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Rational Points and Integral Points on Elliptic Curve:y^2=x^3-4

[2006.07.01]y^2=x^3-4の有理点と整点

■楕円曲線
    E: y2 = x3-4
の有理点を求める。

■楕円曲線Eの判別式 Δ,j-不変量 j,導手 Nは、それぞれ、
     Δ = -6912 = -28・33
     j = 0
     N = 432
である。
また、楕円曲線Eのねじれ点群E(Q)torsは、{O}である。

[pari/gp-2.1.2の実行結果]
bash-2.03$ gp
Reading GPRC: /home/his/.gprc ...Done.

                  GP/PARI CALCULATOR Version 2.1.6 (released)
                       i386 running netbsd 32-bit version
                (readline v1.0 enabled, extended help available)

                       Copyright (C) 2002 The PARI Group

PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and 
comes WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.

Type ? for help, \q to quit.
Type ?12 for how to get moral (and possibly technical) support.

   realprecision = 28 significant digits
   seriesprecision = 16 significant terms
   format = g0.28

parisize = 100000000, primelimit = 500000
gp>  e=ellinit([0,0,0,0,-4])
time = 3 ms.
%1 = [0, 0, 0, 0, -4, 0, 0, -16, 0, 0, 3456, -6912, 0, [1.587401051968199474751705639, -0.7937005259840997373758528196 - 1.374729636998602626383479196*I, -0.7937005259840997373758528196 + 1.374729636998602626383479196*I]~, 1.927621296659998131045697788, 0.9638106483299990655228488941 + 1.669369011783458076842999543*I, -0.9409521296413355269485089140 + 0.E-29*I, -0.4704760648206677634742544570 - 2.444665344043395181287277328*I, 3.217911259098049157248456147]
(13:03) gp >  e.disc
time = 0 ms.
%2 = -6912
gp>  elltors(e,1)
time = 3 ms.
%3 = [1, [], []]
gp>  e.j
time = 0 ms.
%4 = 0
gp>  ellglobalred(e)
time = 0 ms.
%5 = [432, [1, 0, 0, 0], 2]
gp>  factor(6912)
time = 0 ms.
%6 = 
[2 8]

[3 3]

■mwrank3により、楕円曲線EのMordell-Weil群E(Q)のrankと生成元を求める。
以下のように、E(Q)のrankは1であり、その生成元は(2,2)である。
よって、E(Q)=Zである。

[mwrank3の実行結果]
bash-2.03$ mwrank3
Program mwrank: uses 2-descent (via 2-isogeny if possible) to
determine the rank of an elliptic curve E over Q, and list a
set of points which generate E(Q) modulo 2E(Q).
and finally saturate to obtain generating points on the curve.
For more details see the file mwrank.doc.
For details of algorithms see the author's book.

Please acknowledge use of this program in published work, 
and send problems to John.Cremona@nottingham.ac.uk.

Version compiled on Apr 12 2005 at 20:35:25 by GCC 3.3.3 (NetBSD nb3 20040520)
using base arithmetic option LiDIA_ALL (LiDIA bigints and multiprecision floating point)
Using LiDIA multiprecision floating point with 15 decimal places.
Enter curve: [0,0,0,0,-4]

Curve [0,0,0,0,-4] :    Basic pair: I=0, J=108
disc=-11664
2-adic index bound = 2
After 2-adic refinement (case 1); 2-adic index = 2
2-adic index = 2
Two (I,J) pairs
Looking for quartics with I = 0, J = 108
Looking for Type 3 quartics:
Trying negative a from -1 down to -1
(-1,0,0,2,0)    --trivial
Finished looking for Type 3 quartics.
Looking for quartics with I = 0, J = 6912
Looking for Type 3 quartics:
Trying positive a from 1 up to 3 (square a first...)
(1,0,-12,16,-12)        --nontrivial...(x:y:z) = (1 : 1 : 0)
Point = [2 : 2 : 1]
        height = 0.450320685639875
Doubling global 2-adic index to 2
global 2-adic index is equal to local index
so we abort the search for large quartics
Rank of B=im(eps) increases to 1
Exiting search for large quartics after finding enough globally soluble ones.
Mordell rank contribution from B=im(eps) = 1
Selmer  rank contribution from B=im(eps) = 1
Sha     rank contribution from B=im(eps) = 0
Mordell rank contribution from A=ker(eps) = 0
Selmer  rank contribution from A=ker(eps) = 0
Sha     rank contribution from A=ker(eps) = 0
Rank = 1

