67	[0, 4497, 0, 17972, 0] 131274111701453517557712/406791667031929 2408248	1	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	67
68	[0, 4632, 0, 18512, 0] 38281992680645794512/111805303129 314704	2	[-1300 : 74880 : 1], [-4356 : 71808 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	4.12452013731822, 4.18695812428767	[-801/10, -181649/100], [-9256/33, -80642900/1089]	[4226880, 4293409, 90721], [49963680, 49916929, 736609], [18400800, 29290369, 10891681], [41012819338988672160, 28469877119808207361, 12563816597102893729], [112116400443313286880, 117774244311238973281, 5882106353471030401], [188554390287103342481280, 185091760672746182284801, 4452283334095158519169], [7176631790303507225420160, 6169294775816677634931649, 1013748456875235514079809], [91598004972688039284447293760, 41903841484662753550028239201, 49734064959970096121624977441], [235851531439085264223540465600, 273628125717501470818418384929, 37913592651119638460696850529], [137280394004768855836823366883766914074948640, 5607472505225316279191235133690637982161281, 132064374867032309031991996261087581901580641], [451831379528355418140157372927166029770737760, 426365898511009761784393334028521347138539169, 26368180847301809500090317288120499384707841], [209922815091980365007861725964276939252074237440, 3907759247364251295715320894298006732832121409, 207549863101987548414411972656937608079443849281], [895123867181810578581273908781312508185506983680, 1030367873347277708770934233303451336989977981121, 135799421821718482841025466329637572035798720449], ....	68
69	[0, 4769, 0, 19060, 0] 186811737992500513083856/514662082407225 2630280	1	[-845 : 52780 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	6.395880542389	[-27637/364, -138437545/132496]	[423223185840, 415136127449, 10186137641], [728315546638623738196730569877991109133040480, 70653338905728815534431764423907489022263729, 658539711816818341645394896897268415894128209], [15237374568389321017202653780971712153635732498899153143088400887984822129270980180494168062946792720, 3996496670189711581480350051453447234514707994813920612235976363260857354112987748384187063177456521, 19229033497755140035685749528834966419984168139813899481303100923760599951709096415905257220647526009], ...	69
70	[0, 4908, 0, 19616, 0] 216800619151769475264/563888355625 686560	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	70
71	[0, 5049, 0, 20180, 0] 263180923408318469286096/646778740104025 2865560	1	[89280 : 9692400 : 29791] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	10.4502815887729	[1282439/11820, 941754671329/139712400]	[3982245076517864880, 4160346463516818649, 186363698408607529], [13392988049983143006356301296136812233268471348911601318532254736617374560, 13081695420811983034527123495527650568560403765156809291990881488463833521, 365149790139504888809968378053627015319672477093424081472873806286906961], [49587112092607137543217252035617447542660262730856075624783287483642033648045099282254436666362972911925256631399264889085932468429052703333214031072086054447853840, 31087785872476574515059577816652664862447962697388081459408411927393698734752660647548441841636436548471105696273717914510807882843491474755513735148057261644401289, 18520345711453642753243808283843986757125771406395227983823810984869401352032757971531385395803306770756443184867967932629448107468269449737326387428795458397643129], ....	71
72	[0, 5192, 0, 20752, 0] 4749366755548808497/11036973249 62256	1	[14812 : 1119824 : 343] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	7.51534455603634	[308686/4117, 8938353320/16949689]	[30387003748920, 27708718576177, 2714508934993], [57194255435258310504748365731850565748861712325318080, 837537737170561107071058839633172707607730465248289, 57465178306055124492988517932717917660795446866342369], [8461071152120455044743689626060684473850843599574576862794458617373853845087524794003395220224142735847145384839926840, 8919585262471665094560500274808281816867514881371702739314842911627850604491977089480017684615983219314839489093081873, 472583971220869569922428543140571525719389771781927873034527918986276303376400270878178998419479874214507043829359217], ....	72
