Homeに戻る  一覧に戻る 

Rational Points on Elliptic Curves: x^4+x^3+x^2+x+1=31^e*(y^2+y+1)

[2024.01.22]x^4+x^3+x^2+x+1=31^e*(y^2+y+1)の有理点

■X(旧Twitter)で見かけたTomohiro Yamadaさんの投稿に興味を持ったので、調べてみた。
疑問:
x^4+x^3+x^2+x+1=31^e (y^2+y+1)
となる整数 x, y, e は x=2, y=5 または -6, e=0 のみか？

以下では、整数eを固定して、整数解(x,y)を調べるために、先に有理数解(x,y)を求める。

■整数eを固定したとき、Diophantus方程式
     C(e): x^4+x^3+x^2+x+1=31^e*(y^2>+y+1) ----- (1)
で表される楕円曲線C(e)の有理点[x,y]を求める。

変換後の楕円曲線の係数をできるだけ小さくするため、整数eが偶数のときと奇数のときに処理を分ける。

■eが偶数のとき、e+2=2*f(fは整数)とする。
(1)より、
     4*(x^4+x^3+x^2+x+1)=31^(2*f)*((2*y+1)^2+3)
     31^(2*f)*((2*y+1)^2+3)=4*(x^4+x^3+x^2+x+1)=
Y=31^f*(2*y+1)とすると、
     Y^2+3*31^(2*f)=4*(x^4+x^3+x^2+x+1)=
     Y^2=4*(x^4+x^3+x^2+x+1)-3*31^(2*f)
よって、楕円曲線
     D(e): Y^2=4*x^4+4*x^3+4*x^2+4*x+(4-3*31^(e-2)) ------ (2-1)
に変換できた。

■eが奇数のとき、e+3=2*f(fは整数)とする。
(1)より、
     4*31*(x^4+x^3+x^2+x+1)=31^(2*f)*((2*y+1)^2+3)
     31^(2*f)*((2*y+1)^2+3)=4*31*(x^4+x^3+x^2+x+1)=
Y=31^f*(2*y+1)とすると、
     Y^2+3*31^(2*f)=4*31*(x^4+x^3+x^2+x+1)=
     Y^2=4*31*(x^4+x^3+x^2+x+1)-3*31^(2*f)
よって、楕円曲線
     D(e): Y^2=124*x^4+124*x^3+124*x^2+124*x+(124-3*31^(e-3)) ------ (2-2)
に変換できた。

なお、e>=0のときと同様に、e<0のときの変換で楕円曲線を導くことができるが、そのstandard minimal integral modelを求めると、同一の楕円曲線になる。

■(2-1)と(2-2)を１つにまとめると、以下のようになる。
     D(e): Y^2=a*x^4+a*x^3+a*x^2+a*x+g ------ (2)
ただし、
     a = 4*31^(e%2),
     g = a-3*31^(e-e%2-2)
である。
a!=0,g!=0であることに注意する。
ここで、楕円曲線D(e)がy0!=0である有理点(x0.y0)を持つと仮定aする。
x=X+x0とすると、
     y0^2=a*x0^4+ax0^3+a*x0^2+a*x0+g
より、      Y^2=a*X^4+(4*a*x0 + a)*X^3+(6*a*x0^2+3*a*x0+a)*X^2+(4*a*x0^3+3*a*x0^2+2*a*x0+a)*X+y0^2
ここで、
     b=4*a*x0 + a,
     c=6*a*x0^2+3*a*x0+a,
     d=4*a*x0^3+3*a*x0^2+2*a*x0+a,
     q=y0
     w=[a,b,c,d,q]
とすると、楕円曲線
     D_w: Y^2=a*X^4+b*X^3+c*X^2+d*X+q^2 --------- (4)
を得る。
a*q!=0より、楕円曲線D_wは、双有理変換φ:(X,Y)→(x,y)
     x = {2*q*(Y+q)+d*X}/X^2 ---------- (5)
     y = {4*q^2*(Y+q)+2*q*(d*X+c*X^2)-d^2*X^2/(2*q)}/X^3 -------- (6)
によって、以下の楕円曲線にQ-isomorphicである。
     E2: y2+a1*x*y+a3*y = x^3+a2*x^2+a4*x+a6 ----------- (7)
ただし、
     a1 = d/q,
     a2 = c-d^2/(4*q^2),
     a3 = 2*q*b,
     a4 = -4*q^2*a,
     a6 = a2*a4 = a*(d^2-4*q^2*c)
である。
楕円曲線E2の有理点(x,y)が求まったら、有理変換φの逆変換ψ:(x,y)→(X,Y)
     X = {2*q*(x+c)-d^2/(2*q)}/y,
     Y = {(4*q^2*x+4*c*q^2-d^2)*(4*q^2*x^2+(4*c*q^2-d^2)*x-2*d*q*y)}/{8*q^3*y^2}-q
によって、楕円曲線D_wの有理点(X,Y)を求めることができて、さらに、楕円曲線C(e)の有理点を求めることができる。


■a,b,c,d,eを整数(または有理数)の定数とする。
     v=[a,b,c,d,e]
     G(v,x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e
とする。
楕円曲線(4)を一般化した楕円曲線
     D(v): y^2=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e ----------(8)
の有理点を求めたい。

不変式論で良く知られている4次2項形式のsyzygy(参考文献[3] §2.2)と呼ばれる等式がある。
     E(v): Y^2 = X^3-27*I(v)*X-27*J(v) ------------(9)
ここで、
     I(v) = 12*a*e-3*b*d+c^2
     J(v) = 72*a*c*e+9*b*c*d-27*a*d^2-27*e*b^2-2*c^3
     X = 3*G4(v,x,1)/(4*y^2) ----- (10)
     Y = 27*G6(v,x,1)/(8*y^3) ----- (11)
     G4(v,x,y) = (3*b^2-8*a*c)*x^4+4*(b*c-6*a*d)*x^3*y+2*(2*c^2-24*a*e-3*b*d)*x^2*y^2+4*(c*d-6*b*e)*x*y^3+(3*d^2-8*c*e)*y^4
     G6(v,x,y) = (b^3+8*a^2*d-4*a*b*c)*x^6+2*(16*a^2*e+2*a*b*d-4*a*c^2+b^2*c)*x^5*y+5*(8*a*b*e+b^2*d-4*a*c*d)*x^4*y^2+20*(b^2*e-a*d^2)*x^3*y^3-5*(8*a*d*e+b*d^2-4*b*c*e)*x^2*y^4-2*(16*a*e^2+2*b*d*e-4*c^2*e+c*d^2)*x*y^5-(d^3+8*b*e^2-4*c*d*e)*y^6
である。
このとき、(x,y)が楕円曲線D(v)の有理点であるならば、(10),(11)で定まる有理変換τ:(x,y)→(X,Y)によって、(X,Y)は楕円曲線E(v)の有理点であることが、簡単な計算で確認できる。

以下の手順で、D(v)の有理点を求める。
【手順1】楕円曲線E(v)のねじれ点群とMordell-Weil群の生成元を求める。
     もし可能であれば、E(v)のrankまたはanalytic rankも求める。
【手順2】楕円曲線E(v)の有理点Q[X,Y]をheightの低いものからいくつか求める。
【手順3】楕円曲線E(v)の各有理点Qのx座標Xを使って、(8),(10)より、
     3*G4(v,x,1)-(4*y^2)*X=0
     3*G4(v,x,1)-4*G(v,x)*X=0
となるので、xを変数とする4次多項式 3*G4(v,x,1)-4*G(v,x)*X をQ[x]の元として因数分解する。
【手順4】もし一次因子があれば、その零点である有理数xを求める。
     もし一次因子がなければ、Q[X,Y}に対応する楕円曲線D(v)の有理点[x,y]は存在しない。
【手順5】G(v,x)の平方根yを求めることにより、楕円曲線D(v)の有理点P[x,y}を求める。

■e=10の場合の楕円曲線C(10)の有理点を求める。.
     C(10): x^4+x^3+x^2+x+1=31^10*(y^2+y+1)
     4*(x^4+x^3+x^2+x+1)=31^10*4*(y^2+y+1)
     4*(x^4+x^3+x^2+x+1)=31^10*((2*y+1)^2+3)
     4*(x^4+x^3+x^2+x+1*y+1)-3*31^10=31^10*(2*y+1)^2
Y=31^5*(2*y+1)とすると、
     Y^2=4*(x^4+x^3+x^2+x+1)-3*3110
     Y^2=4*x^4+4*x^3+4*x^2+4*x-2458884860942399
v=[4,4,4,4,-2458884860942399]とする。
sygyzyによって、
     I(v)=-118026473325235184
     J(v)=-1770397099878528560
変換された楕円曲線は
     E0(v): y^2=x^3+3186714779781349968*x+47800721696720271120
であり、E0(v)のstandard minimal integral modelは
     E2(v): y^2+y=x^3+x^2+3186714779781349968*x+47800721696720271120
である。
E0(v)のねじれ点群は自明な群{O}である。
E0(v)を変換[6, 12, 0, 108]で写すと、E0(v)のstandard minimal integral model E2(v)になる。
MAGMA 4-descentにより、E2(v)の有理点を求める。
[Magma V2.25-3による計算]
> function RP(E,fd,M)
function>  T0:=Realtime();
function> for J:=1 to #fd do
function|for>   FD:=fd[J];
function|for>   F,m:=AssociatedEllipticCurve(FD); F; IsIsomorphic(F,E); Isomorphism(F,E);
function|for>   for K:=1 to #pts do
function|for|for>   end for; //K
function|for> end for;  //J
function>  T1:=Realtime(T0);
function>  printf "realtime="; T1;
function>  return #fd;
function> end function;
>
> SetClassGroupBounds("GRH");
> E:=EllipticCurve([0, 1, 1, 2458884860942400, 1844163645706800]);
> td:=TwoDescent(E:RemoveTorsion);
> #td;  // td;
3
> td;
[
    Hyperelliptic Curve defined by y^2 = 44803441*x^4 - 30891730*x^3 + 4321936*x^2 - 45980158*x - 211635405 over
    Rational Field,
    Hyperelliptic Curve defined by y^2 = 37640416*x^4 + 21599884*x^3 + 2011864*x^2 - 43173556*x - 267505351 over
    Rational Field,
    Hyperelliptic Curve defined by y^2 = 4*x^4 + 4*x^3 + 4*x^2 + 4*x - 2458884860942399 over Rational Field
]
>
> printf "root number="; RootNumber(E);
root number=1
> fd:=[]; time fd:=FourDescent(td[1]:RemoveTorsion); #fd;  // fd;
Time: 772.688
2
> RP(E,fd,10^8);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=91.698
2
> RP(E,fd,10^10);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=2823.880
2
> RP(E,fd,10^12);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=59057.801
2
> fd2:=[]; time fd2:=FourDescent(td[2]:RemoveTorsion); #fd2;  // fd;
Time: 725.250
2
> RP(E,fd2,10^8);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 +RP y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=84.977
2
> RP(E,fd2,10^10);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=2730.495
2
> fd3:=[]; time fd3:=FourDescent(td[3]:RemoveTorsion); #fd3;  // fd;
Time: 83.797
2
> RP(E,fd3,10^8);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
(-3/4 : 1/8 : 1)
height 19.1055365278796761222723187846
true (-3/4 : 1/8 : 1)
(-7187104468204107359208072694806042636473787443840576210879831433443/9582805957605492717345004151678023034951143428806\
898460663605465124 : -7045351335635224138896200843871219473251417832371747574788990868078087123940465863193858685729549\
9151/29664637202674627953247161447888905998908712436733741994796073695329953575909485887005608026299035432 : 1)
height 171.949828750917085100450869062
true (-7187104468204107359208072694806042636473787443840576210879831433443/95828059576054927173450041516780230349511434\
28806898460663605465124 : 407888761536776134357148469908232887336054658869837337530938349854509176634951727449329788309\
96463719/29664637202674627953247161447888905998908712436733741994796073695329953575909485887005608026299035432 : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=86.053
2
> RP(E,fd3,10^12);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
(-7187104468204107359208072694806042636473787443840576210879831433443/9582805957605492717345004151678023034951143428806\
898460663605465124 : -7045351335635224138896200843871219473251417832371747574788990868078087123940465863193858685729549\
9151/29664637202674627953247161447888905998908712436733741994796073695329953575909485887005608026299035432 : 1)
height 171.949828750917085100450869062
true (-7187104468204107359208072694806042636473787443840576210879831433443/95828059576054927173450041516780230349511434\
28806898460663605465124 : 407888761536776134357148469908232887336054658869837337530938349854509176634951727449329788309\
96463719/29664637202674627953247161447888905998908712436733741994796073695329953575909485887005608026299035432 : 1)
(-3/4 : 1/8 : 1)
height 19.1055365278796761222723187846
true (-3/4 : 1/8 : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=48452.226
2
> RP(E,fd2,10^12);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=61091.263
2
> RP(E,fd,10^13);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 + 2458884860942400*x + 1844163645706800 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=292589.482
2
E2(v)のMordell-Weil群のrankは1,その生成元はQ=[-3/4, 1/8]である。
Qを変換[6, 12, 0, 108]^(-1)で写すと、E0(v)のMordell-Weil群の生成元P=[-15, 135]を得る。
E0(v)の自明でない有理点n*P (n=1,2,3,4,...,10)のx座標Xについて、4次多項式3*G4(v,x,1)-4*G(v,x)*Xを因数分解して、一次因子の零点つまりD(v)の有理点のx座標を求めると、以下のようになる。
39342157775078393/40,
-60894003402094777851252481842259193158901059677417/61912215135966481480682911881236360,
3708079650334326609114575620600835408900308238915133592193251258649160776329721652838065087769423569/7540165278241531528557895517777296272032724725274817226281283708192270650780005939440,
-8883451941124878355747446208792490894779003369596849123938453393571817222706716598163812126498899415870900613410125798001136087205974305824064705569605704802756908209/18063985187415756495055207754984840366946647234753594540001475296223246194032655414529092575187857296629081231084251894920553495999629005370376657622640,
...