Regulator (before saturation) = 0.450320685639875
Saturating...finished saturation (index was 1)
Regulator (after saturation) = 0.450320685639875

Generator 1 is [2 : 2 : 1]; height 0.450320685639875

Regulator = 0.450320685639875

The rank and full Mordell-Weil basis have been determined unconditionally.
 (0.28 seconds)
The rank and full Mordell-Weil basis have been determined unconditionally.
 (0.28 seconds)
Enter curve: [0,0,0,0,0]

bash-2.03$

■楕円曲線Eの有理点をいくつか求める。

楕円曲線Eの有理点は、
    O, (2,±2), (5,±11), (106/9, ±1090/27), (785/484, ±5497/10648), (151322/3721, ±58862702/226981), ...
である。

[pari/gp-2.1.2による計算]
gp>  for(i=0,5,print(ellpow(e,[2,2],i)))
[0]
[2, 2]
[5, -11]
[106/9, 1090/27]
[785/484, -5497/10648]
[151322/3721, -58862702/226981]
time = 0 ms.
これより、楕円曲線Eの整点は、(2,±2),(5,±11)に限ると予想できる。

■この楕円曲線Eの整点が(2,±2),(5,±11)に限ることを証明する。

x,yを以下を満たす有理整数とする。
    y2 = x3-4 ------ (1)
(1)より、xとyの偶奇は一致する。(1)を変形すると、
    y2+4 = x3
両辺をGauss整数環Z[i]で因数分解すると、
    (y + 2i)(y - 2i) = x3 ----- (2)
となる。
２次体Q(i)の類数は１であり、その整数環Z[i]の元は、一意に素元分解できる。また、Z[i]の単数は、±1,±iである。

2=-i(1+i)2より、
    gcd(y+2i,y-2i)=gcd(y+2i,4i)=gcd(y+2i,4) | 4=-(1+i)4
となる。1+iはZ[i]の素元であるので、
    gcd(y+2i,y-2i)=1,(1+i),(1+i)2,(1+i)3,(1+i)4
となる。
(2)より、n=0,1,2,3,4と,ある有理整数u,vと,(Z[i]の)ある単数εに対して、
    y + 2i = ε(1+i)n(u+vi)3 ----- (3)
となる。
(3)の両辺の共役元を取ると、
    y - 2i = ε~(1-i)n(u-vi)3 ----- (3')
となる。
ここで、ε~はεの共役元、1-i=-i(1+i)である。
(3),(3')の右辺の積は3乗数 x3なので、Z[i]の3乗数(u+vi)3・(u-vi)3と単数ε・ε~・(-i)nを除いた部分
    (1+i)n・(1+i)n = (1+i)2n
もZ[i]の3乗数である。
1+iは素元なので、3|nであり、0 <= n <= 4より、n=0,3を得る。

■n=3の場合
(u+vi)・(1+i)を改めて、(u+vi)とすると、n=0の場合に帰着できる。

■n=0の場合
(3)より、
    y + 2i = ε(u+vi)3
    y + 2i = ε{(u3-3uv2)+(3u2v-v3)i}
である。
Z[i]の単数εは、±1,±iであるので、両辺の実部と虚部を比較して、
[case i]
    y = ±u(u2-3v2), ----- (4)
    2 = ±v(3u2-v2) ----- (5)
または、
{case ii]
    2 = ±u(u2-3v2), ----- (6)
    y = ±v(3u2-v2) ----- (7)
となる。

[case i]
u,vは有理整数なので、(5)より、v|2、つまり、v=±2,±1である。
v=±2のとき、(5)より、3u2-4=±1となり、(u,v)=(±1,-2)を得る。
(4)より、y=±11を得る。(1)より、x=5を得る。
v=±1のとき、(5)より、3u2-1=±2となり、(u,v)=(±1,1)を得る。
(4)より、y=±2を得る。(1)より、x=2を得る。

[case ii]
u,vは有理整数なので、(6)より、u|2、つまり、u=±2,±1である。
u=±2のとき、(6)より、4-3v2=±1となり、(u,v)=(2,±1)を得る。
(7)より、y=±11を得る。(1)より、x=5を得る。
v=±1のとき、(6)より、1-3v2=±2となり、(u,v)=(±1,-1)を得る。
(4)より、y=±2を得る。(1)より、x=2を得る。

■以上より、(1)の有理整数解(x,y)は、
    (2,±2),(5,±11)
の4個に限る。

つまり、楕円曲線 E:y2 = x3-4の整点は、
    (2,±2),(5,±11)
の4個に限る。


[参考文献]

Last Update: 2006.09.16
H.Nakao

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