Homeに戻る  一覧に戻る 

Rational Points on Elliptic Curves: u^3+v^3-muv=14, y^2=x^3-27m^2+216m(m^3+378)x-432(m^3+378)^2 (m \in [1..100])


[2023.08.16]u^3+v^3-muv=14, y^2=x^3-27m^2x^2+216m(m^3+378)x-432(m^3+378)^2 (m \in [1..100])の有理点


■パラメータm,nを持つ楕円曲線
     Cm,n: u3+v3-muv=n ----- (1)
を以下の標準形に変形する。

     Em,n: y2 = x3-27m2x2+216m(m3+27n)x-432(m3+27n)2 ------------- (2)

Cm,nからEm,nへの有理変換φ:(u,v)-->(x,y)は、
     x=12(m3+27n)/(3u + 3v + m),
     y=108((m3+27*n)(u-v)/(3*u+3*v+ m)
であり、Em,nからCm,nへの有理変換ψ:(x,y)-->(u,v)は、
     u=(-3mx+y+36m3+972n)/{18x},
     v=(-3mx-y+36m3+972n)/{18x}
である。

■以下では、n=14に固定する。

■m=1..100について、Em,14, Cm,14の有理点を計算する。

楕円曲線Em,14のねじれ点群Em,14(Q)torsは自明な群{O}である。
Cnは、無限遠点OC=[1 : -1 : 0](有理点でもある)を持つ。

[pari/gpによる計算]
gp > elltors(ellinit(rr(1,14)))
%1 = [1, [], []]
gp > for(m=1,1000,e=ellinit(rr(m,14));g=elltors(e);if(g!=[1,[],[]],print("E_{",m,",14}(Q)_{tors}=",g)))
time = 26 ms.

楕円曲線Em,nの有理点は、CremonaのmwrankまたはMAGMA Calculator(4-descent)を使って求める。
ただし、そのMordell-Weil群En(Q)がrank 1の場合は、pari/gpのellheegner()関数で求めても良い。

m \in [1..100]の範囲では、m=79の場合が、Cm,14(Q)の生成元の高さが最大になる。
C79,14: u3+v3-79uv=14の有理点をいくつか求めると、以下のようになる。
       Q=[13689164933648355998632426547115288237390304722256115837788456815560303/8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090, -618807412740660700876579416330065835822241882750339525122709134814673/8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090]
       height 107.80598967976398414730250753770960980

       2Q=[6632893006409982598868489484478192952053745463918812080254040883207451478408744418995355021708598864886760211483837228000492944151130100337647737230250838164663584790932785416991281592064183110055834569642899164749195214796494679397551665750883091849281634876474816867396556175471/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960, 111612397140186181136025022654266823732066324340318991372241574528069938956156524535600190977349904427108658129168129937144218644048330011982331624613923850005757085407799922289344103684112305429061032117867967114692431184298407084192763877064248811123040210969513954953507819615249/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960]
       height 431.22395871905593658921003015083843918

       3Q=[6632893006409982598868489484478192952053745463918812080254040883207451478408744418995355021708598864886760211483837228000492944151130100337647737230250838164663584790932785416991281592064183110055834569642899164749195214796494679397551665750883091849281634876474816867396556175471/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960, 111612397140186181136025022654266823732066324340318991372241574528069938956156524535600190977349904427108658129168129937144218644048330011982331624613923850005757085407799922289344103684112305429061032117867967114692431184298407084192763877064248811123040210969513954953507819615249/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960]
       height 970.25390711787585732572256783938648815

...


[pari/gpによる計算]
gp> e=ellinit(rr(79,14))
%1 = [0, -168507, 0, 8419667688, -105174865104048, -674028, 16839335376, -420699460416192, 0, 50169695760, -11515339394155584, -3660878922614366479778045952, -58010872513949813256625/1681784559746797982, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, -1])], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
gp> ellanalyticrank(e)
time = 132 ms.
%2 = [1, 28.569758223296393968535404083686510891]
gp> P=ellheegner(e)
time = 1min, 13,402 ms.
%3 = [247861841719305374800796557759862982721415594539/3503609446735356311620439174228494877282025, 7153986173194508349754502981722677036606273302503227681455582975187488/6558032022616146054602302406842002158688344033022685066720084875]
gp> ellheight(e,P)
time = 1 ms.
%4 = 107.80598967976398414730250753770960980
gp> pp(P)
%5 = [463946087568189983598208562510425127628788725312056805721674238123505, 7153986173194508349754502981722677036606273302503227681455582975187488, 6558032022616146054602302406842002158688344033022685066720084875]
gp> Q=ggg2(P,79,14)
%6 = [13689164933648355998632426547115288237390304722256115837788456815560303/8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090, -618807412740660700876579416330065835822241882750339525122709134814673/8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090]
gp> pp(Q)
%7 = [13689164933648355998632426547115288237390304722256115837788456815560303, -618807412740660700876579416330065835822241882750339525122709134814673, 8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090]
(19:56) gp > Q[1]^3+Q[2]^3-79*Q[1]*Q[2]-14
%8 = 0
gp> P2=ellpow(e,P,2)
%9 = [44442917711469420141923745641507448826881649953266159393992571260596427470025134221513129613199557477424975639929459418665394758376983535111173471131391849346308812624462211139265718985441/717252173306664123161203635307793211245468975096445561473779560811057316413486568855678297526413654699485707989069837800521142418088495429016342722378762134213607679647770898489446400, -52489752066888099268578266584894315390006289438200089645993766822431243738873890058302417977820652781110948958842146354571862849948599955822341943691836505920546750308433568436176411046024061159502598774112533974971617984750956202397606105656682859636879288046519569043055631719889/19209135023999286222099925766532617096830682681723984042970029899634667229341313357703045939579313192739081796414118226055996086958963305123479735468693848372498014808011610738048779892057025664684424616597386418008127607355972770448575232223485687495612656183112210546688000]
gp> P3=ellpow(e,P,3)
%10 = [31325343275117051593580448826903990961929907052503826645958572786751125596611915621954810820336861936892128243363514676242667605120740009836788246526883606815457071584013747072004387444313738339297707281727967554499888260840086502784503870359776872764898242008084547929808103894771300590624324385758523460784531237865942090748358680468151745470859856547799145211998723931003931757812947706455657762289626948339464784209259/139008856261707672357992971747033954543605522372818709486667209631877344377269626487396258185867576259305669479204414343711731124370753969207970214095969922240569065119469452804824195624761590615643344068089078500602187233270047516187627279261392355464582397811460107906750541704964943146628021745196319287036040740198291062359443038349688901648855601556100489331951240