73	[0, 5337, 0, 21332, 0] 367259152711310282968272/807671220076249 3114472	1	[63327755996441896464 : 4764626800259249041237 : 687474098742398976] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	30.1878719086616	[4766652728495568/64449004491389, 1354349858690909842258291818365/4153674179931079494575149321]	[58516375347467268818853524554906806630117104583785280, 41573072932409202316080406167051491947245150025456681, 16969973766858592173898117849222465691960000059135849], [1016151436610428579753322819012371238805602992698385529894248321375934313366265105363885329616426876292089139923367036101328304561087358675367079718239146889073258819212842514844572738277900687162452412627578240, 203366894762636756633250731896324131110951731554422847957711947162716102634876228168148913074422155864068356138155454713584758332576143920101775632333665356352362231775479044281397596736919428696084115867926369, 1219120854975248769956439350458520107324642878935030939042106722532703374039799428076605144796957613364673465828562240131251554546610955361171320940763421983337270515799006029554359479798847140828156803087536609], [26905670822217499357710561236349080675347359221735530656694211721751904548877404288802050896685529678599750128624248972620774128047102320922154787921535146072808590785943727281409208431135640892115885979255327053797238937302967246332107850698934246638800621806221308008146006349726783437187566963632765584929006528015108567381425585986640626549837367206288495344211338490272599456125390358819918129912989152747324033825904214062270035318317033344853313486549655189587959360, 25216923964634269497707570836485131582907392812890534681381786427822088797236559505700132375000264968393383366544502935933946260268742051241703760646475921232169961272155616527390978288676422099195000511724611270296567344974025202000230502590884772312249990381813423489232961363906189092975383085834384126933906060735881756145575820941357400928716530579238616026786786640490837941802212015602687590845369610161235843204723276248968388399637122610645249339223454057467516969, 1731131274252912264813591195112915714502851287156929267643248797216650961033063499096688379836455776533544148574676602993993814899289951951485896544439741725740568482139813736008797699128144542864521882730520787218789564976383206720099073887671895372348900756268446721996517820236706774640529097419817950058223382026725425876372824642474882101427599492466890401768166452178400567572988032491945055154100931238879993072338471773929568113417251895037102361386349597221681641], ....	73
74	[0, 5484, 0, 21920, 0] 422233526515542162624/879403195225 811040	1	[282240 : 21730240 : 729] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	8.64765817756401	[109737/1526, 982622225/2328676]	[2595044301922800, 349209795611881, 2247873325496569], [3870723145333903295563386331552775801476493064587586907130400, 3959463793405743666092283123936123179862867746237813545034929, 102711869647243600588273349800334796239681506275275414904529], [5416802094606494324112258399331850831423449533053161351014790121185946450198495072498898260960539573440074553570243748349984242750935600, 87271617067825869099612116219226930531947154865895671005153675499913410959664182783916286412553151111460119077023464865694277626173529, 5464811741267755393874085484914367717114391285723504926411868023333471268386375654136458015930676448715798278020318931986254322042922121], ....	74
75	[0, 5633, 0, 22516, 0] 507904390878578657795536/1002553484765625 675480	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	75
76	[0, 5784, 0, 23120, 0] 145353578430093775056/272113506025 25840	1	[306 : 24531 : 8] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	4.96683300352618	[8840/111, 7964500/12321]	[20551783200, 19231983601, 1349080849], [114333163249211263540300553380401600, 1570011128792434906711851252113569, 113893917027779493944468993914515169], [15114929019562558791115486707862366546354173659633169043351978873665915123914400, 17346298734432174479512913263536225931498638913009424181722804683661923518558289, 2239079591499859418159756711783283755592599663313996416288829646946977616637361], ....	76
77	[0, 5937, 0, 23732, 0] 696446838587933539230672/1237404233037049 3654728	1	[-120378292 : 8720959200 : 3307949] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	13.5542598071704	[-22048424/302475, -62647332336901/91491125625]	[1056499953909809944735200, 51266663466137616309601, 1007196947865384622574401], [52245826913173304496982544969229301321789735842814427204122998705157974277482179461745766129600, 51521488232279660774150204703248534995692638606693194850470237146307902223960882602299874703201, 995763500344541657803567003521161641299949285096223523911866280809542724099195644274248832801], [88862470569443826965204762255525738048533920637309082177671095140520721188682762268666940854605308714931181163621057750591989915597031462141120699747822959056442869562487976531102261832899103742762831469788194400, 44993505322554425594888706335236850574456405102644926485743953112054571637472726444077888276554924670513778853174283558683066018216334248553099461746602151325998053005333610472180084434869019434472360978346380801, 133846148381854492141551646813460064043531751005438626900070215913311195376685837272275519913698551258477825153822830093840153916908922288393281665226199537775820881474571826809452321504645928078448548192811575201], ....	77
78	[0, 6092, 0, 24352, 0] 793984704674089878208/1339762265361 949728	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	78
