Rational Points on Elliptic Curves: u^3+v^3-muv=14, y^2=x^3-27m^2x^2+216m(m^3+378)x-432(m^3+378)^2 (m \in [1..100])

Rational Points on Elliptic Curves: u^3+v^3-muv=14, y^2=x^3-27m^2+216m(m^3+378)x-432(m^3+378)^2 (m \in [1..100])

[2023.08.16]u^3+v^3-muv=14, y^2=x^3-27m^2x^2+216m(m^3+378)x-432(m^3+378)^2 (m \in [1..100])の有理点

u^3+v^3-muv=nの有理点を計算するプログラム(pari/gp)
x^3+y^3-79xy=14のグラフ(png)

■パラメータm,nを持つ楕円曲線
     C_m,n: u³+v³-muv=n ----- (1)
を以下の標準形に変形する。

     E_m,n: y² = x³-27m²x²+216m(m³+27n)x-432(m³+27n)² ------------- (2)

C_m,nからE_m,nへの有理変換φ:(u,v)-->(x,y)は、
     x=12(m³+27n)/(3u + 3v + m),
     y=108((m³+27*n)(u-v)/(3*u+3*v+ m)
であり、E_m,nからC_m,nへの有理変換ψ:(x,y)-->(u,v)は、
     u=(-3mx+y+36m³+972n)/{18x},
     v=(-3mx-y+36m³+972n)/{18x}
である。

■以下では、n=14に固定する。

■m=1..100について、E_m,14, C_m,14の有理点を計算する。

楕円曲線E_m,14のねじれ点群E_m,14(Q)_torsは自明な群{O}である。
C_nは、無限遠点O_C=[1 : -1 : 0](有理点でもある)を持つ。

[pari/gpによる計算]

gp > elltors(ellinit(rr(1,14)))
%1 = [1, [], []]
gp > for(m=1,1000,e=ellinit(rr(m,14));g=elltors(e);if(g!=[1,[],[]],print("E_{",m,",14}(Q)_{tors}=",g)))
time = 26 ms.

楕円曲線E_m,nの有理点は、CremonaのmwrankまたはMAGMA Calculator(4-descent)を使って求める。
ただし、そのMordell-Weil群E_n(Q)がrank 1の場合は、pari/gpのellheegner()関数で求めても良い。

m \in [1..100]の範囲では、m=79の場合が、C_m,14(Q)の生成元の高さが最大になる。
C_79,14: u³+v³-79uv=14の有理点をいくつか求めると、以下のようになる。
       Q=[13689164933648355998632426547115288237390304722256115837788456815560303/8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090, -618807412740660700876579416330065835822241882750339525122709134814673/8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090]
       height 107.80598967976398414730250753770960980

       2Q=[6632893006409982598868489484478192952053745463918812080254040883207451478408744418995355021708598864886760211483837228000492944151130100337647737230250838164663584790932785416991281592064183110055834569642899164749195214796494679397551665750883091849281634876474816867396556175471/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960, 111612397140186181136025022654266823732066324340318991372241574528069938956156524535600190977349904427108658129168129937144218644048330011982331624613923850005757085407799922289344103684112305429061032117867967114692431184298407084192763877064248811123040210969513954953507819615249/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960]
       height 431.22395871905593658921003015083843918

       3Q=[6632893006409982598868489484478192952053745463918812080254040883207451478408744418995355021708598864886760211483837228000492944151130100337647737230250838164663584790932785416991281592064183110055834569642899164749195214796494679397551665750883091849281634876474816867396556175471/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960, 111612397140186181136025022654266823732066324340318991372241574528069938956156524535600190977349904427108658129168129937144218644048330011982331624613923850005757085407799922289344103684112305429061032117867967114692431184298407084192763877064248811123040210969513954953507819615249/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960]
       height 970.25390711787585732572256783938648815

...

