Integer Points on A^4+B^4+C^4=2*D^4
[2024.11.30]A^4+B^4+C^4=2*D^4の整点
■平方因子を持たない正整数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
[注意]
正整数nが平方数m^2(m > 0)で割り切れる場合、n=m^2*kとすると、
A^4+B^4+C^4=2*k^2*(m*D)^4
A^4+B^4+C^4=2*k^2*(m*D)^4
となるので、(1)でn=kの場合に、帰着できる。
■(1)およびC!=0より、x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
ここで、ある有理数uに対して、
(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-) ----------(3a)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、その(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。
[pari/gpによる計算]
gp> YY2(n,x)
%1 = ((-n^2 + 4*n - 2)/(n^2 - 2))*x^2 + ((2*n^2 - 4*n + 4)/(n^2 - 2))*x + ((-n^2 + 4*n - 2)/(n^2 - 2))
gp> TT2(n,u,x)
%2 = ((u^2 - 2*u + 2)/((u^2 - 2)*n))*x^2 + ((-u^2 + 4*u - 2)/((u^2 - 2)*n))*x + ((u^2 - 2*u + 2)/((u^2 - 2)*n))
gp> x^4+YY2(u,x)^2+1-2*n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 0
以下では、n=1の場合について、議論する。
■有理数uについて、(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
Tom Womack(参考文献[7])が掲載したN=2のときの9個の整数解(x,y,z,t)およびx,y,zを入れ換えた整数解から求めた有理数uは以下の通りである。uがこれらの有理数のどれかに一致すれば、(3a),(3b)が有理数解を持つ。
u=26/9, 161/16, 4186/2705, 63705/3604, 261950/82549, 694590/363437, 167702/11125, 349178/206209, 5808158/1939669, 19129/5648, 25658/2385, 490811882/293437897,64842/9065, 291054/63781, 1048473526/605410541, 798/197, 8569/1460, 18942/12317, 3357049/1569440, 9228962/2869129, 165247442/9318937, 4246/245, 427898/135073, 908427454/392151461, 938/241, 549178/254753, 5256418/472545
[pari/gpによる計算]
gp> uuu(32,1065,2321,1973)
time = 1 ms.
%5 = [26/9, 161/16, 4186/2705]
gp> uuu(2156,5605,8381,7383)
time = 1 ms.
%6 = [63705/3604, 261950/82549, 694590/363437]
gp> uuu(9845,44747,78212,67467)
time = 1 ms.
%7 = [167702/11125, 349178/206209, 5808158/1939669]
gp> uuu(20091,58120,115003,98267)
time = 1 ms.
%8 = [19129/5648, 25658/2385, 490811882/293437897]
gp> uuu(54796,76165,172667,146907)
time = 1 ms.
%9 = [64842/9065, 291054/63781, 1048473526/605410541]
gp> uuu(37028,64555,209731,176799)
time = 1 ms.
%10 = [798/197, 8569/1460, 18942/12317]
gp> uuu(72681,156145,207512,187589)
time = 1 ms.
%11 = [3357049/1569440, 9228962/2869129, 165247442/9318937]
gp> uuu(122213,246996,303115,280531)
time = 1 ms.
%12 = [4246/245, 427898/135073, 908427454/392151461]
gp> uuu(135168,216035,316229,281239)
time = 1 ms.
%13 = [938/241, 549178/254753, 5256418/472545]
(3a),(3b)が有理数解を持つような有理数uは、他にもあることが予想される。
■以下では、u=938/241のときに、(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を求める。
u=-136/133のとき、(3a),(3b)は
y^2=-153163/26937*x^2 + 16882/26937*x + 18088/26937 ------- (4a)
±t^2=271945/381841*x^2 - 45887/381841*x + 271945/381841 ------- (4b)
となる。(4a)より、
381841^2*y~2=103839750745*x^2 - 17521537967*x + 103839750745 ------ (5)
よって、ratpointsによって、□=103839750745*x^2 - 17521537967*x + 103839750745 となる有理数xをいくつか求めると、
5173/447, 1799/1172, 7083/1424, 1172/1799, 6222/2383, 447/5173, 2383/6222, 1424/7083, ...
