Homeに戻る  一覧に戻る 

Integral Points on Surface: U^4-64V^4=6577W^2, Rational Points on Elliptic Curve: y^2=x^3+6577^2*x

[2003.04.07]U^4-64V^4=6577W^2の整点, y^2=x^3+6577^2*xの有理点

■文献[4],p11で紹介されているDiophantus方程式
     C: U4-64V4 = 6577W2 ----- (1)
で表される曲面の整点[U,V,W]を求める。

ここで、6577は素数である。
(1)より、U,V,Wの少なくとも１つが0であれば、残りの２つも0であることが分かる。
[U,V,W]がCの整点であれば、[±U,±V,±W]もCの整点であり、さらに任意の整数dに対して、[Ud,Vd,Wd2]もCの整点である。
よって、U,V,Wは互いに素としてよい。

以下では、自明でない、つまり、[U,V,W]!=[0,0,0]かつ、U,V,Wが互いに素となる整点[U,V,W]のみを考察する。

■文献[4],p12によると、曲面Cは、以下の整点[±U1,±V1,±W1]を持つ。
IBM 370で20分以上掛かって、この解が見つかったと書かれている。
     U1 = 10500084257375984596799 = 47・223406048029276268017
     V1 = 1980407963453953023564 = 22・3・7・59・1039・1297・14533・20403871
     W1 = 1303262616226128053329966805106514807822601 = 11・17・79・449・2879・462041・6656977・351741931・63080266441

ただし、以下では、この情報を使わずに、曲面Cの整点[U,V,W]を求めてみる。

[pari/gpによる検算]
gp> u1=10500084257375984596799;
time = 0 ms.
gp> v1=1980407963453953023564;
time = 0 ms.
gp> w1=1303262616226128053329966805106514807822601;
time = 0 ms.
gp> u1^4-64*v1^4-6577*w1^2
time = 0 ms.
%47 = 0
gp> factor([u1,v1,w1])
time = 245 ms.
%48 = [[47, 1; 223406048029276268017, 1], [2, 2; 3, 1; 7, 1; 59, 1; 1039, 1; 1297, 1; 14533, 1; 20403871, 1], [11, 1; 17, 1; 79, 1; 449, 1; 2879, 1; 462041, 1; 6656977, 1; 351741931, 1; 63080266441, 1]]

■曲面C: U4-64V4 = 6577W2を楕円曲線E: y2 = 6577(x4-4)に変換する。
(1)の両辺に(6577/16V4)を掛けると、
     6577[(U/{2V})4-4] = (6577W/{4V2})2
を得る。ここで、
     x = U/{2V}, -------------- (2)
     y = 6577W/{4V2} ----------- (3)
とすると、楕円曲線
     E: y2 = 6577(x4-4) ------------ (4)
を得る。
よって、曲面Cの整点を求めるには、楕円曲線Eの有理点を求めれば良い。

■楕円曲線E: y2 = 6577(x4-4)を別の楕円曲線E1: Y2 = X3-4*65772*Xに有理変換する。
(4)の両辺に、65772x2を掛けると、
     65772y2 = 65773(x6-4x2)
を得る。ここで、有理変換(x,y)→(X,Y)を
     X = 6577x2, -------------- (5)
     Y = 6577xy -------------- (6)
[逆変換 x=sqrt(X/6577), y=Y/sqrt(6577*X) は、有理変換ではないことに注意]とすると、楕円曲線
     E1: Y2 = X3-4・65772X ---------- (7)
を得る。
楕円曲線E1のねじれ点群は、
     E1(Q)tors = Z/2Z×Z/2Z = {(0,0), (±13154,0), O}
である。Cremonaのmwrank3により、このように、E1(Q)のrankは2であり、その生成元は、
     P1(95037650/5929, -529464810960/456533),
     P2(2727406674916946704429515753169178415000217/10374975105961307178590989072087151556,
         4498632180352515969289398016839862069413822463336601999059827811/33418010796045858425237248164697246575812088605955700296),
であることが求まる。よって、
     E1(Q) = Z2×Z/2Z×Z/2Z
となる。

E1の有理点でCの有理点に対応するもの、すなわち、そのx座標が6577□(ただし、□はある有理数の平方数)となるものを探す。
E1(Q)/E1(Q)torsの１つの生成元P1はこの条件を満たさないが、幸運にも、もう１つの生成元P2はこの条件を満たす。
よって、楕円曲線Eの有理点の１つは、
     P0(20363903417612421139/3221020817374719666,
         33588577777771794788675018696784591251137/10374975105961307178590989072087151556)
である。
(2),(3)より、P0に対応する曲面Cの整点[U0,V0,W0]を求めると、
     U0 = 20363903417612421139 = 11・17・238883・455862825059,
     V0 = 1610510408687359833 = 3・29・89・463・78713・5707249,
     W0 = 5106975486965454582435003602977739281 = 7・137・13313・1270561・16289214703・19327405833121
となる。

