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Integral Points on Curve: x^4+20x^3y+78x^2y^2+116xy^3+61y^4=\pm{1}

[2003.09.06]x^4+20x^3y+78x^2y^2+116xy^3+61y^4=±1の整点

■Thue方程式
     x4+20x3y+78x2y2+116xy3+61y4 = ±1 ----- (1)
つまり、
     x4+20x3y+78x2y2+116xy3+61y4 = 1 ----- (2)
または、
     x4+20x3y+78x2y2+116xy3+61y4 = -1 ----- (3)
の整数解(x,y)を求める。
(3)は、Z/3Zで解を持たないので、整数解を持たないことが直ちに分かる。
gp>  read("de3-2.gp")
time = 57 ms.
gp>  findmod(3,-1)
time = 2 ms.

■既にpari/gpで(2)の整数解を求めたが、以下では、参考文献[1]Chap.VIIに記述されている方法により、(1)の整数解を求める。
２項４次形式F(X,Y)を
     F(X,Y) = X4+20X3Y+78X2Y2+116XY3+61Y4
とする。
４次多項式F(X,1)=X4+20X3+78X2+116X+61は、Qで既約である。
F(X,1)の根を具体的に求めると、
     θ(1)≒-15.41023084701677874147978214,
     θ(2)≒-1.517972383258730432630003224,
     θ(3)≒-1.535898384862245412945107317 + 0.4987096409377726371048605178*sqrt(-1),
     θ(4)≒-1.535898384862245412945107317 - 0.4987096409377726371048605178*sqrt(-1)
の4個である。θ(1),θ(2)は実数、θ(3)=conj(θ(4))は虚数である。
gp>  polroots(x^4+20*x^3+78*x^2+116*x+61)
time = 385 ms.
%1 = [-15.41023084701677874147978214 + 0.E-28*I, -1.517972383258730432630003224 + 0.E-28*I, -1.535898384862245412945107317 + 0.4987096409377726371048605178*I, -1.535898384862245412945107317 - 0.4987096409377726371048605178*I]~
gp>  factor(x^4+20*x^3+78*x^2+116*x+61)
time = 27 ms.
%2 = 
[x^4 + 20*x^3 + 78*x^2 + 116*x + 61 1]