となる。
[pari/gpによる計算]
gp> YY2(u0,x)
%16 = -45887/381841*x^2 + 543890/381841*x - 45887/381841
gp> TT2(1,u0,x)
%17 = 271945/381841*x^2 - 45887/381841*x + 271945/381841
gp> h2(381841)
%18 = [381841, 1]
gp> TT2(1,u0,x)*381841^2
%19 = 103839750745*x^2 - 17521537967*x + 103839750745
[ratpointsによる計算]
-bash-3.1$ ratpoints '-17521537967 207679501490 -17521537967' 10000
This is ratpoints-1.5 by Michael Stoll (2001-04-23).
Please acknowledge use of the program in published work.
y^2 = - 17521537967 x^2 + 207679501490 x - 17521537967
max. Height = 10000
Search region:
[-10000.500000, 10000.500000]
Using speed ratios 1000.000000 and 4.000000
10 primes used for first stage of sieving,
45 primes used for both stages of sieving together.
Sieving primes:
First stage: 251, 229, 211, 193, 191, 173, 149, 109, 103, 97
Second stage: 89, 73, 71, 61, 37, 239, 179, 157, 11, 233, 107, 101, 199, 227, 223, 137, 131, 197, 127, 181, 59, 113, 167, 163, 151, 47, 139, 83, 79, 31, 53, 23, 43, 13, 29
Probabilities: Min(251) = 0.500008, Cut1(97) = 0.500053, Cut2(29) = 0.551724, Max(3) = 1.000000
Forbidden divisors of the denominator:
5, 13, 23, 29, 31, 43, 47, 59, 101, 107, 139, 151, 157, 163, 167, 179, 181, 197, 223, 227, 239
(5173 : 447)
(1799 : 1172)
(7083 : 1424)
(1172 : 1799)
(6222 : 2383)
(447 : 5173)
(2383 : 6222)
(1424 : 7083)
84715 candidates survived the first stage,
8 candidates survived the second stage.
8 rational point pairs found.
例えば、(x,y)=(1799/1172,1565/1172)は(3a)の有理点なので、任意の有理数kに対して、直線
y-1565/1172=k*(x-1799/1172)
つまり、
y=k*(x-1799/1172)+1565/1172 ------------- (6)
と２次曲線(6)の交点は高々2個の有理点であり、(1799/1172,1565/1172)と異なる交点(x(k),y(k))は、以下のようになる。
x(k)=(-686931959*k^2 + 1195162330*k - 554888367)/(-447517652*k^2 - 53779564) ------- (7)
y(k)=(597581165*k^2 - 472337654*k - 71813155)/(-447517652*k^2 - 53779564) ----- - (8)
さらに、(7)を(4b)に代入して、
±t^2=(-441756792085502949*k^4 + 1105140965538372180*k^3 - 1560242676909496870*k^2 + 936904311862753060*k - 217759096618870909)/(-200272048851593104*k^4 - 48134608413727456*k^2 - 2892241504030096) -------- (9)
を得る。
両辺に適当な有理数の平方数を掛けて、
±t^2*(381841*k^2 + 45887)^2*1172^2=441756792085502949*k^4 - 1105140965538372180*k^3 + 1560242676909496870*k^2 - 936904311862753060*k + 217759096618870909 ---------- (10)
つまり、
±□=441756792085502949*k^4 - 1105140965538372180*k^3 + 1560242676909496870*k^2 - 936904311862753060*k + 217759096618870909 ---------- (11)
を満たす有理数kを求めれば良い。
[pari/gpによる計算]
gp> gg(1,u0)
ratpoints '-17521537967 207679501490 -17521537967' 10000
ratpoints '103839750745 -17521537967 103839750745' 10000
ratpoints '-103839750745 17521537967 -103839750745' 10000
%15 = [x2, 103839750745*x^2 - 17521537967*x + 103839750745]
gp> YY2(u0,x)
%16 = -45887/381841*x^2 + 543890/381841*x - 45887/381841
gp> TT2(1,u0,x)
%17 = 271945/381841*x^2 - 45887/381841*x + 271945/381841
gp> h2(381841)
%18 = [381841, 1]
gp> TT2(1,u0,x)*381841^2
%19 = 103839750745*x^2 - 17521537967*x + 103839750745
gp> YY(u0,1799/1172)
%20 = 1565/1172
gp> xx(u0,1799/1172,1565/1172)
%21 = (-686931959*k^2 + 1195162330*k - 554888367)/(-447517652*k^2 - 53779564)
(14:43) gp > xk(k)=(-686931959*k^2 + 1195162330*k - 554888367)/(-447517652*k^2 - 53779564)
%22 = (k)->(-686931959*k^2+1195162330*k-554888367)/(-447517652*k^2-53779564)
gp> k*(xk(k)-1799/1172)+1565/1172
%23 = (597581165*k^2 - 472337654*k - 71813155)/(-447517652*k^2 - 53779564)
gp> TT2(1,u0,xk(k))
%24 = (-441756792085502949*k^4 + 1105140965538372180*k^3 - 1560242676909496870*k^2 + 936904311862753060*k - 217759096618870909)/(-200272048851593104*k^4 - 48134608413727456*k^2 - 2892241504030096)
gp> factor(xk(k))
%25 =
[ 381841*k^2 + 45887 -1]
[686931959*k^2 - 1195162330*k + 554888367 1]
gp> TT2(1,u0,xk(k))*(381841*k^2 + 45887)^2*1172^2
%26 = 441756792085502949*k^4 - 1105140965538372180*k^3 + 1560242676909496870*k^2 - 936904311862753060*k + 217759096618870909
gp> factor(%26)
%27 =
[441756792085502949*k^4 - 1105140965538372180*k^3 + 1560242676909496870*k^2 - 936904311862753060*k + 217759096618870909 1]
■楕円曲線E+またはE-の有理点(k,w)をMAGMAを使って求める。ここで、
E+: w^2=441756792085502949*k^4 - 1105140965538372180*k^3 + 1560242676909496870*k^2 - 936904311862753060*k + 217759096618870909
E-: w^2=-(441756792085502949*k^4 - 1105140965538372180*k^3 + 1560242676909496870*k^2 - 936904311862753060*k + 217759096618870909)
である。
楕円曲線E-の有理点はMAGMA 4-descentに失敗するので、見つからなかった。
[MAGMA 4-descemntによる計算]
> SetClassGroupBounds("GRH");
> P := PolynomialRing(Rationals());
> C := HyperellipticCurve(-(441756792085502949*k^4 - 1105140965538372180*k^3 + 1560242676909496870*k^2 - 9369043118627\