279071338462140125051906103045074632666914541225, -112104733608247010586808233937217087336334392399625293849153791731798366830033989082586224895218264481416723161361169763135730633554016708090347363668540416323561720708185103695914727402022174637186530264862632598001613458811484261525174818240950238472391698366859154184154140176923121225435296393228700394029495814342569117238214956040312762320736135980335473450553439816349550646554031309863826497904755647547067540974064538632934592686642385892457890312288808597683066188435505699261270861996796536774128954280086147093799028069550746717993742660525416666567183063201062869220322576956729212973530294741943603187825287675314080352/1638942454207826153367799613275034533060644001116748511107522361429293852460109163250904999141161599683110549870072837378569343243133587278929581869702701342187534767100748039545836791608346243851829834911907828925885948280245682215283008501148397095495764564647116359813718304491385573259266115224375707322543250960253364812220577343044315668335940230194118163312165046566491507340655526532211098002148152193420973508865688788301630873056729082446555751417514772540103012947276864624485901247351285766547256394655706153943649726901674926838198131820523037898023194278095793139983132394945407040234003168682163071320864799125]
gp> Q2=ggg2(P2,79,14)
time = 1 ms.
%11 = [6632893006409982598868489484478192952053745463918812080254040883207451478408744418995355021708598864886760211483837228000492944151130100337647737230250838164663584790932785416991281592064183110055834569642899164749195214796494679397551665750883091849281634876474816867396556175471/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960, 111612397140186181136025022654266823732066324340318991372241574528069938956156524535600190977349904427108658129168129937144218644048330011982331624613923850005757085407799922289344103684112305429061032117867967114692431184298407084192763877064248811123040210969513954953507819615249/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960]
gp> Q2[1]^3+Q2[2]^3-79*Q2[1]*Q2[2]-14
%12 = 0
gp> Q3=ggg2(P2,79,14)
%13 = [6632893006409982598868489484478192952053745463918812080254040883207451478408744418995355021708598864886760211483837228000492944151130100337647737230250838164663584790932785416991281592064183110055834569642899164749195214796494679397551665750883091849281634876474816867396556175471/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960, 111612397140186181136025022654266823732066324340318991372241574528069938956156524535600190977349904427108658129168129937144218644048330011982331624613923850005757085407799922289344103684112305429061032117867967114692431184298407084192763877064248811123040210969513954953507819615249/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960]
gp> Q3[1]^3+Q3[2]^3-79*Q3[1]*Q3[2]-14
%14 = 0
■m \in [1..100]について、結果をまとめると、以下のようになる。
・m=1,2,4,10,12,13,15,19,21,22,28,30,31,32,37,38,39,42,43,47,50,
       52,53,55,57,61,63,67,70,72,75,78,80,82,83,85,92,93,95,96,98のとき、
       Cm,14は、(OC以外の)有理点を持たないもの(整点も持たない)。
・m=3,5,6,7,8,9,11,14,16,17,18,20,23,24,25,26,27,29,33,34,35,36,40,41,44,45,46,48,49,
       51,54,56,58,59,60,62,64,65,66,68,69,71,73,74,76,77,79,81,84,86,87,89,90,91,94,97,99,100のとき、
       Cm,14は、(OC以外の)有理点を持つ。
・C14,14は、整点[-1, 1], [1, -1]を持つ。
・C56,14は、整点[-13, 3], [3,-13]を持つ。
・C74,14は、整点[29, 39], [39, 29]を持つ。

