Integral Points on Surface: x^4-2x^3y+2x^2y^2+2xy^3+y^4=z^2

[2002.07.29]x⁴-2x³y+2x²y²+2xy³+y⁴=z²の整点

x^4-2x^3y+2x^2y^2+2xy^3+y^4=z^2の整点を計算するプログラム(pari/gp)
x^4-2x^3y+2x^2y^2+2xy^3+y^4=1のグラフ(jpeg)
y^2=x^3-x^2-9x+9のグラフ(jpeg)

■曲面
     x⁴-2x³y+2x²y²+2xy³+y⁴=z² ------- (1)
つまり、
     x²(x-y)²+y²(x+y)² = z² -------- (2)
の整点を求める。

(1)は自明な整点(x,y,z)=(0,t,±t²),(t,0,±t²),(t,t,±2t²),(t,-t,±2t²) [ただし、t ∈ Z]を持つ。
さらに、(1)の任意の整点(x,y,z)と任意の有理整数d ∈ Zに対して、(dx,dy,±d²z)も(1)の整点であることが分かる。

x!=0とする。y=ux, z=vx² [つまり、u=y/x, v=z/x²]とおくと、(2)より、
     u²(1-u)²+(u+1)² = v²
     v² = u⁴+2u³+2u²-2u+1 -------- (4)
となる。

u=s-1/2, v=t-s²-1/4 [逆変換は、s=u+1/2, t=v+(u+1/2)²+1/4]とすると、(4)より、
     2ts²-3s-t²+(1/2)t+9/4 = 0 ----- (5)
となる。
Y=4ts-3とすると、
     Y² = 16t²s²-24ts+9
         = 8t(2ts²-3s)+9
(5)より、
         = 8t(t²-(1/2)t-9/4)+9
         = 8t³-4t²-18t+9
ここで、X=2t [逆変換は、t=X/2, s=(Y+3)/{2X} ]とすると、
     Y² = X³-X²-9X+9 ------- (6)
     Y² = (X-3)(X-1)(X+3) ------- (7)
となり、楕円曲線の有理点を求める問題に帰着できる。

各変換を合成すると、変換(u,v)→(X,Y)は
     X = 2u²+2u+2v+1
     Y = 4u³+6u²+4vu+4u+2v-2
であり、逆変換(X,Y)→(u,v)は
     u = (-X+Y+3)/{2X}
     v = (2X³-X²-Y²-6Y-9)/{4X²}
となる。よって、(4)と(6)は双有理変換で互いに写し合う。

pari/gpで検算すると、

gp> f(x,y)=x^3-x^2-9*x+9-y^2
time = 0 ms.
gp> xx(u,v)=2*u^2+2*u+2*v+1
time = 2 ms.
gp> yy(u,v)=4*u^3+6*u^2+4*u*v+4*u+2*v-2
time = 4 ms.
gp> f(xx(u,v),yy(u,v))
time = 31 ms.
%1 = -8*u^6 - 24*u^5 + (-8*v - 36)*u^4 + (-16*v - 8)*u^3 + (8*v^2 - 16*v)*u^2 + (8*v^2 + 16*v)*u + (8*v^3 + 4*v^2 - 8*v - 4)
gp> h(u,v)=u^4+2*u^3+2*u^2-2*u+1-v^2
time = 0 ms.
gp> uu(x,y)=(-x+y+3)/(2*x)
time = 0 ms.
gp> vv(u,v)=(2*x^3-x^2-y^2-6*y-9)/(4*x^2)
time = 0 ms.
gp> h(uu(x,y),vv(x,y))
time = 46 ms.
%2 = (-x^3 + x^2 + 9*x + (y^2 - 9))/(4*x)

となる。
asirでf(xx(u,v),yy(u,v))を因数分解すると、

[0] fctr(-8*u^6 - 24*u^5 + (-8*v - 36)*u^4 + (-16*v - 8)*u^3 + (8*v^2 - 16*v)*u^2 + (8*v^2 + 16*v)*u + (8*v^3 + 4*v^2 - 8*v - 4));
[[-4,1],[2*u^2+2*u+2*v+1,1],[u^4+2*u^3+2*u^2-2*u-v^2+1,1]]