53060*k + 217759096618870909));
> fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
> #fd;
0
>
楕円曲線E+の有理点はMAGMA 4-descentを使って、見つかった。
[MAGMA 4-descentによる計算]
> function RP4(fd,M)
function> T0:=Realtime();
function> for J:=1 to #fd do
function|for> FD:=fd[J];
function|for> printf "J="; J;
function|for> pts:=PointsQI(FD,M);
function|for> F,m:=AssociatedEllipticCurve(FD); F;
function|for> for K:=1 to #pts do
function|for|for> P:=m(pts[K]); P; printf "height "; Height(P);
function|for|for> IsPoint(F,P[1]);
function|for|for> end for; //K
function|for> end for; //J
function> T1:=Realtime(T0);
function> printf "realtime="; T1;
function> return #fd;
function> end function;
>
> SetClassGroupBounds("GRH");
> P := PolynomialRing(Rationals());
> C := HyperellipticCurve((441756792085502949*k^4 - 1105140965538372180*k^3 + 1560242676909496870*k^2 - 93690431186275\
3060*k + 217759096618870909));
> fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
> #fd;
16
> RP4(fd,10^10);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
(-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876 :
15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624 : 1)
height 67.0123710512507794582433780952
true (-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876 :
15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624 : 1)
(-67211611541272335420461570729505983862449106654372141847748035242948015947/950590562257920750746781276183163823207689\
526122527557939340676 : -3113045590452212227371844513730416373442428202567711410920608298435896098785088273099239965645\
0339955301707065/29308274283827451713261721846037976567387334036942835019879624578816251872866650608769703027576 : 1)
height 147.208815452799612545462396863
true (-67211611541272335420461570729505983862449106654372141847748035242948015947/9505905622579207507467812761831638232\
07689526122527557939340676 : 311304559045221222737184451373041637344242820256771141092060829843589609878508827309923996\
56450339955301707065/29308274283827451713261721846037976567387334036942835019879624578816251872866650608769703027576 :
1)
(-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876 :
15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624 : 1)
height 67.0123710512507794582433780952
true (-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876 :
15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624 : 1)
(-67211611541272335420461570729505983862449106654372141847748035242948015947/950590562257920750746781276183163823207689\
526122527557939340676 : -3113045590452212227371844513730416373442428202567711410920608298435896098785088273099239965645\
0339955301707065/29308274283827451713261721846037976567387334036942835019879624578816251872866650608769703027576 : 1)
height 147.208815452799612545462396863
true (-67211611541272335420461570729505983862449106654372141847748035242948015947/9505905622579207507467812761831638232\
07689526122527557939340676 : 311304559045221222737184451373041637344242820256771141092060829843589609878508827309923996\
56450339955301707065/29308274283827451713261721846037976567387334036942835019879624578816251872866650608769703027576 :
1)
(-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876 :
15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624 : 1)
height 67.0123710512507794582433780952
true (-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876 :
15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624 : 1)
(-67211611541272335420461570729505983862449106654372141847748035242948015947/950590562257920750746781276183163823207689\
526122527557939340676 : -3113045590452212227371844513730416373442428202567711410920608298435896098785088273099239965645\
0339955301707065/29308274283827451713261721846037976567387334036942835019879624578816251872866650608769703027576 : 1)
height 147.208815452799612545462396863
true (-67211611541272335420461570729505983862449106654372141847748035242948015947/9505905622579207507467812761831638232\
07689526122527557939340676 : 311304559045221222737184451373041637344242820256771141092060829843589609878508827309923996\
56450339955301707065/29308274283827451713261721846037976567387334036942835019879624578816251872866650608769703027576 :
1)
(-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876 :
15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624 : 1)
height 67.0123710512507794582433780952
true (-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876 :