[pari/gpによる検算]
gp> p1=[7317899050/456533,-529464810960/456533]
time = 0 ms.
%33 = [95037650/5929, -529464810960/456533]
gp> p2=[8785033677354249999318065197010986261072056993680579704167522/33418010796045858425237248164697246575812088605955700296,4498632180352515969289398016839862069413822463336601999059827811/33418010796045858425237248164697246575812088605955700296]
time = 0 ms.
%34 = [2727406674916946704429515753169178415000217/10374975105961307178590989072087151556, 4498632180352515969289398016839862069413822463336601999059827811/33418010796045858425237248164697246575812088605955700296]
gp> factor(p1)
time = 0 ms.
%35 = [[2, 1; 5, 2; 7, -2; 11, -2; 17, 2; 6577, 1], [-1, 1; 2, 4; 3, 2; 5, 1; 7, -3; 11, -3; 17, 1; 6577, 2]]
gp> factor(p2)
time = 1,012 ms.
%36 = [[2, -2; 3, -2; 11, 2; 17, 2; 29, -2; 89, -2; 463, -2; 6577, 1; 78713, -2; 238883, 2; 5707249, -2; 455862825059, 2], [2, -3; 3, -3; 7, 1; 11, 1; 17, 1; 29, -3; 89, -3; 137, 1; 463, -3; 6577, 2; 13313, 1; 78713, -3; 238883, 1; 1270561, 1; 5707249, -3; 16289214703, 1; 455862825059, 1; 19327405833121, 1]]
gp> x1=%34[1];y1=%34[2];x=x1/6577
time = 0 ms.
%37 = 414688562401846845739625323577494057321/10374975105961307178590989072087151556
gp> x0=sqrtint(414688562401846845739625323577494057321)/sqrtint(10374975105961307178590989072087151556)
time = 0 ms.
%38 = 20363903417612421139/3221020817374719666
gp> x-x0^2
time = 0 ms.
%39 = 0
gp> y0=y1/(6577*x0)
time = 0 ms.
%40 = 33588577777771794788675018696784591251137/10374975105961307178590989072087151556
gp> y0^2-6577*(x0^4-4)
time = 0 ms.
%41 = 0
gp> read("./de6577.gp")
time = 22 ms.
gp> p0=g1([x0,y0])
time = 5 ms.
%42 = [20363903417612421139, 1610510408687359833, 5106975486965454582435003602977739281]
gp> factor(p0)
time = 98 ms.
%43 = [[11, 1; 17, 1; 238883, 1; 455862825059, 1], [3, 1; 29, 1; 89, 1; 463, 1; 78713, 1; 5707249, 1], [7, 1; 137, 1; 13313, 1; 1270561, 1; 16289214703, 1; 19327405833121, 1]]
gp> u0=p0[1];v0=p0[2];w0=p0[3];
time = 0 ms.
gp> u0^4-64*v0^4-6577*w0^2
time = 0 ms.
%44 = 0
よって、楕円曲線Eの有理点の１つP0と曲面Cの整数点の１つ[U0,V0,W0]が求まった。

■楕円曲線E: y2 = 6577(x4-4)と楕円曲線E~: y2=x3+24*65772*xの間の双有理変換を求める。
参考文献[3](Prop. 2.1, 2.2)を参考にして、双有理変換φ: E→E~
     φ(x,y) = (-2*sqrt(6577)y+2*6577x2, 4*6577xy-4*6577*sqrt(6577)x3)
と、逆有理変換φ-1: E~→E
     φ-1(u,v) = (-v/{2*sqrt(6577)u}, {v2-2u3}/{4*sqrt(6577)u2}
を定義すると、φによって、曲線Eは、楕円曲線
     E~: y2 = x3+24*65772x ------ (8)
に写される。
ただし、双有理変換φは、Q(sqrt(6577))-isomorphicであるが、Q-isomorphicではない。

曲線Eの有理点の１つP0(x0,y0)を使って、Q-isomorphoicな双有理変換ψ:E→E~を
     ψ(x,y) = φ(x,y)-φ(x0,y0)
で定義する(右辺の+,-は楕円曲線E上の加法,減法)。また、
     ψ-1(u,v) = φ-1((u,v)+φ(x0,y0))
である。
asirを使って、(u0,v0)=φ(x0,y0)と(u,v) = ψ(x,y)と(x, y) = ψ-1(u,v)をそれぞれ計算すると、以下のようになる。
     u0 = 6577・(-5106975486965454582435003602977739281*sqrt(6577)+414688562401846845739625323577494057321)/5187487552980653589295494536043575778,
     v0 = 11・17・6577・238883・455862825059・(-414688562401846845739625323577494057321*sqrt(6577)+33588577777771794788675018696784591251137)/8354502699011464606309312041174311643953022151488925074

     u = 52616(3221020817374719666x+20363903417612421139)2/(414688562401846845739625323577494057321x2-5106975486965454582435003602977739281y-41499900423845228714363956288348606224)
     v = 105232(3221020817374719666x+20363903417612421139)(683994553801507673603375097588545243943108174446799756585043x3-8444677833139750750784239640070880536274878231207258108619xy-133672043184183433700948992658788986303248354423822801184y+432758032992851406144304080950560891893404916906006315040968)/(414688562401846845739625323577494057321x2-5106975486965454582435003602977739281y-41499900423845228714363956288348606224)2

     x = (32796278415568904006796917764828709787*u^2-33588577777771794788675018696784591251137*v-22698660590183945203677276626752547142685825968)/(2*(2593743776490326794647747268021787889*u^2-2727406674916946704429515753169178415000217*u+1795158246141342965486002937324199186680526096)),
     y = 6577*(13246185886005303871069859073455163387857067453696217606300313360925367809*u^4+13928799031786805177952406961901504164701572138866488807231845200624665784423977*u^3-27200483096565976495579146088842013078852826987737540664342500656960503401254*v*u^2+(71612601052705921918376190567499983972103898891367125172952185461709060498177408*v-9640273132372329195512314133281265130331203395189213549019561830118590775768916463786128)*u-18825749857181673425358974979930666431504130215325546674433222121609501622916844623456*v-6345154159733075762910794818204971361567141822751397091788805298833330071941157080186667264)/(4*(2593743776490326794647747268021787889*u^2-2727406674916946704429515753169178415000217*u+1795158246141342965486002937324199186680526096)^2)


