Long Weierstrass Forms and j-invariant of Elliptic Curve

The Duplication and Triplecaltion formulas for Long Weierstrass Form of a Elliptic Curve

[2002.09.01]Weierstrassの長形式の２倍点, ３倍点公式

y^2+a₁xy+a₃y=x^3+a₂x^2+a₄x+a₆の２倍点,３倍点公式を求めるプログラム(pari/gp)

体K上の楕円曲線
     E: y²+a₁xy+a₃y=x³+a₂x²+a₄x+a₆  (Weierstrassの長形式) ---- (1)
の加法公式より、２倍点、３倍点公式を導く。

■P₀=(x₀,y₀) ∈ Eとする。
P₀とOを通る直線L: x-x₀ = 0とEの交点を求めると、yの２次方程式
     y²+a₁x₀y+a₃y=x₀³+a₂x₀²+a₄x₀+a₆   ---- (2)
の２根をy₀,y'₀とすると、-P₀(x₀,y'₀)である。
根と係数の関係より、
     y₀+y'₀ = -(a₁x₀+a₃)
     y'₀ = -y₀-a₁x₀-a₃
となる。
よって、-P₀(x₀,-y₀-a₁x₀-a₃)である。

■P₁+P₂=P₃ ただし、P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂), P₃(x₃,y₃) ∈ Eとする。
x₁ = x₂かつy₀+y₁ = a₁x₀+a₃のとき、
     P₁+P₁ = O
である。
それ以外のとき、
     λ = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = (x₁²+x₁x₂+x₂²+a₂(x₁+x₂)+a₄-a₁y₂)/(y₁+y₂+a₁x₁+a₃)
     ν = (y₁x₂-y₂x₁)/(x₂-x₁) = (a₁x₁y₁-x₁x₂(x₁+x₂+a₂)+y₁y₂+a₆)/(y₁+y₂+a₁x₁+a₃)    if x₁ != x₂

     λ = (3x₁²+2a₂x₁+a₄-a₁y₁)/(2y₁+a₁x₁+a₃)
     ν = (-x₁³+a₄x₁+2a₆-a₃y₁)/(2y₁+a₁x₁+a₃)    if x₁ = x₂
とする。
このとき、P₃ = P₁+P₂は、以下で与えられる。
     x₃ = λ²+a₁λ-a₂-x₁-x₂
     y₃ = -(λ+a₁)x₃-ν-a₃
特に、P₁ != ±P₂のとき、
     x(P₁+P₂) = ((y₂-y₁)/(x₂-x₁))²+a₁(y₂-y₁)/(x₂-x₁)-a₂-x₁-x₂
となる。
P(x,y)∈ Eに対する２倍点公式は、
     x(2P) = (x⁴-(2a₄+a₁a₃)x²-2(a₃²+4a₆)x-a₁²a₆-4a₂a₆+a₁a₃a₄-a₂a₃²+a₄²)/(a₁x + 2y + a₃)²
             = (x⁴-(2a₄+a₁a₃)x²-2(a₃²+4a₆)x-a₁²a₆-4a₂a₆+a₁a₃a₄-a₂a₃²+a₄²)/(4x³+(a₁²+4a₂)x²+2(2a₄+a₁a₃)x+(a₃²+4a₆))