15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624 : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=3
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=3
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
(-15023822584857271755323/316381500484 : -1980204531609300066750862899329745/177957633629239352 : 1)
height 28.5853265616468578550257698820
true (-15023822584857271755323/316381500484 : 1980204531609300066750862899329745/177957633629239352 : 1)
(-15023822584857271755323/316381500484 : -1980204531609300066750862899329745/177957633629239352 : 1)
height 28.5853265616468578550257698820
true (-15023822584857271755323/316381500484 : 1980204531609300066750862899329745/177957633629239352 : 1)
(-15023822584857271755323/316381500484 : -1980204531609300066750862899329745/177957633629239352 : 1)
height 28.5853265616468578550257698820
true (-15023822584857271755323/316381500484 : 1980204531609300066750862899329745/177957633629239352 : 1)
(-15023822584857271755323/316381500484 : -1980204531609300066750862899329745/177957633629239352 : 1)
height 28.5853265616468578550257698820
true (-15023822584857271755323/316381500484 : 1980204531609300066750862899329745/177957633629239352 : 1)
J=4
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=5
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=6
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=7
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=8
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=9
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=10
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=11
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=12
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=13
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=14
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=15
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
J=16
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560 over Rational
Field
realtime=24316.183
16
>
楕円曲線Mbr>
E2: y^2 = x^3 + x^2 - 5327572423989063258092*x - 22088494590096291556290066934560
の有理点
Q1(-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876, 15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624)
height(Q1)=67.012371051250779458243378095196066379
Q2(-67211611541272335420461570729505983862449106654372141847748035242948015947/950590562257920750746781276183163823207689526122527557939340676, 31130455904522122273718445137304163734424282025677114109206082984358960987850882730992399656450339955301707065/29308274283827451713261721846037976567387334036942835019879624578816251872866650608769703027576)
height(Q2)=147.20881545279961254546239686338373859
は１次独立であるので、rank(E2)は2以上である。
これより、楕円曲線
E0: y^2=x^3-13027011920999607049109457929169629184*x-2670787226739858285232407917885170962823516982783508480
の有理点を求めると、
P1(-2751932070587419173748499909618872681278244080/4570299426627981488332810969, 687756415255085718499124721564815853707711114118216855860657674290240/308970475474215798500893011178628718207203)
height(P1)=67.012371051250779458243378095196066379
P2(-830887148041846028225008124070778425602070318741841203760025777490911913859588080/237647640564480187686695319045790955801922381530631889484835169, 1353106811154063740769909369333931224379255358353948607784608922008371382236402465547119239983446656811670402070477858240/3663534285478431464157715230754747070923416754617854377484953072352031484108331326096212878447)
height(P2)=147.20881545279961254546239686338373859
となる。
楕円曲線E0の有理点P1,P2から、楕円曲線E+の有理点P(x,y)をいくつか求めると、そのx座標kは以下のようになる。
30407075/26279287,
945967865/1248057599,
1588437129/13721456335,
-1219384020107/2053661177915,
7238621986098507/15401438000287805,
2523484525026218281/616919842550050055,
7918680427205562475/1555531906528806611,
206736470097243783595/455301048052810772797,
67894850173916916719315/284272617120491254805807,
-11406552876127364645246855/8312938824148780426752383,
290157027339362326908805193/203403933781733781606373135,
24836379138590189117837568873/37450259193857864779920643975,
59119753168574500344511852042541599146030143212531/80531942916272290909196354054205076510511037257045,
5899052009973968657607739374986290502199527513150091/4872598158246038860927066737600301097060213712856325,
-7156549106013460647943623161255911730566650508310945/9904307575498282160550911204810848846693742352348679,
306339257986856753681671914442787946614938121166815315/2070347241147865363291315221807210585802457450699932501,
...