となる。上記の有理変換で(4)と(6)は互いに写し合うことが確認できた。

■楕円曲線
E: Y² = X³-X²-9X+9
のねじれ点群は、E_tors(Q)={(3,0),(1,0),(-3,0),O} \cong Z/2Z×Z/2Zである。

また、楕円曲線EのMordell-Weil群E(Q)のrankは1であり、その生成元は、(-1,-4)である。

■楕円曲線Eの有理点から、曲線(4)の有理点をいくつか求めると、以下のようになる。

[0, -1]
[-1, 2]
[1, 2]
[-4, -13]
[3/5, 26/25]
[-5/3, 26/9]
[1/4, 13/16]
[-4, 13]
[-5/3, -26/9]
[3/5, -26/25]
[-17/52, 3637/2704]
[52/17, 3637/289]
[-35/69, -7274/4761]
[69/35, -7274/1225]
[52/17, -3637/289]
[-17/52, -3637/2704]
[69/35, 7274/1225]
[-35/69, 7274/4761]
[1560/3247, -9286489/10543009]
[-3247/1560, -9286489/2433600]
[-4807/1687, 18572978/2845969]
[1687/4807, 18572978/23107249]
[-3247/1560, 9286489/2433600]
[1560/3247, 9286489/10543009]
[1687/4807, -18572978/23107249]
[-4807/1687, -18572978/2845969]
[571663/436440, 579309170089/190479873600]
[-436440/571663, 579309170089/326798585569]
[1008103/135223, -1158618340178/18285259729]
[-135223/1008103, -1158618340178/1016271658609]
[-436440/571663, -579309170089/326798585569]
[571663/436440, -579309170089/190479873600]
[-135223/1008103, 1158618340178/1016271658609]
[1008103/135223, 1158618340178/18285259729]
[-517632388/408002767, -381901401745295077/166466257879656289]
[408002767/517632388, -381901401745295077/267943289106582544]
[109629621/925635155, 763802803490590154/856800440171874025]
[-925635155/109629621, 763802803490590154/12018653800603641]
....

■曲面(1)の整点を求めると以下のようになる。

[1, 0, -1]
[1, -1, 2]
[1, 1, 2]
[1, -4, -13]
[5, 3, 26]
[3, -5, 26]
[4, 1, 13]
[1, -4, 13]
[3, -5, -26]
[5, 3, -26]
[52, -17, 3637]
[17, 52, 3637]
[69, -35, -7274]
[35, 69, -7274]
[17, 52, -3637]
[52, -17, -3637]
[35, 69, 7274]
[69, -35, 7274]
[3247, 1560, -9286489]
[1560, -3247, -9286489]
[1687, -4807, 18572978]
[4807, 1687, 18572978]
[1560, -3247, 9286489]
[3247, 1560, 9286489]
[4807, 1687, -18572978]
[1687, -4807, -18572978]
[436440, 571663, 579309170089]
[571663, -436440, 579309170089]
[135223, 1008103, -1158618340178]
[1008103, -135223, -1158618340178]
[571663, -436440, -579309170089]
[436440, 571663, -579309170089]
[1008103, -135223, 1158618340178]
[135223, 1008103, 1158618340178]
[408002767, -517632388, -381901401745295077]
[517632388, 408002767, -381901401745295077]
[925635155, 109629621, 763802803490590154]
[109629621, -925635155, 763802803490590154]
....

[2002.08.01追記]
■曲線x²(x-y)²+y²(x+y)² = 1のグラフから容易に予想できるように、この曲線は、以下の一次変換に対して、不変であることがすぐに分かる。

原点の回りのπ/2回転
x'=-y
y'=x
原点を通る直線y=(sqrt(2)+1)x対する鏡影変換
x'=(1/sqrt(2))(-x+y)
y'=(1/sqrt(2))(x+y)
原点を通る直線y=-(sqrt(2)-1)xに対する鏡影変換
x'=(1/sqrt(2))(x+y)
y'=(1/sqrt(2))(x-y)

これらを曲面(1)上で解釈すると、(x,y,z)が曲面(1)の有理点であるならば、それぞれ、(-y,x,z), (-x+y,x+y,2z), (x+y,x-y,2z)も(1)の有理点であることを示している。

[参考文献]

[1]Joseph H.Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Alf van der Poorten(著), 山口周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, ISBN4-627-06101-3, {3800円}.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao