j((1+sqrt{-43})/2),j((1+sqrt{-67})/2),j((1+sqrt{-163})/2)
[2002.12.15]j((1+sqrt{-43})/2),j((1+sqrt{-67})/2),j((1+sqrt{-163})/2)
類数1の虚２次体K=Q(sqrt{-43}),Q(sqrt{-67}),Q(sqrt{-163})に対して、それぞれの整数環RKのmodular j-不変量を計算する。
結果は、以下の通りである。
j(RQ(sqrt{-43})) = j((1+sqrt{-43})/2) = -884736000 = (-960)3
j(RQ(sqrt{-67})) = j((1+sqrt{-67})/2) = -147197952000 = (-5280)3
j(RQ(sqrt{-163})) = j((1+sqrt{-163})/2) = -262537412640768000 = (-640320)3
■j((1+sqrt{-43})/2)を求める。
虚２次体Q(sqrt{-43})の類数をpari/GPで計算すると、以下のようになる。
gp> n43=bnfclassunit(x^2+43)
time = 570 ms.
%1 =
[x^2 + 43]
[[0, 1]]
[[-43, 2]]
[[1, 1/2*x + 1/2]]
[[1, [], []]]
[1]
[1.164929944438064065]
[[2, -1]]
[[]]
[32767]
Q(sqrt{-43})の類数は1であるので、j(RQ(sqrt{-43})) = j(Q[(1+sqrt{-43})/2]) = j((1+sqrt{-43})/2)は有理整数である。
j((1+sqrt{-43})/2)をpari/GPで近似計算すると、以下のようになる。
gp> ellj((1+sqrt(43)*I)/2)
time = 20 ms.
%2 = -884736000.0000000000000000001 + 3.32036915 E-19*I
よって、
j(RQ(sqrt{-43})) = j((1+sqrt{-43})/2) = -884736000 = (-960)3
である。
■j((1+sqrt{-67})/2)を求める。
Q(sqrt{-67})の類数は1であるので、j(RQ(sqrt{-67}))は有理整数である。
pari/GPで計算すると、以下のようになる。
gp> n67=bnfclassunit(x^2+67)
time = 223 ms.
%3 =
[x^2 + 67]
[[0, 1]]
[[-67, 2]]
[[1, 1/2*x + 1/2]]
[[1, [], []]]
[1]
[1.086763938399956246]
[[2, -1]]
[[]]
[32767]
gp> ellj((1+sqrt(67)*I)/2)
time = 6 ms.
%4 = -147197951999.9999999999999998 - 1.09287578 E-16*I
よって、
j(RQ(sqrt{-67})) = j((1+sqrt{-67})/2) = -147197952000 = (-5280)3
である。
■j((1+sqrt{-163})/2)を求める。
Q(sqrt{-163})の類数は1であるので、j(RQ(sqrt{-163}))は有理整数である。
pari/GPで計算すると、以下のようになる。
gp> n163=bnfclassunit(x^2+163)
time = 118 ms.
%5 =
[x^2 + 163]
[[0, 1]]
[[-163, 2]]
[[1, 1/2*x + 1/2]]
[[1, [], []]]
[1]
[0.9497268582104312344]
[[2, -1]]
[[]]
[32767]
gp> ellj((1+sqrt(163)*I)/2)
time = 8 ms.
%6 = -262537412640767999.9999999997 - 1.72803993 E-10*I
よって、
j(RQ(sqrt{-163})) = j((1+sqrt{-163})/2) = -262537412640768000 = (-640320)3
である。
[参考文献]
- [1]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, p338-351, ISBN0-387-96203-4.
- [2]Joseph H. Silverman, "Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 151, Springer-Verlag New York Inc., 1994, p104-148, ISBN0-387-94328-5.
- [3]Henri Cohen, "A Course in Computational Algebraic Number Theory", GTM 138, Springer-Verlag New York Inc., 1996, p383, ISBN-387-55640-0.
| Last Update: 2005.06.12 |
| H.Nakao |