79	[0, 6249, 0, 24980, 0] 947284417537191250431696/1519054132752025 3946840	1	[-10048418748564114144030845358820 : 773501228842340407527743429822688 : 78876799519920013645419093625] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	41.9409333165965	[-6465357128833324200/82276973431791919, -2180105686184600483691838755347476805/6769500357095793308806635313702561]	[14658699718477823183532197194400698788657474856586410826213286741631164960, 5735953691823056195537866267793192926159738767971279754707312477117108209, 8927676534887485887603362942709577507378277308118665999941086255389471249], [2396683883326650236583272379779942980353756744350240236798224584302307266003190163042473257198101313438168426396699121160027246514900171240074621991840392330922082754661619738475511590590992410364846012156160486438508412562314252964232257727861674843753265187680155011031925571746964698285120, 4081430851298029848069150409473193049866794531634497755459925574171024139414288933348620221224303459286740087027240676499388737072935142604977099956354113244852742621836541217161998478812722224752443644369521030978110614144542404629751490869263026613016455005370794802234530797042735820349921, 1684907361295447949542458428435427644795607988474388390025783338062936740242830253340327934695247397588458310156857430007330154191601823129177294266748910197829169362544504453538584343153767435196108302875417926935034854177076280471791240154091224577662417245477612028662584661482644660971041], [120837898869992505215644984249736512586538936473199527476641206038297606865914803768339631116669306014189972561718585112197257149258835339059808611011763667414332685042238422826142005094252810558317540043760646860350701373087175532894315546620047878973689235786868371852047329060282545656418685641260447363505618094305226798942082472661230128634933841937506032354253987406718820907689197144008757163039135405105712890464428617339360293744054069179043387269081493820062009782423312433078579658263247599247832470459677783152385711725354149372887890567921585598926571404043069022037775900200921263051662579534513783339093396236124377357515168285537803374844320, 25349023581369069866301109093288270971874417458794611453662657987513083578511522017001978957262666393814633989154970609525539143852385732555613558151080986393608487314742328088422108673181404984077969300040874044228044348738002897325047644592473728263022350477413938840067040292813999639842698084209757657541912593576923402851154855713534047619575249612307727562038932411998003607555859859432137752009800881945172382531045691272829792494341647973082164262754020527661639549008050303576038085712407417208724844737395097162457490102624089633188405902180632268771932429870182571256401274101308133758257926612184038026521911661978537789825695503868842188781009, 95547310457667564797560740008788810509153495894945584718171832918094483556794090424950849686672770312663989864902044371709258614565577623065924098897337676166790835140598259112178648272226952806559775883990455880437674567357859684307954798354400824136078203712701825572255378892183041909801140626966029842231930366507806511201305973564468221532308177864007289086108978480432524599737383280165550149548706788479114437855497858638084035420988924673645671040756014619892763939637988276994709335508850160390058807989979365433849449569927803273438736289205603288108581362010530750257717352326996166375964370936169459446104157630445876763641816431381815071841329], ....	79
80	[0, 6408, 0, 25616, 0] 16808712630287364801/25632010000 128080	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	80
81	[0, 6569, 0, 26260, 0] 1278600209262622320834256/1855280313891225 157560	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	81
82	[0, 6732, 0, 26912, 0] 1446643598151405267648/1998607065841 38048	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	82
83	[0, 6897, 0, 27572, 0] 1713222665592065350671312/2254908514459129 4576952	1	[225104640 : 61067318624 : 3375] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	13.7950211317641	[3283215/129208, 104310919209377/16694707264]	[1150534634187592854676320, 452936875887958770184081, 1603319267427963194084401], [1717817924920310957371952905877121238113405348189718370505954724658461256001680781513994857349440, 149643429192040997313216158129797108624003007221059784734541833811535407361878758634507001007841, 1866137982663627419462124115674865847062980941406367824962835666127545352605245658947544385589281], [1543440920678166039512229001685312749262863042724862931412128840707096713780434189290208012606716127559314784226640207527070198750954355800400894451723462537931798705613371690653731787968774190902003475891579831536160, 38040260173225201816003942489151952311902635466122765667169757464061403827214828074828696840015590034236496407657328306374897464577426472935180713652373605449628981013816042626824274509770531926662834090759630045681, 1576735853639993694471608982855167733363497325556886891040157749704343221960715560849819332133229231921898526404364989753675780579482448206740895066089645122728479444335481150117586404014199081496918281835924647589841], ....	83
