Rational Points on Elliptic Curve: x^3+y^3=19

[2001.04.29]x^3+y^3=19の有理点

y^3+x^3=19z^3の有理点を探すプログラム(Common LISP)
y^3+x^3=19,y^2=x^3-43219^2の有理点を求めるプログラム(Common LISP)
y^2=x^3-43219^2のグラフ(Postscript)

Diophantus方程式
     x³+y³=19 ----------------------------- (1)
で定義される楕円曲線、つまり、同次化した
     x³+y³=19z³ ----------------------------- (2)
で定義される楕円曲線の有理点について考察する。19は素数である。

■楕円曲線(1)は、２つの整点(-2,3),(3,-2)を持つ。
(1)でx,yを有理整数とすると、
     max{|y|,|x|} <= 2*\sqrt(19/3)=5.033222...
を得るので、有限の組合せを調べて、(1)の整点は(-2,3),(3,-2)の２個であることがすぐに分かる。

■楕円曲線(1)の有理点のrankは、２であることが既に分かっているので、有理点を求めてみょう。これは、射影平面P²上の楕円曲線(2)の有理点[x:y:z]を求めることと同値である。
また、楕円曲線(1)を以下の双有理変換\phiによって、Weierstrass標準形に変形する。
有理変換\phi:(x,y)--->(X,Y)を
     X={12*19}/{x+y}
     Y={36*19*(x-y)}/{x+y}
で定義すると、
     x={36*19+Y}/{6X}
     y={36*19-Y}/{6X}
となり、\phi^-1も有理変換であり、楕円曲線(1)は、
     Y²=X³-432*19² ------------------------- (3)
と有理同値になる。これを同次化すると、
     Y²Z=X³-432*19²Z³ ------------------------- (4)
となる。

Common Lispプログラムにより、楕円曲線(4)の有理点について、x,yを有理整数として、0<|x|<=y<=100000までを調べると、このようになる。
ここで、楕円曲線(2)上の有理点P[x:y:z]に対して、-P[y:x:z]も楕円曲線(2)上の有理点である。また、楕円曲線(4)上の有理点Q[X:Y:Z]に対して、-Q[X:-Y:Z]も楕円曲線(4)上の有理点である。
よって、以下の表には、(1)または(4)の有理点の半分を記述している。

F:x³+y³=19z³ in P² [x:y:z]=phi^-1([XZ:Y:Z³])				C:Y²Z=X³-432*19²Z³ in P² [XZ:Y:Z³]=phi([x:y:z])
F':x³+y³=19 in A²∪{O} (x/z,y/z) if z≠0, O if z=0				C':Y²=X³-432*19² in A²∪{O} (X/Z²,Y/Z³) if Z≠0, O if Z=0
x	y	z	備考	X	Y	Z	備考
-1	1	0	O_F(無限遠点)	0	1	0	O_C(無限遠点)
-2	3	1	整点 -P₁-P₂	228	-3420	1	整点 Q₁+Q₂
3	5	2	P₁	57	-171	1	整点 -Q₁
1	8	3	P₂	76	-532	1	整点 -Q₂
-17	36	13	2P₁+P₂	156	-1908	1	整点 -2Q₁-Q₂
-90	109	31	P₁+2P₂	372	-7164	1	整点 -Q₁-2Q₂
33	92	35	-2P₁-2P₂	1596	-40356	5	2Q₁+2Q₂
-594	613	103	P₁-P₂	1236	-43452	1	整点 -Q₁+Q₂
-831	895	196	-2P₁	2793	-147573	2	2Q₁
-2386	2395	201	3P₁+2P₂	5092	-363356	1	整点 -3Q₁-2Q₂
-15537	15601	1348	-2P₁-3P₂	19209	-2662299	2	2Q₁+3Q₂
-1025	4112	1533	-2P₂	5548	-390412	7	2Q₂
-1322	13301	4983	-3P₁-P₂	11476	-1111348	11	3Q₁+Q₂
9613	27323	10386	3P₁+3P₂	577	-8855	3	-3Q₁-3Q₂
...	...	...	...	...	...	...	...

■楕円曲線(1)および楕円曲線(3)の有理点の成す群は、rank 2のAbel群Z²に同型である。
(1)の有理点は
     P₁(3/2,5/2),P₂(1/3,8/3)
で生成され、(3)の有理点は
     Q₁(57,171),Q₂(76,532)
で生成される。つまり、(1)の有理点は、
     m(3/2,5/2)+n(1/3,8/3) ただし、m,nは有理整数
である。同様に、(3)の有理点は、
     m(57,171)+n(76,532) ただし、m,nは有理整数
である。
GNU Common LISPで|m|,|n|<=5を満たす(1)および(3)の有理点を計算すると、このようになる。

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}
[2]Alf van der Poorten(著), 山口周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, ISBN4-627-06101-3, {3800円}

Last Update: 2005.08.21

H.Nakao