[pari/gpによる計算]

gp> e=ellinit(rr(79,14))
%1 = [0, -168507, 0, 8419667688, -105174865104048, -674028, 16839335376, -420699460416192, 0, 50169695760, -11515339394155584, -3660878922614366479778045952, -58010872513949813256625/1681784559746797982, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, -1])], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
gp> ellanalyticrank(e)
time = 132 ms.
%2 = [1, 28.569758223296393968535404083686510891]
gp> P=ellheegner(e)
time = 1min, 13,402 ms.
%3 = [247861841719305374800796557759862982721415594539/3503609446735356311620439174228494877282025, 7153986173194508349754502981722677036606273302503227681455582975187488/6558032022616146054602302406842002158688344033022685066720084875]
gp> ellheight(e,P)
time = 1 ms.
%4 = 107.80598967976398414730250753770960980
gp> pp(P)
%5 = [463946087568189983598208562510425127628788725312056805721674238123505, 7153986173194508349754502981722677036606273302503227681455582975187488, 6558032022616146054602302406842002158688344033022685066720084875]
gp> Q=ggg2(P,79,14)
%6 = [13689164933648355998632426547115288237390304722256115837788456815560303/8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090, -618807412740660700876579416330065835822241882750339525122709134814673/8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090]
gp> pp(Q)
%7 = [13689164933648355998632426547115288237390304722256115837788456815560303, -618807412740660700876579416330065835822241882750339525122709134814673, 8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090]
(19:56) gp > Q[1]^3+Q[2]^3-79*Q[1]*Q[2]-14
%8 = 0
gp> P2=ellpow(e,P,2)
%9 = [44442917711469420141923745641507448826881649953266159393992571260596427470025134221513129613199557477424975639929459418665394758376983535111173471131391849346308812624462211139265718985441/717252173306664123161203635307793211245468975096445561473779560811057316413486568855678297526413654699485707989069837800521142418088495429016342722378762134213607679647770898489446400, -52489752066888099268578266584894315390006289438200089645993766822431243738873890058302417977820652781110948958842146354571862849948599955822341943691836505920546750308433568436176411046024061159502598774112533974971617984750956202397606105656682859636879288046519569043055631719889/19209135023999286222099925766532617096830682681723984042970029899634667229341313357703045939579313192739081796414118226055996086958963305123479735468693848372498014808011610738048779892057025664684424616597386418008127607355972770448575232223485687495612656183112210546688000]
gp> P3=ellpow(e,P,3)
%10 = [31325343275117051593580448826903990961929907052503826645958572786751125596611915621954810820336861936892128243363514676242667605120740009836788246526883606815457071584013747072004387444313738339297707281727967554499888260840086502784503870359776872764898242008084547929808103894771300590624324385758523460784531237865942090748358680468151745470859856547799145211998723931003931757812947706455657762289626948339464784209259/139008856261707672357992971747033954543605522372818709486667209631877344377269626487396258185867576259305669479204414343711731124370753969207970214095969922240569065119469452804824195624761590615643344068089078500602187233270047516187627279261392355464582397811460107906750541704964943146628021745196319287036040740198291062359443038349688901648855601556100489331951240279071338462140125051906103045074632666914541225, -112104733608247010586808233937217087336334392399625293849153791731798366830033989082586224895218264481416723161361169763135730633554016708090347363668540416323561720708185103695914727402022174637186530264862632598001613458811484261525174818240950238472391698366859154184154140176923121225435296393228700394029495814342569117238214956040312762320736135980335473450553439816349550646554031309863826497904755647547067540974064538632934592686642385892457890312288808597683066188435505699261270861996796536774128954280086147093799028069550746717993742660525416666567183063201062869220322576956729212973530294741943603187825287675314080352/1638942454207826153367799613275034533060644001116748511107522361429293852460109163250904999141161599683110549870072837378569343243133587278929581869702701342187534767100748039545836791608346243851829834911907828925885948280245682215283008501148397095495764564647116359813718304491385573259266115224375707322543250960253364812220577343044315668335940230194118163312165046566491507340655526532211098002148152193420973508865688788301630873056729082446555751417514772540103012947276864624485901247351285766547256394655706153943649726901674926838198131820523037898023194278095793139983132394945407040234003168682163071320864799125]
gp> Q2=ggg2(P2,79,14)
time = 1 ms.
%11 = [6632893006409982598868489484478192952053745463918812080254040883207451478408744418995355021708598864886760211483837228000492944151130100337647737230250838164663584790932785416991281592064183110055834569642899164749195214796494679397551665750883091849281634876474816867396556175471/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960, 111612397140186181136025022654266823732066324340318991372241574528069938956156524535600190977349904427108658129168129937144218644048330011982331624613923850005757085407799922289344103684112305429061032117867967114692431184298407084192763877064248811123040210969513954953507819615249/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960]
gp> Q2[1]^3+Q2[2]^3-79*Q2[1]*Q2[2]-14
%12 = 0
gp> Q3=ggg2(P2,79,14)
%13 = [6632893006409982598868489484478192952053745463918812080254040883207451478408744418995355021708598864886760211483837228000492944151130100337647737230250838164663584790932785416991281592064183110055834569642899164749195214796494679397551665750883091849281634876474816867396556175471/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960, 111612397140186181136025022654266823732066324340318991372241574528069938956156524535600190977349904427108658129168129937144218644048330011982331624613923850005757085407799922289344103684112305429061032117867967114692431184298407084192763877064248811123040210969513954953507819615249/21424515255768723591429029659796625382811281787964790444316760686728913498241559503139877807222989636586195973293130792628785977506737618251243722174568134851771066221128221556414301861003499288344732455743747415594524576261872028710592110998556733974176453383000152459004555672960]
gp> Q3[1]^3+Q3[2]^3-79*Q3[1]*Q3[2]-14
%14 = 0