よって、双有理変換ψは、Q-isomorphicである。

■楕円曲線E~: y2=x3+24*65772*xは、楕円曲線E2: y2 = x3+65772*xにQ-isomorphicである。

双有理変換[2,0,0,0]:(x,y)→(x/4,y/8)によって、楕円曲線E~は、楕円曲線
     E2: y2 = x3+65772x ------------ (9)
に写される。
[2,0,0,0]の逆変換は、[1/2,0,0,0]:(x,y)→(4x,8y)である。

pari/GP,asirで計算すると、曲面Cから楕円曲線E2への有理変換(u,v,w)→(x,y)は、
     x = 52616(1610510408687359833u+20363903417612421139v)2/(414688562401846845739625323577494057321u2-165999601695380914857455825153394424896v2-33588577777771794788675018696784591251137w)
     y = 173027716(1610510408687359833u+20363903417612421139v)(103997955572678679276778941400113310619295754059115061059u3-8444677833139750750784239640070880536274878231207258108619uw+526389579434820016596386292778544493712519284665964804672v3-267344086368366867401897985317577972606496708847645602368vw)/(414688562401846845739625323577494057321u2-165999601695380914857455825153394424896v2-33588577777771794788675018696784591251137w)2
となり、楕円曲線E2から曲面Cへの有理変換(x,y)→(u,v,w)は、
     u = 2(65592556831137808013593835529657419574x2-33588577777771794788675018696784591251137y-2837332573772993150459659578344068392835728246),
     v = 10374975105961307178590989072087151556x2-2727406674916946704429515753169178415000217x+448789561535335741371500734331049796670131524,
     w = 4(52984743544021215484279436293820653551428269814784870425201253443701471236x4+13928799031786805177952406961901504164701572138866488807231845200624665784423977x3-54400966193131952991158292177684026157705653975475081328685001313921006802508x2y+(35806300526352960959188095283749991986051949445683562586476092730854530249088704y-602517070773270574719519633330079070645700212199325846813722614382411923485557278986633)x-2353218732147709178169871872491333303938016276915693334304152765201187702864605577932y-99143033745829308795481169034452677524486590980490579559200082794270782374080579377916676)
となる。

■楕円曲線E2: y2 = x3+65772*xのねじれ点群E2(Q)torsは、 Z/2Zである。

pari/gpで計算すると、以下のようになる。
     E2(Q)tors = Z/2Z = {(0,0), O}

[pari/gpでの計算結果]
gp> es=ellinit([0,0,0,6577^2,0])
time = 9 ms.
%53 = [0, 0, 0, 43256929, 0, 0, 86513858, 0, -1871161906511041, -2076332592, 0, -5180205935196975248197696, 1728, [0.E-28, 0.E-28 - 6577.000000000000000000000000*I, 0.E-28 + 6577.000000000000000000000000*I]~, 0.04572390325175062822036313238, -0.02286195162587531411018156619 + 0.02286195162587531411018156619*I, -68.70788428303113595787176265 + 7.80995571 E-28*I, 34.35394214151556797893588132 - 103.0618264245467039368076439*I, 0.001045337664287725836626135894]
gp> elltors(es,1)
time = 13 ms.
%54 = [2, [2], [[0, 0]]]

■楕円曲線E2: y2 = x3+65772*xのMordell-Weil群E2(Q)を求める。
Cremonaのmwrank3で計算すると、このように、rankは1または2であり、その生成元の１つは、Q1は
     Q1(26308/81, 86513858/729) = ({22・6577}/{34},{2・65772}/{36})
である。

[2003.05.17追記]
E2と2-isogenousな楕円曲線E1:Y2=X3-4・65772XのMordell-Weil群 E1(Q)の生成元の１つであるP2を
2-isogeny φ:E1→E2,
     φ(x,y)=(y2/{4x2},{y(x2+4・65772)/{8x2})
で写すと、E2の有理点
     Q2(1128192557133425240304183955743582762876355178378582639290998595946064723003792769/17209534046584172489951442984437012949979792174994736003865738759153113365904,
         38084615452164770926096667668794151428316247311268071637285024401174943079659759026657370425245088233085859001237366377665/2257634679975946694348164094801882397081683916761332382578078496433317131136368647245728682369256601586004627609792)
を得る。
Q1,Q2によって、det(<Qi,Qj>)i=1,2;j=1,2を計算すると、0でない。
よって、Q1,Q2は、E(Q)の基底である。つまり、rank(E))=2であることが分かる。

