j(sqrt{-5}),j(sqrt{-6}),j(sqrt{-10})
[2002.12.15]j(sqrt{-5}),j(sqrt{-6}),j(sqrt{-10})
類数2の虚２次体K=Q(sqrt{-5}),Q(sqrt{-6}),Q(sqrt{-10})に対して、それぞれの整数環RKのmodular j-不変量を計算する。
結果は、以下の通りである。
j(RQ(sqrt{-5})) = j(sqrt{-5}) = 632000+282880*sqrt{5} = (50+26*sqrt{5})3
j(RQ(sqrt{-6})) = j(sqrt{-6}) = 2417472+1707264*sqrt{2} = (24*sqrt{2}+60)3・(sqrt{2}+1)2
j(RQ(sqrt{-10})) = j(sqrt{-10}) = 212846400+95178240*sqrt{5} = (390+162*sqrt{5})3
■j(sqrt{-5})を求める。
虚２次体Q(sqrt{-5})の類数をpari/GPで計算すると、以下のようになる。
gp> n5=bnfclassunit(x^2+5)
time = 183 ms.
%8 =
[x^2 + 5]
[[0, 1]]
[[-20, 1]]
[[1, x]]
[[2, [2], [[2, 1; 0, 1]]]]
[1]
[1.002866577688788101]
[[2, -1]]
[[]]
[32767]
Q(sqrt{-5})の類数は2であるので、j(RQ(sqrt{-5})) = j(Q[sqrt{-5}]) = j(sqrt{-5})は2次の代数的整数である。
さらに、j(sqrt{-5})は実数である。
Q(sqrt{-5})の類体は、Q(sqrt{5},sqrt{-1})であるので、j(sqrt{-5})はQ(sqrt{5})の代数的整数、つまりQ[(1+sqrt{5})/2]の元であり、ある有理整数数A,Bに対して、
j(RQ(sqrt{-5})) = (A+B*sqrt{5})/2 ------- (1)
と書ける。
Q(sqrt{-5})の単項でないidealの１つは、
a = (2,1+sqrt{-5}) = 2Z+(1+sqrt{-5})Z
であり、j(a)はj(RQ(sqrt{-5}))の[Q(sqrt{5})における]共役数なので、
j(a) = (A-B*sqrt{5})/2 ------ (2)
となる。
(1),(2)より、
A = j(RQ(sqrt{-5}))+j(a) ------ (3)
B = (j(RQ(sqrt{-5}))-j(a))/{sqrt{5}} ------ (4)
を得る。ここで、
j(RQ(sqrt{-5})) = j(Q[sqrt{-5}]) = j(Z+sqrt{-5}Z) = j(sqrt{-5})
j(a) = j(2Z+(1+sqrt{-5})Z) = j(Z+((1+sqrt{-5})/2)Z) = j((1+sqrt{-5})/2)
をpari/GPでそれぞれ近似計算すると、以下のようになる。
gp> r1=ellj(sqrt(5)*I)
time = 10 ms.
%2 = 1264538.909475140509320227047 + 0.E-22*I
gp> r2=ellj((1+sqrt(5)*I)/2)
time = 7 ms.
%3 = -538.9094751405093202270474105 - 1.927161441380370863 E-25*I
gp> a=r1+r2
time = 0 ms.
%4 = 1264000.000000000000000000000 + 0.E-22*I
gp> b=(r1-r2)/(sqrt(5))
time = 0 ms.
%5 = 565760.0000000000000000000000 + 0.E-23*I
A,Bは有理整数なので、
A = 1264000, B = 565760
となる。よって、(1)より、
j(RQ(sqrt{-5})) = (1264000+565760*sqrt{5})/2 = 632000+282880*sqrt{5} = (50+26*sqrt{5})3
である。
■j(sqrt{-6})を求める。
虚２次体Q(sqrt{-6})の類数をpari/GPで計算すると、以下のようになる。
gp> n6=bnfclassunit(x^2+6)
time = 101 ms.
%14 =
[x^2 + 6]
[[0, 1]]
[[-24, 1]]
[[1, x]]
[[2, [2], [[2, 0; 0, 1]]]]
[1]
[0.9713973190565778030]
[[2, -1]]
[[]]
[32767]
Q(sqrt{-6})の類数は2であるので、j(RQ(sqrt{-6})) = j(Q[sqrt{-6}]) = j(sqrt{-6})は2次の代数的整数である。
さらに、j(sqrt{-6})は実数である。
Q(sqrt{-6})の類体は、Q(sqrt{2},sqrt{-3})であるので、j(sqrt{-6})はQ(sqrt{2})の代数的整数、つまりQ[sqrt{2}]の元であり、ある有理整数数A,Bに対して、
j(RQ(sqrt{-6})) = A+B*sqrt{2} ------- (5)
と書ける。
Q(sqrt{-6})の単項でないidealの１つは、
a = (2,sqrt{-6}) = 2Z+sqrt{-6}Z
であり、j(a)はj(RQ(sqrt{-6}))の[Q(sqrt{2})における]共役数なので、
j(a) = A-B*sqrt{2} ------ (6)
となる。
(5),(6)より、
A = (j(RQ(sqrt{-6}))+j(a))/2 ------ (7)
B = (j(RQ(sqrt{-6}))-j(a))/{2*sqrt{2}} ------ (8)
を得る。ここで、
j(RQ(sqrt{-6})) = j(Q[sqrt{-6}]) = j(Z+sqrt{-6}Z) = j(sqrt{-6})
j(a) = j(2Z+sqrt{-6}Z) = j(Z+(sqrt{-6}/2)Z) = j(sqrt{-6}/2)
をpari/GPでそれぞれ近似計算すると、以下のようになる。
gp> r1=ellj(sqrt(6)*I)
time = 3 ms.
%15 = 4831907.903351339745397366302 + 0.E-22*I
gp> r2=ellj(sqrt(6)*I/2)
time = 4 ms.
%16 = 3036.096648660254602633701950 + 3.07570434 E-28*I
gp> a=(r1+r2)/2
time = 0 ms.
%17 = 2417472.000000000000000000002 + 0.E-22*I
gp> b=(r1-r2)/(2*sqrt(2))
time = 1 ms.
%18 = 1707264.000000000000000000001 + 0.E-22*I
A,Bは有理整数なので、
A = 2417472, B = 1707264
となる。よって、(5)より、
j(RQ(sqrt{-6})) = 2417472+1707264*sqrt{2} = (24*sqrt{2}+60)3・(sqrt{2}+1)2
である。
ここで、sqrt{2}+1は、実２次体Q(sqrt{2})の基本単数であるので、j(RQ(sqrt{-6}))はその整数環Q[sqrt{2}]の３乗数と単数の積に等しいことに注意する。
■j(sqrt{-10})を求める。
虚２次体Q(sqrt{-10})の類数をpari/GPで計算すると、以下のようになる。
gp> n10=bnfclassunit(x^2+10)
time = 106 ms.
%20 =
[x^2 + 10]
[[0, 1]]
[[-40, 1]]
[[1, x]]
[[2, [2], [[2, 0; 0, 1]]]]
[1]
[0.9590359144014744142]
[[2, -1]]
[[]]
[32767]
Q(sqrt{-10})の類数は2であるので、j(RQ(sqrt{-10})) = j(Q[sqrt{-10}]) = j(sqrt{-10})は2次の代数的整数である。
さらに、j(sqrt{-10})は実数である。
Q(sqrt{-10})の類体は、Q(sqrt{5},sqrt{-2})であるので、j(sqrt{-10})はQ(sqrt{5})の代数的整数、つまりQ[(1+sqrt{5})/2]の元であり、ある有理整数数A,Bに対して、
j(RQ(sqrt{-10})) = (A+B*sqrt{5})/2 ------- (9)
と書ける。
Q(sqrt{-10})の単項でないidealの１つは、
a = (2,sqrt{-10}) = 2Z+sqrt{-10}Z
であり、j(a)はj(RQ(sqrt{-10}))の[Q(sqrt{5})における]共役数なので、
j(a) = (A-B*sqrt{5})/2 ------ (10)
となる。
(9),(10)より、
A = j(RQ(sqrt{-10}))+j(a) ------ (11)
B = (j(RQ(sqrt{-10}))-j(a))/{sqrt{5}} ------ (12)
を得る。ここで、
j(RQ(sqrt{-10})) = j(Q[sqrt{-10}]) = j(Z+sqrt{-10}Z) = j(sqrt{-10})
j(a) = j(2Z+sqrt{-10}Z) = j(Z+(sqrt{-10}/2)Z) = j(sqrt{-10}/2)
をpari/GPでそれぞれ近似計算すると、以下のようになる。
gp> r1=ellj(sqrt(10)*I)
time = 4 ms.
%8 = 425671414.6187895836743594697 + 0.E-20*I
gp> r2=ellj(sqrt(10)*I/2)
time = 4 ms.
%9 = 21385.38121041632564053035582 + 0.E-24*I
gp> a=r1+r2
time = 0 ms.
%10 = 425692800.0000000000000000000 + 0.E-20*I
gp> b=(r1-r2)/sqrt(5)
time = 0 ms.
%11 = 190356480.0000000000000000000 + 0.E-20*I
A,Bは有理整数なので、
A = 425692800, B = 190356480
となる。よって、(9)より、
j(RQ(sqrt{-10})) = (425692800+190356480*sqrt{5})/2 = 212846400+95178240*sqrt{5} = (390+162*sqrt{5})3
である。
[参考文献]
- [1]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, p338-351, ISBN0-387-96203-4.
- [2]Joseph H. Silverman, "Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 151, Springer-Verlag New York Inc., 1994, p104-148, ISBN0-387-94328-5.
- [3]Henri Cohen, "A Course in Computational Algebraic Number Theory", GTM 138, Springer-Verlag New York Inc., 1996, p383, ISBN-387-55640-0.
| Last Update: 2005.06.12 |
| H.Nakao |