On Elliptic Curve:X^3+Y^3=AZ^3 (A \in K^*, char(K)!=3)

On Elliptic Curve:X^3+Y^3=AZ^3(A \in K^*,char(K)!=3)

[2001.08.05]X^3+Y^3 = AZ^3(A \in K^*,char(K)!=3)の２倍点と加法

体Kおよびその元Aについて、char(K) != 3 かつ A \in K^*と仮定する。射影平面P²K上の楕円曲線
     E/K: X³+Y³ = AZ³ ----------------------------- (1)
について、２倍点公式、加法公式を直接導く。

■3次の同次多項式
     F(X,Y,Z) = X³+Y³-AZ³
について、F(X,Y,Z) \in K[X,Y,Z]であり、
     ∂F/∂X = 3X²
     ∂F/∂Y = 3Y²
     ∂F/∂Z = -3AZ²
char(K)!=3なので、∂F/∂X = ∂F/∂Y = ∂F/∂Z = 0を満たすのは、X=Y=Z=0のみである。よって、P²K上の代数曲線F(X,Y,Z)=0上には特異点が存在しない、つまりE/Kは非特異である。

また、(1)より、X=Y=0ならば、AZ=0。A in K^*より、Z=A^-10=0となるので、(X,Y)!=(0,0)である。

■F(X,Y,Z)=0のgenusは、(3-1)(3-2)/2=1であるので、E/Kは非特異楕円曲線である。

■楕円曲線E/K上の無限遠点Oは、[1:-1:0]である。

■楕円曲線E/K上の点P₀[X₀:Y₀:Z₀]!=Oについて、-P₀を求める。
一般にP²K上の２点P₀[X₀:Y₀:Z₀],P₁[X₁:Y₁:Z₁]を通る直線Lは、
     (Y₀Z₁-Y₁Z₀)X+(Z₀X₁-Z₁X₀)Y+(X₀Y₁-X₁Y₀)Z = 0 ------------- (2)
であるので、E/K上の２点P₀[X₀:Y₀:Z₀],O[1:-1:0]を通る直線は、
     Z₀X+Z₀Y-(X₀+Y₀)Z=0 ------ (3)
である。よって、直線(3)と楕円曲線(1)の３交点を求める。
     Z₀(X+Y)=(X₀+Y₀)Z ------- (4)
となる。点P₀はE/K上にあるので、
     X₀³+Y₀³ = AZ₀³ ------- (5)
(1),(5)より、
     (X₀+Y₀)³(X₀³+Y₀³)=A(X+Y)³Z₀³ ------- (6)
(4),(6)より、
     (X₀+Y₀)³(X³+Y³)=(X+Y)³(X₀³+Y₀)³
     (X₀+Y₀)³(X³+Y³)-(X+Y)³(X₀³+Y₀)³ = 0 ----- (7)
左辺は、X+Y,Y₀X-X₀Yで割り切れるので、
     3(X+Y)(Y₀X-X₀Y)(X₀X-Y₀Y) = 0 ----- (8)
char(K)!=3なので、
     X+Y = 0 ------- (9)
または、
     Y₀X-X₀Y = 0 ------ (10)
または、
     X₀X-Y₀Y = 0 ------ (11)
である。それぞれの場合に、X:Y:Zを求める。
(9)より、t₁\in K^*が存在して、
     X = t₁,Y = -t₁
(3)より、
     Z = {Z₀t₁+Z₀(-t₁)}/(X₀+Y₀) = 0
よって、[X:Y:Z] = [t₁:-t₁:0] = [1:-1:0]つまり無限遠点Oである。
(10)より、t₂\in K^*が存在して、
     X = X₀t₂, Y = Y₀t₂
(3)より、
     Z = (Z₀X₀t₂+Z₀Y₀t₂)/(X₀+Y₀) = Z₀t₂
よって、[X:Y:Z] = [X₀t₂:Y₀t₂:Z₀t₂] = [X₀:Y₀:Z₀]つまりP₀である。
(11)より、t₃\in K^*が存在して、
     X = Y₀t₃, Y = X₀t₃
(3)より、
     Z = (Z₀Y₀t₃+Z₀X₀t₃)/(X₀+Y₀) = Z₀t₃
よって、[X:Y:Z] = [Y₀t₃:X₀t₃:Z₀t₃] = [Y₀:X₀:Z₀]つまり-P₀である。
よって、-P₀[Y₀:X₀:Z₀]となる。

■楕円曲線E/K上の点P₀[X₀:Y₀:Z₀]について、2P₀を求める。
E/K上の点P₀における接線L₀は、
     X₀²X+Y₀²Y -AZ₀²Z = 0 ------ (12)
つまり、
     X₀²X+Y₀²Y = AZ₀²Z ------ (13)
である。接線(13)とE/Kの３つの交点を求める。
(1)より、
     A²Z₀⁶(X³+Y³) = A³Z₀⁶Z³
(13)より、
     A²Z₀⁶(X³+Y³) = (X₀²X+Y₀²Y)³
     A²Z₀⁶(X³+Y³) - (X₀²X+Y₀²Y)³ = 0
左辺は、(Y₀X-X₀Y)²で割り切れるので、
     (Y₀X-X₀Y)²{Y₀(2X₀³+Y₀³)X+X₀(X₀³+2Y₀³)Y} = 0
接点P₀以外の交点は、
     Y₀(2X₀³+Y₀³)X+X₀(X₀³+2Y₀³)Y = 0 ------ (14)
を満たす。(5)より、
     2X₀³+Y₀³ = X₀³+AZ₀³ -------- (15)
     X₀³+2Y₀³ = Y₀³+AZ₀³ -------- (16)
(14),(15),(16)より、
     Y₀(X₀³+AZ₀³)X+X₀(Y₀³+AZ₀³)Y = 0 ------ (17)
(17)より、t₄\in K^*が存在して、
     X = X₀(Y₀³+AZ₀³)t₄, Y = -Y₀(X₀³+AZ₀³)t₄
(13)より、
     Z = {X₀²*X₀(Y₀³+AZ₀³)t₄+Y₀²*(-Y₀(X₀³+AZ₀³))}/{AZ₀²} = (X₀³-Y₀³)Z₀t₄
     P₀*P₀[X₀(Y₀³+AZ₀³):-Y₀(X₀³+AZ₀³):(X₀³-Y₀³)Z₀]
となる。2P₀ = -P₀*P₀なので、
     2P₀[-Y₀(X₀³+AZ₀³):X₀(Y₀³+AZ₀³):(X₀³-Y₀³)Z₀]
となる。

■楕円曲線E/K上の異なる２点P₀[X₀:Y₀:Z₀],P₁[X₁:Y₁:Z₁]について、P₀+P₁を求める。
E/K上の２点P₀[X₀:Y₀:Z₀],P₁[X₁:Y₁:Z₁]を通る直線(2)とE/Kの３つの交点P₀,P₁,P₀*P₁を求める。
点P₁はE/K上にあるので、
     X₁³+Y₁³ = AZ₁³ ------- (18)
(2)より、
     (Y₀Z₁-Y₁Z₀)X+(Z₀X₁-Z₁X₀)Y = -(X₀Y₁-X₁Y₀)Z ------------- (19)

(19),(1)より、
     (X₀Y₁-X₁Y₀)³(X³+Y³) = -A{(Y₀Z₁-Y₁Z₀)X+(Z₀X₁-Z₁X₀)Y}³
よって、
     (X₀Y₁-X₁Y₀)³(X³+Y³) + A{(Y₀Z₁-Y₁Z₀)X+(Z₀X₁-Z₁X₀)Y}³ = 0
     {(X₀Y₁-X₁Y₀)³+A(Y₀Z₁-Y₁Z₀)³}X³+3A(Y₀Z₁-Y₁Z₀)²(Z₀X₁-Z₁X₀)
         +3A(Y₀Z₁-Y₁Z₀)(Z₀X₁-Z₁X₀)²+{(X₀Y₁-X₁Y₀)³+A(Z₀X₁-Z₁X₀)³}Y³ = 0 ------------- (20)
ここで、(5)より、
     (X₀Y₁-X₁Y₀)³+A(Y₀Z₁-Y₁Z₀)³ = -3Y₀Y₁{X₀X₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}
(18)より、
     (X₀Y₁-X₁Y₀)³+A(Z₀X₁-Z₁X₀)³ = -3X₀X₁{Y₀Y₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Z₀X₁-Z₁X₀)}
char(K)!=3より、(20)の左辺は-3(Y₀X-X₀Y)(Y₁X-X₁Y)で割り切れるので、割ると、P₀,P₁以外の交点は、
     {X₀X₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}X+{Y₀Y₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Z₀X₁-Z₁X₀)}Y = 0
を満たす。よって、t \in K^*が存在して、
     X = -{Y₀Y₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Z₀X₁-Z₁X₀)}t, -------- (21)
     Y = {X₀X₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}t -------- (22)
(19),(21),(22)より、
     -(X₀Y₁-X₁Y₀)Z/t
     = (Y₀Z₁-Y₁Z₀)*(-{Y₀Y₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Z₀X₁-Z₁X₀)})
         +(Z₀X₁-Z₁X₀)*{X₀X₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}
     = (X₀Y₁-X₁Y₀){X₀X₁(Z₀X₁-Z₁X₀)-Y₀Y₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}
よって、
     Z = -{X₀X₁(Z₀X₁-Z₁X₀)-Y₀Y₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}t ----------- (23)
つまり、P₀*P₁は、
     [X:Y:Z] = [-{Y₀Y₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Z₀X₁-Z₁X₀)}:
             X₀X₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀):
            -{X₀X₁(Z₀X₁-Z₁X₀)-Y₀Y₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}]
         = [{Y₀Y₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Z₀X₁-Z₁X₀)}:
             -{X₀X₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}:
             {X₀X₁(Z₀X₁-Z₁X₀)-Y₀Y₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}]
となる。P₀+P₁ = -P₀*P₁より、
     P₀+P₁[-{X₀X₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}:
            {Y₀Y₁(X₀Y₁-X₁Y₀)+AZ₀Z₁(Z₀X₁-Z₁X₀)}:
             {X₀X₁(Z₀X₁-Z₁X₀)-Y₀Y₁(Y₀Z₁-Y₁Z₀)}]
を得る。

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.

Last Update: 2005.08.21

H.Nakao