■m \in [1..100]について、結果をまとめると、以下のようになる。
・m=1,2,4,10,12,13,15,19,21,22,28,30,31,32,37,38,39,42,43,47,50,
       52,53,55,57,61,63,67,70,72,75,78,80,82,83,85,92,93,95,96,98のとき、
       C_m,14は、(O_C以外の)有理点を持たないもの(整点も持たない)。
・m=3,5,6,7,8,9,11,14,16,17,18,20,23,24,25,26,27,29,33,34,35,36,40,41,44,45,46,48,49,
       51,54,56,58,59,60,62,64,65,66,68,69,71,73,74,76,77,79,81,84,86,87,89,90,91,94,97,99,100のとき、
       C_m,14は、(O_C以外の)有理点を持つ。
・C_14,14は、整点[-1, 1], [1, -1]を持つ。
・C_56,14は、整点[-13, 3], [3,-13]を持つ。
・C_74,14は、整点[29, 39], [39, 29]を持つ。

m	[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆], conductor(E_m,14)	rank E_m,14(Q)	E_m,14:y²z=x³-27m²x²z+216m(m³+378)xz²-432(m³+378)²z³ E_m,14(Q)/E_m,14(Q)_torsの生成元 [x:y:z]	E_m,14(Q)/E_m,14(Q)_torsの生成元の高さ	C_m,14:u³+v³-muvw=14w³ C_m,14(Q)/C_m,14(Q)_torsの生成元 [u:v:w]	m
1	[0, -27, 0, 81864, -62052912] 5306	0	-	-	-	1
2	[0, -108, 0, 166752, -64366272] 5404	0	-	-	-	2
3	[0, -243, 0, 262440, -70858800] 5670	1	[463 : 9890 : 1]	6.60886508642363	[20303 : 523 : 8334], ...	3
4	[0, -432, 0, 381888, -84397248] 6188	0	-	-	-	4
5	[0, -675, 0, 543240, -109299888] 7042	1	[1227 : 37260 : 1]	5.03388258076572	[1369 : -1391 : 818], ...	5
6	[0, -972, 0, 769824, -152425152] 2772	1	[756 : 17496 : 1]	1.63734579900721	[13 : -5 : 7], ...	6
7	[0, -1323, 0, 1090152, -224571312] 10094	1	[2163 : 77868 : 1]	1.09525089911499	[3 : -5 : 2], ...	7
8	[0, -1728, 0, 1537920, -342187200] 12460	1	[588, 12960, 1]	3.25426159833935	[143 : 23 : 49], ...	8
9	[0, -2187, 0, 2152008, -529393968] 15498	1	[13274 : 318835 : 8]	8.75627876422028	[279253 : -358417 : 238932], ...	9
10	[0, -2700, 0, 2976480, -820317888] 19292	0	-	-	-	10
11	[0, -3267, 0, 4060584, -1261734192] 23926	1	[651 : 16524 : 1]	4.97376501047520	[2095 : 871 : 434], ...	11
12	[0, -3888, 0, 5458752, -1916021952] 29484	0	-	-	-	12
13	[0, -4563, 0, 7230600, -2864430000] 7210	0	-	-	-	13
14	[0, -5292, 0, 9440928, -4210653888] 43708	1	[2676 : 48168 : 1]	0.44196354659763	[1 : -1 : 1], ...	14
15	[0, -6075, 0, 12159720, -6084723888] 17514	0	-	-	-	15
16	[0, -6912, 0, 15462144, -8647204032] 62636	1	[4396 : 103456 : 1]	6.65953068797561	[6689 : -19175 : 9891], ...	16
17	[0, -7803, 0, 19428552, -12093702192] 74074	1	[1443 : 51948 : 1]	1.54873697711864	[13 : 5 : 2], ...	17
18	[0, -8748, 0, 24144480, -16659691200] 86940	1	[389780 : 7794296 : 125]	9.66563607100086	[1836397 : -112177 : 877005], ...	18
19	[0, -9747, 0, 29700648, -22625641008] 101318	0	-	-	-	19
20	[0, -10800, 0, 36192960, -30322461888] 117292	1	[3532 : 82720 : 1]	6.61496000289056	[21551 : 871 : 7947], ...	20
21	[0, -11907, 0, 43722504, -40137258672] 134946	0	-	-	-	21
22	[0, -13068, 0, 52395552, -52519396032] 154364	0	-	-	-	22
23	[0, -14283, 0, 62323560, -67986874800] 175630	1	[7527 : 135486 : 1]	0.92541110767999	[1 : -3 : 2], ...	23
24	[0, -15552, 0, 73623168, -87133019328] 66276	1	[979020 : 15781392 : 125]	6.32559646900654	[4733 : -11503 : 9065], ...	24
25	[0, -16875, 0, 86416200, -110633475888] 224042	1	[16003 : 1024192 : 1]	2.90958026063161	[25 : -103 : 18], ...	25
26	[0, -18252, 0, 100829664, -139253522112] 251356	1	[904020 : 14566392 : 125]	7.94971634760798	[115027 : -19847 : 75335], ...	26
27	[0, -19683, 0, 116995752, -173855687472] 280854	1	[36652143638064872985 : 1114958092161097042622 : 6010202860518375]	32.7217969435251	[2486678922532770682337 : 256762738210576597093 : 659738585485167713730], ...	27
28	[0, -21168, 0, 135051840, -215407684800] 312620	0	-	-	-	28
29	[0, -22707, 0, 155140488, -264990652848] 346738	1	[12943 : 327590 : 1]	8.82664481827983	[93161 : -562019 : 232974], ...	29
30	[0, -24300, 0, 177409440, -323807709888] 29484	0	-	-	-	30
31	[0, -25947, 0, 202011624, -393192818352] 422366	0	-	-	-	31
32	[0, -27648, 0, 229105152, -474619960512] 464044	0	-	-	-	32
33	[0, -29403, 0, 258853320, -569712625200] 169470	1	[107437374 : 2933521515 : 10648]	11.1031003148000	[25587563 : 1443353 : 7958324], ...	33
34	[0, -31212, 0, 291424608, -680253605568] 555548	1	[11053 : 279395 : 1]	8.78865861515543	[580541 : 21751 : 198954], ...	34
35	[0, -33075, 0, 326992680, -808195107888] 605542	1	[14763 : 167832 : 1]	2.78869248274119	[25 : -23 : 38], ...	35
36	[0, -34992, 0, 365736384, -955669171392] 658476	1	[31356 : 2633904 : 1]	1.87025966034688	[5 : -23 : 3], ...	36
37	[0, -36963, 0, 407839752, -1124998399152] 714434	0	-	-	-	37
38	[0, -38988, 0, 453492000, -1318707000000] 30940	0	-	-	-	38
39	[0, -41067, 0, 502887528, -1539532141488] 835758	0	-	-	-	39
40	[0, -43200, 0, 556225920, -1790435613888] 901292	1	[538419 : 6185735 : 27]	11.0927967293799	[4150871 : -8220599 : 9691542], ...	40
41	[0, -45387, 0, 613711944, -2074615805232] 42182	1	[525297 : 6034832 : 27]	6.38007761756465	[16601 : -6215 : 17874], ...	41
42	[0, -47628, 0, 675555552, -2395519987392] 347508	0	-	-	-	43
43	[0, -49923, 0, 741971880, -2756856913200] 1118390	0	-	-	-	43
44	[0, -52272, 0, 813181248, -3162609724608] 1197868	1	[149686649 : 5755854115 : 4913]	15.2446602194342	[1130396263 : -10381311967 : 2694359682], ...	44
45	[0, -54675, 0, 889409160, -3617049171888] 1281042	1	[38132696205784071930772866 : 5280737090255337473291074015 : 635089536875063349288]	42.6184896717245	[2224876626610928942033132209 : -8336597553899746004549015821 : 686388531704113294753911588], ...	45
46	[0, -57132, 0, 970886304, -4124747143872] 1367996	1	[22861916, 1163026504, 1331]	12.8686363145456	[336268265 : 45511639 : 51439311], ...	46
47	[0, -59643, 0, 1057848552, -4690590509232] 1458814	0	-	-	-	47
48	[0, -62208, 0, 1150536960, -5319795268800] 1553580	1	[62359177813604 : 37752852556822960 : 146363183]	24.0661052637178	[3669730019836793 : -5768483119368947 : 140308150080609], ...	48