■F(X,1)の根の１つをθ、K=Q(θ)とする。
Kのfundamental unitsは、
     η1 = (1/4)θ3 + (9/2)θ2 + (41/4)θ + 13/2,
     η2 = θ3 + (37/2)θ2 + 50θ + 73/2
であり、Kの1の根は±1である。
また、Gal(K/Q) = D4[位数8の２面体群]である。
gp> nf=bnfinit(x^4+20*x^3+78*x^2+116*x+61)
time = 1,041 ms.
%1 = [[;], matrix(0,6), [0.8314429455293105378262425195 + 1.17549435 E-38*I, -1.316957896924816708625046347 - 3.141592653589793238462643383*I; -0.8314429455293105378262425195 - 5.52482344 E-37*I, -1.316957896924816708625046347 - 9.424777960769379715387930150*I; -1.88079096 E-37 + 3.891061519007273388330150002*I, 2.633915793849633417250092694 - 6.283185307179586476925286766*I], [-0.3796722499342086910405680023 + 0.E-38*I, -0.7488910472635524783074349734 + 0.E-37*I, 0.3497966969331724487518152909 + 3.141592653589793238462643383*I, 1.609780932330370363637979576 + 3.141592653589793238462643383*I, -3.292394742312041771562615868 + 3.141592653589793238462643383*I, 0.5613618105043447203097266161 + 3.141592653589793238462643383*I; 0.08255189826575805951880754609 + 3.141592653589793238462643383*I, 0.4517706955951018467856745172 + 9.424777960769379715387930149*I, 0.5613618105043447203097266161 + 0.E-38*I, -7.536091468492045552450688139 + 12.56637061435917295385057353*I, -3.292394742312041771562615868 + 9.40395480 E-38*I, 0.3497966969331724487518152909 + 0.E-38*I; 0.2971203516684506315217604561 + 10.83084413414789562880075952*I, 0.2971203516684506315217604561 + 4.127650268383590413644950772*I, -0.9111585074375171690615419070 + 6.644290338771342858732938217*I, 5.926310536161675188812708562 + 5.692875086591037443502608095*I, 6.584789484624083543125231736 + 3.141592653589793238462643383*I, -0.9111585074375171690615419070 + 12.20526558276741657204292208*I], [[2, [1, 0, 0, 1]~, 4, 1, [1, 1, 1, 1]~], [3, [-1, 1, 0, 0]~, 4, 1, [-1, -1, 0, 1]~], [11, [-2, 1, 0, 0]~, 1, 1, [-3, 0, 0, 4]~], [11, [3, 1, 0, 0]~, 1, 1, [-4, 4, 2, 4]~], [23, [-1, 1, 0, 0]~, 1, 1, [10, 6, -8, 4]~], [23, [6, 1, 0, 0]~, 1, 1, [0, -7, 10, 4]~]]~, [3, 4, 6, 1, 2, 5], [x^4 + 20*x^3 + 78*x^2 + 116*x + 61, [2, 1], -1728, 16, [[1, -15.41023084701677874147978214, 59.61880368958686649201285897, -918.7395276795092711957286981; 1, -1.517972383258730432630003224, 0.8260600390840474979537288355, -1.253936326243211589044582366; 1, -1.535898384862245412945107317 - 0.4987096409377726371048605178*I, 0.7775681356645430050167060972 + 0.3829836660157776690894348362*I, -1.003267997123758607613359750 - 0.9760047198041720736200031265*I], [1, 1, 2; -15.41023084701677874147978214, -1.517972383258730432630003224, -3.071796769724490825890214634 + 0.9974192818755452742097210356*I; 59.61880368958686649201285897, 0.8260600390840474979537288355, 1.555136271329086010033412194 - 0.7659673320315553381788696724*I; -918.7395276795092711957286981, -1.253936326243211589044582366, -2.006535994247517215226719500 + 1.952009439608344147240006253*I], [4, -20.00000000000000000000000000, 62.00000000000000000000000000, -922.0000000000000000000000000; -20.00000000000000000000000000, 244.9948452238571284375369951, -922.7639905862550412724773366, 14163.94697185346844018100253; 62.00000000000000000000000000, -922.7639905862550412724773366, 3556.586705953739538940391448, -54777.49517546255721480939443; -922.0000000000000000000000000, 14163.94697185346844018100253, -54777.49517546255721480939443, 844087.8103408523200817565158], [4, -20, 62, -922; -20, 244, -922, 14162; 62, -922, 3556, -54776; -922, 14162, -54776, 844084], [-12, -6, 0, -4; 0, -6, 0, -4; 0, 0, -12, -6; 0, 0, 0, -2], [-84960, -214272, -331344, -18000; -214272, -516960, -784656, -42480; -331344, -784656, -1182528, -63936; -18000, -42480, -63936, -3456], [864, [-144, 144, 0, 0]~]], [-15.41023084701677874147978214, -1.517972383258730432630003224, -1.535898384862245412945107317 - 0.4987096409377726371048605178*I], [1, x, 1/4*x^2 + 1/4, 1/4*x^3 + 1/4*x], [1, 0, -1, 0; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 4, 0; 0, 0, 0, 4], [1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 4, 0, 0, 1, -14, 0, 4, -14, 203; 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, -24, 0, 0, -6, 121, 0, -24, 121, -1958; 0, 0, 1, 0, 0, 4, 0, -77, 1, 0, -19, 361, 0, -77, 361, -5753; 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, -20, 0, 1, -5, 81, 1, -20, 81, -1259]], [[1, [], []], 2.189950705914511481040414854, 1.091651065648911351, [2, -1], [1/4*x^3 + 9/2*x^2 + 41/4*x + 13/2, x^3 + 37/2*x^2 + 50*x + 73/2], 116], [[;], [], []], 0]
gp> nf.clgp
time = 0 ms.
%2 = [1, [], []]
gp> nf.zk
time = 0 ms.
%3 = [1, x, 1/4*x^2 + 1/4, 1/4*x^3 + 1/4*x]
gp> nf.fu
time = 0 ms.
%4 = [1/4*x^3 + 9/2*x^2 + 41/4*x + 13/2, x^3 + 37/2*x^2 + 50*x + 73/2]
gp> polgalois(x^4+20*x^3+78*x^2+116*x+61)
time = 71 ms.
%5 = [8, -1, 1]
gp> nfrootsof1(nf)
time = 1 ms.
%6 = [2, [-1, 0, 0, 0]~]
また、F(X,Y)=±1の整数解X,Yに対して、
     β = X-θY
とすると、βは単数なので、未知の整数a1,a2に対して、
     β = ±η1a1η2a2
と表すことができる。
i=1,2,3,4に対して、
     β(i) = X-θ(i)Y = μ(i)ε(i),
     μ(i) = ±1,
     ε(i) = (η1(i))a1(η2(i))a2