     E2(Q) = Z2×Z/2Z
[pari/GPによる計算]
gp>  es=ellinit([0,0,0,6577^2,0])
time = 107 ms.
%1 = [0, 0, 0, 43256929, 0, 0, 86513858, 0, -1871161906511041, -2076332592, 0, -5180205935196975248197696, 1728, [0.E-28, 0.E-28 - 6577.000000000000000000000000*I, 0.E-28 + 6577.000000000000000000000000*I]~, 0.04572390325175062822036313238, -0.02286195162587531411018156619 + 0.02286195162587531411018156619*I, -68.70788428303113595787176265 + 7.80995571 E-28*I, 34.35394214151556797893588132 - 103.0618264245467039368076439*I, 0.001045337664287725836626135894]
gp>  q1=[236772/729, 86513858/729]
time = 1 ms.
%2 = [26308/81, 86513858/729]
gp>  factor(q1)
time = 9 ms.
%3 = [[2, 2; 3, -4; 6577, 1], [2, 1; 3, -6; 6577, 2]]
gp>  q2=g5([2727406674916946704429515753169178415000217/1037497510596137178590989072087151556, 4498632180352515969289398016839862069413822463336601999059827811/33418010796045858425237248164697246575812088605955700296])
time = 19 ms.
%4 = [1128192557133425240304183955743582762876355178378582639290998595946064723003792769/17209534046584172489951442984437012949979792174994736003865738759153113365904, 38084615452164770926096667668794151428316247311268071637285024401174943079659759026657370425245088233085859001237366377665/2257634679975946694348164094801882397081683916761332382578078496433317131136368647245728682369256601586004627609792]
gp>  ellheight(es,q2)
time = 55 ms.
%5 = 88.94304936547699184004983046
gp>  ellreg2(es,q1,q2)
time = 222 ms.
%6 = 782.2767514989986958777684231
gp>  ellisoncurve(es,q2)
time = 1 ms.
%7 = 1
pari/gpで、楕円曲線E2:y2 = x4+65772xの有理点でN\'eron-Tate Heightが90以下のものをいくつか計算して、Heightが小さい順に並べると、以下のようになる。
gp> v=ratpointE2(7,90);
[532737/4, -389312361/8]
[532737/4, 389312361/8]
[26308/81, 86513858/729]
[26308/81, -86513858/729]
[42837025/1296, -285864871985/46656]
[42837025/1296, 285864871985/46656]
[56060979984/42837025, 68015723904930852/280368328625]
[56060979984/42837025, -68015723904930852/280368328625]
[443031755063815854052/145729148061786129, -22224911231257093219697568832006/55631355119244741968266617]
[958460606802367370433/67360765556304676, 32689610119009436279476789643913/17482781163480441920623576]
[958460606802367370433/67360765556304676, -32689610119009436279476789643913/17482781163480441920623576]
[443031755063815854052/145729148061786129, 22224911231257093219697568832006/55631355119244741968266617]
[3105897545617581507187212232321/423629870581442269763726400, 7353393148013776291777772818325923609940498881/8719264708040600061312634814344673088000]
[18324927234020636980768359660225600/3105897545617581507187212232321, -3714866357083646917136958779406175222546630753070280/5473696183475090064651819220105573392661778881]
[18324927234020636980768359660225600/3105897545617581507187212232321, 3714866357083646917136958779406175222546630753070280/5473696183475090064651819220105573392661778881]
[3105897545617581507187212232321/423629870581442269763726400, -7353393148013776291777772818325923609940498881/8719264708040600061312634814344673088000]
[2608969561501084288685777396110681914928785678542913/675166117400914440188110448790156906231295385956, 263066271205896803133246609092628368058531988324638425946826560406212941185737/554773821126065283353100516799998301522116632523678360098687424152625896]
[2608969561501084288685777396110681914928785678542913/675166117400914440188110448790156906231295385956, -263066271205896803133246609092628368058531988324638425946826560406212941185737/554773821126065283353100516799998301522116632523678360098687424152625896]
[4440567554145814273117202421692861972283229753432612/396680790862260040852330454023214522567855508369, 343202073897888821689831836708848574680109335790286583325339978499494522787466/249839875970234700939430171123714297436756582015520882841874042484564153]
[4440567554145814273117202421692861972283229753432612/396680790862260040852330454023214522567855508369, -343202073897888821689831836708848574680109335790286583325339978499494522787466/249839875970234700939430171123714297436756582015520882841874042484564153]
[6656268063152971889522586158953272666533069120466129243385846162384147344/278873696311599026239681699877827568904881011307056498263153382312225, 17813040905684890187882052101408015891936655671357373204645911981063547963857840206141203559654335431018718828/4657054598574406925619292654158632568999142153970785463740768262370505633438288057069454873936406904625]
[278873696311599026239681699877827568904881011307056498263153382312225/153877499328557787574855028634910089584331544212630749709158645136, -17530673368374198293630947840868544997320994257535367042023921789583807517785350095270826813531398733745/60361869200294272945004528689603698833020537062914527958620972023795509473768558531815995269896384]
[278873696311599026239681699877827568904881011307056498263153382312225/153877499328557787574855028634910089584331544212630749709158645136, 17530673368374198293630947840868544997320994257535367042023921789583807517785350095270826813531398733745/60361869200294272945004528689603698833020537062914527958620972023795509473768558531815995269896384]
[6656268063152971889522586158953272666533069120466129243385846162384147344/278873696311599026239681699877827568904881011307056498263153382312225, -17813040905684890187882052101408015891936655671357373204645911981063547963857840206141203559654335431018718828/4657054598574406925619292654158632568999142153970785463740768262370505633438288057069454873936406904625]
[17209534046584172489951442984437012949979792174994736003865738759153113365904/26081198624466041967615961728202729391084493732289285707059754425610396961, 22615941583347533744783733555905863736414868421332705909551431324985021301738660279802184926545668291835965053889580/133196042045825208895450175300905445678689907747845611165002790741129041225191876634436469944817731032772725041]
[17209534046584172489951442984437012949979792174994736003865738759153113365904/26081198624466041967615961728202729391084493732289285707059754425610396961, -22615941583347533744783733555905863736414868421332705909551431324985021301738660279802184926545668291835965053889580/133196042045825208895450175300905445678689907747845611165002790741129041225191876634436469944817731032772725041]
[1128192557133425240304183955743582762876355178378582639290998595946064723003792769/17209534046584172489951442984437012949979792174994736003865738759153113365904, -38084615452164770926096667668794151428316247311268071637285024401174943079659759026657370425245088233085859001237366377665/2257634679975946694348164094801882397081683916761332382578078496433317131136368647245728682369256601586004627609792]
[1128192557133425240304183955743582762876355178378582639290998595946064723003792769/17209534046584172489951442984437012949979792174994736003865738759153113365904, 38084615452164770926096667668794151428316247311268071637285024401174943079659759026657370425245088233085859001237366377665/2257634679975946694348164094801882397081683916761332382578078496433317131136368647245728682369256601586004627609792]
[2292357654737009794570523437950461388192651371920249441159807199908237893763455657/3096645580132894266547613756777991881811373665691247245922728275204312790276, 109759142679273835495306822911418567971562396459357929856811856659186164320127847540043558706463071483462275567806125461789/172320621755843723993546968018977810639941619752993657602208667063322683346410022109612410053587443019242941878024]
[20366637980534045591083655678328852606673404599251333136433783866018765221645252/348541531813442267685954605131589081373369525911547733185313547196022182418041, -10345683528651740504622991887319057047586663159842887742396668488660811882132667323297527101357211146373815099276567626834/205769879537830223122554766590922551991834329621352726317839228313521308268834443013438650677339423182118606258032589]
[2292357654737009794570523437950461388192651371920249441159807199908237893763455657/3096645580132894266547613756777991881811373665691247245922728275204312790276, -109759142679273835495306822911418567971562396459357929856811856659186164320127847540043558706463071483462275567806125461789/172320621755843723993546968018977810639941619752993657602208667063322683346410022109612410053587443019242941878024]
[20366637980534045591083655678328852606673404599251333136433783866018765221645252/348541531813442267685954605131589081373369525911547733185313547196022182418041, 10345683528651740504622991887319057047586663159842887742396668488660811882132667323297527101357211146373815099276567626834/205769879537830223122554766590922551991834329621352726317839228313521308268834443013438650677339423182118606258032589]
time = 3mn, 1,077 ms.

■pari/gpで、楕円曲線E: y2 = 6577(x4-4)の有理点をいくつか計算すると、以下のようになる。
gp> ratpointE(v)
[-20363903417612421139/3221020817374719666, 33588577777771794788675018696784591251137/10374975105961307178590989072087151556]
[20363903417612421139/3221020817374719666, -33588577777771794788675018696784591251137/10374975105961307178590989072087151556]
[-261031490364366200807/16694257992925986564, -5525673183000962149112152875503310565305257/278698249934373189257940690092708526096]
[261031490364366200807/16694257992925986564, 5525673183000962149112152875503310565305257/278698249934373189257940690092708526096]
[-261031490364366200807/16694257992925986564, 5525673183000962149112152875503310565305257/278698249934373189257940690092708526096]
[261031490364366200807/16694257992925986564, -5525673183000962149112152875503310565305257/278698249934373189257940690092708526096]
[10500084257375984596799/3960815926907906047128, 8571558226919244206751191677185547891049246777/15688062806847334938376871311467590157048384]
[-10500084257375984596799/3960815926907906047128, -8571558226919244206751191677185547891049246777/15688062806847334938376871311467590157048384]
[22024320179993071755613051/6284818689969819188776074, -38813411394293971312882938329172987952734105676188913/39498945965793954247081927081412254257618114853476]
[-22024320179993071755613051/6284818689969819188776074, 38813411394293971312882938329172987952734105676188913/39498945965793954247081927081412254257618114853476]
[36606813611953714355803800619/20943303261892790225242671534, 82154258554001966115609376796246879888201429141897979462673/438621951519609186993224608895037004919940799773413913156]
[-36606813611953714355803800619/20943303261892790225242671534, -82154258554001966115609376796246879888201429141897979462673/438621951519609186993224608895037004919940799773413913156]
[12418043845210301269321859904314639/6147123612075256956464729111849952, -10901241144325063383819816790674383374246155088436360765685657113997977/37787128702133154172108848346769592013394042979933069196427762402304]
[-12418043845210301269321859904314639/6147123612075256956464729111849952, 10901241144325063383819816790674383374246155088436360765685657113997977/37787128702133154172108848346769592013394042979933069196427762402304]
[893518619979461298331886634127130613527/618720376875435249220733357495345872116, 18353135579168807646259236593301341289418269676692975038834676848814143814129737/382814904760880629889398575468693157103130346137153397469882279846360626317456]
[-893518619979461298331886634127130613527/618720376875435249220733357495345872116, -18353135579168807646259236593301341289418269676692975038834676848814143814129737/382814904760880629889398575468693157103130346137153397469882279846360626317456]
[48273767173093056198726858071546801912817751651/31594008335953456706480201030525478640714775046, -97490552477795987353409059817092815880895464910197623993139247021391680306335166060509554454177/998181362732296510489103319432927195431009995979364282291084914580462442398666938246384302116]
[-48273767173093056198726858071546801912817751651/31594008335953456706480201030525478640714775046, 97490552477795987353409059817092815880895464910197623993139247021391680306335166060509554454177/998181362732296510489103319432927195431009995979364282291084914580462442398666938246384302116]
[-156993831817301309432817426912920193372526858632630211/107867413774494578004994727534793155018657465400493674, 658597148856623495101493707850261794247450505206790245989893775528822620043613474881595510055268653866758943/11635378954398022623692816034770873032535252181850735565878088619783761705728797967173558571148002914018276]
[156993831817301309432817426912920193372526858632630211/107867413774494578004994727534793155018657465400493674, -658597148856623495101493707850261794247450505206790245989893775528822620043613474881595510055268653866758943/11635378954398022623692816034770873032535252181850735565878088619783761705728797967173558571148002914018276]
[1338407126942132345192801402122400597345355578106626844658717367/945158036812977217630299908870058708956517124504009143416823804, 10501316224578505280697450080765153150678890267578939392518514389813410952119250560873373005559748388460033412108689557719855863/893323714552161197317329628303111358098420532382922357196783945590188851730704316379095041659323357081399857645822027581030416]
[-1338407126942132345192801402122400597345355578106626844658717367/945158036812977217630299908870058708956517124504009143416823804, -10501316224578505280697450080765153150678890267578939392518514389813410952119250560873373005559748388460033412108689557719855863/893323714552161197317329628303111358098420532382922357196783945590188851730704316379095041659323357081399857645822027581030416]
[-198298258165000516964736423191831816429111640453405822847697034555607919/110777406820048420747987408961218845354058166924211172272746800611571728, 2491543559742306456755971550775701244158615808398051345502298095280101741339301622886349383913072285343157717308349167530140657996019053418292263/12271633861774510362196662142038142929843305388115355507990583051858789083342808047568214745566447013194713365594560237738895938960778488905984]
[198298258165000516964736423191831816429111640453405822847697034555607919/110777406820048420747987408961218845354058166924211172272746800611571728, -2491543559742306456755971550775701244158615808398051345502298095280101741339301622886349383913072285343157717308349167530140657996019053418292263/12271633861774510362196662142038142929843305388115355507990583051858789083342808047568214745566447013194713365594560237738895938960778488905984]
[-268041000843561295732613180315355513363540095363861323956085708592012515127121115339/167595004589851572182534820213345117017767279614020789466351353496687918842380786626, -3632355125387440757747996244330571576096500256148725035701408628071247333230408547161948987159816869453600913342304424972675303185422095519503334015333614709264951925807/28088085563472369546601301053797796808423296489188054065330371051977147678341415351082280043260390092387034530547917941373230981570171720454252810545759012638540463876]
[268041000843561295732613180315355513363540095363861323956085708592012515127121115339/167595004589851572182534820213345117017767279614020789466351353496687918842380786626, 3632355125387440757747996244330571576096500256148725035701408628071247333230408547161948987159816869453600913342304424972675303185422095519503334015333614709264951925807/28088085563472369546601301053797796808423296489188054065330371051977147678341415351082280043260390092387034530547917941373230981570171720454252810545759012638540463876]
[-1748642850410443657943334116224633913439282395572444676176764412485229081520609108070898412251/630126754619476086116578781291496895100723808719827824695609798658266413305107580319107299046, 239470902338300872662487578128177308489390570466450891695549526126071496645704623166674425451016566979540500132584585356789426589453366729821521046630629744044452652672228775750072292882127/397059726887273427034279127351288662925598848841992593291419451360746716143226091001809353068320508131429881961509718011098022247047703239255633512054255194437995642352205664433272510116]
[1748642850410443657943334116224633913439282395572444676176764412485229081520609108070898412251/630126754619476086116578781291496895100723808719827824695609798658266413305107580319107299046, -239470902338300872662487578128177308489390570466450891695549526126071496645704623166674425451016566979540500132584585356789426589453366729821521046630629744044452652672228775750072292882127/397059726887273427034279127351288662925598848841992593291419451360746716143226091001809353068320508131429881961509718011098022247047703239255633512054255194437995642352205664433272510116]
[-193178346586308027065666087254130619805806411299652215465672776639543708084831023964513545479570885002877569062006704086275689852186273023788848090316829799473387521912644783/48692584234031619511170531297557148948792408737758057102865502367648802213439766623347565658012036775443034535934354579737213069506986542833291564534721898440276418031002704, -3001898714970855548402399889616028196159159420400469935000232829419978523220930768265987024675135433510382827076633697302241794353930071792473929054877364097440787856588962063271009543444269796081070966606859133658173955552016293592654075159412072048661373373749537276670778222530555628734506921614978859157931676206853731822670748196713662297556313/2370967759388264638178218998083156250589424816098160108471550954665485359175298924541825194156010719202537520748016783951572762060778240654299740482253741082512896178029772179439843027944303864368527798742390324564675768286341822454464232555930418165121339608858719949992213404893163546034572928267874005536511390979813726234626931829711655311616]
[193178346586308027065666087254130619805806411299652215465672776639543708084831023964513545479570885002877569062006704086275689852186273023788848090316829799473387521912644783/48692584234031619511170531297557148948792408737758057102865502367648802213439766623347565658012036775443034535934354579737213069506986542833291564534721898440276418031002704, 3001898714970855548402399889616028196159159420400469935000232829419978523220930768265987024675135433510382827076633697302241794353930071792473929054877364097440787856588962063271009543444269796081070966606859133658173955552016293592654075159412072048661373373749537276670778222530555628734506921614978859157931676206853731822670748196713662297556313/2370967759388264638178218998083156250589424816098160108471550954665485359175298924541825194156010719202537520748016783951572762060778240654299740482253741082512896178029772179439843027944303864368527798742390324564675768286341822454464232555930418165121339608858719949992213404893163546034572928267874005536511390979813726234626931829711655311616]
[611247176238966139286520845776010980491268360369960338704752339377522596300680803211959131370666665581603735537942615257281447099529382419536666424835085999337640684049616883/284329495866209987553194208038707779909945053708933311382053875004889443868141595572818339973221557649615430485250278331060551664803948953733167950549536772857548585389483478, 27316145551301503985550144753111744297132957805573057529212110708898556112161028687567409029702083210253393878578351163479415692011830998533338220725123076983411210996163792677612015818862521663887746347660062172207421229586099634656110875541478903188613545687490899026820729028185259202296941878588137787680498673155411298545515525009066037793536513/80843262219533122400231732154046311842124200070375606418672134403716751754131313382452275769792596544756850891377292427944948533140420676112689812530737288244133407710332457237608774930589947370196648435471481599066869221128935086618232113177135756594197636493379304725644380959311653324847066840987204171301121879856002798410268031254639634976484]
[-611247176238966139286520845776010980491268360369960338704752339377522596300680803211959131370666665581603735537942615257281447099529382419536666424835085999337640684049616883/284329495866209987553194208038707779909945053708933311382053875004889443868141595572818339973221557649615430485250278331060551664803948953733167950549536772857548585389483478, -27316145551301503985550144753111744297132957805573057529212110708898556112161028687567409029702083210253393878578351163479415692011830998533338220725123076983411210996163792677612015818862521663887746347660062172207421229586099634656110875541478903188613545687490899026820729028185259202296941878588137787680498673155411298545515525009066037793536513/80843262219533122400231732154046311842124200070375606418672134403716751754131313382452275769792596544756850891377292427944948533140420676112689812530737288244133407710332457237608774930589947370196648435471481599066869221128935086618232113177135756594197636493379304725644380959311653324847066840987204171301121879856002798410268031254639634976484]
time = 85 ms.
■pari/gpで、曲面C: U4-64V4 = 6577W2の整点をいくつか計算すると、以下のようになる。
gp> ratpointC(v)
[-20363903417612421139, 1610510408687359833, 5106975486965454582435003602977739281]
[20363903417612421139, 1610510408687359833, -5106975486965454582435003602977739281]
[-261031490364366200807, 8347128996462993282, -840151008514666587975087863083976062841]
[261031490364366200807, 8347128996462993282, 840151008514666587975087863083976062841]
[-261031490364366200807, 8347128996462993282, 840151008514666587975087863083976062841]
[261031490364366200807, 8347128996462993282, -840151008514666587975087863083976062841]
[10500084257375984596799, 1980407963453953023564, 1303262616226128053329966805106514807822601]
[-10500084257375984596799, 1980407963453953023564, -1303262616226128053329966805106514807822601]
[22024320179993071755613051, 3142409344984909594388037, -5901385341993913838054270690158581108823795906369]
[-22024320179993071755613051, 3142409344984909594388037, 5901385341993913838054270690158581108823795906369]
[36606813611953714355803800619, 10471651630946395112621335767, 12491144679033292704213072342442888838102695627474225249]
[-36606813611953714355803800619, 10471651630946395112621335767, -12491144679033292704213072342442888838102695627474225249]
[12418043845210301269321859904314639, 3073561806037628478232364555924976, -1657479267800678635216636276520356298349727092661754715780090788201]
