Integral Points on Elliptic Curve: 37y^2-4x^4=1
[2002.12.08]37y^2-4x^4=1の整点
■楕円曲線 37y2-4x4=1の有理点を既に求めたが、この楕円曲線の整点が(±21,±145)に限ることを証明する。
x,yを以下を満たす有理整数とする。
37y2 - 4x4 = 1 ------ (1)
(1)より、yは奇数である。(1)を変形すると、
37y2-1 = 4x4
となる。
ここで、α=(1+sqrt(37))/2とする。αは実２次の代数的整数である。
両辺を整数環Q[α]上で因数分解すると、
{(sqrt(37)y + 1)/2}{(sqrt(37)y - 1)/2} = x4
{yα+(1-y)/2}{yα-(1+y)/2} = x4 ----- (2)
となる。
yは有理整数かつ奇数なので、yα+(1-y)/2とyα-(1+y)/2は、Q[α]の元である。
２次体Q(sqrt(37))の類数と基本単数をpari/GP 2.1.4で計算すると、以下のようになる。
gp> nf37=bnfclassunit(x^2-x-9)
time = 484 ms.
%1 =
[x^2 - x - 9]
[[2, 0]]
[[37, 1]]
[[1, x]]
[[1, [], []]]
[2.491779852644911970429792537]
[0.9695751647270947359]
[[2, -1]]
[[2*x + 5]]
[121]
gp> nf37.clgp
time = 0 ms.
%2 = [1, [], []]
gp> nf37.fu
time = 0 ms.
%3 = [2*x + 5]
よって、２次体Q(sqrt(37))の類数は１である。
参考文献[5] Appendix A.3(p54)によると、Q(sqrt(37))の整数環Q[α]は、Norm-Euclidean整域であるので、単項ideal整域(Principal Ideal Domain)であり、一意分解整域(Unique FactorizationDomain)となる。
つまり、Q[α]の元は、一意に素因数分解できる。
また、Q[α]の基本単数は、2α+5=sqrt(37)+6であり、Q[α]の単数は、±(2α+5)n, (n \in Z)と表現できる。
有理整数yは奇数なので、
gcd(yα+(1-y)/2,yα-(1+y)/2) = gcd(yα+(1-y)/2,-1) = 1
となる。
よって、yα+(1-y)/2,yα-(1+y)/2は互いに素である。(2)より、それぞれがある４乗数と単数の積であることがわかる。単数部分は、基本単数のn乗(n=0,1,2,3)と±1の積としてよい。
n=0,1,2,3と,ある有理整数u,vに対して、
yα+(1-y)/2 = ±(2α+5)n(u+vα)4 ----- (3)
となる。
■n=0の場合
(3)より、
yα+(1-y)/2 = ±(u+vα)4
yα+(1-y)/2 = ±{(4vu3+6v2u2+40v3u+19v4)α+(u4+54v2u2+36v3u+90v4)}
両辺のαの係数と定数項を比較して、
y = ±(4vu3+6v2u2+40v3u+19v4) -------- (5)
(1-y)/2 = ±(u4+54v2u2+36v3u+90v4) ------- (6)
を得る。
(5),(6)より、yを消去すると、
2u4+4vu3+114v2u2+112v3u+199v4 = ±1 -------- (7)
となる。
[2002.12.14追記]
立命館大学の加川貴章助教授より、
"Thue方程式が整数解を持たないことは、適当な整数を法として考えることで示せるはず。"(2002.12.11)
と、メールで指摘していただいたので、その方法を追記する。
(7)をmod 21で考えると、
2u4+4vu3+9v2u2+7v3u+10v4 ≡ ±1 (mod 21) -------- (7')
となるが、(7')は有理整数解(u,v)を持たないことを、pari/GPで確認できる。
gp> f(u,v)=2*u^4+4*v*u^3+114*v^2*u^2+112*v^3*u+119*v^4
time = 0 ms.
gp> g(n)=
{
for(i=0,n-1,
for(j=0,n-1,
if(f(i,j)%n==1||f(i,j)%n==(n-1),print([i,j]))
)
)
}
time = 0 ms.
gp> g(21)
time = 20 ms.
よって、(7)も有理整数解(u,v)を持たない。
[2002.12.14追記終了]
■n=1の場合
(3)より、
yα+(1-y)/2 = ±(2α+5)(u+vα)4
yα+(1-y)/2 = ±{(2u3+28vu3+150v2u2+352v3u+313v4)α+(5u4+72vu3+378v2u2+900v3u+792v4)}
両辺のαの係数と定数項を比較して、
y = ±(2u3+28vu3+150v2u2+352v3u+313v4) ------ (9)
(1-y)/2 = ±(5u4+72vu3+378v2u2+900v3u+792v4) ------- (10)
を得る。
(9),(10)より、yを消去すると、
12u4+172vu3+906v2u2+2152v3u+1897v4 = ±1 -------- (11)
[2002.12.11追記]
同じく加川助教授より、(11)の右辺を±1にしたまま、ある変数変換をすることで、もっと効率良く解を決定できることを、助言していただいたので、追記する。
(11)において、
X=-v, Y=u+6v
つまり、
u=Y+6X, v=-X
とおくと、u,v:有理整数⇔X,Y:有理整数であり、
X4+512X3Y+402X2Y2+116XY3+12Y4 = ±1 -------- (11')
となる。
pari/GPで(11')の解を求めると、以下のようになる。
gp> f(u,v)=12*u^4+172*v*u^3+906*v^2*u^2+2152*v^3*u+1897*v^4
time = 0 ms.
gp> f((y+6*x),-x)
time = 0 ms.
%60 = x^4 + 512*y*x^3 + 402*y^2*x^2 + 116*y^3*x + 12*y^4
gp> th1=thueinit(x^4+512*x^3+402*x^2+116*x+12,1)
time = 1,303 ms.
%61 = [x^4 + 512*x^3 + 402*x^2 + 116*x + 12, [[;], matrix(0,10), [-1.245889926322455985214896268 + 9.424777960769379715387930149*I, 4.084243329076342311630824155 + 12.56637061435917295385057353*I; -1.245889926322455985214896268 + 0.E-77*I, -4.084243329076342311630824155 + 6.283185307179586476925286766*I; 2.491779852644911970429792537 + 3.141592653589793238462643383*I, -1.38178696 E-75 + 4.711822087112471395402428003*I], [7.657683448710420970457140689 + 3.141592653589793238462643383*I, -7.740635723845071555351445547 + 5.52714787 E-76*I, 0.4667894784430242089393398031 + 0.E-77*I, -7.372254919936969452661132501 + 5.52714787 E-76*I, -1.007065613120892627930593781 + 0.E-77*I, 0.08295227513465058489430485797 + 0.E-77*I, -7.857149765607647793822587527 + 5.52714787 E-76*I, -6.887360074266291111499677475 + 5.52714787 E-76*I, -1.501297276507455993701182055 + 0.E-77*I, 0.6798395559999823540880163260 + 3.141592653589793238462643383*I; -4.002965944877703599706756741 + 3.141592653589793238462643383*I, 3.920013669743053014812451883 + 9.424777960769379715387930149*I, -1.007065613120892627930593781 + 3.141592653589793238462643383*I, 4.880475067292057482231339964 + 9.424777960769379715387930149*I, 0.4667894784430242089393398031 + 3.141592653589793238462643383*I, 0.08295227513465058489430485797 + 9.424777960769379715387930149*I, 5.365369912962735823392794990 + 9.424777960769379715387930149*I, 4.395580221621379141069884937 + 9.424777960769379715387930149*I, 0.6798395559999823540880163260 + 0.E-77*I, -1.501297276507455993701182055 + 3.141592653589793238462643383*I; -3.654717503832717370750383947 + 3.365899510664002316011675481*I, 3.820622054102018540538993663 + 6.058878450105377399376254668*I, 0.5402761346778684189912539785 + 2.164705859796674597158313950*I, 2.491779852644911970429792537 + 8.640230137280259099209574911*I, 0.5402761346778684189912539785 + 4.118479447382911879766972816*I, -0.1659045502693011697886097159 + 9.424777960769379715387930149*I, 2.491779852644911970429792537 + 3.631812678023869288232328825*I, 2.491779852644911970429792537 + 1.082276982177475956336247463*I, 0.8214577205074736396131657292 + 11.05642545990595488086177336*I, 0.8214577205074736396131657292 + 7.793130461632804549914086934*I], [[2, [0, 1, 0, 0]~, 2, 2, [2, 1, 0, 0]~], [3, [1, 1, 0, 0]~, 1, 1, [-1, -1, -1, -1]~], [3, [0, 1, 0, 0]~, 1, 1, [1, -1, 1, -1]~], [3, [-31, -33, 74, 0]~, 1, 2, [0, 0, -1, 0]~], [5, [-31, -32, 74, 0]~, 1, 2, [-2, 1, -1, 0]~], [5, [-32, -34, 74, 0]~, 1, 2, [-1, -2, -1, 0]~], [7, [-1, 1, 0, 0]~, 1, 1, [3, 2, 1, -3]~], [7, [-2, 1, 0, 0]~, 1, 1, [0, 0, -2, -3]~], [11, [4, 1, 0, 0]~, 1, 1, [4, 1, 5, -3]~], [11, [3, 1, 0, 0]~, 1, 1, [-3, -1, 2, -3]~]]~, [3, 2, 7, 1, 8, 4, 6, 5, 10, 9], [x^4 + 512*x^3 + 402*x^2 + 116*x + 12, [2, 1], -21904, 5476, [[1, -511.2140804597008546073912961, 3297.142666549022568666705094, -1805302.818293866929069043979; 1, -0.2619458128243723305954421434, 0.2859791617949670522093360531, 0.2726102626183199358360730982; 1, -0.2619868637373865310066308507 - 0.1448276560213258554205997678*I, 0.2856771445912321405427847751 - 0.06551695159402906371136147322*I, 0.2728418021553745540717833803 + 0.03095214331684063791871426839*I], [1, 1, 2; -511.2140804597008546073912961, -0.2619458128243723305954421434, -0.5239737274747730620132617015 + 0.2896553120426517108411995356*I; 3297.142666549022568666705094, 0.2859791617949670522093360531, 0.5713542891824642810855695502 + 0.1310339031880581274227229464*I; -1805302.818293866929069043979, 0.2726102626183199358360730982, 0.5456836043107491081435667607 - 0.06190428663368127583742853679*I], [4, -512.0000000000000000000000000, 3298.000000000000000000000000, -1805302.000000000000000000000; -512.0000000000000000000000000, 261340.0839001997945259332239, -1685545.962045333883896408278, 922896219.9820690945383432966; 3298.000000000000000000000000, -1685545.962045333883896408278, 10871150.01716988378469738988, -5952340948.008111560301683593; -1805302.000000000000000000000, 922896219.9820690945383432966, -5952340948.008111560301683593, 3259118265740.003832140703625], [4, -512, 3298, -1805302; -512, 261340, -1685546, 922896220; 3298, -1685546, 10871150, -5952340948; -1805302, 922896220, -5952340948, 3259118265740], [-74, -34, 0, -38; 0, -2, 0, 0; 0, 0, -74, -28; 0, 0, 0, -2], [-67189285680, -75033241872, 166017404560, 324418664; -75033241872, -83792681960, 185399224968, 362293048; 166017404560, 185399224968, -410210744560, -801602928; 324418664, 362293048, -801602928, -1566432], [10952, [5032, 296, 0, 0]~]], [-511.2140804597008546073912961, -0.2619458128243723305954421434, -0.2619868637373865310066308507 - 0.1448276560213258554205997678*I], [1, x, 1/74*x^2 + 17/37*x + 15/37, 1/74*x^3 - 8/37*x + 8/37], [1, 0, -30, -16; 0, 1, -34, 16; 0, 0, 74, 0; 0, 0, 0, 74], [1, 0, 0, 0, 0, -30, -14, 280, 0, -14, -3, -1762, 0, 280, -1762, 966386; 0, 1, 0, 0, 1, -34, -15, 80, 0, -15, -6, -465, 0, 80, -465, 256398; 0, 0, 1, 0, 0, 74, 34, -418, 1, 34, 11, 2588, 0, -418, 2588, -1420916; 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gp> thue(th1,1)
time = 72 ms.
%62 = [[1, 0], [-1, 0]]
gp> thue(th1,-1)
time = 48 ms.
%63 = []
(11')の有理整数解は(±1,0)のみである。よって、(11)の有理整数解は±(6,-1)のみである。
[2002.12.11追記終了]
kashで、直接(11)の有理整数解を探してみる。
kash> th1 := Thue([12,172,906,2152,1897]);
12 X^4 + 172 X^3 Y + 906 X^2 Y^2 + 2152 X Y^3 + 1897 Y^4
kash> ThueSolve(th1,1);
[ [ -6, 1 ], [ 6, -1 ] ]
kash> ThueSolve(th1,-1);
[ ]
よって、(11)の有理整数解(u,v)は、±(6,-1)である。
■n=2の場合
(3)より、
yα+(1-y)/2 = ±(2α+5)2(u+vα)4
yα+(1-y)/2 = ±{(24u4+340vu3+1806v2u2+4264v3u+3775v4)α+(61u4+864vu3+4590v2u2+10836v3u+9594v4)}
両辺のαの係数と定数項を比較して、
y = ±(24u4+340vu3+1806v2u2+4264v3u+3775v4) ------- (13)
(1-y)/2 = ±(61u4+864vu3+4590v2u2+10836v3u+9594v4) ------ (14)
(13),(14)より、yを消去すると、
146u4+2068vu3+10986v2u2+25936v3u+22963v4 = ±1 -------- (15)
(15)をmod 8で考えると、
2u4+4vu3+2v2u2+3v4 ≡ ±1 (mod 8)-------- (15')
となるが、(15')は有理整数解(u,v)を持たないことを、pari/GPで確認できる。
gp> h(u,v)=146*u^4 + 2068*v*u^3 + 10986*v^2*u^2 + 25936*v^3*u + 22963*v^4
time = 0 ms.
gp> g(n)=
{
for(i=0,n-1,
for(j=0,n-1,
if(h(i,j)%n==1 || h(i,j)%n==(n-1), print([i,j]))
)
)
}
time = 0 ms.
gp> g(8)
time = 6 ms.
よって、(15)も有理整数解(u,v)を持たない。
■n=3の場合
(3)より、
yα+(1-y)/2 = ±(2α+5)3(u+vα)4
yα+(1-y)/2 = ±{(290u4+4108vu3+21822v2u2+51520v3u+45613v4)α+(737u4+10440vu3+55458v2u2+130832v3u+115920v4)}
両辺のαの係数と定数項を比較して、
y = ±(290u4+4108vu3+21822v2u2+51520v3u+45613v4) ------ (15)
(1-y)/2 = ±(737u4+10440vu3+55458v2u2+130832v3u+115920v4) ------ (16)
(15),(16)より、yを消去すると、
1764u4+24988vu3+132738v2u2+313384v3u+277453v4 = ±1 -------- (17)
ここで、変数変換(u,v)→(X,Y)を
X=2u+17v, Y=5u+17v
つまり、
u=-17X+7Y, v=5X-2Y
とすると、u,v:有理整数⇔X,Y:有理整数であり、(17)は
-X4+512X3Y-402X2Y2+116XY3-12Y4 = ±1
X4-512X3Y+402X2Y2-116XY3+12Y4 = ±1 ------- (17')
となる。(17')について、(X,Y)→(X,-Y)と変換すると、(11')に一致する。
(11')の有理整数解は±(1,0)であるので、(17')は有理整数解±(1,0)を持つ。
よって、(17)は有理整数解
±(17,-5)
を持つ。
kashで、直接(17)の有理整数解(u,v)を探してみる。
kash> th4 := Thue([1764,24988,132738,313384,277453]);
1764 X^4 + 24988 X^3 Y + 132738 X^2 Y^2 + 313384 X Y^3 + 277453 Y^4
kash> ThueSolve(th4,1);
[ ]
kash> ThueSolve(th4,-1);
[ [ -17, 5 ], [ 17, -5 ] ]
よって、(17)は有理整数解±(17,-5)を持つ。
■n=0,1,2,3の結果を整理すると、Diophantus方程式(1)の有理整数解(x,y)は、
(±21, ±145)
である。
[参考文献]
- [1]Nigel P. Smart, "The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations", LMSST 41, Cambridge University Press, 1998, ISBN0-521-64633-2.
- [2]加川 貴章, "Elliptic curves with everywhere good reduction over real quardratic fields", March, 1998.
- [3]加川 貴章, "実二次体上の楕円曲線の整数点の計算, および自明な導手を持つ楕円曲線の決定", March, 1998.
- [4]加川 貴章, "実二次体上至る所good reductionを持つ楕円曲線", 1999.
- [5]Malcolm Harper, "A Proof that Z[$\sqrt{14}$] is a Euclidean Domain", July, 2001.
| Last Update: 2005.08.21 |
| H.Nakao |