84	[0, 7064, 0, 28240, 0] 482892291445737458896/605852073225 593040	1	[-5780 : 206720 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	5.81802349309947	[-6707/34, -36833785/1156]	[22648708320, 27030334049, 4388571521], [84387064057888651892707156146872875707840, 86564058110399791026499755724474258224289, 2392319384869532096061246182658221500129], [32969040764408903671486264682145199897608232587610854992499124559585419427171451584267609760, 32843118319092791486819118222993899261329440079705841108073488129161113385308519546776032961, 412916330342757208095899648372415035221765114865594902843003147628273903506082461568746529], ....	84
85	[0, 7233, 0, 28916, 0] 2279652290901251346998736/2727923281725625 4915720	2	[-9 : 570 : 1], [-4356 : 233376 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	4.10880957946277, 5.66806489496074	[-7229/114, -41819765/12996], [-57832/429, -2016551237/184041]	[44845320, 1047433, 45753217], [3334757400, 2357751241, 5692317409], [19147333920, 20173717873, 1049584273], [1385383817984211580582320, 17732689181374452455017, 1392465109729677213381817], [7919961042827104508055000, 251864260312774339642441, 7686530425927745703083809], [100268262292217879824334775600, 7170976722753614121638387929, 93202440681084003271629483529], [104574407469620041395927244152120, 119365102557352729071742221900553, 14835455833542220924597837336897], [360268270301230554330688267642382290800, 74657473533627040548946446900741840889, 434825991754629005849652860327488010089], [8594052126299000645315937408006703742400, 8506686792847240613263603774565565155041, 134017077307743085506543650166736177441], ....	85
86	[0, 7404, 0, 29600, 0] 2561570266731145884864/2925211605625 254560	2	[-200 : 16800 : 1];, [-5780 : 232560 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	3.15693136299421, 6.11846286014399	[-259/3, -3145/9], [-28120/153, -617747560/23409]	[614040, 354061, 260149], [19618297296, 2979856585, 16648748185], [417400339176, 480480269965, 63241932085], [40203808300386730824, 53135196377672319685, 12937780247422821565], [5312980537680885167280, 6233751431201805468889, 11546591107312798320169], [1399756813821892054598784, 1277215346364145258869265, 123720476321763733010065], [52836120070441852211060684420110920, 1288853348641417671678358414488469, 51706770520648720469874145516510861], [21297060264394233020959343608180233120, 21980819766563696192087404618792790401, 725911127185882974635041332622421281], [20787431175908268289306274856990594338784, 5175064547872940693781178092837139236865, 15619884995732995540436200338687081490465], [11029655420020151216545299794662200780918960, 11203286464192907846230621043339961588580969, 215271626525367369667817143533146177710009], [290628241846642700807065302834932098784918577384, 22324701614003772538799031059762662645858184365, 312713943816070680019134074393837076644866771285], [48426752175435748641440283466532743134858853441080, 34683718681369087724134410029873376692190640719589, 13759132356785446770234779960069099566673371391581], [897263232105692318877093754525127714106732768852360, 38115785521839191031480651845021850396484962829741, 860666419287604633421719326683547539367988433372149], ....	86
87	[0, 7577, 0, 30292, 0] 3013281689217354172622032/3285586641681369 5270808	1	[3182507424173840 : 597235525678122136 : 115145914625] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	24.0369242049624	[2766919482145/68555440246, 27946410401219191709541293/4699848387322876540516]	[1109199870745802213244756701219849930896680, 172306070127777891751715517847881967843649, 1281097052578810113007349561253504891906329], [355728272726892358473099377473067326579678117601760393835985482455834808760092912044864362902336585999087579792679135975296367415592245046246095774562938608271179721840, 7180983099867801269144279958276230111610281943250470731282893875141413676197463100614830008053958018499405011732540565290061212731568457137813025531215594263608277721, 361654605324179206841862248152284780576972517831802597939830406198991526119668708094869859975752504577831798716871945362197003030041340719742347425402657167005264031561], [22744937140226501714119169163223282684208955551957979108252283410215002170625643089291617551033438552127843882760998256084073192446728649600782466205280247814617280482190825336052893068859386625916045073957094502001731415966922529539404619411532689175424252164531839400667040205906942918141372047011520766343252867945031812422264081689709595418842902860613630981114989447109240, 