[-12418043845210301269321859904314639, 3073561806037628478232364555924976, 1657479267800678635216636276520356298349727092661754715780090788201]
[893518619979461298331886634127130613527, 309360188437717624610366678747672936058, 2790502596802312246656414260803001564454655568905728301480108993281761261081]
[-893518619979461298331886634127130613527, 309360188437717624610366678747672936058, -2790502596802312246656414260803001564454655568905728301480108993281761261081]
[48273767173093056198726858071546801912817751651, 15797004167976728353240100515262739320357387523, -14822951570289795857291935505107619869377446390481621406893606054643709944706578388400418801]
[-48273767173093056198726858071546801912817751651, 15797004167976728353240100515262739320357387523, 14822951570289795857291935505107619869377446390481621406893606054643709944706578388400418801]
[-156993831817301309432817426912920193372526858632630211, 53933706887247289002497363767396577509328732700246837, 100136407002679564406491365037290830811532690467810589324904025471920726781756648149854874571273932471759]
[156993831817301309432817426912920193372526858632630211, 53933706887247289002497363767396577509328732700246837, -100136407002679564406491365037290830811532690467810589324904025471920726781756648149854874571273932471759]
[1338407126942132345192801402122400597345355578106626844658717367, 472579018406488608815149954435029354478258562252004571708411902, 1596672681249582679139037567396252569663811808967453153796337903271006682700205346035179109861600788879433390924234386151719]
[-1338407126942132345192801402122400597345355578106626844658717367, 472579018406488608815149954435029354478258562252004571708411902, -1596672681249582679139037567396252569663811808967453153796337903271006682700205346035179109861600788879433390924234386151719]
[-198298258165000516964736423191831816429111640453405822847697034555607919, 55388703410024210373993704480609422677029083462105586136373400305785864, 378826753799955368215899581994176865464287031837927831154371004299848219756621806733518227750201046882037055999444909157692056864226707224919]
[198298258165000516964736423191831816429111640453405822847697034555607919, 55388703410024210373993704480609422677029083462105586136373400305785864, -378826753799955368215899581994176865464287031837927831154371004299848219756621806733518227750201046882037055999444909157692056864226707224919]
[-268041000843561295732613180315355513363540095363861323956085708592012515127121115339, 83797502294925786091267410106672558508883639807010394733175676748343959421190393313, -552281454369384332940245741877842721012087616869199488475202771487189802832660566696358368125257240300076161371796324307841767247289356168390350314023660439298304991]
[268041000843561295732613180315355513363540095363861323956085708592012515127121115339, 83797502294925786091267410106672558508883639807010394733175676748343959421190393313, 552281454369384332940245741877842721012087616869199488475202771487189802832660566696358368125257240300076161371796324307841767247289356168390350314023660439298304991]
[-1748642850410443657943334116224633913439282395572444676176764412485229081520609108070898412251, 315063377309738043058289390645748447550361904359913912347804899329133206652553790159553649523, 36410354620389367897595800232351727001579834341865727793150300460099056810963147813087186475751340577701155562199267957547426879953377942803941165672894897984560233035157180439421057151]
[1748642850410443657943334116224633913439282395572444676176764412485229081520609108070898412251, 315063377309738043058289390645748447550361904359913912347804899329133206652553790159553649523, -36410354620389367897595800232351727001579834341865727793150300460099056810963147813087186475751340577701155562199267957547426879953377942803941165672894897984560233035157180439421057151]
[-193178346586308027065666087254130619805806411299652215465672776639543708084831023964513545479570885002877569062006704086275689852186273023788848090316829799473387521912644783, 24346292117015809755585265648778574474396204368879028551432751183824401106719883311673782829006018387721517267967177289868606534753493271416645782267360949220138209015501352, -456423706092573445096913469608640443387434912635011393492509172786981682107485292422987231971284085983029166348887592717385098731021753351448065843831133358285052129631893274026305236953667294523501743440300917387589167637527184672746552403742142625613710411091612783437855895169614661507451257657743478661689474868002696035072335137101058582569]
[193178346586308027065666087254130619805806411299652215465672776639543708084831023964513545479570885002877569062006704086275689852186273023788848090316829799473387521912644783, 24346292117015809755585265648778574474396204368879028551432751183824401106719883311673782829006018387721517267967177289868606534753493271416645782267360949220138209015501352, 456423706092573445096913469608640443387434912635011393492509172786981682107485292422987231971284085983029166348887592717385098731021753351448065843831133358285052129631893274026305236953667294523501743440300917387589167637527184672746552403742142625613710411091612783437855895169614661507451257657743478661689474868002696035072335137101058582569]
[611247176238966139286520845776010980491268360369960338704752339377522596300680803211959131370666665581603735537942615257281447099529382419536666424835085999337640684049616883, 142164747933104993776597104019353889954972526854466655691026937502444721934070797786409169986610778824807715242625139165530275832401974476866583975274768386428774292694741739, 4153283495712559523422555078776302918828182728534751030745341448821431672823632155628312152911978593622228049046427119276176933558131518706604564501311095785831110080000576657687701964248520855084042321371455400974216394949992342201020355107416588594893347375321711878792873502841000334848250247618692076582104101133558050561884677665967164025169]
[-611247176238966139286520845776010980491268360369960338704752339377522596300680803211959131370666665581603735537942615257281447099529382419536666424835085999337640684049616883, 142164747933104993776597104019353889954972526854466655691026937502444721934070797786409169986610778824807715242625139165530275832401974476866583975274768386428774292694741739, -4153283495712559523422555078776302918828182728534751030745341448821431672823632155628312152911978593622228049046427119276176933558131518706604564501311095785831110080000576657687701964248520855084042321371455400974216394949992342201020355107416588594893347375321711878792873502841000334848250247618692076582104101133558050561884677665967164025169]
time = 83 ms.

[参考文献]

Last Update: 2005.06.12
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]