これにより、C(10)の有理点をいくつか求めると、以下のようになる。

[39342157775078393/40, 1547805378399162037017049893710109/45806641600],
[39342157775078393/40, -1547805378399162037017095700351709/45806641600],
[-60894003402094777851252481842259193158901059677417/61912215135966481480682911881236360, 3708079650334328494155840311466360452413702199285246877902644145539701045886734874928026123974894629/109739039505594899773708177181606809939637825138388178348802368426184091889600],
[-60894003402094777851252481842259193158901059677417/61912215135966481480682911881236360, -3708079650334328494155950050505866047313475907462428484712583783364839434065083677296452308066784229/109739039505594899773708177181606809939637825138388178348802368426184091889600],
[3708079650334326609114575620600835408900308238915133592193251258649160776329721652838065087769423569/7540165278241531528557895517777296272032724725274817226281283708192270650780005939440, 13749854693223555871300199396101419524221626945480593738085535195032427623662068652238837142938882625312854740700955240432547184557090101792427496016007855662783828736364197042761895433038969499589241/1627684396951725587290786926743883438848324685620485563946252015748807054169421920339900877887158496089779667651501385773756440834214498411128765660505670856862021143585928953600],
[3708079650334326609114575620600835408900308238915133592193251258649160776329721652838065087769423569/7540165278241531528557895517777296272032724725274817226281283708192270650780005939440, -13749854693223555871301827080498371249808917732407337621524383519718048109226014904254585949993052047233194641578842398928636964224741603178201252456842070161194957502024702713618757454182555428542841/1627684396951725587290786926743883438848324685620485563946252015748807054169421920339900877887158496089779667651501385773756440834214498411128765660505670856862021143585928953600],
[-8883451941124878355747446208792490894779003369596849123938453393571817222706716598163812126498899415870900613410125798001136087205974305824064705569605704802756908209/18063985187415756495055207754984840366946647234753594540001475296223246194032655414529092575187857296629081231084251894920553495999629005370376657622640, 78915718390275288989245863908446225860504593809091853195286059211376457764287570734490803148100274106789055674814150562332854093746693696553571951033274332902556627054042925692756587313532673111024165636326694039470557300802176050333555542281310695884117893561932944913944392993018872431887081916792320426743514836320298072847230601/9341908432050002318123522177441222634740611654202905569445019204303991234774196408902714031025155817952935238137047990545715552776697639051537333594770843835274723240815430173847740005636353363254235583887664194744014967503181184727798756711656692047870310223702737101457672246642205758393180909818179804409600],
[-8883451941124878355747446208792490894779003369596849123938453393571817222706716598163812126498899415870900613410125798001136087205974305824064705569605704802756908209/18063985187415756495055207754984840366946647234753594540001475296223246194032655414529092575187857296629081231084251894920553495999629005370376657622640, -78915718390275288989255205816878275862822717331269294417920799823030660669857015753695107139335048303197958388845175718150807028984830744544117666586051030541608164387637696536591862036773488541198013376332330392833811536386063714528299557248813877068845692318644601605992263303242575168988539589038962632501908017230116252651640201/9341908432050002318123522177441222634740611654202905569445019204303991234774196408902714031025155817952935238137047990545715552776697639051537333594770843835274723240815430173847740005636353363254235583887664194744014967503181184727798756711656692047870310223702737101457672246642205758393180909818179804409600],
...

[Pari/gpによる計算]
(16:34) gp > v=v1(31,10)
K=31^5
%17 = [4, 4, 4, 4, -2458884860942399]
(16:54) gp > e0=E0(v)
v=[4, 4, 4, 4, -2458884860942399]
I=-118026473325235184
J=-1770397099878528560
%18 = [0, 0, 0, 3186714779781349968, 47800721696720271120, 0, 6373429559562699936, 191202886786881084480, -10155151087676897822804061916493601024, -152962309429504798464, -41299823545966314247680, -2071140483968808798037110467072700976956699317175874203648, 1644138091856557539307734422532563414664056674709504/951468803157730510928360669623102351817641411243, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, -1])], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
(16:54) gp > elltors(e0)
%19 = [1, [], []]
(16:54) gp > e2=E2(v)
v=[4, 4, 4, 4, -2458884860942399]
I=-118026473325235184
J=-1770397099878528560
rr=[6, 12, 0, 108]
time = 25 ms.
%20 = [0, 1, 1, 2458884860942400, 1844163645706800, 4, 4917769721884800, 7376654582827201, -6046114759371718408361534932799, -118026473325235184, -885198549939264280, -951468803157730510928360669623102351817641411243, 1644138091856557539307734422532563414664056674709504/951468803157730510928360669623102351817641411243, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, -1])], [0, 0, 0, 0, 0, [951468803157730510928360669623102351817641411243, 1, [7, 1; 223, 1; 12343, 1; 129491, 1; 52667462441542087, 1; 7240839851976361073, 1], [[1, 5, 0, 1], [1, 5, 0, 1], [1, 5, 0, 1], [1, 5, 0, 1], [1, 5, 0, 1], [1, 5, 0, 1]]], 0, [[]~]]]
(16:54) gp > Q=[-3/4, 1/8]
%21 = [-3/4, 1/8]
(16:55) gp > P=ellchangepointinv(Q,[6, 12, 0, 108])
%22 = [-15, 135]
(16:55) gp > ss1x(v,P,10)
v=[4, 4, 4, 4, -2458884860942399]
I=-118026473325235184
J=-1770397099878528560
time = 3 ms.
%23 = [39342157775078393/40, -60894003402094777851252481842259193158901059677417/61912215135966481480682911881236360, 3708079650334326609114575620600835408900308238915133592193251258649160776329721652838065087769423569/7540165278241531528557895517777296272032724725274817226281283708192270650780005939440, -8883451941124878355747446208792490894779003369596849123938453393571817222706716598163812126498899415870900613410125798001136087205974305824064705569605704802756908209/18063985187415756495055207754984840366946647234753594540001475296223246194032655414529092575187857296629081231084251894920553495999629005370376657622640]
(16:55) gp > ww=ss1x(v,P,20)[1..5]
v=[4, 4, 4, 4, -2458884860942399]
I=-118026473325235184
J=-1770397099878528560
time = 27 ms.
%24 = [39342157775078393/40, -60894003402094777851252481842259193158901059677417/61912215135966481480682911881236360, 3708079650334326609114575620600835408900308238915133592193251258649160776329721652838065087769423569/7540165278241531528557895517777296272032724725274817226281283708192270650780005939440, -8883451941124878355747446208792490894779003369596849123938453393571817222706716598163812126498899415870900613410125798001136087205974305824064705569605704802756908209/18063985187415756495055207754984840366946647234753594540001475296223246194032655414529092575187857296629081231084251894920553495999629005370376657622640, 837283698467463207972436700694602930910802144060108478919791084168164529931474156065628730465248761046314148881143628339767529735218505612867871329127479950719074790372203097880241033283771500824555220513934990226090410475279385542328136547450099337/2553851885565405593030286874012119201017955291795171309283894990855310161490225690009308643510641779544332129537793536275814110829999767784713455456076780703014663578109068579264730349919720216821971123286575777392727175090375392072280]
(16:56) gp > rr(v,ww,31^5)
[39342157775078393/40, 1547805378399162037017049893710109/45806641600]
[39342157775078393/40, -1547805378399162037017095700351709/45806641600]
[-60894003402094777851252481842259193158901059677417/61912215135966481480682911881236360, 3708079650334328494155840311466360452413702199285246877902644145539701045886734874928026123974894629/109739039505594899773708177181606809939637825138388178348802368426184091889600]
[-60894003402094777851252481842259193158901059677417/61912215135966481480682911881236360, -3708079650334328494155950050505866047313475907462428484712583783364839434065083677296452308066784229/109739039505594899773708177181606809939637825138388178348802368426184091889600]
[3708079650334326609114575620600835408900308238915133592193251258649160776329721652838065087769423569/7540165278241531528557895517777296272032724725274817226281283708192270650780005939440, 13749854693223555871300199396101419524221626945480593738085535195032427623662068652238837142938882625312854740700955240432547184557090101792427496016007855662783828736364197042761895433038969499589241/1627684396951725587290786926743883438848324685620485563946252015748807054169421920339900877887158496089779667651501385773756440834214498411128765660505670856862021143585928953600]
[3708079650334326609114575620600835408900308238915133592193251258649160776329721652838065087769423569/7540165278241531528557895517777296272032724725274817226281283708192270650780005939440, -13749854693223555871301827080498371249808917732407337621524383519718048109226014904254585949993052047233194641578842398928636964224741603178201252456842070161194957502024702713618757454182555428542841/1627684396951725587290786926743883438848324685620485563946252015748807054169421920339900877887158496089779667651501385773756440834214498411128765660505670856862021143585928953600]
[-8883451941124878355747446208792490894779003369596849123938453393571817222706716598163812126498899415870900613410125798001136087205974305824064705569605704802756908209/18063985187415756495055207754984840366946647234753594540001475296223246194032655414529092575187857296629081231084251894920553495999629005370376657622640, 78915718390275288989245863908446225860504593809091853195286059211376457764287570734490803148100274106789055674814150562332854093746693696553571951033274332902556627054042925692756587313532673111024165636326694039470557300802176050333555542281310695884117893561932944913944392993018872431887081916792320426743514836320298072847230601/9341908432050002318123522177441222634740611654202905569445019204303991234774196408902714031025155817952935238137047990545715552776697639051537333594770843835274723240815430173847740005636353363254235583887664194744014967503181184727798756711656692047870310223702737101457672246642205758393180909818179804409600]
[-8883451941124878355747446208792490894779003369596849123938453393571817222706716598163812126498899415870900613410125798001136087205974305824064705569605704802756908209/18063985187415756495055207754984840366946647234753594540001475296223246194032655414529092575187857296629081231084251894920553495999629005370376657622640, -78915718390275288989255205816878275862822717331269294417920799823030660669857015753695107139335048303197958388845175718150807028984830744544117666586051030541608164387637696536591862036773488541198013376332330392833811536386063714528299557248813877068845692318644601605992263303242575168988539589038962632501908017230116252651640201/9341908432050002318123522177441222634740611654202905569445019204303991234774196408902714031025155817952935238137047990545715552776697639051537333594770843835274723240815430173847740005636353363254235583887664194744014967503181184727798756711656692047870310223702737101457672246642205758393180909818179804409600]
[837283698467463207972436700694602930910802144060108478919791084168164529931474156065628730465248761046314148881143628339767529735218505612867871329127479950719074790372203097880241033283771500824555220513934990226090410475279385542328136547450099337/2553851885565405593030286874012119201017955291795171309283894990855310161490225690009308643510641779544332129537793536275814110829999767784713455456076780703014663578109068579264730349919720216821971123286575777392727175090375392072280, 701043991719354920267914296677106677406402487192870099107125986429799915272104401837715148961987132010577672856947758364935011031147138833873622411500186480309190904957250575626154208790194126832817936853662280194305855467692122503496241726113191397086529226308780229036485298493387494344196538167512855227619495055437765963506717342074058223982219128412496694641546162122074227538595160161443294891014549394941506759754993170378030351685535575792467318781975288778530631707213361571949271748188949/186723887837637194276630907343977641222536142168502735478582709986817667916466771938943952789931228717743295624384957647172106785439270300709012361088911964521879574454139555708083160154066851314574272219345719246729621855148916735924318047522582601893150810519226942261492196196151679187326352778226202971649785521169571572165950705382200627616983800836441371176706493630258445569807333461291450703555206622827665870765069523731442624883659893697115385979031797930966197758400]
[837283698467463207972436700694602930910802144060108478919791084168164529931474156065628730465248761046314148881143628339767529735218505612867871329127479950719074790372203097880241033283771500824555220513934990226090410475279385542328136547450099337/2553851885565405593030286874012119201017955291795171309283894990855310161490225690009308643510641779544332129537793536275814110829999767784713455456076780703014663578109068579264730349919720216821971123286575777392727175090375392072280, -701043991719354920268101020564944314600679118100214076748348522571968418007582984547701966629903598782516616809737689593652754326771523791520794518285625750609899917318339487590676088364648266388526020013816347045620429739911468222742971347968340313822453544356302811638378449303906721286458030363709006906806821408215992166478367127595227795554385079117878895269163145922910668909771866655073553336584356728402798210458548377000858017556300645316198761406858948672227747093192393369880237945947349/186723887837637194276630907343977641222536142168502735478582709986817667916466771938943952789931228717743295624384957647172106785439270300709012361088911964521879574454139555708083160154066851314574272219345719246729621855148916735924318047522582601893150810519226942261492196196151679187326352778226202971649785521169571572165950705382200627616983800836441371176706493630258445569807333461291450703555206622827665870765069523731442624883659893697115385979031797930966197758400]
time = 1 ms.
(16:58) gp > F(39342157775078393/40, 1547805378399162037017049893710109/45806641600, 31^10)
%26 = 0
(16:58) gp > F(837283698467463207972436700694602930910802144060108478919791084168164529931474156065628730465248761046314148881143628339767529735218505612867871329127479950719074790372203097880241033283771500824555220513934990226090410475279385542328136547450099337/2553851885565405593030286874012119201017955291795171309283894990855310161490225690009308643510641779544332129537793536275814110829999767784713455456076780703014663578109068579264730349919720216821971123286575777392727175090375392072280, -701043991719354920268101020564944314600679118100214076748348522571968418007582984547701966629903598782516616809737689593652754326771523791520794518285625750609899917318339487590676088364648266388526020013816347045620429739911468222742971347968340313822453544356302811638378449303906721286458030363709006906806821408215992166478367127595227795554385079117878895269163145922910668909771866655073553336584356728402798210458548377000858017556300645316198761406858948672227747093192393369880237945947349/186723887837637194276630907343977641222536142168502735478582709986817667916466771938943952789931228717743295624384957647172106785439270300709012361088911964521879574454139555708083160154066851314574272219345719246729621855148916735924318047522582601893150810519226942261492196196151679187326352778226202971649785521169571572165950705382200627616983800836441371176706493630258445569807333461291450703555206622827665870765069523731442624883659893697115385979031797930966197758400, 31^10)
%27 = 0