     y(2P) = ( x⁶ + 2a₂x⁵ + (-a₁y + 5a₄)x⁴ + (-4a₄y + a₄a₁² - 2a₃a₂a₁ -a₃² + 4a₄a₃ + 20a₆)x³ + ((2a₄a₁ - 4a₃a₂)y + 9a₆a₁² - 6a₄a₃a₁ -a₃²a₂ + 4a₄a₃a₂ + 20a₆a₂ - 5a₄²)x² + ((8a₆a₁ -8a₄a₃ + 4a₄²)y + a₆a₁⁴ - a₄a₃a₁³ + a₃²a₂a₁² + 6a₆a₂a₁² - a₄²a₁² -2a₄a₃a₂a₁ - a₃³a₁ + 2a₃²a₂² + 8a₆a₂² - 2a₄²a₂ -7a₄a₃² + 4a₄²a₃ - 4a₆a₄)x + ((a₆a₁³ - a₄a₃a₁² + a₃²a₂a₁ + 4a₆a₂a₁ - a₄²a₁ -5a₃³ + 8a₄a₃² -4a₄²a₃ - 12a₆a₃ + 8a₆a₄)y + a₆a₃a₁³ -a₄a₃²a₁² + a₆a₄a₁² + a₃³a₂a₁ + 4a₆a₃a₂a₁ - 2a₄²a₃a₁ + a₄a₃²a₂ + 4a₆a₄a₂ -a₃⁴ - 10a₆a₃² + 4a₆a₄a₃ -a₄³ - 8a₆²) )/(a₁x + 2y + a₃)³
となる。

■同様に、P(x,y)∈ Eに対する３倍点公式は、
     x(3P) = φ(x,y)/(ψ(x,y))²
となる。ただし、
     φ(x,y)= -44x¹² + (217a₁² - 188a₂)x¹¹ + (-32a₁y + (256a₁⁴ + 640a₂a₁² + (306a₃ + 128a₄)a₁ + (-304a₂² - 188a₄)))x¹⁰ + ((-416a₁³ - 96a₂a₁ + (-24a₃ - 8a₄))y + (56a₁⁶ + 504a₂a₁⁴ + (974a₃ + 64a₄)a₁³ + (616a₂² + 668a₄)a₁² + (1032a₃ + 256a₄)a₂a₁ + (-224a₂³ - 592a₄a₂ + (73a₃² + 104a₄a₃ + (16a₄² - 284a₆)))))x⁹ + ((-312a₁⁵ - 816a₂a₁³ + (-1132a₃ - 164a₄)a₁² + (-64a₂² - 192a₄)a₁ + (-80a₃ - 16a₄)a₂)y + (56a₂a₁⁶ + 335a₃a₁⁵ + (248a₂² + 502a₄)a₁⁴ + (1968a₃ + 64a₄)a₂a₁³ + (192a₂³ + 1264a₄a₂ + (1368a₃² + 228a₄a₃ + 696a₆))a₁² + ((1112a₃ + 128a₄)a₂² + (1288a₄a₃ + 128a₄²))a₁ + (-64a₂⁴ - 656a₄a₂² + (288a₃² + 248a₄a₃ + (16a₄² - 960a₆))a₂ - 216a₄²)))x⁸ + ((-56a₁⁷ - 304a₂a₁⁵ + (-1524a₃ - 60a₄)a₁⁴ + (-384a₂² - 864a₄)a₁³ + (-2336a₃ - 160a₄)a₂a₁² + (-224a₄a₂ + (-988a₃² - 436a₄a₃ + (-16a₄² - 672a₆)))a₁ + (-64a₃a₂² + (-160a₄a₃ - 32a₄²)))y + (56a₄a₁⁶ + 336a₃a₂a₁⁵ + (496a₄a₂ + (836a₃² - 4a₄a₃ + 490a₆))a₁⁴ + (992a₃a₂² + 2022a₄a₃)a₁³ + (576a₄a₂² + (2838a₃² + 260a₄a₃ + 1248a₆)a₂ + 646a₄²)a₁² + (384a₃a₂³ + 2696a₄a₃a₂ + (970a₃³ + 20a₄a₃² + (128a₄² + 1608a₆)a₃))a₁ + (-256a₄a₂³ + (328a₃² + 144a₄a₃ - 1248a₆)a₂² - 488a₄²a₂ + (492a₄a₃² + 208a₄²a₃ + (-16a₄³ - 528a₆a₄)))))x⁷ + ((-392a₃a₁⁶ - 304a₄a₁⁵ - 1520a₃a₂a₁⁴ + (-768a₄a₂ + (-2960a₃² - 304a₄a₃ - 1264a₆))a₁³ + (-1152a₃a₂² + (-2484a₄a₃ + 4a₄²))a₁² + (-2224a₃² - 576a₄a₃ - 1344a₆)a₂a₁ + ((-240a₄a₃ + 16a₄²)a₂ + (-288a₃³ - 216a₄a₃² + (-56a₄² - 528a₆)a₃ - 144a₆a₄)))y + (48a₆a₁⁶ + 344a₄a₃a₁⁵ + ((836a₃² - 4a₄a₃ + 464a₆)a₂ + 256a₄²)a₁⁴ + ((2048a₄a₃ - 64a₄²)a₂ + (1180a₃³ - 144a₄a₃² + (64a₄² + 2060a₆)a₃ - 64a₆a₄))a₁³ + ((1456a₃² + 32a₄a₃ + 464a₆)a₂² + 576a₄²a₂ + (3000a₄a₃² + 68a₄²a₃ + 1320a₆a₄))a₁² + ((1392a₄a₃ - 128a₄²)a₂² + (2072a₃³ - 172a₄a₃² + (256a₄² + 3232a₆)a₃ - 256a₆a₄)a₂ + (1532a₄²a₃ - 128a₄³))a₁ + ((80a₃² - 704a₆)a₂³ - 272a₄²a₂² + (1120a₄a₃² + 120a₄²a₃ + (-32a₄³ - 1536a₆a₄))a₂ + (284a₃⁴- 56a₄a₃³ + (48a₄² + 696a₆)a₃² + (32a₄³ + 264a₆a₄)a₃ + (-88a₄³ - 48a₆a₄² - 48a₆²)))))x⁶ + (((-1176a₃² - 400a₆)a₁⁵ + (-1484a₄a₃ + 60a₄²)a₁⁴ + ((-3072a₃² - 64a₄a₃ - 1376a₆)a₂ - 288a₄²)a₁³ + ((-2240a₄a₃ + 160a₄²)a₂ + (-3004a₃³ - 224a₄a₃² + (-164a₄² - 3584a₆)a₃ + 128a₆a₄))a₁² + ((-1248a₃² - 128a₄a₃ - 896a₆)a₂² + 224a₄²a₂ + (-2364a₄a₃² - 260a₄²a₃ + (32a₄³ - 672a₆a₄)))a₁ + ((-712a₃³ - 360a₄a₃² + (-48a₄² - 1216a₆)a₃ - 128a₆a₄)a₂ + (-80a₄²a₃ + 80a₄³)))y + (-a₆a₁⁸ + a₄a₃a₁⁷ + ((-a₃² - 8a₆)a₂ + a₄²)a₁⁶ + (4a₄a₃a₂ + (a₃³ + 310a₆a₃))a₁⁵ + ((-4a₃² - 24a₆)a₂² + 4a₄²a₂ + (876a₄a₃² - 4a₄²a₃ + 508a₆a₄))a₁⁴ + (8a₄a₃a₂² + (1170a₃³ - 144a₄a₃² + (64a₄² + 2016a₆)a₃ - 128a₆a₄)a₂ + (1082a₄²a₃ - 64a₄³))a₁³ + ((-8a₃² - 64a₆)a₂³ + 8a₄²a₂² + (3084a₄a₃² - 128a₄²a₃ + 992a₆a₄)a₂ + (1035a₃⁴- 408a₄a₃³ + (192a₄² + 3150a₆)a₃² - 84a₆a₄a₃ + (188a₄³ + 768a₆²)))a₁² + (32a₄a₃a₂³ + (1088a₃³ - 192a₄a₃² + (128a₄² + 1536a₆)a₃ - 256a₆a₄)a₂² + (1560a₄²a₃ - 256a₄³)a₂ + (2258a₄a₃³ - 404a₄²a₃² + (256a₄³ + 3560a₆a₄)a₃ - 512a₆a₄²))a₁ + ((-32a₃² - 128a₆)a₂⁴ + 32a₄²a₂³ + (544a₄a₃² - 128a₄²a₃ - 1408a₆a₄)a₂² + (646a₃⁴- 272a₄a₃³ + (192a₄² + 1536a₆)a₃² + (32a₄³ + 208a₆a₄)a₃ + (-80a₄³ - 64a₆a₄² - 384a₆²))a₂ + (790a₄²a₃² - 96a₄³a₃ + (-16a₄⁴- 360a₆a₄²)))))x⁵ + ((-8a₆a₁⁷ + 8a₄a₃a₁⁶ + ((-8a₃² - 80a₆)a₂ + 8a₄²)a₁⁵ + (48a₄a₃a₂ + (-2012a₃³ + 120a₄a₃² + (-60a₄² - 1876a₆)a₃ + 116a₆a₄))a₁⁴ + ((-48a₃² - 256a₆)a₂² + 48a₄²a₂ + (-2932a₄a₃² + 180a₄²a₃ - 896a₆a₄))a₁³ + (64a₄a₃a₂² + (-3260a₃³ + 124a₄a₃² + (-160a₄² - 3840a₆)a₃ + 288a₆a₄)a₂ + (-852a₄²a₃ + 164a₄³))a₁² + ((-64a₃² - 256a₆)a₂³ + 64a₄²a₂² + (-2320a₄a₃² + 80a₄²a₃ - 640a₆a₄)a₂ + (-1648a₃⁴+ 156a₄a₃³ + (-244a₄² - 3368a₆)a₃² + (-32a₄³ - 8a₆a₄)a₃ + (192a₄³ + 64a₆a₄² - 384a₆²)))a₁ + ((-464a₃³ - 144a₄a₃² - 832a₆a₃ - 64a₆a₄)a₂² + (208a₄²a₃ + 16a₄³)a₂ + (-776a₄a₃³ - 192a₄²a₃² + (-8a₄³ - 944a₆a₄)a₃ + 272a₆a₄²)))y + (-5a₆a₃a₁⁷ + (5a₄a₃² - 2a₆a₄)a₁⁶ + ((-5a₃³ - 36a₆a₃)a₂ + 7a₄²a₃)a₁⁵ + ((14a₄a₃² - 24a₆a₄)a₂ + (5a₃⁴+ 824a₆a₃² + (2a₄³ + 284a₆²)))a₁⁴ + ((-16a₃³ - 72a₆a₃)a₂² + 32a₄²a₃a₂ + (1252a₄a₃³ - 148a₄²a₃² + (64a₄³ + 2216a₆a₄)a₃ - 192a₆a₄²))a₁³ + ((-8a₄a₃² - 144a₆a₄)a₂² + (1012a₃⁴- 404a₄a₃³ + (192a₄² + 3120a₆)a₃² - 248a₆a₄a₃ + (16a₄³ + 576a₆²))a₂ + (1664a₄²a₃² - 164a₄³a₃ + 488a₆a₄²))a₁² + ((-8a₃³ - 32a₆a₃)a₂³ + 88a₄²a₃a₂² + (2368a₄a₃³ - 632a₄²a₃² + (256a₄³ + 3328a₆a₄)a₃ - 768a₆a₄²)a₂ + (539a₃⁵ - 404a₄a₃⁴+ (192a₄² + 2444a₆)a₃³ - 572a₆a₄a₃² + (552a₄³ + 256a₆a₄² + 2136a₆²)a₃ + (-128a₄⁴- 384a₆²a₄)))a₁ + ((-80a₄a₃² - 320a₆a₄)a₂³ + (348a₃⁴- 200a₄a₃³ + (144a₄² + 736a₆)a₃² - 32a₆a₄a₃ + (80a₄³ - 576a₆²))a₂² + (832a₄²a₃² - 