m [a1,a2,a3,a4,a6],
conductor(Em,14)
rank
Em,14(Q)
Em,14:y2z=x3-27m2x2z+216m(m3+378)xz2-432(m3+378)2z3
Em,14(Q)/Em,14(Q)torsの生成元
[x:y:z]
Em,14(Q)/Em,14(Q)torsの生成元
の高さ
Cm,14:u3+v3-muvw=14w3
Cm,14(Q)/Cm,14(Q)torsの生成元
[u:v:w]
m
1 [0, -27, 0, 81864, -62052912]
5306
0 - - - 1
2 [0, -108, 0, 166752, -64366272]
5404
0 - - - 2
3 [0, -243, 0, 262440, -70858800]
5670
1 [463 : 9890 : 1] 6.60886508642363 [20303 : 523 : 8334],
...
3
4 [0, -432, 0, 381888, -84397248]
6188
0 - - - 4
5 [0, -675, 0, 543240, -109299888]
7042
1 [1227 : 37260 : 1] 5.03388258076572 [1369 : -1391 : 818],
...
5
6 [0, -972, 0, 769824, -152425152]
2772
1 [756 : 17496 : 1] 1.63734579900721 [13 : -5 : 7],
...
6
7 [0, -1323, 0, 1090152, -224571312]
10094
1 [2163 : 77868 : 1] 1.09525089911499 [3 : -5 : 2],
...
7
8 [0, -1728, 0, 1537920, -342187200]
12460
1 [588, 12960, 1] 3.25426159833935 [143 : 23 : 49],
...
8
9 [0, -2187, 0, 2152008, -529393968]
15498
1 [13274 : 318835 : 8] 8.75627876422028 [279253 : -358417 : 238932],
...
9
10 [0, -2700, 0, 2976480, -820317888]
19292
0 - - - 10
11 [0, -3267, 0, 4060584, -1261734192]
23926
1 [651 : 16524 : 1] 4.97376501047520 [2095 : 871 : 434],
...
11
12 [0, -3888, 0, 5458752, -1916021952]
29484
0 - - - 12
13 [0, -4563, 0, 7230600, -2864430000]
7210
0 - - - 13
14 [0, -5292, 0, 9440928, -4210653888]
43708
1 [2676 : 48168 : 1] 0.44196354659763 [1 : -1 : 1],
...
14
15 [0, -6075, 0, 12159720, -6084723888]
17514
0 - - - 15
16 [0, -6912, 0, 15462144, -8647204032]
62636
1 [4396 : 103456 : 1] 6.65953068797561 [6689 : -19175 : 9891],
...
16
17 [0, -7803, 0, 19428552, -12093702192]
74074
1 [1443 : 51948 : 1] 1.54873697711864 [13 : 5 : 2],
...
17
18 [0, -8748, 0, 24144480, -16659691200]
86940
1 [389780 : 7794296 : 125] 9.66563607100086 [1836397 : -112177 : 877005],
...
18
19 [0, -9747, 0, 29700648, -22625641008]
101318
0 - - - 19
20 [0, -10800, 0, 36192960, -30322461888]
117292
1 [3532 : 82720 : 1] 6.61496000289056 [21551 : 871 : 7947],
...
20
21 [0, -11907, 0, 43722504, -40137258672]
134946
0 - - - 21
22 [0, -13068, 0, 52395552, -52519396032]
154364
0 - - - 22
23 [0, -14283, 0, 62323560, -67986874800]
175630
1 [7527 : 135486 : 1] 0.92541110767999 [1 : -3 : 2],
...
23
24 [0, -15552, 0, 73623168, -87133019328]
66276
1 [979020 : 15781392 : 125] 6.32559646900654 [4733 : -11503 : 9065],
...
24
25 [0, -16875, 0, 86416200, -110633475888]
224042
1 [16003 : 1024192 : 1] 2.90958026063161 [25 : -103 : 18],
...
25
26 [0, -18252, 0, 100829664, -139253522112]
251356
1 [904020 : 14566392 : 125] 7.94971634760798 [115027 : -19847 : 75335],
...
26
27 [0, -19683, 0, 116995752, -173855687472]
280854
1 [36652143638064872985 : 1114958092161097042622 : 6010202860518375] 32.7217969435251 [2486678922532770682337 : 256762738210576597093 : 659738585485167713730],
...
27
28 [0, -21168, 0, 135051840, -215407684800]
312620
0 - - - 28
29 [0, -22707, 0, 155140488, -264990652848]
346738
1 [12943 : 327590 : 1] 8.82664481827983 [93161 : -562019 : 232974],
...
29
30 [0, -24300, 0, 177409440, -323807709888]
29484
0 - - - 30
31 [0, -25947, 0, 202011624, -393192818352]
422366
0 - - - 31
32 [0, -27648, 0, 229105152, -474619960512]
464044
0 - - - 32
33 [0, -29403, 0, 258853320, -569712625200]
169470
1 [107437374 : 2933521515 : 10648] 11.1031003148000 [25587563 : 1443353 : 7958324],