■e=-10の場合の楕円曲線C(-10)の有理点を求める。
     C(-10): 31^10*(x-4+x-3+x-2+xc+1)=y^2+y+1

     4*(y^2+y+1)=4*31^10*(x^4+x^3+x^2+x+1)
     (2*y+1)^2+3=4*31^10*(x^4+x^3+x^2+x+1)
     (2*y+1)^2=4*31^10*(x^4+x^3+x^2+x+1)-3
ここで、X=31^2*x, Y=2*y+1とすると。      Y^2=4*31^2*(X^4+31^2*X^3+31^4*X^2+31^6*X+31^8)-3
     D(v): Y^2=3844*X^4+3694084*X^3+3550014724*X^2+3411564149764*X+3278513147923201
となる。
ただし、v=[3844,3694084,3550014724,3411564149764,3278513147923201]とする。
楕円曲線E0(v)とE0(v)のstandard minimal integral model E2(v)は、以下のようになる。
     E0(v): y^2=x^3-3402703225966531231152*x-30199116383958695924286850852080
     E2(v): y^2+y=x^3+x^2-3334439118038283457*x-1129618869280294934909360065
Magmaによって、E2(v)の有理点を求める。
[Magma V2.25-3による計算]
> SetClassGroupBounds("GRH");
> E:=EllipticCurve([0, 1, 1, -2625542612628496320, -647271871244665951557896640]);
> td:=TwoDescent(E:RemoveTorsion);
> #td;  // td;
3
> td;
[
    Hyperelliptic Curve defined by y^2 = 4*x^4 + 62900*x^3 + 2589672640*x^2 - 47681958871240*x + 2298376153850005537
    over Rational Field,
    Hyperelliptic Curve defined by y^2 = -1612369551*x^4 + 4640119060*x^3 + 4375497604*x^2 - 7288752612*x - 280075700
    over Rational Field,
    Hyperelliptic Curve defined by y^2 = 3022945774*x^4 + 85572898*x^3 + 2452254124*x^2 + 2784753712*x + 3328083556 over
    Rational Field
]
>
> printf "root number="; RootNumber(E);
root number=1
> fd:=[]; time fd:=FourDescent(td[1]:RemoveTorsion); #fd;  // fd;
Time: 140.578
2
> RP(E,fd,10^8);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
(-1479172803/4 : -132198110803359/8 : 1)
height 19.1474990850522320886294916794
true (-1479172803/4 : 132198110803351/8 : 1)
(-12957648225154959741172074974614036958108268777128411633040841646640037012643/115093423788675461704383456348124749543\
24104142119050885655423884324 : 115937627744385316588618754853714560701789259005430683180329356476819833100289501864440\
4953233432671253647280517969/390459293754494001823969376529687219619502676883870413644966528946770261350333719042401023\
55391873832 : 1)
height 172.327491765470088797665425115
true (-12957648225154959741172074974614036958108268777128411633040841646640037012643/1150934237886754617043834563481247\
4954324104142119050885655423884324 : 1159376277443853165886187548537145607017892590054306831803293564768198331002895018\
644404953233432671253647280517969/3904592937544940018239693765296872196195026768838704136449665289467702613503337190424\
0102355391873832 : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=115.102
2
> fd2:=[]; time fd2:=FourDescent(td[2]:RemoveTorsion); #fd2;  // fd;
Time: 790.313
2
> RP(E,fd2,10^8);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=115.332
2
> RP(E,fd2,10^10);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=2854.851
2
> fd3:=[]; time fd3:=FourDescent(td[3]:RemoveTorsion); #fd3;  // fd;
Time: 1557.109
2
> RP(E,fd3,10^8);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=75.002
2
> RP(E,fd3,10^10);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=2935.126
2
> RP(E,fd2,10^12);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=58206.112
2
> RP(E,fd3,10^12);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=58153.670
2
> RP(E,fd2,10^13);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2625542612628496320*x - 647271871244665951557896640 over Rational Field
true
Elliptic curve isomorphism from: CrvEll: F to CrvEll: E
Taking (x : y : 1) to (x : y : 1)
realtime=291361.367
2
>
E2(v)の２つの有理点
     Q1=[-1479172803/4, -132198110803359/8],
     Q2=[-12957648225154959741172074974614036958108268777128411633040841646640037012643/11509342378867546170438345634812474954324104142119050885655423884324,1159376277443853165886187548537145607017892590054306831803293564768198331002895018644404953233432671253647280517969/39045929375449400182396937652968721961950267688387041364496652894677026135033371904240102355391873832]
は一次従属なので、Q1がE2(v)のMordell-Weil群の生成元の１つである。
Q1を[6, 12, 0, 108]^(-1)で変換すると、E0(v)のMordell=Wel群の生成元P=[-13312555215, -3569348991690585]が得られる。
E0(v)の自明でない有理点n*P (n=1,2,3,4,...,10)のx座標Xについて、4次多項式3*G4(v,x,1)-4*G(v,x)*Xを因数分解して、一次因子の零点つまりD(v)の有理点のx座標をいくつか求めると、以下のようになる。
-45079555783944007/34115641497640,
43154726532110578883489277017787709978986635143383/57869376227821933911992553720162600261240058760,
-3607742028296412930594216231505115460983253874592264333981455558924096590450190500828418937705580369/6922443205261149977094639530878315452857641673628627198982782684750760160579368957692084158386960,
-4637018907300347821122681248522460817206516582067794814521823576165781064574453949169273494266293145471067691576255268985990441218574931339803745027968236032222627791/22606169292753789913268922919076302341761543262237911401339575416610379783592416365218821072727672895820156317781174444546085557322705190165503165870395047109903760,
646770007562675546431048353956922681772508379858634357920990738905273034594610550586447608345602377212929358840952845842885226251708675715156098018345228629499377749164243383080293315875473974563414624264554916389120208832610622602443816430917243337/2811323323117005911662626646546138416825511228099250895888908874293815087214682605987470628869345165706118168798975271858038278896049750102570002125909779008429410882840067813324148305092823290281256612952182590031258802130716732364444451017979480,
...