344a₄³a₃ + (16a₄⁴- 832a₆a₄²))a₂ + (766a₄a₃⁴- 480a₄²a₃³ + (288a₄³ + 2040a₆a₄)a₃² - 280a₆a₄²a₃ + (4a₄⁴- 32a₆a₄³ + 48a₆²a₄)))))x⁴+ ((-32a₆a₃a₁⁶ + (32a₄a₃² - 32a₆a₄)a₁⁵ + ((-32a₃³ - 256a₆a₃)a₂ + 64a₄²a₃)a₁⁴ + ((96a₄a₃² - 224a₆a₄)a₂ + (-2168a₃⁴+ 480a₄a₃³ + (-240a₄² - 3548a₆)a₃² + 412a₆a₄a₃ + (32a₄³ - 416a₆²)))a₁³ + ((-128a₃³ - 576a₆a₃)a₂² + 224a₄²a₃a₂ + (-3052a₄a₃³ + 492a₄²a₃² + (-160a₄³ - 2592a₆a₄)a₃ + 512a₆a₄²))a₁² + ((-32a₄a₃² - 384a₆a₄)a₂² + (-1868a₃⁴+ 444a₄a₃³ + (-320a₄² - 3664a₆)a₃² + 368a₆a₄a₃ + (96a₄³ - 384a₆²))a₂ + (-852a₄²a₃² + 196a₄³a₃ + (-16a₄⁴+ 288a₆a₄²)))a₁ + ((-64a₃³ - 256a₆a₃)a₂³ + 64a₄²a₃a₂² + (-832a₄a₃³ - 128a₄²a₃² + (32a₄³ - 768a₆a₄)a₃ + 128a₆a₄²)a₂ + (-384a₃⁵ + 88a₄a₃⁴+ (-8a₄² - 1200a₆)a₃³ + (-64a₄³ + 144a₆a₄)a₃² + (224a₄³ - 64a₆a₄² - 768a₆²)a₃ + (-32a₄⁴+ 384a₆²a₄))))y + ((-10a₆a₃² + a₆²)a₁⁶ + (10a₄a₃³ - 10a₆a₄a₃)a₁⁵ + ((-10a₃⁴- 66a₆a₃² + 4a₆a₄a₃ - 4a₆²)a₂ + (19a₄²a₃² - 10a₆a₄²))a₁⁴ + ((18a₄a₃³ - 4a₄²a₃² - 48a₆a₄a₃)a₂ + (10a₃⁵ + 1230a₆a₃³ - 140a₆a₄a₃² + (18a₄³ + 64a₆a₄² + 1240a₆²)a₃ - 128a₆²a₄))a₁³ + ((-27a₃⁴+ 4a₄a₃³ - 128a₆a₃² + 32a₆a₄a₃ - 80a₆²)a₂² + (38a₄²a₃² - 4a₄³a₃ - 96a₆a₄²)a₂ + (1094a₄a₃⁴- 412a₄²a₃³ + (192a₄³ + 3468a₆a₄)a₃² - 464a₆a₄²a₃ + (9a₄⁴+ 528a₆²a₄)))a₁² + ((-8a₄a₃³ - 16a₄²a₃² - 32a₆a₄a₃)a₂² + (522a₃⁵ - 400a₄a₃⁴+ (192a₄² + 2480a₆)a₃³ - 768a₆a₄a₃² + (88a₄³ + 256a₆a₄² + 1952a₆²)a₃ - 512a₆²a₄)a₂ + (1294a₄²a₃³ - 436a₄³a₃² + (128a₄⁴+ 1688a₆a₄²)a₃ - 512a₆a₄³))a₁ + ((-12a₃⁴+ 16a₄a₃³ - 96a₆a₃² + 64a₆a₄a₃ - 192a₆²)a₂³ + (-56a₄²a₃² - 16a₄³a₃ - 224a₆a₄²)a₂² + (828a₄a₃⁴- 632a₄²a₃³ + (384a₄³ + 2080a₆a₄)a₃² + (-32a₄⁴- 736a₆a₄²)a₃ + (68a₄⁴+ 64a₆a₄³ - 576a₆²a₄))a₂ + (143a₃⁶ - 200a₄a₃⁵ + (160a₄² + 892a₆)a₃⁴+ (-64a₄³ - 664a₆a₄)a₃³ + (16a₄⁴+ 364a₄³ + 384a₆a₄² + 1344a₆²)a₃² + (-208a₄⁴- 32a₆a₄³ - 288a₆²a₄)a₃ + (16a₄⁵ - 144a₆a₄³ + 256a₆³)))))x³ + (((-48a₆a₃² - 16a₆²)a₁⁵ + (48a₄a₃³ - 68a₆a₄a₃ + 4a₆a₄²)a₁⁴ + ((-48a₃⁴- 320a₆a₃² - 128a₆²)a₂ + (132a₄²a₃² - 4a₄³a₃ - 16a₆a₄²))a₁³ + ((28a₄a₃³ + 4a₄²a₃² - 384a₆a₄a₃ + 32a₆a₄²)a₂ + (-1488a₃⁵ + 720a₄a₃⁴+ (-360a₄² - 3544a₆)a₃³ + 928a₆a₄a₃² + (116a₄³ - 200a₆a₄² - 1264a₆²)a₃ + (-4a₄⁴+ 400a₆²a₄)))a₁² + ((-112a₃⁴- 512a₆a₃² - 256a₆²)a₂² + (192a₄²a₃² - 16a₄³a₃ - 64a₆a₄²)a₂ + (-1716a₄a₃⁴+ 700a₄²a₃³ + (-376a₄³ - 2400a₆a₄)a₃² + (32a₄⁴+ 736a₆a₄²)a₃ + (32a₄⁴- 64a₆a₄³ + 384a₆²a₄)))a₁ + ((-112a₄a₃³ + 16a₄²a₃² - 448a₆a₄a₃ + 64a₆a₄²)a₂² + (-472a₃⁵ + 240a₄a₃⁴+ (-104a₄² - 1360a₆)a₃³ + (-32a₄³ + 336a₆a₄)a₃² + (112a₄³ - 96a₆a₄² - 704a₆²)a₃ + (-16a₄⁴+ 320a₆²a₄))a₂ + (-240a₄²a₃³ - 88a₄³a₃² + (56a₄⁴+ 400a₆a₄²)a₃ - 112a₆a₄³)))y + ((-10a₆a₃³ + 2a₆²a₃)a₁⁵ + (10a₄a₃⁴- 20a₆a₄a₃² + 4a₆a₄²a₃ - 12a₆²a₄)a₁⁴ + ((-10a₃⁵ - 56a₆a₃³ + 4a₆a₄a₃²)a₂ + (28a₄²a₃³ - 4a₄³a₃² - 4a₆a₄²a₃))a₁³ + ((-96a₆a₄a₃² + 40a₆a₄²a₃ - 128a₆²a₄)a₂ + (10a₃⁶ + 1116a₆a₃⁴- 408a₆a₄a₃³ + (32a₄³ + 192a₆a₄² + 1944a₆²)a₃² + (-4a₄⁴- 312a₆²a₄)a₃ + (-8a₆a₄³ + 208a₆³)))a₁² + ((-18a₃⁵ + 4a₄a₃⁴- 80a₆a₃³ + 16a₆a₄a₃² - 32a₆²a₃)a₂² + (24a₄²a₃³ - 28a₄³a₃² + 32a₆a₄²a₃)a₂ + (560a₄a₃⁵ - 404a₄²a₃⁴+ (192a₄³ + 2744a₆a₄)a₃³ - 1016a₆a₄²a₃² + (34a₄⁴+ 256a₆a₄³ + 1840a₆²a₄)a₃ - 640a₆²a₄²))a₁ + ((-20a₄a₃⁴+ 24a₄²a₃³ - 160a₆a₄a₃² + 96a₆a₄²a₃ - 320a₆²a₄)a₂² + (140a₃⁶ - 200a₄a₃⁵ + (160a₄² + 952a₆)a₃⁴+ (-64a₄³ - 824a₆a₄)a₃³ + (16a₄⁴+ 480a₆a₄² + 1392a₆²)a₃² + (-24a₄⁴- 64a₆a₄³ - 544a₆²a₄)a₃ + (64a₆²a₄² + 64a₆³))a₂ + (476a₄²a₃⁴- 424a₄³a₃³ + (240a₄⁴+ 1288a₆a₄²)a₃² + (-32a₄⁵ - 744a₆a₄³)a₃ + (20a₄⁵ + 80a₆a₄⁴- 144a₆²a₄²)))))x² + (((-36a₆a₃³ + 8a₆a₄a₃² + (-4a₆a₄² - 40a₆²)a₃ + 8a₆²a₄)a₁⁴ + (36a₄a₃⁴- 8a₄²a₃³ + (4a₄³ - 28a₆a₄)a₃² - 4a₆a₄²a₃ - 32a₆²a₄)a₁³ + ((-36a₃⁵ + 8a₄a₃⁴+ (-4a₄² - 232a₆)a₃³ + 72a₆a₄a₃² + (-32a₆a₄² - 256a₆²)a₃ + 64a₆²a₄)a₂ + (104a₄²a₃³ - 12a₄³a₃² + (4a₄⁴+ 32a₆a₄²)a₃))a₁² + ((-20a₄a₃⁴- 28a₄²a₃³ + (16a₄³ - 208a₆a₄)a₃² - 16a₆a₄²a₃ - 128a₆²a₄)a₂ + (-612a₃⁶ + 536a₄a₃⁵ + (-332a₄² - 1912a₆)a₃⁴+ (64a₄³ + 1080a₆a₄)a₃³ + (-16a₄⁴+ 108a₄³ - 496a₆a₄² - 1120a₆²)a₃² + (-12a₄⁴+ 64a₆a₄³ + 608a₆²a₄)a₃ + (32a₆a₄³ - 64a₆²a₄² + 256a₆³)))a₁ + ((-48a₃⁵ + 32a₄a₃⁴+ (-16a₄² - 288a₆)a₃³ + 160a₆a₄a₃² + (-64a₆a₄² - 384a₆²)a₃ + 128a₆²a₄)a₂² + (8a₄²a₃³ - 24a₄³a₃² + (16a₄⁴- 64a₆a₄²)a₃)a₂ + (-416a₄a₃⁵ + 296a₄²a₃⁴+ (-152a₄³ - 656a₆a₄)a₃³ + 48a₆a₄²a₃² + (40a₄⁴+ 64a₆a₄³ + 512a₆²a₄)a₃ + (-8a₄⁵ - 128a₆²a₄²))))y + ((-5a₆a₃⁴- 3a₆²a₃² + 4a₆²a₄a₃ - 4a₆³)a₁⁴ + (5a₄a₃⁵ - 10a₆a₄a₃³ - 16a₆²a₄a₃)a₁³ + ((-5a₃⁶ - 26a₆a₃⁴+ 4a₆a₄a₃³ - 24a₆²a₃² + 32a₆²a₄a₃ - 32a₆³)a₂ + (18a₄²a₃⁴- 4a₄³a₃³ + 14a₆a₄²a₃² + 4a₆a₄³a₃ - 32a₆²a₄²))a₁² + ((-10a₄a₃⁵ + 4a₄²a₃⁴- 64a₆a₄a₃³ - 64a₆²a₄a₃)a₂ + (5a₃⁷ + 584a₆a₃⁵ - 404a₆a₄a₃⁴+ (22a₄³ + 192a₆a₄² + 1528a₆²)a₃³ + (-12a₄⁴- 592a₆²a₄)a₃² + (56a₆a₄³ + 128a₆²a₄² + 672a₆³)a₃ - 256a₆³a₄))a₁ + ((-3a₃⁶ - 20a₆a₃⁴+ 16a₆a₄a₃³ - 48a₆²a₃² + 64a₆²a₄a₃ - 64a₆³)a₂² + (-6a₄²a₃⁴+ 8a₄³a₃³ - 64a₆a₄²a₃² + 16a₆a₄³a₃ - 128a₆²a₄²)a₂ + (146a₄a₃⁶ - 200a₄²a₃⁵ + (160a₄³ + 1072a₆a₄)a₃⁴+ (-64a₄⁴- 1032a₆a₄²)a₃³ + (16a₄⁵ + 9a₄⁴+ 576a₆a₄³ + 1584a₆²a₄)a₃² + (-8a₄⁵ - 96a₆a₄⁴- 992a₆²a₄²)a₃ + (36a₆a₄⁴+ 128a₆²a₄³ + 