Heegner Points on Modular Curve X_0(32)
[2003.06.21]modular曲線X_0(32)のHeegner点
■modular曲線X0(N)
自然数Nについて、
Γ0(N) = {((a b);(c d)) ∈ SL2(Z) | c ≡ 0 (mod N)},
H={z ∈ C | Im(z) > 0},
H* = H∪P1(Q),
X0(N) = Γ0(N)\H,
WNは、行列((0 -1);(N 0))によって導かれるAtkin-Lehner involusion
WN(z) = -1/(Nz)
とする。
z ∈ H*は、X0(N)での類も表すことにする。
level Nのmodular曲線X0(N)は、整数係数の多項式ΦN(u,v)によって、
ΦN(u,v)=0
のように表現される。
X0(N)は、modular関数j,jNによって、
(u,v) = (j(z),jN(z))
のように、parameter表示される。ただし、
jN(z) = j(Nz)
である。
■X0(N)のHeegner点
ωを虚２次数、ωの判別式をΔ(ω) = -D < 0,K=Q(ω)を虚２次体とする。
この時、K{-D}=Q(ω,j(ω))は、ωの選び方に無関係に、Dのみに依存する。
[Birch]自然数Dに対して、S2-4NT2 = -Dが整数解(S,T) ∈ Z2を持つとする。
この時、X0(N)は、K{-D}-有理点 (u,v)=(j(ω),jN(ω))を持ち、さらに、conjugate(j(ω))=jN(ω)を満たす。
自然数Nに対して、虚２次数ω,Δ(ω) = -D < 0で、S2-4NT2=-Dが(S,T) ∈ Z2で可解であるようなものを、X0(N)のHeenger点と呼ぶ。
■[Hurwitz-Zeuthen formula]X0(N)のgenusは、dimCS2(Γ0(N))に一致する。参考文献[2]3.1,[3]Theorem 8.
ここで、
dimCS2(Γ0(N)) = 1+μ/12-ν2/4-ν3/3-ν∞/2
μ = NΠp|N(1+1/p),
ν2 = Πp|N(1+(-4/p)) if not(4|N),
= 0 if 4|N,
ν3 = Πp|N(1+(-3/p)) if not(2|N or 9|N),
= 0 if 2|N or 9|N,
ν∞ = Σd|Nφ(gcd(d,N/d))
(・/p)はLegendre's symbol, φ(・)はEuler \varphi関数である。
である。
N=1,...,100について、genus(X0(N))をpari/gpで計算すると、以下のようになる。
gp> read("x0_32.gp")
time = 90 ms.
gp> for(i=1,100,print("genus(X_0(",i,"))=",dims2(i)))
genus(X_0(1))=0
genus(X_0(2))=0
genus(X_0(3))=0
genus(X_0(4))=0
genus(X_0(5))=0
genus(X_0(6))=0
genus(X_0(7))=0
genus(X_0(8))=0
genus(X_0(9))=0
genus(X_0(10))=0
genus(X_0(11))=1
genus(X_0(12))=0
genus(X_0(13))=0
genus(X_0(14))=1
genus(X_0(15))=1
genus(X_0(16))=0
genus(X_0(17))=1
genus(X_0(18))=0
genus(X_0(19))=1
genus(X_0(20))=1
genus(X_0(21))=1
genus(X_0(22))=2
genus(X_0(23))=2
genus(X_0(24))=1
genus(X_0(25))=0
genus(X_0(26))=2
genus(X_0(27))=1
genus(X_0(28))=2
genus(X_0(29))=2
genus(X_0(30))=3
genus(X_0(31))=2
genus(X_0(32))=1
genus(X_0(33))=3
genus(X_0(34))=3
genus(X_0(35))=3
genus(X_0(36))=1
genus(X_0(37))=2
genus(X_0(38))=4
genus(X_0(39))=3
genus(X_0(40))=3
genus(X_0(41))=3
genus(X_0(42))=5
genus(X_0(43))=3
genus(X_0(44))=4
genus(X_0(45))=3
genus(X_0(46))=5
genus(X_0(47))=4
genus(X_0(48))=3
genus(X_0(49))=1
genus(X_0(50))=2
genus(X_0(51))=5
genus(X_0(52))=5
genus(X_0(53))=4
genus(X_0(54))=4
genus(X_0(55))=5
genus(X_0(56))=5
genus(X_0(57))=5
genus(X_0(58))=6
genus(X_0(59))=5
genus(X_0(60))=7
genus(X_0(61))=4
genus(X_0(62))=7
genus(X_0(63))=5
genus(X_0(64))=3
genus(X_0(65))=5
genus(X_0(66))=9
genus(X_0(67))=5
genus(X_0(68))=7
genus(X_0(69))=7
genus(X_0(70))=9
genus(X_0(71))=6
genus(X_0(72))=5
genus(X_0(73))=5
genus(X_0(74))=8
genus(X_0(75))=5
genus(X_0(76))=8
genus(X_0(77))=7
genus(X_0(78))=11
genus(X_0(79))=6
genus(X_0(80))=7
genus(X_0(81))=4
genus(X_0(82))=9
genus(X_0(83))=7
genus(X_0(84))=11
genus(X_0(85))=7
genus(X_0(86))=10
genus(X_0(87))=9
genus(X_0(88))=9
genus(X_0(89))=7
genus(X_0(90))=11
genus(X_0(91))=7
genus(X_0(92))=10
genus(X_0(93))=9
genus(X_0(94))=11
genus(X_0(95))=9
genus(X_0(96))=9
genus(X_0(97))=7
genus(X_0(98))=7
genus(X_0(99))=9
genus(X_0(100))=7
time = 49 ms.
特に、N=11,14,15,17,19,20,21,24,27,32,36,49の時に限り、X0(N)のgenusは１となる。