361436323533932829780246994618838867405195743545269657169288861754760535306471698958480829326683262910976139404984307566041577788064591350357385440276951508538200200835246052306072268490191504272401681274556467630647216368179229162580787923409308256279474103684250964030343151309036979699095448095170883619766871542571618282184115639331828364603496811994833438627203393911689, 22496881820783952921943228004053423036446531344674675504095567299176983323325105382930501811565255004279610904776267888013640568364727948158994855931042332769776297901278211439945546955234304863692101186047516167631781543699296979414697390884935665425373299754743618728781339347378054906371166495104364693689405139935017610007018692034896165854440223020973061252379397108262929], ....	87
88	[0, 7752, 0, 30992, 0] 52735767199751285937/54932578129 340912	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	88
89	[0, 7929, 0, 31700, 0] 3957839397435057546825936/3940565659905625 1128520	0	??? Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	89
90	[0, 8108, 0, 32416, 0] 4419505688997312028864/4207934255625 486240	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	90
91	[0, 8289, 0, 33140, 0] 5167091815236540858468816/4707069327367225 6031480	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	91
92	[0, 8472, 0, 33872, 0] 1438234948288382488272/1254160331449 779056	1	[116928 : 11038560 : 343] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	7.67925336081504	[33215/366, 57723217/133956]	[48458276936160, 11181741626689, 37292667762529], [527797960350758905709993822646427941852293645390790720, 579791987364580964740154833517094600609702736458112801, 52281359071433586922863595016366809540505879982407521], [3854219211504081489525414148826957083917593370114137433912834223657400786843487331253671786420753543714109947947087757920, 105318168527364847837616778490939657363898019966071527668722162620789654988896373345377711163605453418309056575236288929, 3757825439665678191270301396796643973039568033704306408202591491838816724996032893475908087954194403727118043695832270849], ....	92
93	[0, 8657, 0, 34612, 0] 6706841819783834133452752/5600995215001209 6437832	1	[1620543231860800 : 166113330213650535 : 85742785396736] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	21.1071314090367	[50927396416/497914955, 459683965343661390181/247919302412652025]	[16736836551802523122688944215974972160, 16570229378124101662780609726351748561, 245911197049144760856776718995208401], [1118582973671652448130479616980407564507703469903502540325474027419708005610271720660902057870683412581185346299358619887177392264041770298645957120, 173966893954245428576292795002920251485104716468142402960258451424856164296095833307232416747869890238934288950189507112155294706868723139850274881, 945108905508357108870807198115984088725601856993221280843782711585131512530939985343137187501342251061797195991818039282758506601568971281502813761], [2537437484556111496091554958890676821337757374340168730322789195328235013046062807696298197534743619089368043872799916163487246074604687076983900071395618562445603554701715689761923816664082997176293680627579991833371106806214434805178087127572704774788272284750677489047449509965862241012806140986716226893413148177653201989607680, 186697910515949467365692001166206763134569626484378012301990701472909113426646999552131300835440594408945803051144755252670010774175058171214706953564127663770884868828553381814753328582086182866728573458869428105204720336408507610315734517373539529656139852645926215549756267219147298620043583275102248860602498445908195102900561, 2722267688912212310140277795015286613746549645679827323641571936625845337790073252549637330861869240805597940072754373142027082577727945251958840759768450509705168964935101585117529426179524754612975005735053057324549080559447009486148935058920569771448235559634082860225991266217570035635879165846805220285315985164843694882316881], ....	93
94	[0, 8844, 0, 35360, 0] 7446363100727029182144/5958212493025 1661920	1	[2205 : -231945 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	3.44278943782199	[-1768/21, 786760/441]	[3513720, 3493261, 42709], [1820319353408086410376560, 461674745255848929493369, 1359188884221317380241929], [2134653983012952491330666189281026618584615637462125160, 61208627086558166819703317842621741038326093521072069, 2191611709310471428146004887852584418045945485814277021], ....	94
95	[0, 9033, 0, 36116, 0] 8657267347244533727472336/6640086351225625 6862040	1	[25186345245848812704243 : 682888077736520544624120 : 6116127829766480609] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	34.5469949492155	[225062722707711989/2505038879720454, 6415181917095918180281648290343525/6275219788911107202581185966116]	[3371796082679095560916985673950010828842216581173172417571400, 110623685796740085571674531917450913850580441135984707863481, 3267213511814700858361916572316174028446064770585994537376369], [3853740855225306040319680099398820956285079274418646980564600651568762464232689736664792074276571304263299573133262656637083367743600912341849861196218644816921411996856190066943749461207853203040757316546461535683925745434282356677869345200, 3762904503373471050905204586330296496997060321175408542650907065346100652421805592600279131704565631366214784246424612680676239655842469590905504956406900206255787272299192250189517061972862849569307513568225786815138129042689402451597664729, 99682452679877902447793110006451355246820722010924449393253507088984485995546155266503820026670835174624986574749160803786821332349006522640828922638769614840518728365517578563225685839587934490610401910310697355519454348174052066013979529], [352483554434698198792991187255167041261451825675932364665994180835575844871126671522058195190123710135657407619693374173092219244747267779151732872670065938892215603799120659455135603515170043471316496465020538097545700506595633137784799637963827324761136235685231977018427369642589094443992953355341084626335982016893203011609893425808473191603061260267380332160169162737303036713441852651633920271834256067937485253974741283132407707168020626377409747154108388760136078059532969744299624905374796550778418050589758064431881004620267637800, 1175196930184384480722761298777635534684665622743927503938494224945329945575120511092156099424890966371376343463435991511164861075224875560583225215517066668442948215765667996313021346241639615824467487252453126108446521314773904934406326421987795956832744540737692367508426389833188329880427085760281673939913661812091776058995430090272080961371805533240327463556622177536903265122128058584871085915925930131791976140015451680292224420322812303290054424430276665309509108734771671075323426221901805876068530930149288831379975028407549695329, 1527679133176911549338624244242029308020936172628656099132639261023248804240166072242622160779974307780391590819200059943757720734991470485066972610584903945105494452404793648831398852572351149701067643052417156076080711812809108985438930130913724952168406582665020188662130652692762711689390730623741755090424996398018939705464014318215561833671686239296139352896549560729571981948590137412906031612255640637863914108108749073974713566682049839384521059131084119324070811838203670703844955237068908692473762158712552716554583496567165738121], ....	95
96	[0, 9224, 0, 36880, 0] 149782287445741935361/110170886400 110640	0	- Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	-	-	-	96
97	[0, 9417, 0, 37652, 0] 11115648363434311079811792/7844098786884889 7304488	1	[6282698532 : 692877394531 : 2299968] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	14.607924950158	[871003716/10189823, 221590158600145205/103832492771329]	[88785284445549713274293040, 939554667667400929727881, 88577960588158595927558329], [652905338665816397900734787718902795241367456365087116810911914003361759558735671975539245533800845920, 403487384611938390088273211168383746160050825188073677850442839199321630253088974430604329482261494609, 249564887896321183044707750998672923781914813742413967373367891937907649576120686358023163297469664689], [8845672999279426712644928322463125682883687887586149385690241142823790214428443303004376111574130484750765395504025517445878601323594743328492089033227723535060282581848647368288662649502509821158328680772727994033557452568351120, 8919235326346497020577050613911833252729410221984041821248319898971978150998186294270861311402380371242605976919292036634804026554432762270435244422063591618529062126885601277742556745903710319769921072675836148012070107138405209, 116872224354601147053965319498600868373195473771125967497461504709215250721433763336729633049855073774828638839197126010485837720805348305622362892108935499541256991963569411185482252701706831609838002796249325460090913942781161], ....	97
98	[0, 9612, 0, 38432, 0] 12276531691133841563328/8315154727201 269024	1	[1025912525130072576 : 117916514835597970560 : 95780844247753153] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	29.9177498685125	[482155529103217/4199588449380, 63540373693089707389795592161/17636543144165912822384400]	[34965818654228926333545287131277205866170659655583520, 35045855111348569259977517678740881224435762654925169, 365267579905083131823706705928530526409536781572689], [15720774230354397600432962469641635141497171996448483310150558249648685298922532983299819617504231350046617278747131890725919048931892260653068693008203933548155860937285346570369700393912888661795601388197440, 9467101192745496570458588181792382602893419887379302882439707186283377145354670706338333560167805107176475455188119078368736379172027213031351051984633075398595090270117223401670614928301120767801009134410401, 