49	[0, -64827, 0, 1249197768, -6017921018928] 1652378	2	[50583 : 4552470 : 1], [28119 : 289926 : 1]	1.64480630605370, 3.90522517713034	[3 : -17 : 2], [165 : -71 : 206], ...	49
50	[0, -67500, 0, 1354082400, -6790885725888] 1755292	0	-	-	-	50
51	[0, -70227, 0, 1465447464, -7644980811312] 620802	1	[266058 : 3591783 : 8]	1.15599234265203	[1 : -5 : 4], ...	51
52	[0, -73008, 0, 1583554752, -8586886548672] 1973804	0	-	-	-	52
53	[0, -75843, 0, 1708671240, -9623687770800] 2089570	0	-	-	-	53
54	[0, -78732, 0, 1841069088, -10762889888448] 2209788	1	[3682980 : 105438456 : 125]	3.80498999987830	[347 : 13 : 105], ...	54
55	[0, -81675, 0, 1981025640, -12012435219888] 137326	0	-	-	-	55
56	[0, -84672, 0, 2128823424, -13380719631552] 2463916	2	[37713 : 339417 : 1], [33852 : 668304 : 1]	0.78644483216712, 2.84071192842480	[1 : -1 : 2], [67 : -1 : 31], ...	56
57	[0, -87723, 0, 2284750152, -14876609489712] 2597994	0	-	-	-	57
58	[0, -90828, 0, 2449098720, -16509458923200] 2736860	1	[10391370675951395882479380 : 142310425504495636608473224 : 273360080801986750125]	39.3756768627841	[32252720868030848150845763 : -3324885508093061001272543 : 23380584020890640735578605], ...	58
59	[0, -93987, 0, 2622167208, -18289127397168] 2880598	1	[52059 : 2141856 : 1]	2.56476806812949	[5 : -59 : 14], ...	59
60	[0, -97200, 0, 2804258880, -20225997597888] 1009764	1	[4963580 : 86268736 : 125]	11.3266658376382	[20815667 : -751517 : 11168055], ...	60
61	[0, -100467, 0, 2995682184, -22330993628592] 289366	0	-	-	-	61
62	[0, -103788, 0, 3196750752, -24615599516352] 3341884	1	[170436084 : 8687943576 : 4913]	4.18414972336701	[745 : 71 : 119], ...	62
63	[0, -107163, 0, 3407783400, -27091878030000] 701190	0	-	-	-	63
64	[0, -110592, 0, 3629104128, -29772489809088] 3675308	1	[86044 : 10037296 : 1]	5.38897487320903	[845 : -4871 : 441], ...	64
65	[0, -114075, 0, 3861042120, -32670712803888] 3850042	1	[1070430744710064192 : 2550874512576386155995 : 184803393536]	30.6637288771150	[86813707070840612609 : -102139960527410213761 : 713620496473376128], ...	65
66	[0, -117612, 0, 4103931744, -35800462026432] 4030236	2	[63972 : 2686824 : 1], [6734945 : 68676787 : 125]	1.54916920878757, 12.7618938065937	[1 : -13 : 3], [30590677 : -106762897 : 121229010], ...	66
67	[0, -121203, 0, 4358112552, -39176309612592] 4215974	0	-	-	-	67
68	[0, -124848, 0, 4623929280, -42813505195200] 4407340	1	[12055003947939860 : 1447678814500154368 : 126128378375]	26.5726628723632	[52236387723104741 : -309683315901933851 : 27123758882864685], ...	68
69	[0, -128547, 0, 4901731848, -46727996588208] 1534806	1	[219258 : 27297621 : 8]	3.37311047872152	[233 : 67 : 12], ...	69
70	[0, -132300, 0, 5191875360, -50936450781888] 4807292	0	-	-	-	70
