Homeに戻る  一覧に戻る 

case n=7 of Fermat's Last Theorem

[2002.01.13]Fermatの最終定理のn=7の場合

楕円曲線論の応用として、Fermatの最終定理のn=7の場合を、Q上で定義された楕円曲線上の有理点を求める問題に帰着させるFranz Lemmermeyerによる簡潔な(短い)証明[1]を紹介する。

n=7に対するFermat等式の有理数解を(x,y,z)とする。
つまり、x,y,z ∈ Qについて、
    x7+y7+z7 = 0 ----- (1)
とする。
ここで、x,y,zの基本対称式を
    p = x+y+z,
    q = xy+yz+zx,
    r = xyz
とする。
x,y,zが有理数(有理整数)なら、p,q,rも有理数(有理整数)である。
Newtonの公式により、
    x7+y7+z7 = p7-7p5q+7p4r+14p3q2-21p2qr-7pq3+7pr2+7q2r ---------- (2)
である。→[pari/GPによる検算(i)]
(2)の右辺の各項はすべて7次の同次式であることに注意する。
(2)の右辺のrをpq-rで置き換えると、
    x7+y7+z7 = p7-7p4r+7p2qr+7pr2-7q2r ---------- (3)
となる。→[pari/GPによる検算(ii)]
(1)より、(3)の右辺は0になるべきである。
    p7-7p4r+7p2qr+7pr2-7q2r = 0 ---------- (4)

最初に、p ≠ 0と仮定する。すると、q = p2Q, r = p3Rと置換することができて、p7をキャンセルすると、
    7R2-7R(1-Q+Q2)+1 = 0 ---------- (5)
となる。→[pari/GPによる検算(iii)]
Rに関する２次方程式(5)が有理数解を持つので、その判別式は(有理数の)平方数でなければならない。
つまり、
    72(1-Q+Q2)2-4*7 = □
    (Q2-Q+1)2-4/7 = □ ---------- (6)
である。ここで、□はある有理数の平方数を表す。
2Q-1=s/t, u2=□t4とおくと、
    u2 = s4+6s2t2-(1/7)t4 ---------- (7)
となる。→[pari/GPによる検算(iv)]

(7)について、降下(descent)を実行して、有理数解が自明なものに限ることを示せばよい。
ここでは、(7)を楕円曲線とみる。(7)の両辺をt4で割って、U = u/(t2), S = u/tとおくと、
    U2 = S4+6S2t2-1/7
       = (S2+3)2-64/7
よって、
    (U-S2-3)(U+S2+3) = -64/7 ------ (8)
となる。ここで、
    T = U-S2-3 ------------- (9)
とおくと、(8),(9)より、
    U+S2+3 = -64/(7T) -------- (10)
である。(9)-[(10)の左右を入れ換えたもの]から、
    T+64/(7T) = -2S2-6 ------ (11)
となる。(11)にT2を掛けて、Y=STとおくと、
    T3+(64/7)T = -2Y2-6T2
    T3+6T2+(64/7)T = -2Y2 ----- (12)
(12)に-2-3・76を掛けて、y = (1/2)・73Y, x = (-1/2)・72Tとおくと、
    E: y2 = x(x2-3・72x+24・73) ----- (13)
となり、Weierstrassの標準形を得る。→[pari/GPによる検算(v)]

Nagell-Lutzの定理により、楕円曲線Eのねじれ点群は
    Etors(Q) = { O, (0,0) }
であることが分かる。→[pari/GPによる検算(vi)]

単純な2-descentにより、Eの(Q上の)rankが0であることが分かる。→[Cremonaのmwrankによる検算]

よって、(13)の有理数解(x,y)は、自明な解(0,0)のみである。 議論を遡ると、４次方程式(7)の有理数解(u,s,t)は、t=0のみである。
これより、(4)はp ≠ 0なる有理数解を持たないことが分かった。

他方、0=x+y+zと仮定すると、z=-(x+y)を(1)に代入して、x7+y7=(x+y)7を得る。すると、
    0 = x7+y7-(x+y)7 = -7xy(x+y)(x2+xy+y2)2
となる。→[pari/GPによる検算(vii)]

よって、Fermat等式(1)のxyz ≠ 0である任意の有理整数解(x,y,z)は、
    x2+xy+y2 = 0
を満たさなければならないが、これをxy ≠ 0である有理整数(x,y)で満たすことは不可能である。

以上により、Fermatの最終定理のn=7の場合が証明できた。

[pari/GPによる検算(i)]
(21:16) gp> p=x+y+z
%1 = x + (y + z)
(21:16) gp> q=x*y+y*z+z*x
%2 = (y + z)*x + z*y
(21:16) gp> r=x*y*z
%3 = z*y*x
(21:24) gp> p^7-7*p^5*q+7*p^4*r+14*p^3*q^2-21*p^2*q*r-7*p*q^3+7*p*r^2+7*q^2*r
%4 = x^7 + (y^7 + z^7)