6257088897417809816749252827598768907796790808302572761978563014161823637596184875588447611410389548038757751161717551067843173254439282677226160150189881371348830869194836295370932315519724035838135638180961], [2089649215678744517054359482078177680476917101007632893715376184575282718844826903341940004079063140728531851997366928960729959565417312351358143426633955098765268023515948449190203121309483200199461343325648460776923329935775042340205945083286860982857688641490530771051116308550012043875697526982668962304293887395100794834570648581193122770463878690351610575690781366455137899400180786794029285300528174664291359115271839962134709180004769805067519034627688594552160, 25401362125420060891427568373038617486516725143890632271549851925510388109102969392057840707919503421878483671990602629872741920881120027601479742543457870044002219664016550753480486070011461693690320082975090935050521666820708384734668594831260517358995156088227067709377321588449728666113395885874091173745308041740454707613426697189233983180508898038501040868505197994121213213713169710548720696377334295470880118825923094919182400544989857861230770692377356031889, 2075954345236101258365693159430468770649333647757682127398799910630872905033067082577787680177160274452587186831388175363639274494321586446300752792799170557147720564632772644325525794835130652782683454779280021406271165675375854241326281015402387278595003857151275306366259337510370392129766719620408916686373064317655091923709261785459025506077102597741566779005807053211880648380115705465338658628616152959248108111113229973112627176328181400935771438126206428992049], ....	98
99	[0, 9809, 0, 39220, 0] 14199536263407634903066576/9234980322428025 2588520	2	[-125 : 12100 : 1], [21312 : 3759792 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	3.17701004015992, 7.54468923697822	[-1961/20, -174529/400], [19345/348, 813641425/121104]	[704880, 198089, 506969], [3204170798400, 2666134067921, 539205414929], [30887621574480, 33528994747081, 2658294065689], [21870383420366903204640, 25808360839170603510961, 3943224935829399963601], [10273691782457351574480, 11014562013782633813929, 21288017865795717415801], [43604219011421565330593760, 1341074904998381051255969, 42339825867482214433191041], [39663033932222998845793451823225208519988640, 17068371074593606239790793448120193711545761, 22602916392414647924013229889180682145712129], [3231277784914037605791754481871942927995784720, 3186017145436286344935340068356505245511361721, 55937492984316709857631256523426414168121001], [5314526958183438062146729766478939294233939778960, 5368677462861261069958881825637328223370097248921, 76059507741354923881757425583609061582290433289], [9800837404225744617371410787043170081189561404800, 423595154721623896634576242085340609000076771969, 10213181494793885271718103676748447210969402176769], [139714155647997652263064406159493824519216628822960, 7922437587603534511823046714950858163998956625849, 131925975914485740887062753167586051151514370390889], ....	99
100	[0, 10008, 0, 40016, 0] 3910941251750600120016/2443359765625 200080	2	[-324 : 31680 : 1], [-4100 : 314880 : 1] Z/2Z×Z/2Z [0, 0], [-4, 0]	3.37667774507173, 4.57691172532466	[-10004/99, -4451780/9801], [-1952/15, -1563796/225]	[68880, 3065, 65897], [704880, 513305, 191753], [307632000, 312589969, 5821969], [29974662276000, 34178770106521, 4213468948729], [21878969515230828000, 21671696860598134249, 302142257902125001], [36821290239016237680, 1233457525279769465, 38000289890793110633], [146275034000521963825680, 145929972043928491268825, 1504599453331258649417], [557870928780274825716000, 90551797196707386953449, 648274720378068719161801], [1217676210594753226048819420080, 12255384839359185943209278777, 1216351188887996471533586268425], [177764208326883150004485477024000, 163938523580360377207129610051521, 13949056205020298468187096227521], [2319048769058793583678986152848080, 575021421941063032023803778619673, 1744649305899537051051359729964905], [38930454771203634554271998619311595300000, 23054448376634401024593481540386968423641, 15884065061150384703318380343155830807609], [1056626151654104043616843954380044264828880, 366247368997235962974776504635235863196153, 1422760306442872263394678649786959074671945], [31048707291708862584646307197124528453096424564720, 67815694032358814977045222769441677628572275575705, 36767586961469419461540624794625146956189266165257], [168937836636072093213973105246171157560190151708000, 2150655523162240387951932428621511432831606849241, 167615440954161770939406118755581188470895041790009], ....	100

mwrank3によって、Mordell-Weil群のrankが決定できなかったのは、E₄₁,E₈₉だけである。

[2003.12.12追記]
楕円曲線E₄₁,E₈₉のL-関数のs=1における値が消えない(0にならない)ので、E₄₁,E₈₉のanalytic rank = 0である。よって、
rank(E₄₁) = 0,
rank(E₈₉) = 0
であることが分かる。

gp>  e41=ec(41)
time = 84 ms.