とする。

■互いに異なる添字i,j,k∈{1,2,3,4}を、iは以下を満たすもの、j,kは任意とする。
     |β(i)| = min1 <=l <= n{|β(l)|}
とする。もちろん、iの値はa prioriに知ることはないので、可能なiの値の全てについて、それぞれ議論する。

I={i1,i2 : i1≠i2} ⊂ { 1,2,3 }に対して、2×2行列UIを
     UI = [ log|η1(i1)|,   log|η1(i2)| ;
             log|η1(i2)|,   log|η2(i2)| ]
とする。

■定数c1,c2,c3,c4を以下のように定義する。
     c1 = 2*minl≠m{ |θ(l)-θ(m)| } ≒ 0.9980634198241539220464281203 ,
     c2 = maxl1≠l2≠l3≠l1{ |θ(l2)-θ(l3)|/|θ(l3)-θ(l1)| } ≒ 27.83842827584180476867708010 ,
     c3 = c1c2 ≒ 27.78451692751609661769955783 ,
     c4 = 1/max { ||UI-1||∞ : det(UI) != 0 } ≒ 0.5096699513981109903571807754 .
ここで、||・||∞は行列のrow sum norm、つまり、n×n行列A=(ai,j)に対して、
     || A ||∞ = max1<=i<=n{ Σj=1n |ai,j| }
である。

gp> read("de3-2.gp")
time = 94 ms.
gp> c1=cc1(r)
time = 12 ms.
%7 = 0.9980634198241539220464281203
gp> c2=cc2(r)
time = 12 ms.
%8 = 27.83842827584180476867708010
gp> c3=cc3(c1,c2)
time = 0 ms.
%9 = 27.78451692751609661769955783
gp> c4=cc4([r1,r2,r3])
time = 32 ms.
%10 = 0.5096699513981109903571807754
このとき、
     |log|ε(t)|| = max1 <= l <= 3 |log|ε(l)||
となるt ∈ Iが存在するならば、
     |log|ε(t)|| >= c4A
が成立する。

■定数c5,c6,c7を以下を満たすように決める。
     c5 < c4/3
     c6 = max1 <= l <= 4|μ(l)|-1
     c7 = min1 <= l <= 4|μ(l)|-1
例えば、
     c5 = c4/(3+1e-25) ≒ 0.1698899837993703301190602528
とする。
gp> c5=cc5(c4)
time = 0 ms.
%11 = 0.1698899837993703301190602528
gp> c6=1
time = 0 ms.
%12 = 1
gp> c7=1
time = 0 ms.
%13 = 1
Case A: |β(i)| > e-c5A かつ |ε(t)| >= e-c4Aの場合
     A <= log(c6)/(c4-3*c5) = A1
ここで、c6=1より、A1=0を得る。

Case B: |β(i)| > e-c5A かつ |ε(t)| >= e-c4Aの場合
     A <= log(c7)/(c4-c5) = A2
ここで、c7=1より、A2=0を得る。