...
33
34 [0, -31212, 0, 291424608, -680253605568]
555548
1 [11053 : 279395 : 1] 8.78865861515543 [580541 : 21751 : 198954],
...
34
35 [0, -33075, 0, 326992680, -808195107888]
605542
1 [14763 : 167832 : 1] 2.78869248274119 [25 : -23 : 38],
...
35
36 [0, -34992, 0, 365736384, -955669171392]
658476
1 [31356 : 2633904 : 1] 1.87025966034688 [5 : -23 : 3],
...
36
37 [0, -36963, 0, 407839752, -1124998399152]
714434
0 - - - 37
38 [0, -38988, 0, 453492000, -1318707000000]
30940
0 - - - 38
39 [0, -41067, 0, 502887528, -1539532141488]
835758
0 - - - 39
40 [0, -43200, 0, 556225920, -1790435613888]
901292
1 [538419 : 6185735 : 27] 11.0927967293799 [4150871 : -8220599 : 9691542],
...
40
41 [0, -45387, 0, 613711944, -2074615805232]
42182
1 [525297 : 6034832 : 27] 6.38007761756465 [16601 : -6215 : 17874],
...
41
42 [0, -47628, 0, 675555552, -2395519987392]
347508
0 - - - 43
43 [0, -49923, 0, 741971880, -2756856913200]
1118390
0 - - - 43
44 [0, -52272, 0, 813181248, -3162609724608]
1197868
1 [149686649 : 5755854115 : 4913] 15.2446602194342 [1130396263 : -10381311967 : 2694359682],
...
44
45 [0, -54675, 0, 889409160, -3617049171888]
1281042
1 [38132696205784071930772866 : 5280737090255337473291074015 : 635089536875063349288] 42.6184896717245 [2224876626610928942033132209 : -8336597553899746004549015821 : 686388531704113294753911588],
...
45
46 [0, -57132, 0, 970886304, -4124747143872]
1367996
1 [22861916, 1163026504, 1331] 12.8686363145456 [336268265 : 45511639 : 51439311],
...
46
47 [0, -59643, 0, 1057848552, -4690590509232]
1458814
0 - - - 47
48 [0, -62208, 0, 1150536960, -5319795268800]
1553580
1 [62359177813604 : 37752852556822960 : 146363183] 24.0661052637178 [3669730019836793 : -5768483119368947 : 140308150080609],
...
48
49 [0, -64827, 0, 1249197768, -6017921018928]
1652378
2 [50583 : 4552470 : 1],
[28119 : 289926 : 1]
1.64480630605370,
3.90522517713034
[3 : -17 : 2],
[165 : -71 : 206],
...
49
50 [0, -67500, 0, 1354082400, -6790885725888]
1755292
0 - - - 50
51 [0, -70227, 0, 1465447464, -7644980811312]
620802
1 [266058 : 3591783 : 8] 1.15599234265203 [1 : -5 : 4],
...
51
52 [0, -73008, 0, 1583554752, -8586886548672]
1973804
0 - - - 52
53 [0, -75843, 0, 1708671240, -9623687770800]
2089570
0 - - - 53
54 [0, -78732, 0, 1841069088, -10762889888448]
2209788
1 [3682980 : 105438456 : 125] 3.80498999987830 [347 : 13 : 105],
...
54
55 [0, -81675, 0, 1981025640, -12012435219888]
137326
0 - - - 55
56 [0, -84672, 0, 2128823424, -13380719631552]
2463916
2 [37713 : 339417 : 1],
[33852 : 668304 : 1]
0.78644483216712,
2.84071192842480
[1 : -1 : 2],
[67 : -1 : 31],
...
56
57 [0, -87723, 0, 2284750152, -14876609489712]
2597994
0 - - - 57
58 [0, -90828, 0, 2449098720, -16509458923200]
2736860
1 [10391370675951395882479380 : 142310425504495636608473224 : 273360080801986750125] 39.3756768627841 [32252720868030848150845763 : -3324885508093061001272543 : 23380584020890640735578605],
...
58
59 [0, -93987, 0, 2622167208, -18289127397168]
2880598
1 [52059 : 2141856 : 1] 2.56476806812949 [5 : -59 : 14],
...
59
60 [0, -97200, 0, 2804258880, -20225997597888]
1009764
1 [4963580 : 86268736 : 125] 11.3266658376382 [20815667 : -751517 : 11168055],
...
60
61 [0, -100467, 0, 2995682184, -22330993628592]