これにより、C(-10)の有理点をいくつか求めると、以下のようになる。

[-45079555783944007/34115641497640, 1696253045174759891152517365655709/36080186838660389085892657600],
[-45079555783944007/34115641497640, -1696289125361598551541603258313309/36080186838660389085892657600],
[43154726532110578883489277017787709978986635143383/57869376227821933911992553720162600261240058760, 5539349454652601924018603485370838567037034851858010961716527130369824516850489829109726590120011429/103814805854913273194203216740211260262572358124659688366080710558899523802408729328775834865600],
[43154726532110578883489277017787709978986635143383/57869376227821933911992553720162600261240058760, -5539453269458456837291797688587578778297297424216135621404893211080383416374292237839055365954877029/103814805854913273194203216740211260262572358124659688366080710558899523802408729328775834865600],
[-3607742028296412930594216231505115460983253874592264333981455558924096590450190500828418937705580369/6922443205261149977094639530878315452857641673628627198982782684750760160579368957692084158386960, 36460668802764387125050385497402881981802331124746170621137911048401443696966418077693410773959514053104837191475915922020135072745291868331280738506950358336581193611883254911883536911987272312779641/1485526817832054177611445148498717367586446278852316713120198082971653167723390209261664092960911702102720690267121300515150509927169200531822206070546999622104936861745895642240428806982039289600],
[-3607742028296412930594216231505115460983253874592264333981455558924096590450190500828418937705580369/6922443205261149977094639530878315452857641673628627198982782684750760160579368957692084158386960, -36462154329582219179227996942551380699169917571025022937851031246484415350134141467902672438052474964806939912166183043320650223255219037531812560713020905336203298548745000807525777340794254352069241/1485526817832054177611445148498717367586446278852316713120198082971653167723390209261664092960911702102720690267121300515150509927169200531822206070546999622104936861745895642240428806982039289600],
[-4637018907300347821122681248522460817206516582067794814521823576165781064574453949169273494266293145471067691576255268985990441218574931339803745027968236032222627791/22606169292753789913268922919076302341761543262237911401339575416610379783592416365218821072727672895820156317781174444546085557322705190165503165870395047109903760, 428527416659193122141027500425331707639548406368764164971079556797801228376428823174202261545513521537409884300383321537719069234581712537437145996689519236344661480800010261695339321422846499982954167162222518733932304177529863204855499993563773315923147851866296415202790607945176018221672177817755927953486665169855328496490206601/15842205592871975967379088831364262914635968574389739067853691401866121586821939853006475133204928284330365691950578727923669109424970827621764851769246502838376009986423973141249532944993065176151347114701395248822392118375644702421514537546043047751972792028641699541498072092059326323423727155923336811823957116400570326265600],
[-4637018907300347821122681248522460817206516582067794814521823576165781064574453949169273494266293145471067691576255268985990441218574931339803745027968236032222627791/22606169292753789913268922919076302341761543262237911401339575416610379783592416365218821072727672895820156317781174444546085557322705190165503165870395047109903760, -428543258864785994116994879514163071902463042337338554710147410489203094498015645114055268020646726465694214666075272116446992903691137508264767761541288482847499856809996685668480570955791493048130318509337220129181126569648238849557921508101319358970899824658325056902332106017268077547995601544911851290298489126971729066816472201/15842205592871975967379088831364262914635968574389739067853691401866121586821939853006475133204928284330365691950578727923669109424970827621764851769246502838376009986423973141249532944993065176151347114701395248822392118375644702421514537546043047751972792028641699541498072092059326323423727155923336811823957116400570326265600] [646770007562675546431048353956922681772508379858634357920990738905273034594610550586447608345602377212929358840952845842885226251708675715156098018345228629499377749164243383080293315875473974563414624264554916389120208832610622602443816430917243337/2811323323117005911662626646546138416825511228099250895888908874293815087214682605987470628869345165706118168798975271858038278896049750102570002125909779008429410882840067813324148305092823290281256612952182590031258802130716732364444451017979480, 8365881514129222515500635984309437898384904867497033888935261872755505874682602170030479203819489849731351469719576706266475318286712313198465147689291438523881095801826635517078820504598805909297360421597804227103915545968270843198375410332201542215343261822396691498873105543068540298888254240728042227937948099012279019654630177266250892797452647703720649631439754867533474252110174912042873631619406492326004918023116432641236866291576933175096485497028707732297599284346199241303135891237420949/245009703640151001999357641814623126361482694742789360230590458622104678656283299704160112356915617686772231291083768151013469383659006139187500556360817938566519606466889623325767479418193592455784330769730909252576281265331736074903705829153646598172937851638837701536817189846551274017692806874440228972891844489281127372042662443247503788987227595039341123526172849227082174670764387295183868742127864731285491119615807724946856914681585272331831313792759672625768068570097517680872733182400],
[646770007562675546431048353956922681772508379858634357920990738905273034594610550586447608345602377212929358840952845842885226251708675715156098018345228629499377749164243383080293315875473974563414624264554916389120208832610622602443816430917243337/2811323323117005911662626646546138416825511228099250895888908874293815087214682605987470628869345165706118168798975271858038278896049750102570002125909779008429410882840067813324148305092823290281256612952182590031258802130716732364444451017979480, -8366126523832862666502635341951252521511266350191776678295492463214127979361258453330183363931846765349038241950867790034626331756095972204604335189847799341819662321433102406702146272078224102889816205928573958013168122249536174934450314038030695861941434760248330336574642360258386850162271933534916668166920990856768300782002219928694140301241634931315688972563281040382701334284845676430168815488148620190736203514236048448961813148491614760368817328342500491970225052414769338820816763970603349/245009703640151001999357641814623126361482694742789360230590458622104678656283299704160112356915617686772231291083768151013469383659006139187500556360817938566519606466889623325767479418193592455784330769730909252576281265331736074903705829153646598172937851638837701536817189846551274017692806874440228972891844489281127372042662443247503788987227595039341123526172849227082174670764387295183868742127864731285491119615807724946856914681585272331831313792759672625768068570097517680872733182400]
...

