Integral Points on Elliptic Curve:y^2=2x^4-1

[2002.12.07]y^2=2x^4-1の整点

y^2=2x^4-1のグラフ(JPEG)

■楕円曲線 y² = 2x⁴-1の有理点を既に求めたが、この楕円曲線の整点が(±1,±1),(±13,±239)に限ることを証明する。

x,yを以下を満たす有理整数とする。
    y² = 2x⁴-1 ------ (1)
(1)より、yは奇数である。(1)を変形すると、
    y²+1 = 2x⁴
両辺をGauss整数環Z[i]で因数分解すると、
    (y + i)(y - i) = (1+i)(1-i)x⁴
    (y + i)(y - i) = -i(1+i)²x⁴ ----- (2)
となる。
２次体Q(i)の類数は１であり、その整数環Z[i]の元は、一意に素因数分解できる。
また、1+iはZ[i]の素数である。
    gcd(y+i,y-i)=gcd(y+i,2i)=gcd(y+i,2) | 2=-i(1+i)²
より、
    gcd(y+i,y-i)=1,(1+i),(1+i)²
であるので、(2)より、n=0,1,2と,ある有理整数u,vと,(Z[i]の)ある単数εに対して、
    y + i = ε(1+i)ⁿ(u+vi)⁴ ----- (3)
となる。

■n=0の場合
(3)より、
    y + i = ε(u+vi)⁴
    y + i = ε{(u⁴-6u²v²+v⁴)+4uv(u²+v²)}
Z[i]の単数εは、±1,±iであるので、両辺の実部と虚部を比較して、
    y = ±(u⁴-6u²v²+v⁴),
    1 = ±4uv(u²+v²)
または、
    1 = ±(u⁴-6u²v²+v⁴),
    y = ±4uv(u²+v²)
となるが、有理整数yと1は奇数なので、どちらの場合も、これらを満たす有理整数(u,v)は存在しない。
よって、(3)は有理整数解(u,v)を持たない。

■n=2の場合
(3)より、
    y + i = ε(1+i)²(u+vi)⁴
    y + i = -2iε(u+vi)⁴
右辺は、2で割り切れる。y,1は奇数なので、左辺は2で割り切れない。
よって、(3)は有理整数解(u,v)を持たない。

■n=1の場合
(3)より、
    y + i = ε(1+i)(u+vi)⁴
    y + i = ε{(u⁴-4vu³-6v²u²+4v³u+v⁴)+(u⁴+4vu³-6v²u²-4v³u+v⁴)i}
単数εは、±1,±iであるので、両辺の実部と虚部を比較して、
    y = ±(u⁴-4vu³-6v²u²+4v³u+v⁴) ------ (4)
    1 = ±(u⁴+4vu³-6v²u²-4v³u+v⁴) ------ (5)
または、
    1 = ±(u⁴-4vu³-6v²u²+4v³u+v⁴) ------ (6)
    y = ±(u⁴+4vu³-6v²u²-4v³u+v⁴) ------ (7)
となる。

■pari/GP 2.1.4で、Thue方程式(5)を解く。

gp> th=thueinit(x^4+4*x^3-6*x^2-4*x+1,1)
time = 436 ms.
%38 = [x^4 + 4*x^3 - 6*x^2 - 4*x + 1, [[;], matrix(0,5), [-0.8813735870195430252326093250 - 21.99114857512855266923850368*I, 0.1651588049960203825342292270 + 9.424777960769379715387930149*I, 0.5683585241575318783377602630 - 37.69911184307751886155172060*I; 0.8813735870195430252326093249 - 6.283185307179586476925286766*I, -0.5683585241575318783377602630 + 6.283185307179586476925286766*I, 1.046532392015563407766838552 - 12.56637061435917295385057353*I; -0.8813735870195430252326093250 - 21.99114857512855266923850368*I, -1.046532392015563407766838552 + 6.283185307179586476925286766*I, -1.449732111177074903570369588 - 37.69911184307751886155172060*I; 0.8813735870195430252326093249 - 18.84955592153875943077586030*I, 1.449732111177074903570369588 + 6.283185307179586476925286766*I, -0.1651588049960203825342292270 - 34.55751918948772562308907721*I], [0.1079339405437334104336149128 + 3.141592653589793238462643383*I, -0.2082272636212773095039077306 + 0.E-96*I, 0.4484459109105382933240194587 + 3.141592653589793238462643383*I, -7.451306435229654917198850793 + 9.424777960769379715387930149*I, -6.790413705395345920498512509 + 9.424777960769379715387930149*I; 0.4484459109105382933240194587 + 0.E-96*I, 0.1079339405437334104336149128 + 3.141592653589793238462643383*I, -0.3481525878329943942537266409 + 3.141592653589793238462643383*I, 1.798142208860296764387517605 + 6.283185307179586476925286766*I, 2.195760543744811350034143764 + 6.283185307179586476925286766*I; -0.3481525878329943942537266409 + 0.E-96*I, 0.4484459109105382933240194587 + 0.E-96*I, -0.2082272636212773095039077306 + 3.141592653589793238462643383*I, 3.044438500131939791035804168 + 1.49813643 E-95*I, 2.143327123008369810515354156 + 7.49068216 E-96*I; -0.2082272636212773095039077306 + 0.E-96*I, -0.3481525878329943942537266409 + 0.E-96*I, 0.1079339405437334104336149128 + 0.E-96*I, 2.608725726237418361775529019 + 3.141592653589793238462643383*I, 2.451326038642164759949014588 + 3.141592653589793238462643383*I], [[2, [1, 1, 1, 1]~, 4, 1, [2, 2, 1, 0]~], [17, [-8, 1, 0, 0]~, 1, 1, [7, 4, 5, 4]~], [17, [-6, 1, 0, 0]~, 1, 1, [4, 2, 1, 4]~], [17, [-2, 1, 0, 0]~, 1, 1, [2, 5, -7, 4]~], [17, [3, 1, 0, 0]~, 1, 1, [5, 7, 0, 4]~]]~, [3, 4, 2, 1, 5], [x^4 + 4*x^3 - 6*x^2 - 4*x + 1, [4, 0], 2048, 8, [[1, -5.027339492125848104514975071, 13.13707118454409017782939655, -26.45372279619145494791740179; 1, -0.6681786379192989199977576865, 0.7232313460858447842822290262, 0.1199918051788319679808642930; 1, 0.1989123673796580069115976226, 0.5197830649482900173773583439, 0.3115871724605044599005145558; 1, 1.496605762665489017601135134, 1.619914404421775020511016076, 2.022143818552118520036022949], [1, 1, 1, 1; -5.027339492125848104514975071, -0.6681786379192989199977576865, 0.1989123673796580069115976226, 1.496605762665489017601135134; 13.13707118454409017782939655, 0.7232313460858447842822290262, 0.5197830649482900173773583439, 1.619914404421775020511016076; -26.45372279619145494791740179, 0.1199918051788319679808642930, 0.3115871724605044599005145558, 2.022143818552118520036022949], [4, -4.000000000000000000000000000, 16.00000000000000000000000000, -24.00000000000000000000000000; -4.000000000000000000000000000, 28.00000000000000000000000000, -64.00000000000000000000000000, 136.0000000000000000000000000; 16.00000000000000000000000000, -64.00000000000000000000000000, 176.0000000000000000000000000, -344.0000000000000000000000000; -24.00000000000000000000000000, 136.0000000000000000000000000, -344.0000000000000000000000000, 704.0000000000000000000000000], [4, -4, 16, -24; -4, 28, -64, 136; 16, -64, 176, -344; -24, 136, -344, 704], [8, 0, 0, 0; 0, 8, 0, 0; 0, 0, 4, 0; 0, 0, 0, 8], [5376, 3840, -4096, -2560; 3840, 4864, -3584, -2560; -4096, -3584, 3584, 2304; -2560, -2560, 2304, 1536], [512, [0, 0, 0, 256]~]], [-5.027339492125848104514975071, -0.6681786379192989199977576865, 0.1989123673796580069115976226, 1.496605762665489017601135134], [1, x, 1/2*x^2 + 1/2, 1/4*x^3 + 1/4*x^2 + 1/4*x + 1/4], [1, 0, -1, 0; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 2, -2; 0, 0, 0, 4], [1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -2, 0, 0, -2, 2, 0, -2, 2, -7; 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 2, -4, 0, 2, -4, 9; 0, 0, 1, 0, 0, 2, -1, 5, 1, -1, 6, -8, 0, 5, -8, 21; 0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, -3, 0, 2, -4, 10, 1, -3, 10, -18]], [[1, [], []], 2.441795006619915765722142114, 0.9902192046154492365, [2, -1], [1/2*x^3 + 2*x^2 - 5/2*x, 1/4*x^3 + 5/4*x^2 + 1/4*x + 1/4, 1/4*x^3 + 3/4*x^2 - 11/4*x + 3/4], 312], [[;], [], []], [0, []]], [-5.027339492125848104514975071 + 0.E-86*I, -0.6681786379192989199977576865 + 0.E-86*I, 0.1989123673796580069115976226 + 0.E-86*I, 1.496605762665489017601135134 + 0.E-86*I]~, [0.8813735870195430252326093249, 0.8074454580865476430522994075, 0.8074454580865476430522994075]~, [-0.4142135623730950488016887242 + 0.E-85*I, -1.179580427103274592258608692 + 0.E-86*I, 1.765366864730179543456919968 + 0.E-85*I; 2.414213562373095048801688724 + 0.E-86*I, 0.5664544973505215365453223454 + 0.E-86*I, 2.847759065022573512256366378 + 0.E-86*I; -0.4142135623730950488016887242 + 0.E-86*I, 0.3511533023570844946552312438 + 0.E-86*I, 0.2346331352698204565430800319 + 0.E-86*I; 2.414213562373095048801688724 + 0.E-86*I, 4.261972627395668561058055103 + 0.E-86*I, -0.8477590650225735122563663788 + 0.E-86*I], [-0.7859782027021484631286110394, 0.1455362066836963514851370977, -0.2030782477206661694434972680; -0.1455362066836963514851370977, -0.7284361616651786451702508690, -0.5828999549814822936851137713; 0.5828999549814822936851137713, 0.4373637482977859421999766736, -0.1455362066836963514851370977], [1.360388263760774614691639527, 0.8670910052122478263794596164, 0.5045226588336516954770324627, 1, 1.524198973483976852 E-85, 11]]
gp> thue(th,1)
time = 29 ms.
%39 = [[-2, 3], [2, -3], [3, 2], [-3, -2], [0, -1], [1, 0], [-1, 0], [0, 1]]
gp> thue(th,-1)
time = 32 ms.
%40 = []