Case C: |β(i)| <= e-c5Aの場合
     A >= log(2*c3)/c5 = A3
ならば、
     |eΛ-1| = |α1τ1| <= 1/2
が成立する。
よって、
     |Λ| <= 2c3e-c5A
となる。
ここで、A3 ≒ 23.64839887086117550701420980である。

gp> A1=0
time = 0 ms.
%8 = 0
gp> A2=0
time = 0 ms.
%9 = 0
gp> A3=AA3(c3,c5)
time = 0 ms.
%10 = 23.64839887086117550701420980

■定数c9を以下を満たすように決める。
     c9 = max1 <= i <= n { 23/|(∂F/∂X)(θ(i),1)| } ≒ 0.007282849415670588455536760570
このとき、
     |β(i)| <= c9|Y|-3
となる。
gp> c9=cc9(r)
time = 1 ms.
%74 = 2.312388743692422221422445803

■定数Y1を以下を満たすように決める。
     Y1 = (c9/min2< l <=4|Imag(θ(l))|)1/3 if t >= 1
     Y1 = 1 if t=0
このとき、|Y|>= Y1ならば、添字iは、{1,2}に所属する。
gp> Y1=YY1(c9,[r3,r4])
time = 1 ms.
%75 = 1.667519908104670027914849685
よって、|Y|>=2 ならば、i=1または2である。

■i=1の場合
ある整数a0に対して、対数の線形形式
     Λ = log(-α2)+Σl=12al*log(ηl(2)/ηl(3))+a0*2π*sqrt(-1)
の全ての値を考察する。
     A = max{ |a1|, |a2| }
とする。
ここで、
     α2 = ±((θ(1)-θ(3))/(θ(2)-θ(1))) ≒ ±(-0.9987096409377726371048605178 - 0.0358983848622454129451073169*sqrt(-1))
である。α2(または、-α2)の最小多項式は、16x8 + 64x7 + 3200x6 + 9376x5 + 10120x4 + 4688x3 + 800x2 + 8x + 1である。
gp> read("de3-2.gp")
time = 415 ms.
gp> h(x)=-(4*x^3+74*x^2+201*x+164)
time = 0 ms.
gp> w(x)=2*x^3+37*x^2+100*x+72+sqrt(-14*x^3-259*x^2-700*x-515)
time = 0 ms.
gp> w(r2)
time = 3 ms.
%1 = -1.535898384862245412945107316 + 0.4987096409377726371048605043*I
gp> w(r1)
time = 2 ms.
%2 = -1.535898384862245412945107378 + 0.4987096409377726371048609449*I
gp> w(r3)
time = 3 ms.
%3 = -1.517972383258730432630003226 + 3.42617328 E-28*I
gp> r1
time = 0 ms.
%4 = -15.41023084701677874147978214 + 0.E-28*I
gp> w(r4)
time = 7 ms.
%5 = -1.517972383258730432630003226 - 3.42617328 E-28*I
gp> t1=(r1-r3)/(r2-r1)
time = 0 ms.
%6 = -0.9987096409377726371048605178 - 0.03589838486224541294510731699*I
gp> t2=(r3-r2)/(r4-r3)
time = 0 ms.
%7 = -0.5000000000000000000000000000 - 0.01797238325873043263000322495*I
gp> t3=(r2-r4)/(r1-r2)
time = 0 ms.
%8 = -0.001290359062227362895139482184 - 0.03589838486224541294510731698*I
gp> t4=(r4-r1)/(r3-r4)
time = 0 ms.
%9 = -0.5000000000000000000000000000 - 13.91023084701677874147978214*I
gp> t1*t2*t3*t4
time = 0 ms.
%10 = -0.2499999999999999999999999999 + 3.15544362 E-30*I
gp> t1+t2+t3+t4
time = 0 ms.
%11 = -2.000000000000000000000000000 - 14.00000000000000000000000000*I
gp> t1*(t2+t3+t4)+t2*(t3+t4)+t3*t4
time = 1 ms.
%12 = 3.78653234 E-29 + 20.99999999999999999999999999*I
gp> t1*t2*(t3+t4)+(t1+t2)*t3*t4
time = 0 ms.
%13 = 0.9999999999999999999999999997 - 6.999999999999999999999999999*I
gp> ss(x)=x^4-(-2-14*I)*x^3+21*I*x^2-(1-7*I)*x-1/4
time = 0 ms.
gp> ss(x)*conj(ss(x))
time = 10 ms.
%14 = x^8 + 4*x^7 + 200*x^6 + 586*x^5 + 1265/2*x^4 + 293*x^3 + 50*x^2 + 1/2*x + 1/16
gp> factor(%14)
time = 112 ms.
%15 = 
[16*x^8 + 64*x^7 + 3200*x^6 + 9376*x^5 + 10120*x^4 + 4688*x^3 + 800*x^2 + 8*x + 1 1]