[Pari/GPによる計算]
(16:24) gp > v=v2(31,10)
%1 = [3844, 3694084, 3550014724, 3411564149764, 3278513147923201]
(16:25) gp > e0=E0(v)
v=[3844, 3694084, 3550014724, 3411564149764, 3278513147923201]
I=126026045406167823376
J=1118485791998470219418031513040
%2 = [0, 0, 0, -3402703225966531231152, -30199116383958695924286850852080, 0, -6805406451933062462304, -120796465535834783697147403408320, -11578389244003038500542444351192200855247104, 163329754846393499095296, 26092036555740313278583839136197120, 2127482411331527594623346632809271751399160414837785111649944358912, 2255333459336843360420286711336834600268601032708096/1101237040691818047080218120770123186026973527957, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, 1])], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
(16:26) gp > elltors(e0)
%3 = [1, [], []]
(16:26) gp > e2=E2(v)
v=[3844, 3694084, 3550014724, 3411564149764, 3278513147923201]
I=126026045406167823376
J=1118485791998470219418031513040
rr=[6, 12, 0, 108]
time = 1 ms.
%4 = [0, 1, 1, -2625542612628496320, -647271871244665951557896640, 4, -5251085225256992640, -2589087484978663806231586559, -6893474013317157768664047110485128959, 126026045406167823376, 559242895999235109709015756520, 977351927267535303365924884466386882422386771351393909717, 2255333459336843360420286711336834600268601032708096/1101237040691818047080218120770123186026973527957, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, 1])], [0, 0, 0, 0, 0, [1058288796104837143244089614060088381771921560366677, 4, [31, 2; 1101237040691818047080218120770123186026973527957, 1], [[2, -1, 0, 4], [1, 5, 0, 1]]], 0, [[31]~]]]
(16:26) gp > Q1=[-1479172803/4, -132198110803359/8]
%5 = [-1479172803/4, -132198110803359/8]
(16:27) gp > Q2=[-12957648225154959741172074974614036958108268777128411633040841646640037012643/11509342378867546170438345634812474954324104142119050885655423884324,1159376277443853165886187548537145607017892590054306831803293564768198331002895018644404953233432671253647280517969/39045929375449400182396937652968721961950267688387041364496652894677026135033371904240102355391873832]
%6 = [-12957648225154959741172074974614036958108268777128411633040841646640037012643/11509342378867546170438345634812474954324104142119050885655423884324, 1159376277443853165886187548537145607017892590054306831803293564768198331002895018644404953233432671253647280517969/39045929375449400182396937652968721961950267688387041364496652894677026135033371904240102355391873832]
(16:27) gp > matdet(ellheightmatrix(e2,[Q1,Q2]))
time = 1 ms.
%7 = -2.407412430484044816 E-35
(16:27) gp > P1=ellchangepointinv(Q1,[6, 12, 0, 108])
%8 = [-13312555215, -3569348991690585]
(16:28) gp > ss1(v,P1,10)
v=[3844, 3694084, 3550014724, 3411564149764, 3278513147923201]
I=126026045406167823376
J=1118485791998470219418031513040
e=[0, 0, 0, -3402703225966531231152, -30199116383958695924286850852080]
height(e,P)=19.147499085052232088629491679431531910
3*P: 34115641497640*x + 45079555783944007
5*P: 57869376227821933911992553720162600261240058760*x - 43154726532110578883489277017787709978986635143383
7*P: 6922443205261149977094639530878315452857641673628627198982782684750760160579368957692084158386960*x + 3607742028296412930594216231505115460983253874592264333981455558924096590450190500828418937705580369
9*P: 22606169292753789913268922919076302341761543262237911401339575416610379783592416365218821072727672895820156317781174444546085557322705190165503165870395047109903760*x + 4637018907300347821122681248522460817206516582067794814521823576165781064574453949169273494266293145471067691576255268985990441218574931339803745027968236032222627791
time = 4 ms.
(16:28) gp > ww=ss1x(v,P1,20)[1..5]
v=[3844, 3694084, 3550014724, 3411564149764, 3278513147923201]
I=126026045406167823376
J=1118485791998470219418031513040
time = 28 ms.
%10 = [-45079555783944007/34115641497640, 43154726532110578883489277017787709978986635143383/57869376227821933911992553720162600261240058760, -3607742028296412930594216231505115460983253874592264333981455558924096590450190500828418937705580369/6922443205261149977094639530878315452857641673628627198982782684750760160579368957692084158386960, -4637018907300347821122681248522460817206516582067794814521823576165781064574453949169273494266293145471067691576255268985990441218574931339803745027968236032222627791/22606169292753789913268922919076302341761543262237911401339575416610379783592416365218821072727672895820156317781174444546085557322705190165503165870395047109903760, 646770007562675546431048353956922681772508379858634357920990738905273034594610550586447608345602377212929358840952845842885226251708675715156098018345228629499377749164243383080293315875473974563414624264554916389120208832610622602443816430917243337/2811323323117005911662626646546138416825511228099250895888908874293815087214682605987470628869345165706118168798975271858038278896049750102570002125909779008429410882840067813324148305092823290281256612952182590031258802130716732364444451017979480]
(16:32) gp > rr2(v,ww,31^2)
[-45079555783944007/32785131479232040, 1696271066495969627871311568023709/37544419186951497487921600]
[-45079555783944007/32785131479232040, -1696271104040388814822809055945309/37544419186951497487921600]
[43154726532110578883489277017787709978986635143383/55612470554936878489424844125076258851051696468360, 5539401308041582525861614117570667184523950600798593518064514350703922614427415069682128059839819429/108027893709587172938817082976286431074476959546992391640042362704369951927584525836395249600]
[43154726532110578883489277017787709978986635143383/55612470554936878489424844125076258851051696468360, -5539401416069476235448787056387750160810381675275553065056905990746285318797366997266653896235069029/108027893709587172938817082976286431074476959546992391640042362704369951927584525836395249600]
[-3607742028296412930594216231505115460983253874592264333981455558924096590450190500828418937705580369/6652467920255965127987948589174061150196193648357110738222454160045480514316773568342092876209868560, 36461410793266530086554291318080592059155548080223641081098678681158807269828548387059118993277538233767698071737443724542764908587919382604179047205091734569482973393042087409186633067895026088907641/1545813546131169799803793078562661152535323911396791584932568244507443462771477845225456912550376380960167211516255255478824672140654735204809787794533818545374544080901036048116991474487033600]
[-3607742028296412930594216231505115460983253874592264333981455558924096590450190500828418937705580369/6652467920255965127987948589174061150196193648357110738222454160045480514316773568342092876209868560, -36461412339080076217724091121873670621816700615547552477890263613727051777272011158536964218734450784144079031904655240798020387412591523258914252014879529103301518767586168310222681184886500575941241/1545813546131169799803793078562661152535323911396791584932568244507443462771477845225456912550376380960167211516255255478824672140654735204809787794533818545374544080901036048116991474487033600]
[-4637018907300347821122681248522460817206516582067794814521823576165781064574453949169273494266293145471067691576255268985990441218574931339803745027968236032222627791/21724528690336392106651434925232326550432843075010632856687331975362574972032312126975287050891293652883170221387708641208788220587119687749048542401449640272617513360, 428535329519426814699263027961896801131951138174087481386014592980811525710832230594732379243811064061422869290531226093171101868476118350129402445314752574868451720638505041619488956985607786841731016950583659909498833572136335951429029990419155314531806485518922583793612584089405142546995011729342653449500895658321376648162014601/16485125486859496324015701177278109172357927756909197781325381271452780007098792771078538119880258360385396141467823858401320613345443108867601302569455257896332996864124841978407422419347622451770392419044115763602905430151555361520826782045830434705486776304517897545783633810675677755903982472344783362980184304266982649600]
[-4637018907300347821122681248522460817206516582067794814521823576165781064574453949169273494266293145471067691576255268985990441218574931339803745027968236032222627791/21724528690336392106651434925232326550432843075010632856687331975362574972032312126975287050891293652883170221387708641208788220587119687749048542401449640272617513360, -428535346004552301558759351977597978410060310532015238295212374306192797163612237693525150322349183941681229675927367560994960269796731695572511312916055144323709616971501905744330935393030206189353468720976078953614597175041766102984391511245937360362241191005698888311510129873038953222672767633325125794284258638505680915144664201/16485125486859496324015701177278109172357927756909197781325381271452780007098792771078538119880258360385396141467823858401320613345443108867601302569455257896332996864124841978407422419347622451770392419044115763602905430151555361520826782045830434705486776304517897545783633810675677755903982472344783362980184304266982649600]
[646770007562675546431048353956922681772508379858634357920990738905273034594610550586447608345602377212929358840952845842885226251708675715156098018345228629499377749164243383080293315875473974563414624264554916389120208832610622602443816430917243337/2701681713515442681107784207330839018569316290203380110949241428196356298813309984353959274343440704243579560215815236255574786019103809848569772042999297627100663858409305168604506521194203181960287605047047469020039708847618779802231117428278280280, 8366003891504609895813809440779855191933971997250911660936209514191654272440932051387251312928679568250071189460492127919662088802117262545964429687488164010468517164377212111271532646524009585597442395040852583853594252123325327312127703546351379624674295131625397682116328927304884049784745908311080449904552665178100929062682810437918695921093348920417443475081058262921225552259854378126017948223981124350012219829294804740828931318964079024139897858142776956691834839677014690635588356286252949/254952865390375652444700980036028227223186987245358335307586325309161996520586159941893977478580247332749460240461777472438573760311140623504162909844763723794505313701237901483629010840992291837444673017409895163971156363508570317277529478827936106319394226471215090048717159049481034357640797996295763759512845462311266776319107641256507584794201451653840919382073724481875311832221006550659592863816716681878762871608540816802140389887185507109085654310884154657406939198852775942635518400]
[646770007562675546431048353956922681772508379858634357920990738905273034594610550586447608345602377212929358840952845842885226251708675715156098018345228629499377749164243383080293315875473974563414624264554916389120208832610622602443816430917243337/2701681713515442681107784207330839018569316290203380110949241428196356298813309984353959274343440704243579560215815236255574786019103809848569772042999297627100663858409305168604506521194203181960287605047047469020039708847618779802231117428278280280, -8366004146457475286189461885480835227962199220437898906294544821777979581602928571973411254822657046830318522209952368381439561240691022857105053191651073855232240958882525812509434130153020426589734232485525601263489416094481690820698020823880858452610401451019624153331418976022043099265780265951878446200316424690946391373949586757026337177600933714618895128921977644994950034135166210347024498883573988166728901708057676349369748121104468911325404967228431267575989497083953889488364298921771349/254952865390375652444700980036028227223186987245358335307586325309161996520586159941893977478580247332749460240461777472438573760311140623504162909844763723794505313701237901483629010840992291837444673017409895163971156363508570317277529478827936106319394226471215090048717159049481034357640797996295763759512845462311266776319107641256507584794201451653840919382073724481875311832221006550659592863816716681878762871608540816802140389887185507109085654310884154657406939198852775942635518400]
time = 1 ms.
(16:33) gp > F(-45079555783944007/32785131479232040, 1696271066495969627871311568023709/37544419186951497487921600, 31^(-10))
%15 = 0
(16:34) gp > F(646770007562675546431048353956922681772508379858634357920990738905273034594610550586447608345602377212929358840952845842885226251708675715156098018345228629499377749164243383080293315875473974563414624264554916389120208832610622602443816430917243337/2701681713515442681107784207330839018569316290203380110949241428196356298813309984353959274343440704243579560215815236255574786019103809848569772042999297627100663858409305168604506521194203181960287605047047469020039708847618779802231117428278280280, -8366004146457475286189461885480835227962199220437898906294544821777979581602928571973411254822657046830318522209952368381439561240691022857105053191651073855232240958882525812509434130153020426589734232485525601263489416094481690820698020823880858452610401451019624153331418976022043099265780265951878446200316424690946391373949586757026337177600933714618895128921977644994950034135166210347024498883573988166728901708057676349369748121104468911325404967228431267575989497083953889488364298921771349/254952865390375652444700980036028227223186987245358335307586325309161996520586159941893977478580247332749460240461777472438573760311140623504162909844763723794505313701237901483629010840992291837444673017409895163971156363508570317277529478827936106319394226471215090048717159049481034357640797996295763759512845462311266776319107641256507584794201451653840919382073724481875311832221006550659592863816716681878762871608540816802140389887185507109085654310884154657406939198852775942635518400, 31^(-10)
)
%16 = 0

■(失敗例)e=-10の場合、D(v)の右辺のX^4の係数が3844=63^2(平方数)であるので、両辺をX^4で割って、U=1/X, V=Y/X^2とおくと、
     D2: V^2=3278513147923201*U^4+341156414976*U^2+3550014724+3694084*U+62^2
となる。双有理変換φ:(U,V)→(x,y)で写すと、楕円曲線
     E0: y^2+59582*x*y+42303395457024*y=x^3+2662511043*x^2-50410418162467138576*x-134218295039816524583211294768
が得られる。E0のstandard minimal integral modelはE0を変換[2, -1183338240, -29791, 14101131779332]で写すことによって、
     E2: y^2+y=x^3+x^2-3334439118038283457*x-1129618869280294934909360065
となる。
ところが、Magma 4-descentで、E2の有理点を求めようとすると、メモリ不足で失敗するので、うまくいかない。
[Magma V2.25-3による計算]
> SetClassGroupBounds("GRH");
> E:=EllipticCurve([0, 1, 1, -3334439118038283457, -1129618869280294934909360065]);
> printf "root number="; RootNumber(E);
root number=-1
> // time AnalyticRank(E : Precision:=1);
> td:=TwoDescent(E:RemoveTorsion);

Current total memory usage: 1347.1MB, failed memory request: 27.6MB
System error: Out of memory.
All virtual memory has been exhausted so Magma cannot perform this statement.