[pari/gpによる計算]
gp> v=rp4(%26)
[441756792085502949, -1105140965538372180, 1560242676909496870, -936904311862753060, 217759096618870909]
ratpoints '217759096618870909 -936904311862753060 1560242676909496870 -1105140965538372180 441756792085502949' 10000
[-441756792085502949, 1105140965538372180, -1560242676909496870, 936904311862753060, -217759096618870909]
ratpoints '-217759096618870909 936904311862753060 -1560242676909496870 1105140965538372180 -441756792085502949' 10000
%29 = [441756792085502949, -1105140965538372180, 1560242676909496870, -936904311862753060, 217759096618870909]
gp> e0=E0(v)
v=[441756792085502949, -1105140965538372180, 1560242676909496870, -936904311862753060, 217759096618870909]
I=482481922999985446263313256635912192
J=98918045434809566119718811773524850474945073436426240
%30 = [0, 0, 0, -13027011920999607049109457929169629184, -2670787226739858285232407917885170962823516982783508480, 0, -26054023841999214098218915858339258368, -10683148906959433140929631671540683851294067931134033920, -169703039589865872289129081908691868400041535696343139591385973932064505856, 625296572207981138357253980600142200832, 2307560163903237558440800441052787711879518673124951326720, 138404804159748012646493277879553741052109520552451286600980107486406639816418015258752835354324491458857670803456, 65323859151321816674844218078344528270950027394297264968010959870928/36979825292600698668617888630179285523047418514450390651149657601, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, 1])], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
gp> e2=E2(v)
v=[441756792085502949, -1105140965538372180, 1560242676909496870, -936904311862753060, 217759096618870909]
I=482481922999985446263313256635912192
J=98918045434809566119718811773524850474945073436426240
rr=[7032, 16483008, 0, 0]
time = 1 ms.
%31 = [0, 1, 0, -5327572423989063258092, -22088494590096291556290066934560, 4, -10655144847978126516184, -88353978360385166225160267738240, -28383027932937057185165572888564722471218704, 255723476351475036388432, 19084459324308855046525767613129280, 9466835274905778859166179489325897093900139139699300006694312345856, 65323859151321816674844218078344528270950027394297264968010959870928/36979825292600698668617888630179285523047418514450390651149657601, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, 1])], [0, 0, 0, 0, 0, [1342977080766760413422867496, 32768, [2, 3; 3, 1; 7, 1; 11, 1; 17, 1; 19, 1; 41, 1; 67, 1; 139, 1; 241, 1; 4243, 1; 15091, 1; 381841, 1], [[3, -5, 0, 2], [1, 8, 0, 4], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 8, 0, 4]]], 0, [[2]~]]]
gp> Q1=QQ(e2,-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876)
%32 = [-222607594492684139186245968495953676347/18281197706511925953331243876, 15822971683876111689353018914019039153037833964005100742815/2471763803793726388007144089429029745657624]
gp> ellheight(e2,Q1)
time = 1 ms.
%33 = 67.012371051250779458243378095196066379
gp> Q2=QQ(e2,-67211611541272335420461570729505983862449106654372141847748035242948015947/950590562257920750746781276183163823207689526122527557939340676)
%34 = [-67211611541272335420461570729505983862449106654372141847748035242948015947/950590562257920750746781276183163823207689526122527557939340676, 31130455904522122273718445137304163734424282025677114109206082984358960987850882730992399656450339955301707065/29308274283827451713261721846037976567387334036942835019879624578816251872866650608769703027576]
gp> ellheight(e2,Q2)
%35 = 147.20881545279961254546239686338373859
(15:03) gp > P1=ellchangepointinv(Q1,[7032, 16483008, 0, 0])
%36 = [-2751932070587419173748499909618872681278244080/4570299426627981488332810969, 687756415255085718499124721564815853707711114118216855860657674290240/308970475474215798500893011178628718207203]
gp> ellheight(e0,P1)
time = 1 ms.