71	[0, -136107, 0, 5494720104, -55456275249072] 5016046	1	[138238040596862627737288 : 11315047075049339609711167 : 3468129711747240448]	38.7506988812895	[26603682574437053085113815 : 3973588424338373865691481 : 2488284730743527299271184], ...	71
72	[0, -139968, 0, 5810631552, -60305639562432] 5230764	0	-	-	-	72
73	[0, -143883, 0, 6139980360, -65503497322800] 5451530	2	[7481355 : 122853294 : 125], [61363 : 736100 : 1]	5.83077599538255, 9.67668405388371	[5291 : -201 : 3010], [1315823 : -156377 : 1104534], ...	73
74	[0, -147852, 0, 6483142368, -71069608398528] 5678428	1	[17508 : 1575720 : 1]	2.35221442161590	[39 : 29 : 1], ...	74
75	[0, -151875, 0, 6840498600, -77024561475888] 5911542	0	-	-	-	75
76	[0, -155952, 0, 7212435264, -83389796920512] 6150956	1	[15095462988 : 583155813248 : 185193]	16.9494233853310	[8817565447 : -136971387865 : 33964791723], ...	76
77	[0, -160083, 0, 7599343752, -90187629949872] 6396754	1	[4587492 : 36017163 : 64]	7.25010265182084	[11815 : -17503 : 33608], ...	77
78	[0, -164268, 0, 8001620640, -97441274116800] 2216340	0	-	-	-	78
79	[0, -168507, 0, 8419667688, -105174865104048] 6907838	1	[463946087568189983598208562510425127628788725312056805721674238123505 : 7153986173194508349754502981722677036606273302503227681455582975187488 : 6558032022616146054602302406842002158688344033022685066720084875]	107.805989679763	[13689164933648355998632426547115288237390304722256115837788456815560303 : -618807412740660700876579416330065835822241882750339525122709134814673 : 8351029576227419704767754125187652297318197055617022502990136286223090], ...	79
80	[0, -172800, 0, 8853891840, -113413484829888] 7173292	0	-	-	-	80
81	[0, -177147, 0, 9304705224, -122183185864752] 7445466	1	[887479058890819025685207672802371649595 : 15102774835369947596991106222108628009192 : 12009364581899896292786902815397625]	62.2177168353042	[29370460977832078430696604992882500233107 : -835088692907816763285607451334755785277 : 15974623060034742462333738110442689692710], ...	81
82	[0, -181548, 0, 9772525152, -131511016158912] 7724444	0	-	-	-	82
83	[0, -186003, 0, 10257774120, -141425044081200] 8010310	0	-	-	-	83
84	[0, -190512, 0, 10760879808, -151954383768768] 8303148	1	[856674 : 52883145 : 8]	4.36433301400687	[79 : -991 : 156], ...	84
85	[0, -195075, 0, 11282275080, -163129220787888] 8603042	0	-	-	-	85
86	[0, -199692, 0, 11822397984, -174980838105792] 8910076	1	[11685345 : 178719453 : 125]	11.0391820448008	[1031609 : -12206869 : 7790230], ...	86
87	[0, -204363, 0, 12381691752, -187541642373552] 3074778	1	[24908595443297632341403626834722925 : 970454850126601430019707653346344656 : 318781097015019216642840359375]	51.7158401171112	[8356825213130135564707851058422217 : 369542496038765770306965022649833 : 1845081143947972766029898284053550], ...	87
88	[0, -209088, 0, 12960604800, -200845190520000] 1909180	0	-	-	-	88
89	[0, -213867, 0, 13559590728, -214926216656688] 9874858	2	[41491 : 7136452 : 1], [98655792619108859199259 : 16477669935298914335111168 : 583457634357771529]	3.91121999611461, 31.6737799103267	[517 : 173 : 18], [119351585133293668913 ; -674925242867907282383 : 42799746141186268482] , ...	89
90	[0, -218700, 0, 14179108320, -229820659293888] 10211292	1	[11616020 : 162840392 : 125]	5.49045842771806	[2857 : -157 : 1935], ...	90
91	[0, -223587, 0, 14819621544, -245565688867632] 10555286	1	[81067 : 4381244 : 1]	6.76013555863706	[36263 : 2431 : 5634], ...	91
92	[0, -228528, 0, 15481599552, -262199735577792] 10906924	0	-	-	-	92
93	[0, -233523, 0, 16165516680, -279762517537200] 11266290	0	-	-	-	93
94	[0, -238572, 0, 16871852448, -298295069231808] 11633468	1	[63504647879033309346370514500 : 4530489106383900287938940726008 : 780368253103445095703125]	45.9199838421127	[1245825940071115627803277657751 : 113203663475140555818542476249 : 142885457727824946029333657625], ...	94
95	[0, -243675, 0, 17601091560, -317839770291888] 12008542	0	-	-	-	95
96	[0, -248832, 0, 18353723904, -338440374574272] 4130532	0	-	-	-	96
97	[0, -254043, 0, 19130244552, -360142039555632] 12782714	1	[5735949992090906489353677961482039554933841000971675280140446776495 : 390424011003058009745655560888781702179518217136795360867057533846102 : 64807517010817524238847968313368150757298563513664261061247625]	105.538125934044	[851475019017386469000692821491115914709450071583765874490582911025557 : 70626997011270449509381699713552510350413637310175152756467843333353 : 103247099857636316808366203306676711988809138017490155042528041976910], ...	97
98	[0, -259308, 0, 19931153760, -382991356036800] 13181980	0	-	-	-	98
99	[0, -264627, 0, 20756956968, -407036378158128] 13589478	1	[4670442788640688004220594774931940573471213597571640909 : 456095364909701222554193454908002936082049837232072210870 : 56459661346578637704495160374260223747609771471523]	87.2202693736987	[1041921265772281728499781763071025069200809363889181979453 : 129730535952879283391394853255019197036709689425037557713 : 84067970195532384075970705948774930322481844756289536362], ... >	99
100	[0, -270000, 0, 21608164800, -432326653725888] 14005292	2	[115068 : 1637712 : 1], [675010401702 : -14612013556587 : 6028568]	2.95788911713235, 14.8692962407243	[65 : -3 : 43], [-772183 : 4852911111 : 2017968316], ...	100

[参考文献]

[1]Joseph H.Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
[3]長尾孝一, "rankの高い楕円曲線の構成法について", p1-2.

Last Update: 2023.08.16

H.Nakao

Rational Points on Elliptic Curves: u^3+v^3-muv=14, y^2=x^3-27m^2+216m(m^3+378)x-432(m^3+378)^2 (m \in [1..100])

[2023.08.16]u^3+v^3-muv=14, y^2=x^3-27m^2x^2+216m(m^3+378)x-432(m^3+378)^2 (m \in [1..100])の有理点

u^3+v^3-muv=nの有理点を計算するプログラム(pari/gp) x^3+y^3-79xy=14のグラフ(png)

[参考文献]

[Homeに戻る] [一覧に戻る]

u^3+v^3-muv=nの有理点を計算するプログラム(pari/gp)
x^3+y^3-79xy=14のグラフ(png)