[2024.01.23追記]
■|e| <= 10の範囲で、C(e)の有理点および整点を求めた結果をまとめた。
e 有理変換φ:C(e)→D(v); (x,y)→(X,Y)
v=[a,b,c,d,e,g]
D(v): Y^2=a*X^4+b*X^3+c*X^2+d*X+g
 E0(v)=[a1,a2,a3,a4,a6]
E0(v)(Q)tors
conductor(E0(v)) 		rank(E0(v)) E0(v)(Q)/E0(v)(Q)torsの生成元 E0(v)(Q)/E0(v)(Q)torsの生成元のheight C(e)の有理点(赤字は整点) e
-10 [X, Y]=[31^2*x, 2*y+1]
v=[3844,3694084,3550014724,3411564149764,3278513147923201]
 [0, 0, 0, -3402703225966531231152, -30199116383958695924286850852080]
{O}
1058288796104837143244089614060088381771921560366677
 >=2(even) [-13312555215, -3569348991690585]
 19.1474990850522
 [-45079555783944007/32785131479232040, 1696271066495969627871311568023709/37544419186951497487921600],
[-45079555783944007/32785131479232040, -1696271104040388814822809055945309/37544419186951497487921600],
[43154726532110578883489277017787709978986635143383/55612470554936878489424844125076258851051696468360, 5539401308041582525861614117570667184523950600798593518064514350703922614427415069682128059839819429/108027893709587172938817082976286431074476959546992391640042362704369951927584525836395249600],
[43154726532110578883489277017787709978986635143383/55612470554936878489424844125076258851051696468360, -5539401416069476235448787056387750160810381675275553065056905990746285318797366997266653896235069029/108027893709587172938817082976286431074476959546992391640042362704369951927584525836395249600],
...
 -10
-9 [X, Y]=[31^2*x, 2*y+1]
v=[124, 119164, 114516604, 110050456444, 105758488642681]
 [0, 0, 0, -3540794199756939792, -1013699318047638672959207280]
{O}
35523775506184168290791917207791315375836801627
 0 - - - -9
-8 [X, Y]=[31^2*x, 2*y+1]
v=[4, 3844, 3694084, 3550014724, 3411564149761]
 [0, 0, 0, -3684489281741232, -34027032259611489930480]
{O}
1240825321927127291519170439672565830357
 3 [-13852815, -119812996935]
[-1220702940523570812/36822923449, -1606418153706007563810316956/7066061249398957]
[2746755734404961985953702687657939762319252/16692827393509201256933947995235201, -4212484993575238759522852868476771659855165977685300613326670092/2156725404964007337459062898893807763639985226288449]
 15.7135118805666
38.7642041694736
94.3049542162624
 [-46909007059207/34115641497640, 1836742752277731271045362909/1260260454061679617600],
[-46909007059207/34115641497640, -1836744012538185332724980509/1260260454061679617600],
[-212995151320531/290505486911263, 70569041870165632918870520295/91382261936166040845889], [12107388865193068831/9242607088459108299, 259367760534941292428997870126958842700/92500101017339676067143927484281],
[12107388865193068831/9242607088459108299, -259367853035042309768673937270886326981/92500101017339676067143927484281],
[-2756276844960006924321035923232520517951/2191648821212740856958229735385200063561, 6509243951560219238460495840953127325144815795539594865191594462887135397535179/5201099439561413912306624715439663381259752134975635238653435559816613201],
[-2756276844960006924321035923232520517951/2191648821212740856958229735385200063561, -6509249152659658799874408147577842764808197055291729840826833116322695214148380/5201099439561413912306624715439663381259752134975635238653435559816613201],
...
 -8
-7 [X, Y]=[31*x, 2*y+1]
v=[119164, 3694084, 114516604, 3550014724, 110050456441]
 [0, 0, 0, -3540794199641232912, -1013699317997949826870324080]
{O}
40026623284170475670977093542602336027
 0 - - - -7
-6 [X, Y]=[31*x, 2*y+1]
v=[3844, 119164, 3694084, 114516604, 3550014721]
 [0, 0, 0, -3684489278008752, -34027032207906134999280]
{O}
1343581053550667318216935997195477
 >=1(odd) [-13852815, 119812996935]
 12.2795246756174
 [-48812702407/35500147240, 1988827373534343710109/42303395457073600],
[-48812702407/35500147240, -1988869676929800783709/42303395457073600],
[54788327252865812847107572759383/70604415483795419935587134881160, 8928491909963989018469905591755974164677429688912059891992286629/167331861495364722316167400566341995226877975469701412081600],
[54788327252865812847107572759383/70604415483795419935587134881160, -8928659241825484383192221759156540506672656566887529593404368229/167331861495364722316167400566341995226877975469701412081600],
[-5815068307103098284653764661124779097092636246895494838566066769/10722650107269822533633087911136004962861981265317325601216921360, 94724718196730945341821565907267365567805495956757002919743289363251169582243902776972813588815934314336662466899432120062757241/3859394626663540555447500472552850158442439015741672486293316771445276089584367447810939031185793259836337195895086757625600],
[-5815068307103098284653764661124779097092636246895494838566066769/10722650107269822533633087911136004962861981265317325601216921360, -94728577591357608882377013407739918417963938395772744592229582680022614858333487144420624527847120107596498804095327206820382841/3859394626663540555447500472552850158442439015741672486293316771445276089584367447810939031185793259836337195895086757625600],
...
 -6
-5 [X, Y]=[31*x, 2*y+1]
v=[124, 3844, 119164, 3694084, 114516601]
 [0, 0, 0, -3834015781392, -1142191623481242480]
{O}
3469248407303584138526015879
 >=1(odd) [-4983836729995082265051821714388937527621727062513004396170553571431364743455646719418693412856467088/16297992466459357763538062688156501885666157006040601376637598104792979434854129537296324925969, 84117536887001987693633403554262887257591423852447491896402596004200771569676815357782640055678197995021361017632402162854588180026293464978174967308/2080660244323663089304369229636773428096775311355201905570574536464976257740349680656394501324387443805804772721905998747944619375789455879047]
 226.080626757000
 [-404794888117405473383729/84702235726920689962577, 829809608671728347254667446385866664105077280165/7465628238437918567698611878105092651051489],
[-404794888117405473383729/84702235726920689962577, -829817074299966785173235144997744769197728331654/7465628238437918567698611878105092651051489],
[-9426925570213669224325729771778354771873606805714348303000245004408178427827184925670735027830986667254882068686618507741771231361219521222403033415371585285883867680491009161137046905247964910550367071465212621362166190/1564891984518368464924830786089488326516616229350688743611297520228733306869797871650467558439374017082332197111407724948204367452926399738001762380737217747851723184989650909275401608869610962704365100099650821332119977, 458244699934874172421014850466757395273351470270321509112193631908579310958097635200519303760683484327031148005306545556012959771844268747044569437396411513358549647025912439554643365036095089268372636249295879951232345862509539009830904049198971757891072640710035608462248879715622175640643434576211578523826963605830945568437548649911937475405978204192497388401150093705128505325833602907141986459939934337321073395105896586776888818641391/2548269431019602047145901753219816339854742980076998173561976799906403136483239052932123940396363106425339048010878805830130061565627146860374859303787396840171848350283224622884905806875411325188631194786105599270829175571623564795815981494908582828989480801838287054507153446600361673406836173325726597789174007818071384955951495425233045135979882506602393653087851058600174003552601692912342219840897889768653293830903087831335195089],
[-9426925570213669224325729771778354771873606805714348303000245004408178427827184925670735027830986667254882068686618507741771231361219521222403033415371585285883867680491009161137046905247964910550367071465212621362166190/1564891984518368464924830786089488326516616229350688743611297520228733306869797871650467558439374017082332197111407724948204367452926399738001762380737217747851723184989650909275401608869610962704365100099650821332119977, -458247248204305192023061996368510615089691325013301586110367193885379217361234118439572235884623880690137573344354556434818789901905834374191429812255715300755389818874262722779266249941901964679697824880490666056831616691685110633395699865180466666473901630190837446749303386869068776002316841412384904250424752779838763639822504601407362708451114184075003990794803181556187105499837155508834898802159775235210842048399727489864720153836480/2548269431019602047145901753219816339854742980076998173561976799906403136483239052932123940396363106425339048010878805830130061565627146860374859303787396840171848350283224622884905806875411325188631194786105599270829175571623564795815981494908582828989480801838287054507153446600361673406836173325726597789174007818071384955951495425233045135979882506602393653087851058600174003552601692912342219840897889768653293830903087831335195089],
...
 -5
-4 [X, Y]=[31*x, 2*y+1]
v=[4, 124, 3844, 119164, 3694081]
 [0, 0, 0, -3989606832, -38340102973680]
{O}
1575320961970193443157
 2 [-50496, -5861916]
[67512, 156492]
 7.64167297400764
7.91332486405783
 [-12/31, 819],
[-12/31, -820],
[60446/124279, 21247864874/16072081],
[60446/124279, -21263936955/16072081],
[-106338/282193, 68081950566/82864609],
[-106338/282193, -68164815175/82864609],
[-50793607/36940840, 2152835876985309/1420005889600],
[-50793607/36940840, -2154255882874909/1420005889600],
[-3740223415/2757760093, 11708921914232175531/7913882133760009],
[-3740223415/2757760093, -11716835796365935540/7913882133760009],
[6104557927/73622241, 37492393510349008624/5640202257921],
[6104557927/73622241, -37492399150551266545/5640202257921],
[-38590902412824304/34258928338262937, 1349457872366567944006953438967871/1221305068560078378693950622129],
[-38590902412824304/34258928338262937, -1350679177435128022385647389590000/1221305068560078378693950622129],
[44512655440606184/94720222351590793, 12176453494422506935137495189329351/9336025517518002139280101688209],
[44512655440606184/94720222351590793, -12185789519940024937276775291017560/9336025517518002139280101688209],
[53981717721929061/71529805104051623, 8974431873101315213533562465829656/5324155065789396063552310352689],
[53981717721929061/71529805104051623, -8979756028167104609597114776182345/5324155065789396063552310352689],
[-510519766033121605/6120068470319979, 259082110947852095917458853172942419/38975273757965377396489746681],
[-510519766033121605/6120068470319979, -259082149923125853882836249662689100/38975273757965377396489746681],
...
 -4
-3 [X, Y]=[x, 2*y+1]
v=[119164, 119164, 119164, 119164, 119161]
 [0, 0, 0, -3833900074512, -1142139918126311280]
{O}
50812348326785052827
 0 - - - -3
-2 [X, Y]=[x, 2*y+1]
v=[3844, 3844, 3844, 3844, 3841]
 [0, 0, 0, -3985874352, -38286299274480]
{O}
1700994249448277
 3 [206832, 89361468]
[-14415, 4021785]
[937936/9, 703132948/27]
 5.36480413541343
5.41112117418481
9.19352582479814
 [-18/13, 8286/169],
[-18/13, -8455/169],
[48/61, 206919/3721],
[48/61, -210640/3721],
[-27/119, 389175/14161],
[-27/119, -403336/14161],
[-2858/3069, 8682010/303831],
[-2858/3069, -8985841/303831],
[-3225/6083, 927493740/37002889],
[-3225/6083, -964496629/37002889],
[7016/28179, 902759425/25614711],
[7016/28179, -928374136/25614711],
[-52807/38440, 2303908509/47665600],
[-52807/38440, -2351574109/47665600],
[26365/102629, 373183143620/10532711641],
[26365/102629, -383715855261/10532711641],
[-169244/1157, 884929144691/1338649],
[-169244/1157, -884930483340/1338649],
[3049127/4127061, 29153320216024/549439757991],
[3049127/4127061, -29702759974015/549439757991],
...
 -2
-1 [X, Y]=[x, 2*y+1]
v=[124, 124, 124, 124, 121]
 [0, 0, 0, -4030992, -1230925680]
{O}
52421115227
 4 [-744, 36828]
[-1023, 42687]
[-1716, 25164]
[3612, 177012]
 2.34394483473831
3.77594157574792
4.20829099324349
4.85211069961425
 [0, 5],
[0, -6],
[-1, 5],
[-1, -6],
 [2/3, 76/9],
[2/3, -85/9],
[-4/3, 70/9],
[-4/3, -79/9],
[3/10, 609/100],
[3/10, -709/100],
[-5/23, 2366/529],
[-5/23, -2895/529],
[-19/25, 2574/625],
[-19/25, -3199/625],
[28/9, 5249/81],
[28/9, -5330/81],
[42/11, 11364/121],
[42/11, -11485/121],
[19/66, 26285/4356],
[19/66, -30641/4356],
[83, 38589],
[83, -38590],
 [-87/46, 33675/2116],
[-87/46, -35791/2116],
[31/90, 51071/8100],
[31/90, -59171/8100],
[-103/25, 52694/625],
[-103/25, -53319/625],
[-121/3, 80521/9],
[-121/3, -80530/9],
[6/127, 82871/16129],
[6/127, -99000/16129],
[-151/43, 111170/1849],
[-151/43, -113019/1849],
[-234/113, 246995/12769],
[-234/113, -259764/12769],
[-490/387, 1060240/149769],
[-490/387, -1210009/149769],
[847/1115, 11534009/1243225],
[847/1115, -12777234/1243225],
[-999/1390, 7834139/1932100],
[-999/1390, -9766239/1932100],
[-355/1419, 8872154/2013561],
[-355/1419, -10885715/2013561],
[1599/1117, 23025410/1247689],
[1599/1117, -24273099/1247689],
[-1570/2943, 34730591/8661249],
[-1570/2943, -43391840/8661249],
[3427/2453, 107401626/6017209],
[3427/2453, -113418835/6017209],
[-3509/1962, 54361145/3849444],
[-3509/1962, -58210589/3849444],
[130/3527, 63527355/12439729],
[130/3527, -75967084/12439729],
[-4760/3611, 99289170/13039321],
[-4760/3611, -112328491/13039321],
[-2087/8051, 284454770/64818601],
[-2087/8051, -349273371/64818601],
[9593/606, 529186339/367236],
[9593/606, -529553575/367236],
[-11309/395, 699883569/156025],
[-11309/395, -700039594/156025],
[12357/7838, 1299953381/61434244],
[12357/7838, -1361387625/61434244],