さらに、
     (η1(2)/η1(3)) = ((1/4)θ(2)3 + (9/2)θ(2)2 + (41/4)θ(2) + 13/2)/((1/4)θ(3)3 + (9/2)θ(3)2 + (41/4)θ(3) + 13/2)
     (η2(2)/η2(3)) = (θ(2)3 + (37/2)θ(2)2 + 50θ(2) + 73/2)/(θ(3)3 + (37/2)θ(3)2 + 50θ(3) + 73/2)
の最小多項式は、それぞれ、
     x4 + 2x3 + 6x2 + 2x +1,
     x2 - 14x + 1
である。
gp> default(realprecision,100)
   realprecision = 105 significant digits (100 digits displayed)
time = 0 ms.
gp> read("de3-2.gp")
time = 59 ms.
gp> u1=et1(r2,r3)
time = 1 ms.
%46 = -0.1593749806833933598056057559621691110227898974508746968802973673854826226512047656369011050708600246 + 0.4052044746342675923718898202681287932570117013215873641857756539675142828903441783741036226496389055*I
gp> u2=et1(r4,r2)
time = 1 ms.
%47 = -0.8406250193166066401943942440378308889772101025491253031197026326145173773487952343630988949291399753 + 2.137255282203144885899336161774001160199816955131967992241582633419447299799144215455249809406887481*I
gp> u3=et1(r1,r4)
time = 1 ms.
%48 = -0.8406250193166066401943942440378308889772101025491253031197026326145173773487952343630988949291399753 - 2.137255282203144885899336161774001160199816955131967992241582633419447299799144215455249809406887481*I
gp> u4=et1(r3,r1)
time = 1 ms.
%49 = -0.1593749806833933598056057559621691110227898974508746968802973673854826226512047656369011050708600246 - 0.4052044746342675923718898202681287932570117013215873641857756539675142828903441783741036226496389055*I
gp> uu4([u1,u2,u3,u4])
time = 1 ms.
%50 = x^4 + (2.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 + 1.40069846 E-103*I)*x^3 + (6.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 + 1.74406035 E-105*I)*x^2 + (2.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 - 1.39088812 E-103*I)*x + (1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 + 4.36015087 E-106*I)
gp> w1=et2(r2,r3)
time = 0 ms.
%51 = 0.07179676972449082589021463397651053222877898475847748777677208219226793236479985167541525297100569729 + 0.E-106*I
gp> w2=et2(r4,r2)
time = 0 ms.
%52 = 13.92820323027550917410978536602348946777122101524152251222322791780773206763520014832458474702899430 + 0.E-104*I
gp> w3=et2(r1,r4)
time = 1 ms.
%53 = 0.07179676972449082589021463397651053222877898475847748777677208219226793236479985167541525297100569729 + 0.E-107*I
gp> w4=et2(r3,r1)
time = 0 ms.
%54 = 13.92820323027550917410978536602348946777122101524152251222322791780773206763520014832458474702899430 + 0.E-105*I
gp> (x-w1)*(x-w2)
time = 0 ms.
%55 = x^2 + (-14.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 + 0.E-104*I)*x + (1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 + 0.E-106*I)