[pari/GPによる検算(ii)]
(21:52) gp> f(a,b,c)=a^7-7*a^5*b+7*a^4*c+14*a^3*b^2-21*a^2*b*c-7*a*b^3+7*a*c^2+7*b^2*c
(21:53) gp> f(a,b,a*b-c)
%9 = a^7 - 7*c*a^4 + 7*c*b*a^2 + 7*c^2*a - 7*c*b^2

[pari/GPによる検算(iii)]
(22:34) gp> g(a,b,c)=a^7 - 7*c*a^4 + 7*c*b*a^2 + 7*c^2*a - 7*c*b^2
(22:35) gp> g(a,a^2*Q,a^3*R)/a^7
%2 = -7*R*Q^2 + 7*R*Q + (7*R^2 - 7*R + 1)

[pari/GPによる検算(iv)]
(22:36) gp> d(Q)=(Q^2-Q+1)^2-4/7
(22:39) gp> d((s/t+1)/2)*16
%5 = 1/t^4*s^4 + 6/t^2*s^2 - 1/7
(22:40) gp> %5*t^4
%6 = s^4 + 6*t^2*s^2 - 1/7*t^4

[pari/GPによる検算(v)]
(22:43) gp> e(T,Y)=T^3+6*T^2+(64/7)*T+2*Y^2
(10:35) gp> e((-2/7^2)*x,(2/7^3)*y)*(-2^(-3)*7^6)
%8 = x^3 - 147*x^2 + 5488*x - y^2
(10:38) gp> factor(5488)
%10 =
[2 4]

[7 3]

[pari/GPによる検算(vi)]
(11:49) gp> E=ellinit([0,-147,0,5488,0])
%1 = [0, -147, 0, 5488, 0, \
-588, 10976, 0, -30118144, \
82320, -29042496, \
-165288374272, -3375, \
[0.E-28, 73.50000000000000000000000000 - 9.260129588726067066755655137*I, \
73.50000000000000000000000000 + 9.260129588726067066755655137*I]~, \
0.9666558528084057733665384194, \
-0.4833279264042028866832692097 + 0.1826807849940071056463732711*I, \
-5.215289893739141522332318170 - 2.629307975674027214 E-28*I, \
2.607644946869570761166159084 - 4.235556939374244674224395742*I, \
0.1765894500100909548749356059]
(11:49) gp> elltors(E)
%2 = [2, [2], [[0, 0]]]

[Cremonaのmwrankによる検算]
bash-2.05$ ./mwrank
Program mwrank: uses 2-descent (via 2-isogeny if possible) to
determine the rank of an elliptic curve E over Q, and list a
set of points which generate E(Q) modulo 2E(Q).
and finally search for further points on the curve.
For more details see the file mwrank.doc.
For details of algorithms see the author's book.

Please acknowledge use of this program in published work,
and send problems to John.Cremona@nottingham.ac.uk.

Version compiled on May 23 2001 at 22:19:04 by GCC egcs-2.91.60 19981201 (egcs-1.1.1 \
release)
using base arithmetic option LiDIA (LiDIA bigints and multiprecision floating point)
Using LiDIA multiprecision floating point with 15 decimal places.
Enter curve: [0,-147,0,5488,0]

Curve [0,-147,0,5488,0] :       Working with minimal curve [1,-1,0,-107,552]
    [u,r,s,t] = [2,48,1,0]
1 points of order 2:
[-12 : 6 : 1]
Using 2-isogenous curve [1,-1,0,-1822,30393]
-------------------------------------------------------
First step, determining Selmer group
-------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
Rank = 0
-------------------------------------------------------
Second step, determining E(Q)/phi(E'(Q)) and E'(Q)/phi'(E(Q))
-------------------------------------------------------
1. E(Q)/phi(E'(Q))
-------------------------------------------------------
This component of the rank is 0
-------------------------------------------------------
2. E'(Q)/phi'(E(Q))
-------------------------------------------------------
This component of the rank is 0

-------------------------------------------------------
Summary of results:
-------------------------------------------------------
        rank(E) = 0
     #E(Q)/2E(Q) = 2

Information on III(E/Q):
 #III(E/Q)[phi']    = 1
  #III(E/Q)[2]       = 1

Information on III(E'/Q):
 #phi'(III(E/Q)[2]) = 1
  #III(E'/Q)[phi]    = 1
  #III(E'/Q)[2]      = 1

Rank = 0
After descent, rank of points found is 0


The rank and full Mordell-Weil basis have been determined unconditionally.
Regulator = 1

 (0.82 seconds)

Enter curve: [0,0,0,0,0]

bash-2.05$

[pari/GPによる検算(vii)]
(12:29) gp> (x^7+y^7-(x+y)^7)/(7*x*y*(x+y))
%1 = -x^4 - 2*y*x^3 - 3*y^2*x^2 - 2*y^3*x - y^4
(12:29) gp> (x^2+x*y+y^2)^2
%2 = x^4 + 2*y*x^3 + 3*y^2*x^2 + 2*y^3*x + y^4
(12:31) gp>  (x^7+y^7-(x+y)^7)+7*x*y*(x+y)*(x^2+x*y+y^2)^2
%3 = 0

[参考文献]

Last Update: 2005.06.12
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]