よって、(7)の有理整数解(u,v)は、以下の通りである。
(u, v) = ±(-2, 3), ±(3, 2), (0, ±1), (±1, 0)

(4)より、pari/GPで、yを求めると、

gp> f(u,v)=u^4-4*v*u^3-6*v^2*u^2+4*v^3*u+v^4
time = 0 ms.
gp> f(-2,3)
time = 0 ms.
%41 = -239
gp> f(3,2)
time = 0 ms.
%42 = -239
gp> f(0,1)
time = 0 ms.
%43 = 1
gp> f(1,0)
time = 0 ms.
%44 = 1

    y = ±239, ±1
となる。
(1)より、xを求めると、
    x = ±13, ±1
となる。

■方程式(6),(7)について、(u,v)→(u,-v)と変換すると、それぞれ(5),(4)に一致する。
よって、(6)の有理整数解(u,v)は、以下の通りである。
    (u, v) = ±(2, 3), ±(3, -2), (0, ±1), (±1, 0)
(7)より、yを求めると、
    y = ±239, ±1
となる。
(1)より、xを求めると、
    x = ±13, ±1
となる。

■よって、(1)の有理整数解(x,y)は、
    (±1, ±1), (±13, ±239)
である。

[参考文献]

[1]Nigel P. Smart, "The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations", LMSST 41, Cambridge University Press, 1998, ISBN0-521-64633-2.

Last Update: 2005.08.21

H.Nakao