よって、それぞれのhightを計算すると、
     h(α2) ≒ 1.004891139705838937100844892,
     h(η1(2)/η1(3)) ≒ 0.4157214727646552689131212597,
     h(η2(2)/η2(3)) ≒ 1.316957896924816708625046347
となる。
gp> read("de3-2.gp")
time = 369 ms.
gp> h(16*x^8+64*x^7+3200*x^6+9376*x^5+10120*x^4+4688*x^3+800*x^2+8*x+1)
time = 113 ms.
%1 = 1.004891139705838937100844892
gp> h(x^4+2*x^3+6*x^2+2*x+1)
time = 33 ms.
%2 = 0.4157214727646552689131212597
gp> h(x^2-14*x+1)
time = 11 ms.
%3 = 1.316957896924816708625046347

これらに対するmodified height hm(α)=max{h(α), |log α|/d, 1/d}を計算すると、
     hm(α2) ≒ 1.004891139705838937100844892,
     hm(η1(2)/η1(3)) ≒ 0.4157214727646552689131212597,
     hm(η2(2)/η2(3)) ≒ 1.316957896924816708625046347
となる。
gp> hm(16*x^8+64*x^7+3200*x^6+9376*x^5+10120*x^4+4688*x^3+800*x^2+8*x+1,alpha2,8)
time = 56 ms.
%4 = 1.004891139705838937100844892
gp> hm(x^4+2*x^3+6*x^2+2*x+1,et1(r2,r3),8)
time = 14 ms.
%5 = 0.4157214727646552689131212597
gp> hm(x^2-14*x+1,et2(r2,r3),8)
time = 5 ms.
%6 = 1.316957896924816708625046347
■定数c8,A4を以下のように定義する。
     c8 = 18*5!*45*(32*16)6*log(2*4*16) ≒ 193328986715464153576004.0961
     A4 = (2/c5)*(log(2c3)+c8*log(3/2)+c8*log(c8/c5)) ≒ 4309338042648278199094117.649
このとき、A >= 3ならば、
     log|Λ| >= -c8log(3A/2)
が成立する。
よって、A >= A3ならば、
     A <= A4 ≒ 54600305865382095768537191.11
が成立する。

gp> c8=cc8(4,14)
time = 0 ms.
%21 = 84377304479000021851459.20849
gp> A4=AA4(c3,c5,c8)
time = 1 ms.
%22 = 54600305865382095768537191.11
gp> log(A4)/log(10)
time = 0 ms.
%23 = 25.73719507558524241203702496
■LLL-algorithmにより、Aの上限(54600305865382095768537191.11)を下げる。
C=10^90とする。以下の行列
    [1, 0, 0;
    -831442945529310537826242519539703029766373643962529273273166695084865889723376691219927015, -2633915793849633417250092694615936888053963942935032959536944513840920370832887952148438026, 0;
    1945530759503636694165075001092234036804174140211284108300654086511876264948337334204522528, 0, 6283185307179586476925286766559005768394338798750211641949889184615632812572417997256069650 ]
に対して、LLL-reduced matrixを求めると、
    [1891130822781285538767112279477999189005867155637076219802579, 2229628290301653928424099750959184350520319074922052275338158, -308267100363590856896915527470502539662896194539610555971577;
    -596969495131971130559809462147088502800007988486352639282236, -703822315600465694527778641364168311829367542608612174194513, 97310060759943853704190275351288409507789305416118239348251;
    -585571331433158880197263358715028126484524912273268629942156, -690383970704270063101968822985388825747849703693769281577188, 95452083072427329862441014544549725450186629187543330434475 ]
となる。
y=[0,[C/2],-[C/2]]tに対して、
    l(L,y) >= 3.003637371*1060
を得る。
これより、Aの新しい上限を求めると、
   A < 423.7763361297701875095436305
となる。
gp> default(realprecision,200)
   realprecision = 202 significant digits (200 digits displayed)
time = 1 ms.
gp> read("de3-2.gp")
time = 68 ms.
gp> aa=aaa(10^90,r2,r3)
time = 36 ms.
%24 = 
[1 0 0]

[-831442945529310537826242519539703029766373643962529273273166695084865889723376691219927015 -2633915793849633417250092694615936888053963942935032959536944513840920370832887952148438026 0]