289366
0 - - - 61
62 [0, -103788, 0, 3196750752, -24615599516352]
3341884
1 [170436084 : 8687943576 : 4913] 4.18414972336701 [745 : 71 : 119],
...
62
63 [0, -107163, 0, 3407783400, -27091878030000]
701190
0 - - - 63
64 [0, -110592, 0, 3629104128, -29772489809088]
3675308
1 [86044 : 10037296 : 1] 5.38897487320903 [845 : -4871 : 441],
...
64
65 [0, -114075, 0, 3861042120, -32670712803888]
3850042
1 [1070430744710064192 : 2550874512576386155995 : 184803393536] 30.6637288771150 [86813707070840612609 : -102139960527410213761 : 713620496473376128],
...
65
66 [0, -117612, 0, 4103931744, -35800462026432]
4030236
2 [63972 : 2686824 : 1],
[6734945 : 68676787 : 125]
1.54916920878757,
12.7618938065937
[1 : -13 : 3],
[30590677 : -106762897 : 121229010],
...
66
67 [0, -121203, 0, 4358112552, -39176309612592]
4215974
0 - - - 67
68 [0, -124848, 0, 4623929280, -42813505195200]
4407340
1 [12055003947939860 : 1447678814500154368 : 126128378375] 26.5726628723632 [52236387723104741 : -309683315901933851 : 27123758882864685],
...
68
69 [0, -128547, 0, 4901731848, -46727996588208]
1534806
1 [219258 : 27297621 : 8] 3.37311047872152 [233 : 67 : 12],
...
69
70 [0, -132300, 0, 5191875360, -50936450781888]
4807292
0 - - - 70
71 [0, -136107, 0, 5494720104, -55456275249072]
5016046
1 [138238040596862627737288 : 11315047075049339609711167 : 3468129711747240448] 38.7506988812895 [26603682574437053085113815 : 3973588424338373865691481 : 2488284730743527299271184],
...
71
72 [0, -139968, 0, 5810631552, -60305639562432]
5230764
0 - - - 72
73 [0, -143883, 0, 6139980360, -65503497322800]
5451530
2 [7481355 : 122853294 : 125],
[61363 : 736100 : 1]
5.83077599538255,
9.67668405388371
[5291 : -201 : 3010],
[1315823 : -156377 : 1104534],
...
73
74 [0, -147852, 0, 6483142368, -71069608398528]
5678428
1 [17508 : 1575720 : 1] 2.35221442161590 [39 : 29 : 1],
...
74
75 [0, -151875, 0, 6840498600, -77024561475888]
5911542
0 - - - 75
76 [0, -155952, 0, 7212435264, -83389796920512]
6150956
1 [15095462988 : 583155813248 : 185193] 16.9494233853310 [8817565447 : -136971387865 : 33964791723],
...
76
77 [0, -160083, 0, 7599343752, -90187629949872]
6396754
1 [4587492 : 36017163 : 64] 7.25010265182084 [11815 : -17503 : 33608],
...
77
78 [0, -164268, 0, 8001620640, -97441274116800]
2216340
0 - - - 78
79 [0, -168507, 0, 8419667688, -105174865104048]
6907838
1 [463946087568189983598208562510425127628788725312056805721674238123505 : 7153986173194508349754502981722677036606273302503227681455582975187488 : 6558032022616146054602302406842002158688344033022685066720084875] 107.805989679763 [13689164933648355998632426547115288237390304722256115837788456815560303 : -618807412740660700876579416330065835822241882750339525122709134814673 : 8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090],
...
79
80 [0, -172800, 0, 8853891840, -113413484829888]
7173292
0 - - - 80
81 [0, -177147, 0, 9304705224, -122183185864752]
7445466
1 [887479058890819025685207672802371649595 : 15102774835369947596991106222108628009192 : 12009364581899896292786902815397625] 62.2177168353042 [29370460977832078430696604992882500233107 : -835088692907816763285607451334755785277 : 15974623060034742462333738110442689692710],
...
81
82 [0, -181548, 0, 9772525152, -131511016158912]