[12947/10291, 1647169649/105904681],
[12947/10291, -1753074330/105904681],
[-10467/13235, 732436586/175165225],
[-10467/13235, -907601811/175165225],
[13680/4349, 1250016474/18913801],
[13680/4349, -1268930275/18913801],
[-6313/14113, 814295061/199176769],
[-6313/14113, -1013471830/199176769],
[-17013/16841, 1434670989/283619281],
[-17013/16841, -1718290270/283619281],
[18029/270, 1823442229/72900],
[18029/270, -1823515129/72900],
[-22317/23147, 2576408625/535783609],
[-22317/23147, -3112192234/535783609],
[-23779/22693, 2723639441/514972249],
[-23779/22693, -3238611690/514972249],
...
 -1
0 [X, Y]=[x, 2*y+1]
v=[4, 4, 4, 4, 1]
 [0, 0, 0, -432, 15120]
{O}
43
 1 [12, -108] 0.06281650708748 [0, 0],
[0, -1],
[-1, 0],
[-1, -1],
[2, 5],
[2, -6],
 [-1/3, -4/9],
[-1/3, -5/9],
[-6/7, -15/49],
[-6/7, -34/49],
[3/11, 35/121],
[3/11, -156/121],
[-7/40, -291/1600],
[-7/40, -1309/1600],
[-77/57, 2471/3249],
[-77/57, -5720/3249],
[-220/87, 36860/7569],
[-220/87, -44429/7569],
[-380/1337, -583509/1787569],
[-380/1337, -1204060/1787569],
[1653/2167, 4892120/4695889],
[1653/2167, -9588009/4695889],
[-16617/20360, -205932571/414529600],
[-16617/20360, -208597029/414529600],
[37627/50939, 2581829204/2594781721],
[37627/50939, -5176610925/2594781721],
...
 0
1 [X, Y]=[x, 31*(2*y+1)]
v=[124, 124, 124, 124, -2759]
 [0, 0, 0, 111675888, 52572773520]
{O}
44934018043
 2 [41385, 8692245]
[63372, 16175052]
 5.12665493727146
7.55449695475695
 [2, 0],
[2, -1],
 [20/9, 25/81],
[20/9, -106/81],
[7320/1217, 9720066/1481089],
[7320/1217, -11201155/1481089],
[225843/120637, -3607074454/14553285769],
[225843/120637, -10946211315/14553285769],
[6806686/682473, 8530492945691/465769395729],
[6806686/682473, -8996262341420/465769395729],
[8730457/2043809, 13124267335430/4177155228481],
[8730457/2043809, -17301422563911/4177155228481],
[224972829/87586393, 5649398907665441/7671376238750449],
[224972829/87586393, -13320775146415890/7671376238750449],
[-658006915014/105530302663, 65978906858138611663820/11136644780144384891569],
[-658006915014/105530302663, -77115551638282996555389/11136644780144384891569],
[-8787674033311/902239724331, 12782442455821286243122834/814036520160878873397561],
[-8787674033311/902239724331, -13596478975982165116520395/814036520160878873397561],
...
 1
2 [X, Y]=[x, 31*(2*y+1)]
v=[4, 4, 4, 4, -2879]
 [0, 0, 0, 3732048, 56002320]
{O}
1528915443883
 2 [-15, 135]
[43212/361, 154052388/6859]
 5.36910089452235
9.90384705882199
 [773/57, 564340/100719],
[773/57, -665059/100719],
[46073/40, 2123618589/49600],
[46073/40, -2123668189/49600],
[-60791/4323, 3245673505/579338199],
[-60791/4323, -3825011704/579338199],
[-486883/34219, 208823617065/36299138791],
[-486883/34219, -245122755856/36299138791],
[204875144809/15290164241, 39556054096889817797340/7247462798019408288511],
[204875144809/15290164241, -46803516894909226085851/7247462798019408288511],
[13153279239201/958160399969, 163748010749578306486952780/28460211914131375711229791],
[13153279239201/958160399969, -192208222663709682198182571/28460211914131375711229791],
[28660015577164/4184115656817, 483015152898564458388759796/542711538718255814875716159],
[28660015577164/4184115656817, -1025726691616820273264475955/542711538718255814875716159],
[-97885094739177/84945735560, 9577225168854516460931372069/223689117684712903921600],
[-97885094739177/84945735560, -9577448857972201173835293669/223689117684712903921600],
[-246249737754050/33318936882791, 31276822193496687580891445499/34414698204981723642230440111],
[-246249737754050/33318936882791, -65691520398478411223121885610/34414698204981723642230440111],
[-176945632925437630/24064249838662047, 15949705153497257721028980525828871/17951731729223937007152487425136479],
[-176945632925437630/24064249838662047, -33901436882721194728181467950965350/17951731729223937007152487425136479],
...
 2
3 [X, Y]=[x, 32^2*(2*y+1)]
v=[124, 124, 124, 124, -2770439]
 [0, 0, 0, 111305987568, 51757927704720]
{O}
43901511280657653883
 >=1(odd) [3742016257236672362730105851039295483624615840/675721047427918441483151602212988200856009, -14359628626281490099196697869972345525760201033234240059635227387249540/555457928104763663380161967370932479512121826372468250495852027]
 105.459109939836
 [-47930583739/370783185, 408880324672148202514/4261885278641070975],
[-47930583739/370783185, -413142209950789273489/4261885278641070975],
[1866112613277661821868064445983358642815898781536502982870770906665694348587200235344241082723878323252/43672049838460040293548422211742092151832327020218755672379968651066399773688294054824620296455779475, 601265909883088860027551526676340074800541419044173402099698697680583142750492359703833273794596329939726511601302053958850362053952303337796137564131786435717676239049192659933989631644890890658587567106/59124686049881066576465321120465275582803954277741402219863976483453481867283643035750097893842033959009917225243682039927581531690736246874105620615612877230550310296329904250951328748723708024769544375],
[1866112613277661821868064445983358642815898781536502982870770906665694348587200235344241082723878323252/43672049838460040293548422211742092151832327020218755672379968651066399773688294054824620296455779475, -660390595932969926604016847796805350383345373321914804319562674164036624617776002739583371688438363898736428826545735998777943585643039584670243184747399312948226549345522564184940960393614598683357111481/59124686049881066576465321120465275582803954277741402219863976483453481867283643035750097893842033959009917225243682039927581531690736246874105620615612877230550310296329904250951328748723708024769544375],
...
 3
4 [X, Y]=[x, 31^2*(2*y+1)]
v=[4, 4, 4, 4, -2770559]
 [0, 0, 0, 3590645328, 53859701520]
{O}
1361076953440675610923
 3 [-15, 135]
[67276, 23369068]
[384520328344344/24366273409, 29620284775872253360884/3803502180324673]
 8.80357440689441
10.1947093108344
31.4638321983372
 [-613/21, -169241/423801],
[-613/21, -254560/423801],
[827395/28839, -10295413436/25782325551],
[827395/28839, -15486912115/25782325551],
[19448615/677887, -176363708387484/441609084163009],
[19448615/677887, -265245375775525/441609084163009],
[44328953/40, 1965056959887069/1537600],
[44328953/40, -1965056961424669/1537600],
[205608813510/5035220929, 808309426051035576495/785956943919028314271],
[205608813510/5035220929, -1594266369970063890766/785956943919028314271],
[-171702048482157/3768284913805, 19838407489653608125823205719/13646172315137552384674482025],
[-171702048482157/3768284913805, -33484579804791160510497687744/13646172315137552384674482025],
[216224894174559/4798251817255, 32161436997752309391951872516/22125314902221064429021359025],
[216224894174559/4798251817255, -54286751899973373820973231541/22125314902221064429021359025],
[-224469985066704/5430609138823, 29147129728648146856189433040/28341346509539838144078141169],
[-224469985066704/5430609138823, -57488476238187985000267574209/28341346509539838144078141169],
[-372716022187168/1495369134519, 137552443807484521803202447904/2148919823381691095784267921],
[-372716022187168/1495369134519, -139701363630866212898986715825/2148919823381691095784267921],
[-8554283599467188/206947405821551, 42332476702299599338657185854900/41156966853995201616971059822561],
[-8554283599467188/206947405821551, -83489443556294800955628245677461/41156966853995201616971059822561],
...
 4
5 [X, Y]=[x, 31^3*(2*y+1)]
v=[124, 124, 124, 124, -2662510919]
 [0, 0, 0, 106969039512048, 49740604016587920]
{O}
38966597780488113216102812923
 2 [66946573806534900530681527416/8171066115067157303401, -27896216851809929265653939724702461430485172/738614938166924046030476880116149]
[5462880825601181433995671023036428498284248744004420355712/74660683941777702738053490238764525389640457405081, -407782397441660648724693429389578763854665062104195912468141700405211648466559993195172/645116197217501757001109626207163304972069012227662889882984621601661686979]
 60.0023676539432
129.429448950990
 [-6991008013365/95391597131, -52016339935183080927231/8744674087878090141345721],
[-6991008013365/95391597131, -8692657747942907060418490/8744674087878090141345721],
[-623014025771522/1366357932195, 68722447333342499441997728671/1794123572916180565034822025],
[-623014025771522/1366357932195, -70516570906258680007032550696/1794123572916180565034822025],
[1340930383773706851386939166599260552595177068758652226418954863/7505086388276979870699033003318199583898682950834935396924437, 293379339530980733324650047735083729849207769793651318532967941531823820310919758225747192798793606367149944037678499595222450/54129595149375886570652352742841322506896433448685125831727361313836346647974787001762312199889194382291776142872938944057209],
[1340930383773706851386939166599260552595177068758652226418954863/7505086388276979870699033003318199583898682950834935396924437, -347508934680356619895302400477925052356104203242336444364695302845660166958894545227509504998682800749441720180551438539279659/54129595149375886570652352742841322506896433448685125831727361313836346647974787001762312199889194382291776142872938944057209],
...
 5
6 [X, Y]=[x, 31^3*(2*y+1)]
v=[4, 4, 4, 4, -2662511039]
 [0, 0, 0, 3450614307408, 51759214632720]
{O}
1207964651353084575823430517163
 >=1(odd) [-15, 135]
 12.2375621183812
 [42600176633/40, 1814775050014778917149/47665600],
[42600176633/40, -1814775050014826582749/47665600],
[-77309737716087507412777586750697/72591002000592109997960, 5976795542924169095139581392525511188111104387793322176844864549/156982291347065988230115221747717781740163178225600],
[-77309737716087507412777586750697/72591002000592109997960, -5976795542924326077430928458513741303332852105575062340023090149/156982291347065988230115221747717781740163178225600],
[5976795540118251921043648367951472605529943619190863938237857489/11223982647792792317109642810124541627275014651815475440, 35722084961917274969563695172035054108461815569690377615276564965134705855309234927232616919842345687025254110145136738220219001/3753004236964718707368512490189244153810519917809853293916755949778641294824281784234791185451506486494987980537600],
[5976795540118251921043648367951472605529943619190863938237857489/11223982647792792317109642810124541627275014651815475440, -35722084961921027973800659890742422620952004813844188135194374818428622611259013568527441201626580478210705616631631726200756601/3753004236964718707368512490189244153810519917809853293916755949778641294824281784234791185451506486494987980537600],
...
 6
7 [X, Y]=[x, 31^4*(2*y+1)]
v=[124, 124, 124, 124, -2558673112199]
 [0, 0, 0, 102797250956537328, 47800721695433343120]
{O}
34583002517218209722490052387240311163
 0 - - - 7
8 [X, Y]=[x, 31^4*(2*y+1)]
v=[4, 4, 4, 4, -2558673112319]
 [0, 0, 0, 3316040353566288, 49740605303515920]
{O}
1072073078144732898615303348863449858603
 >=1(odd) [-15, -135]
 15.6715493233939
 [40938769797113/40, 1675982872501830357840260829/1477633600],
[40938769797113/40, -1675982872501830359317894429/1477633600],
[-68612677001290140233057566511914588647657/67039314900073214343163105160, 4707699445281069074687543720397407102667861489367449947864138192714702000588220389/4150552486652021029167090426952493977340685292479331518332737600],
[-68612677001290140233057566511914588647657/67039314900073214343163105160, -4707699445281069078838096207049428131834951916319943925204823485194033518920957989/4150552486652021029167090426952493977340685292479331518332737600],
[4707699445278769203333004466163832276422471245579086138615999775795738003537221329/9199493719250754563985699092055196759374007154001586087220964896307440, 22162434067099685459365872427580247937158661614050116598485231664354820859894343549993287570597521526157502035612871786176449921469652355830579011678155633035884921/78158214556086725050468579069790602188130680543905301671105128967582225010153004853527877035367950670884510360555771293235245875500892190036025600],
...
 8
9 [X, Y]=[x, 31^5*(2*y+1)]
v=[124, 124, 124, 124, -2458884860942279]
 [0, 0, 0, 98788158173217831408, 45936493550546935090320]
{O}
30692542037342839654296429769997767031360644603
 >=1(odd) ? ? ?,
...
 9
10 [X, Y]=[x, 31^5*(2*y+1)]
v=[4,4,4,4,-2458884860942399]
 [0, 0, 0, 3186714779781349968, 47800721696720271120]
{O}
951468803157730510928360669623102351817641411243
 1 [-15, 135] 19.1055365278796 [39342157775078393/40, 1547805378399162037017049893710109/45806641600],
[39342157775078393/40, -1547805378399162037017095700351709/45806641600],
[-60894003402094777851252481842259193158901059677417/61912215135966481480682911881236360, 3708079650334328494155840311466360452413702199285246877902644145539701045886734874928026123974894629/109739039505594899773708177181606809939637825138388178348802368426184091889600],
[-60894003402094777851252481842259193158901059677417/61912215135966481480682911881236360, -3708079650334328494155950050505866047313475907462428484712583783364839434065083677296452308066784229/109739039505594899773708177181606809939637825138388178348802368426184091889600],
...
 10