[1945530759503636694165075001092234036804174140211284108300654086511876264948337334204522528 0 6283185307179586476925286766559005768394338798750211641949889184615632812572417997256069650]

gp> bb=qflll(aa,1)
time = 75 ms.
%25 = 
[1891130822781285538767112279477999189005867155637076219802579 2229628290301653928424099750959184350520319074922052275338158 -308267100363590856896915527470502539662896194539610555971577]

[-596969495131971130559809462147088502800007988486352639282236 -703822315600465694527778641364168311829367542608612174194513 97310060759943853704190275351288409507789305416118239348251]

[-585571331433158880197263358715028126484524912273268629942156 -690383970704270063101968822985388825747849703693769281577188 95452083072427329862441014544549725450186629187543330434475]

gp> lb1=lb(bb,10^90)
time = 42 ms.
%26 = 3003637370982411037784010418217582167067348675169359264967962.8821748926394835272173397951179590265027007957539406235570444067682889526275273963833269388096408825493603330019826982239515526500706626530
gp> log(lb1)/log(10)
time = 6 ms.
%27 = 60.477647499141824176010334847180420572765428716551929734298958661209378017920139114426217711240448899694640723157177626447794784570636602175256660049494391771915690675331932096461426601709237540608184
gp> A42=HH(10^90,A4,2*c3,c5,lb1,1)
time = 3 ms.
%28 = 423.7763361297701875095436305

■再度、LLL-algorithmにより、Aの上限(423.7763361297701875095436305)を下げる。
C=10^9とする。行列
    [1, 0, 0;
    -831442945, -2633915793, 0;
    1945530759, 0, 6283185307]
に対して、LLL-reduced matrixを求めると、
    [607914, 2014379, -2468489;
    -191899, -635875, 779223;
    -188235, -623734, 764345]
となる。
y=[0,[C/2],-[C/2]]tに対して、
    l(L,y) >= 2713664.90471119
を得る。
これより、Aの新しい上限を求めると、
   A < 58.43436248953490788302064515
となる。
gp> aa2=aaa(10^9,r2,r3)
time = 17 ms.
%31 = 
[1 0 0]

[-831442945 -2633915793 0]

[1945530759 0 6283185307]

gp> bb2=qflll(aa2,1)
time = 2 ms.
%32 = 
[607914 2014379 -2468489]

[-191899 -635875 779223]

[-188235 -623734 764345]

gp> lb2=lb(bb2,10^9)
time = 12 ms.
%33 = 2713664.9047111931722364630347560680031277769185462417703238227616594507436647504410468855479962720727613257467449400215478887820408135836870204180542755275627457058602663446192216326638238517563478093
gp> A43=HH(10^9,A42,2*c3,c5,lb2,1)
time = 1 ms.
%34 = 58.43436248953490788302064515
■さらにもう一度、LLL-algorithmにより、Aの上限(58.43436248953490788302064515)を下げる。
C=10^6とする。行列
    [1, 0, 0;
    -831442, -2633915, 0;
    1945530, 0, 6283185]
に対して、LLL-reduced matrixを求めると、
    [-830, 7302, -38493;
    262, -2305, 12151;
    257, -2261, 11919]
となる。
y=[0,[C/2],-[C/2]]tに対して、
    l(L,y) >= 23828.5980686
を得る。
これより、Aの新しい上限を求めると、
   A < 45.67510836781872606754598314
となる。
gp> aa3=aaa(10^6,r2,r3)
time = 21 ms.
%35 =
[1 0 0]

[-831442 -2633915 0]

[1945530 0 6283185]

gp> bb3=qflll(aa3,1)
time = 1 ms.
%36 =
[-830 7302 -38493]

[262 -2305 12151]

[257 -2261 11919]

gp> lb3=lb(bb3,10^6)
time = 8 ms.
%37 = 23828.598068600944083919015380856473733724604113254553691759132005371062254720793626337734271837455952666983289198365838995717804834867084948605124903248172688588563302127682418809140512875596092012556
gp> A44=HH(10^6,A43,2*c3,c5,lb3,1)
time = 1 ms.
%38 = 45.67510836781872606754598314
■最後にもう一度、LLL-algorithmにより、Aの上限(45.67510836781872606754598314)を下げる。
C=10^5とする。行列
    [1, 0, 0;
    -831442, -2633915, 0;
    1945530, 0, 6283185]
に対して、LLL-reduced matrixを求めると、
    [-830, 7302, -38493;
    262, -2305, 12151;
    257, -2261, 11919]
となる。
y=[0,[C/2],-[C/2]]tに対して、
    l(L,y) >= 7600.49496564209
を得る。
これより、Aの新しい上限を求めると、
   A < 38.89296654919709641289588209
となる。
gp> aa4=aaa(10^5,r2,r3)
time = 15 ms.
%40 =
[1 0 0]

[-83144 -263391 0]

[194553 0 628318]

gp> bb4=qflll(aa4,1)
time = 1 ms.
%41 =
[-830 5642 -323]

[262 -1781 102]

[257 -1747 100]

gp> lb4=lb(bb4,10^5)
time = 5 ms.
%42 = 7600.4949656420909125571100425153671288055072122270336674873825027301718297939023184378804473009511311812660274032045703999538089012635895757168706764170418092780406222194491070036246678318970494208933
gp> A45=HH(10^5,A44,2*c3,c5,lb4,1)
time = 1 ms.
%43 = 38.89296654919709641289588209

■i=2の場合。j=3,k=1を選択する。
ある整数a0に対して、対数の線形形式
     Λ = log(-α2)+Σl=12al*log(ηl(1)/ηl(3))+a0*2π*sqrt(-1)
の全ての値を考察する。

ここで、
     α2 = ±((θ(2)-θ(3))/(θ(1)-θ(2))) ≒ ±(-0.001290359062227362895139482184 + 0.03589838486224541294510731698*sqrt(-1))
である。α2(または、-α2)の最小多項式は、16x8 + 64x7 + 3200x6 + 9376x5 + 10120x4 + 4688x3 + 800x2 + 8x + 1である。
gp> read("de3-2.gp")
time = 49 ms.
gp> alpha2=(r2-r3)/(r1-r2)
time = 0 ms.
%68 = -0.001290359062227362895139482184 + 0.03589838486224541294510731698*I

さらに、
     (η1(1)/η1(3)) = ((1/4)θ(1)3 + (9/2)θ(1)2 + (41/4)θ(1) + 13/2)/((1/4)θ(3)3 + (9/2)θ(3)2 + (41/4)θ(3) + 13/2)
     (η2(1)/η2(3)) = (θ(1)3 + (37/2)θ(1)2 + 50θ(1) + 73/2)/(θ(3)3 + (37/2)θ(3)2 + 50θ(3) + 73/2)
の最小多項式は、それぞれ、
     x4 + 2x3 + 6x2 + 2x +1,
     x2 - 14x + 1
である。modified heightは、それぞれ、
     hm(α2) ≒ 1.004891139705838937100844892,
     hm(η1(1)/η1(3)) ≒ 0.4157214727646552689131212597,
     hm(η2(1)/η2(3)) ≒ 1.741025403784438646763722972
となる。

i=1の場合と同様にして、
     A <= 42.32999134472193676441235659
を得る。

■最後に、整数a1,a2 ∈ [-42,42]に対して、X-θY=±(η1)a1(η2)a2が成立するかどうか、調べる。
これを満たす±(X-θY)は、
i j X Y
0 0 1 0
4 0 -3 2
に限る。
よって、(1)の整数解(X,Y)は、±(1,0),±(-3,2)に限る。

gp> read("de3-2.gp")
time = 58 ms.
gp> check(42)
[0, 0]:Mod(1, x^4 + 20*x^3 + 78*x^2 + 116*x + 61)
[4, 0]:Mod(-2*x - 3, x^4 + 20*x^3 + 78*x^2 + 116*x + 61)
time = 2,280 ms.

[参考文献]

Last Update: 2005.06.12
H.Nakao

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