%37 = 67.012371051250779458243378095196066379
gp> P2=ellchangepointinv(Q2,[7032, 16483008, 0, 0])
%38 = [-830887148041846028225008124070778425602070318741841203760025777490911913859588080/237647640564480187686695319045790955801922381530631889484835169, 1353106811154063740769909369333931224379255358353948607784608922008371382236402465547119239983446656811670402070477858240/3663534285478431464157715230754747070923416754617854377484953072352031484108331326096212878447]
gp> ellheight(e0,P2)
time = 1 ms.
%39 = 147.20881545279961254546239686338373859
gp> elltors(e0)
%40 = [4, [2, 2], [[-3502053291931792512, 0], [-205687174793766720, 0]]]
gp> T1=[-3502053291931792512, 0];T2=[-205687174793766720, 0];T3=elladd(e0,T1,T2)
%41 = [3707740466725559232, 0]
gp> L1=cc2(20,v,P1,P2);length(L1)
v=[441756792085502949, -1105140965538372180, 1560242676909496870, -936904311862753060, 217759096618870909]
I=482481922999985446263313256635912192
J=98918045434809566119718811773524850474945073436426240
time = 1min, 50,397 ms.
%42 = 1720
gp> L2=cc2t(20,v,P1,P2,T1);length(L2)
v=[441756792085502949, -1105140965538372180, 1560242676909496870, -936904311862753060, 217759096618870909]
I=482481922999985446263313256635912192
J=98918045434809566119718811773524850474945073436426240
time = 1min, 44,428 ms.
%43 = 0
gp> L3=cc2t(20,v,P1,P2,T2);length(L3)
v=[441756792085502949, -1105140965538372180, 1560242676909496870, -936904311862753060, 217759096618870909]
I=482481922999985446263313256635912192
J=98918045434809566119718811773524850474945073436426240
time = 1min, 42,958 ms.
%44 = 0
gp> L4=cc2t(20,v,P1,P2,T3);length(L4)
v=[441756792085502949, -1105140965538372180, 1560242676909496870, -936904311862753060, 217759096618870909]
I=482481922999985446263313256635912192
J=98918045434809566119718811773524850474945073436426240
time = 1min, 47,433 ms.
%45 = 0
gp> L1[1..20]
%46 = [30407075/26279287, 945967865/1248057599, 1588437129/13721456335, -1219384020107/2053661177915, 7238621986098507/15401438000287805, 7238621986098507/15401438000287805, 2523484525026218281/616919842550050055, 2523484525026218281/616919842550050055, 7918680427205562475/1555531906528806611, 7918680427205562475/1555531906528806611, 206736470097243783595/455301048052810772797, 206736470097243783595/455301048052810772797, 67894850173916916719315/284272617120491254805807, -11406552876127364645246855/8312938824148780426752383, 290157027339362326908805193/203403933781733781606373135, 24836379138590189117837568873/37450259193857864779920643975, 59119753168574500344511852042541599146030143212531/80531942916272290909196354054205076510511037257045, 5899052009973968657607739374986290502199527513150091/4872598158246038860927066737600301097060213712856325, -7156549106013460647943623161255911730566650508310945/9904307575498282160550911204810848846693742352348679, 306339257986856753681671914442787946614938121166815315/2070347241147865363291315221807210585802457450699932501]
■これらの有理数kを(7),(8),(9)に代入すると、方程式系(3a),(3b)の有理数解x,y,tが求まる。
(4)より、(2)の有理数解(r,s,t)が求まる。
(2)の両辺に適当な整数を掛けることにより、(1)の整数解(A,B,C,D)をいくつか求めつことができる。A,B,C,Dを正整数として良い。
ここで、0 <= A <=B <= C <= Dを満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
■(2)に(7),(8),(9)を代入して、変数kをxに置き換えると、以下の整数係数多項式の等式を得る。
(686931959*x^2-1195162330*x+554888367)^4+(597581165*x^2-472337654*x-71813155)^4+(447517652*x^2+53779564)^4
=2*(441756792085502949*x^4-1105140965538372180*x^3+1560242676909496870*x^2-936904311862753060*x+217759096618870909)^2 -------(13)
ここで、楕円曲線
E(938/241): y^2=441756792085502949*x^4-1105140965538372180*x^3+1560242676909496870*x^2-936904311862753060*x+217759096618870909
の有理点P(x,y)を求めることができれば、そのx座標を(13)に代入することにより、A^4+B^4+C^4=2*D^4の整数解が得られる。
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves fpr x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
- [5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
- [7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
| Last Update: 2024.11.30 |
| H.Nakao |