■この表を良くながめると、e=2,4,6,8,10(正の偶数)のとき、[-15,135]がE0(v)のMordell-Weil群の生成元になっている。
しかし、e=0のときは、E0(v)=[0, 0, 0, -432, 15120]のMordell=Wel群の生成元は[12,-108]である。
実は、その(-5)倍点(-5)*[12,-108]=[-15,135]であるので、[-15,135]は必ずしも生成元とは限らないが、(偶数eに依存しない)E0(v)の有理点である。

実際に、eが任意の偶数である場合、P0=[-15, 135]はE0(v)の(ねじれ点でない)有理点であり、この有理点の3*P0,5*P0,7*P0,9*P0,...から、C(e)の有理点を具体的に求めることができる。

eが偶数のとき、K=31^(e/2)とすると、さらに一般化できて、以下の定理が成立する。

[Theorem 1] 任意の0でない有理数Kに対して、楕円曲線
     E(K): (x^4+x^3+x^2+x+1)=K^2*(y^2+y+1)
は、(ねじれ点でない)有理点
     [x, y]=[6/5*K^2-11/8, (2304*K^4-4320*K^2-800*K+2525)/(1600*K)]
を持つ。よって、rank(E(K))> 0である。

以下に、E(K)の有理点をいくつか記載する。
[6/5*K^2 - 11/8, (2304*K^4 - 4320*K^2 - 800*K + 2525)/(1600*K)],
[6/5*K^2 - 11/8, (-2304*K^4 + 4320*K^2 - 800*K - 2525)/(1600*K)],

[(-110592*K^6 + 288000*K^4 - 272400*K^2 + 78375)/(92160*K^4 - 172800*K^2 + 101000), (12230590464*K^12 - 68797071360*K^10 - 4246732800*K^9 + 169205760000*K^8 + 15925248000*K^7 - 233625600000*K^6 - 24238080000*K^5 + 191656800000*K^4 + 17452800000*K^3 - 88940100000*K^2 - 5100500000*K + 18270953125)/(8493465600*K^9 - 31850496000*K^7 + 48476160000*K^5 - 34905600000*K^3 + 10201000000*K)],
[(-110592*K^6 + 288000*K^4 - 272400*K^2 + 78375)/(92160*K^4 - 172800*K^2 + 101000), (-12230590464*K^12 + 68797071360*K^10 - 4246732800*K^9 - 169205760000*K^8 + 15925248000*K^7 + 233625600000*K^6 - 24238080000*K^5 - 191656800000*K^4 + 17452800000*K^3 + 88940100000*K^2 - 5100500000*K - 18270953125)/(8493465600*K^9 - 31850496000*K^7 + 48476160000*K^5 - 34905600000*K^3 + 10201000000*K)],

[(12230590464*K^12 - 73893150720*K^10 + 187785216000*K^8 - 255191040000*K^6 + 193788000000*K^4 - 76667100000*K^2 + 11899640625)/(8847360*K^6 - 24883200*K^4 + 25248000*K^2 - 8690000), (149587343098087735296*K^24 - 1682857609853487022080*K^22 - 51940049686836019200*K^21 + 8872009737132677529600*K^20 + 486937965814087680000*K^19 - 29077635889134305280000*K^18 - 2099356391964672000000*K^17 + 66149011541930803200000*K^16 + 5469128676605952000000*K^15 - 110222829773704396800000*K^14 - 9519129711083520000000*K^13 + 138031364161142784000000*K^12 + 11552167255080960000000*K^11 - 130834599702036480000000*K^10 - 9889354063872000000000*K^9 + 93018924208512000000000*K^8 + 5891392051200000000000*K^7 - 48264342994080000000000*K^6 - 2335315366800000000000*K^5 + 17299901336985000000000*K^4 + 555643596750000000000*K^3 - 3835225216190625000000*K^2 - 60182791882812500000*K + 396670786963134765625)/(103880099373672038400*K^21 - 973875931628175360000*K^19 + 4198712783929344000000*K^17 - 10938257353211904000000*K^15 + 19038259422167040000000*K^13 - 23104334510161920000000*K^11 + 19778708127744000000000*K^9 - 11782784102400000000000*K^7 + 4670630733600000000000*K^5 - 1111287193500000000000*K^3 + 120365583765625000000*K)],
[(12230590464*K^12 - 73893150720*K^10 + 187785216000*K^8 - 255191040000*K^6 + 193788000000*K^4 - 76667100000*K^2 + 11899640625)/(8847360*K^6 - 24883200*K^4 + 25248000*K^2 - 8690000), (-149587343098087735296*K^24 + 1682857609853487022080*K^22 - 51940049686836019200*K^21 - 8872009737132677529600*K^20 + 486937965814087680000*K^19 + 29077635889134305280000*K^18 - 2099356391964672000000*K^17 - 66149011541930803200000*K^16 + 5469128676605952000000*K^15 + 110222829773704396800000*K^14 - 9519129711083520000000*K^13 - 138031364161142784000000*K^12 + 11552167255080960000000*K^11 + 130834599702036480000000*K^10 - 9889354063872000000000*K^9 - 93018924208512000000000*K^8 + 5891392051200000000000*K^7 + 48264342994080000000000*K^6 - 2335315366800000000000*K^5 - 17299901336985000000000*K^4 + 555643596750000000000*K^3 + 3835225216190625000000*K^2 - 60182791882812500000*K - 396670786963134765625)/(103880099373672038400*K^21 - 973875931628175360000*K^19 + 4198712783929344000000*K^17 - 10938257353211904000000*K^15 + 19038259422167040000000*K^13 - 23104334510161920000000*K^11 + 19778708127744000000000*K^9 - 11782784102400000000000*K^7 + 4670630733600000000000*K^5 - 1111287193500000000000*K^3 + 120365583765625000000*K)],

...

[Corollary 2] 任意の偶数eに対して、楕円曲線
     C(e): (x^4+x^3+x^2+x+1)=31^e*(y^2+y+1)
は、(ねじれ点ではない)有理点
     P(e)=[6/5*31^e-11/8, (2304*31^(2*e)-4320*31^e-800*31^(e/2) + 2525)/(1600*31^(e/2))]
を持つ。よって、rank(C(e))>0である。

例えば、e=100のとき、
     [6567659380303896768325676289696468083096900161469146002691217340043058362963703623649079133636508984469667127447160035588343380355735036316459133183993/40, 43134149735693765322183982803536001685455993337399767233012212752535059370783632395448834892693703340015860700458272777538758778837819097802759259033735733077747840692322983688529821129941710295745623365318861841269410022570763947146978901601827101089250002073095128143853268484164614770159739611903709/591840491137216093211288196468612379677747663238006844844038032777986086401600]
は、C(100)の有理点である。
また、e=-100のとき、
     [-7525443039931548380373170748610536345215198101683396461417019868799337707562577068764569840625166544704826916866537540778310123324279729112609423440007/5473049483586580640271396908080390069247416801224288335576014450035881969136419686374232611363757487058055939539300029656952816963112530263715944320040, 47271583369195641249355276292937675458236277420544449767081526562565549006569176925533873282443018263419355330482567486971218985396049557791415659475765681337628533728777811152108246859644275558661982900495674914073487711843710303386725829326821034160659746607483405709958991006254452825738240054239709/80979307359604219880978172414803461133075758076108831782113750694917925024435092851121007416435290469168802377304865411295235858230572447980382855680004940310370082518513179334496094917700174774456702361976181313254355059201600]
は、C(-100)の有理点である。

[Pari/GPによる計算]
(18:54) gp > F(x,y,pe)=(x^4+x^3+x^2+x+1)-pe*(y^2+y+1);
(18:55) gp > P(e)=[6/5*31^e-11/8, (2304*31^(2*e)-4320*31^e-800*31^(e/2) + 2525)/(1600*31^(e/2))]
%14 = (e)->[6/5*31^e-11/8,(2304*31^(2*e)-4320*31^e-800*31^(e/2)+2525)/(1600*31^(e/2))]
(18:56) gp > w=P(100)
%15 = [6567659380303896768325676289696468083096900161469146002691217340043058362963703623649079133636508984469667127447160035588343380355735036316459133183993/40, 43134149735693765322183982803536001685455993337399767233012212752535059370783632395448834892693703340015860700458272777538758778837819097802759259033735733077747840692322983688529821129941710295745623365318861841269410022570763947146978901601827101089250002073095128143853268484164614770159739611903709/591840491137216093211288196468612379677747663238006844844038032777986086401600]
(18:56) gp > F(w[1],w[2],31^100)
%16 = 0
(18:56) gp > w2=P(-100)
%17 = [-7525443039931548380373170748610536345215198101683396461417019868799337707562577068764569840625166544704826916866537540778310123324279729112609423440007/5473049483586580640271396908080390069247416801224288335576014450035881969136419686374232611363757487058055939539300029656952816963112530263715944320040, 47271583369195641249355276292937675458236277420544449767081526562565549006569176925533873282443018263419355330482567486971218985396049557791415659475765681337628533728777811152108246859644275558661982900495674914073487711843710303386725829326821034160659746607483405709958991006254452825738240054239709/80979307359604219880978172414803461133075758076108831782113750694917925024435092851121007416435290469168802377304865411295235858230572447980382855680004940310370082518513179334496094917700174774456702361976181313254355059201600]
(18:56) gp > F(w2[1],w2[2],31^(-100))
%18 = 0

■|e|<=10の範囲で見つかったC(e)の整点[x,y]とeの組[x,y,e]は、以下のようになる。
[0, 0, 0]
[0, -1, 0]
[-1, 0, 0]
[-1, -1, 0]
[2, 5, 0]
[2, -6, 0]

[-1, 5, -1]
[-1, -6, -1]
[0, 5, -1]
[0, -6, -1]
[83, 38589, -1]
[83, -38590,-1]

[2, 0, 1]
[2, -1, 1]


[参考文献]

Last Update: 2024.01.25
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]