64a₆³a₄)))))x + (((-12a₆a₃⁴+ 8a₆a₄a₃³ + (-4a₆a₄² - 24a₆²)a₃² + 8a₆²a₄a₃)a₁³ + (12a₄a₃⁵ - 8a₄²a₃⁴+ 4a₄³a₃³ + 8a₆a₄²a₃² + (-8a₆a₄³ - 48a₆²a₄)a₃ + 16a₆²a₄²)a₁² + ((-12a₃⁶ + 8a₄a₃⁵ + (-4a₄² - 72a₆)a₃⁴+ 40a₆a₄a₃³ + (-16a₆a₄² - 96a₆²)a₃² + 32a₆²a₄a₃)a₂ + (36a₄²a₃⁴- 24a₄³a₃³ + (12a₄⁴+ 72a₆a₄²)a₃² - 24a₆a₄³a₃))a₁ + ((-24a₄a₃⁵ + 16a₄²a₃⁴+ (-8a₄³ - 144a₆a₄)a₃³ + 80a₆a₄²a₃² + (-32a₆a₄³ - 192a₆²a₄)a₃ + 64a₆²a₄²)a₂ + (-120a₃⁷ + 176a₄a₃⁶ + (-152a₄² - 432a₆)a₃⁵ + (64a₄³ + 400a₆a₄)a₃⁴+ (-16a₄⁴+ 24a₄³ - 224a₆a₄² - 192a₆²)a₃³ + (-16a₄⁴+ 32a₆a₄³)a₃² + (8a₄⁵ + 48a₆a₄³ + 64a₆²a₄² + 384a₆³)a₃ + (-16a₆a₄⁴- 128a₆³a₄))))y + ((-a₆a₃⁵ - 4a₆²a₃³ + 4a₆²a₄a₃² - 8a₆³a₃)a₁³ + (a₄a₃⁶ + 2a₆a₄a₃⁴- 4a₆a₄²a₃³ + 8a₆²a₄²a₃ - 16a₆³a₄)a₁² + ((-a₃⁷ - 8a₆a₃⁵ + 4a₆a₄a₃⁴- 24a₆²a₃³ + 16a₆²a₄a₃² - 32a₆³a₃)a₂ + (3a₄²a₃⁵ + 12a₆a₄²a₃³ - 12a₆a₄³a₃² + 24a₆²a₄²a₃))a₁ + ((-2a₄a₃⁶ - 16a₆a₄a₃⁴+ 8a₆a₄²a₃³ - 48a₆²a₄a₃² + 32a₆²a₄²a₃ - 64a₆³a₄)a₂ + (a₃⁸ + 152a₆a₃⁶ - 200a₆a₄a₃⁵ + (2a₄³ + 160a₆a₄² + 608a₆²)a₃⁴+ (-64a₆a₄³ - 608a₆²a₄)a₃³ + (16a₆a₄⁴+ 8a₆a₄³ + 336a₆²a₄² + 640a₆³)a₃² + (-8a₆a₄⁴- 64a₆²a₄³ - 448a₆³a₄)a₃ + (16a₆²a₄³ + 64a₆³a₄² + 64a₆⁴)))))
     ψ(x,y)=(a₁x + 2y + a₃)(-3x⁴ + (-a₁² - 4a₂)x³ + (-3a₃a₁ - 6a₄)x² + (-3a₃² - 12a₆)x + (-a₆a₁² + a₄a₃a₁ -a₃²a₂ - 4a₆a₂ + a₄²))
である。

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao

The Duplication and Triplecaltion formulas for Long Weierstrass Form of a Elliptic Curve

[2002.09.01]Weierstrassの長形式の２倍点, ３倍点公式

y^2+a1xy+a3y=x^3+a2x^2+a4x+a6の２倍点,３倍点公式を求めるプログラム(pari/gp)

[参考文献]

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y^2+a₁xy+a₃y=x^3+a₂x^2+a₄x+a₆の２倍点,３倍点公式を求めるプログラム(pari/gp)