7724444
0 - - - 82
83 [0, -186003, 0, 10257774120, -141425044081200]
8010310
0 - - - 83
84 [0, -190512, 0, 10760879808, -151954383768768]
8303148
1 [856674 : 52883145 : 8] 4.36433301400687 [79 : -991 : 156],
...
84
85 [0, -195075, 0, 11282275080, -163129220787888]
8603042
0 - - - 85
86 [0, -199692, 0, 11822397984, -174980838105792]
8910076
1 [11685345 : 178719453 : 125] 11.0391820448008 [1031609 : -12206869 : 7790230],
...
86
87 [0, -204363, 0, 12381691752, -187541642373552]
3074778
1 [24908595443297632341403626834722925 : 970454850126601430019707653346344656 : 318781097015019216642840359375] 51.7158401171112 [8356825213130135564707851058422217 : 369542496038765770306965022649833 : 1845081143947972766029898284053550],
...
87
88 [0, -209088, 0, 12960604800, -200845190520000]
1909180
0 - - - 88
89 [0, -213867, 0, 13559590728, -214926216656688]
9874858
2 [41491 : 7136452 : 1],
[98655792619108859199259 : 16477669935298914335111168 : 583457634357771529]
3.91121999611461,
31.6737799103267
[517 : 173 : 18],
[119351585133293668913 ; -674925242867907282383 : 42799746141186268482] ,
...
89
90 [0, -218700, 0, 14179108320, -229820659293888]
10211292
1 [11616020 : 162840392 : 125] 5.49045842771806 [2857 : -157 : 1935],
...
90
91 [0, -223587, 0, 14819621544, -245565688867632]
10555286
1 [81067 : 4381244 : 1] 6.76013555863706 [36263 : 2431 : 5634],
...
91
92 [0, -228528, 0, 15481599552, -262199735577792]
10906924
0 - - - 92
93 [0, -233523, 0, 16165516680, -279762517537200]
11266290
0 - - - 93
94 [0, -238572, 0, 16871852448, -298295069231808]
11633468
1 [63504647879033309346370514500 : 4530489106383900287938940726008 : 780368253103445095703125] 45.9199838421127 [1245825940071115627803277657751 : 113203663475140555818542476249 : 142885457727824946029333657625],
...
94
95 [0, -243675, 0, 17601091560, -317839770291888]
12008542
0 - - - 95
96 [0, -248832, 0, 18353723904, -338440374574272]
4130532
0 - - - 96
97 [0, -254043, 0, 19130244552, -360142039555632]
12782714
1 [5735949992090906489353677961482039554933841000971675280140446776495 : 390424011003058009745655560888781702179518217136795360867057533846102 : 64807517010817524238847968313368150757298563513664261061247625] 105.538125934044 [851475019017386469000692821491115914709450071583765874490582911025557 : 70626997011270449509381699713552510350413637310175152756467843333353 : 103247099857636316808366203306676711988809138017490155042528041976910],
...
97
98 [0, -259308, 0, 19931153760, -382991356036800]
13181980
0 - - - 98
99 [0, -264627, 0, 20756956968, -407036378158128]
13589478
1 [4670442788640688004220594774931940573471213597571640909 : 456095364909701222554193454908002936082049837232072210870 : 56459661346578637704495160374260223747609771471523] 87.2202693736987 [1041921265772281728499781763071025069200809363889181979453 : 129730535952879283391394853255019197036709689425037557713 : 84067970195532384075970705948774930322481844756289536362],
...
>
99
100 [0, -270000, 0, 21608164800, -432326653725888]
14005292
2 [115068 : 1637712 : 1],
[675010401702 : -14612013556587 : 6028568]
2.95788911713235,
14.8692962407243
[65 : -3 : 43],
[-772183 : 4852911111 : 2017968316],
...
100



[参考文献]


Last Update: 2023.08.16
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]