%1 = [0, 1689, 0, 6740, 0, 6756, 13480, 0, -45427600, 45320016, -305089177536, 2053880646457600, 363605294356835960016/8022971275225, [0.E-28, -4.000000000000000000000000000, -1685.000000000000000000000000]~, 0.2148631814736411554917840123, 0.07657868945723546468640653573*I, 19.24468643904979001186892934, -7.762427120518725896281216469*I, 0.01645394084986359436910597949]
gp>  ellglobalred(e41)
time = 11 ms.
%2 = [552680, [1, -563, 0, 0], 32]
gp>  e41m=ellchangecurve(e41,[1, -563, 0, 0])
time = 0 ms.
%3 = [0, 0, 0, -944167, 353112474, 0, -1888334, 1412449896, -891451323889, 45320016, -305089177536, 2053880646457600, 363605294356835960016/8022971275225, [563.0000000000000000000000000, 559.0000000000000000000000000, -1122.000000000000000000000000]~, 0.2148631814736411554917840123, 0.07657868945723546468640653573*I, 19.24468643904979001186892934, -7.762427120518725896281216469*I, 0.01645394084986359436910597949]
gp>  elllseries(e41m,1)
time = 1,307 ms.
%4 = 3.437810903578258487868544195
gp>  e89=ec(89)
time = 10 ms.
%5 = [0, 7929, 0, 31700, 0, 31716, 63400, 0, -1004890000, 1004383056, -31830883471296, 1008784808935840000, 3957839397435057546825936/3940565659905625, [0.E-28, -4.000000000000000000000000000, -7925.000000000000000000000000]~, 0.1164327136609818181856886157, 0.03529433877022049921506863749*I, 64.73815685913862467124796087, -7.357916749567035726149885497*I, 0.004109415639886772543826798686]
gp>  ellglobalred(e89)
time = 1 ms.
%6 = [1128520, [1, -2643, 0, 0], 64]
gp>  e89m=ellchangecurve(e89,[1, -2643, 0, 0])
time = 0 ms.
%7 = [0, 0, 0, -20924647, 36841300314, 0, -41849294, 147365201256, -437840852074609, 1004383056, -31830883471296, 1008784808935840000, 3957839397435057546825936/3940565659905625, [2643.000000000000000000000000, 2639.000000000000000000000000, -5282.000000000000000000000000]~, 0.1164327136609818181856886157, 0.03529433877022049921506863749*I, 64.73815685913862467124796087, -7.357916749567035726149885497*I, 0.004109415639886772543826798686]
gp>  elllseries(e89m,1)
time = 1,680 ms.
%8 = 3.725846837151418181942035701

[参考文献]

[1]Allan J. MacLeod, "A simple practical higher descent for large height rational points on certain elliptic curves", Dept. of Mathmatics and Statics Univercity of Paisley, June 15, 2002.
[2]Garikai Campbell, Edray Herber Goin, "Heron Triangles, Diophantine Problems and Elliptic Curves", 2000.
[3]David J. Rusin, "Rational Triangles with Equal Area", 1998, New York J. Math. 4.
[4]Edray Herber Gions, Davin Maddox, "Heron Triangles via Elliptic Curves", 1991.
[5]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[6]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
[7]Allan J. MacLeod, "Computaional Approach Th An 'Unsolved Problems in Number Theory'", May 16, 2002, p1-11.

Last Update: 2016.10.15

H.Nakao