Generalized Langley's Problem
[2006.09.10]一般化したLangleyの問題
■整角四角形
凸四角形ABCDにおいて、∠ABD=a°,∠DBC=b°,∠ACB=c°,∠DCA=d°,∠ADB=x°,∠DAC=u°とするとき、a,b,c,d,x,uが全て正整数であるものを整角四角形と呼ぶ。
以下では、(互いに相似な)整角四角形ABCDと正整数の組(a,b,c,d,x,u)を同一視する。
■問題
条件
a+b < 90, c+d < 90, a+b <= c+d, a < d -------- (*)
を満たす整角四角形(a,b,c,d,x,u)を全て求めよ。
[注意]
a=dの場合、四角形ABCDは円に内接する。よって、x=c, u=bとなる。
このように、xとuは簡単に求めることができるので、条件(*)では、aとdが等しい場合を除いている。
■解答
1の原始360乗根ζ=ζ360=e(2πi/360)を使って、できるだけ見通し良く解く。
ζ,ζ2を根に持つ最小多項式(円分多項式)は、ぞれぞれ、
x96 + x84 - x60 - x48 - x36 + x12 + 1,
x48 + x42 - x30 - x24 - x18 + x6 + 1
である。
また、ζの定義より、arg(ζ)=1°である。
点A,B,C,Dを複素平面上に、A(α),B(0),C(1),D(β)のように配置する。
簡単な計算により、α,βを求めると、
α = (1-ζ-2c)/(1-ζ-2(a+b+c)),
β = (1-ζ-2b)/(1-ζ-2(b+c+d))
となる。条件(*)より、
0 < (a+b+c) < 180, 0 < (b+c+d) < 180
となるので、α,βの分母は0ではないことに注意する。
ここで、
ω=(β-0)/(β-α),
γ=ω/(ω~)
とすると、
arg(ω)=∠ADB=x°,arg(γ)=2*arg(ω)=2x°,|γ|=1
である。
α,β,ω,γは全て円分体Q(ζ)の元、より精密には、Q(ζ2)の元であることに注意する。
正整数の組(a,b,c,d)(ただし、a+b < 90, c+d < 90, a+b <= c+d, a < d)に対して、xが正整数であれば、γ=ζ2xである。
このとき、u=b+c-xであるので、uも整数になる。
pari/gpでプログラムを作成して、条件を満たす正整数の組(a,b,c,d,x,u)を全て求めると、以下のようになる。
最初に、a,b,c,dが全て10の倍数であるものを求めると、以下のように、31個の解が見つかる。
| No. |
a |
b |
c |
d |
x |
u |
| 1 |
10 |
10 |
30 |
40 |
20 |
20 |
| 2 |
10 |
10 |
40 |
30 |
30 |
20 |
| 3 |
10 |
20 |
20 |
40 |
10 |
30 |
| 4 |
10 |
20 |
40 |
20 |
30 |
30 |
| 5 |
10 |
20 |
40 |
40 |
20 |
40 |
| 6 |
10 |
20 |
50 |
30 |
30 |
40 |
| 7 |
10 |
30 |
20 |
30 |
10 |
40 |
| 8 |
10 |
30 |
30 |
20 |
20 |
40 |
| 9 |
10 |
30 |
30 |
50 |
10 |
50 |
| 10 |
10 |
30 |
40 |
30 |
20 |
50 |
| 11 |
10 |
30 |
60 |
20 |
40 |
50 |
| 12 |
10 |
40 |
30 |
40 |
10 |
60 |
| 13 |
10 |
40 |
50 |
20 |
30 |
60 |
| 14 |
10 |
40 |
50 |
30 |
20 |
70 |
| 15 |
10 |
50 |
40 |
40 |
10 |
80 |
| 16 |
10 |
50 |
60 |
20 |
30 |
80 |
| 17 |
10 |
70 |
50 |
30 |
10 |
110 |
| 18 |
10 |
70 |
60 |
20 |
20 |
110 |
| 19 |
20 |
20 |
30 |
50 |
20 |
30 |
| 20 |
20 |
20 |
40 |
40 |
30 |
30 |
| 21 |
20 |
30 |
20 |
60 |
10 |
40 |
| 22 |
20 |
30 |
30 |
40 |
20 |
40 |
| 23 |
20 |
30 |
50 |
30 |
40 |
40 |
| 24 |
20 |
40 |
20 |
50 |
10 |
50 |
| 25 |
20 |
40 |
40 |
30 |
30 |
50 |
| 26 |
20 |
50 |
40 |
40 |
20 |
70 |
| 27 |
20 |
60 |
30 |
50 |
10 |
80 |
| 28 |
20 |
60 |
50 |
30 |
30 |
80 |
| 29 |
30 |
40 |
30 |
50 |
20 |
50 |
| 30 |
30 |
50 |
20 |
60 |
10 |
60 |
| 31 |
30 |
50 |
40 |
40 |
30 |
60 |
さらに、a,b,c,dが全て5の倍数であるものを求めると、以下のように、91個の解が見つかる。
同様に、a,b,c,dが全て2の倍数であるものを求めると、このように、574個の解が見つかる。
最後に、条件(*)を満たす整角四角形(a,b,c,d,x,u)を全て求めると、このように、1516個の解が見つかる。
[pari/gpによる計算]
gp> read("cyclotomic.gp")
time = 2 ms.
gp> phi_n(180,x)
time = 39 ms.
%1 = x^48 + x^42 - x^30 - x^24 - x^18 + x^6 + 1
gp> read("cf360-2.gp")
time = 51 ms.
gp> find(10)
1:[10, 10, 30, 40],[10, 30],x^20
2:[10, 10, 40, 30],[15, 35],x^30
3:[10, 20, 20, 40],[5, 35],x^10
4:[10, 20, 40, 20],[15, 45],x^30
5:[10, 20, 40, 40],[10, 50],x^20
6:[10, 20, 50, 30],[15, 55],x^30
7:[10, 30, 20, 30],[5, 45],x^10
8:[10, 30, 30, 20],[10, 50],x^20
9:[10, 30, 30, 50],[5, 55],x^10
10:[10, 30, 40, 30],[10, 60],x^20
11:[10, 30, 60, 20],[20, 70],x^40
12:[10, 40, 30, 40],[5, 65],x^10
13:[10, 40, 50, 20],[15, 75],x^30
14:[10, 40, 50, 30],[10, 80],x^20
15:[10, 50, 40, 40],[5, 85],x^10
16:[10, 50, 60, 20],[15, 95],x^30
17:[10, 70, 50, 30],[5, 115],x^10
18:[10, 70, 60, 20],[10, 120],x^20
19:[20, 20, 30, 50],[10, 40],x^20
20:[20, 20, 40, 40],[15, 45],x^30
21:[20, 30, 20, 60],[5, 45],x^10
22:[20, 30, 30, 40],[10, 50],x^20
23:[20, 30, 50, 30],[20, 60],x^40
24:[20, 40, 20, 50],[5, 55],x^10
25:[20, 40, 40, 30],[15, 65],x^30
26:[20, 50, 40, 40],[10, 80],x^20
27:[20, 60, 30, 50],[5, 85],x^10
28:[20, 60, 50, 30],[15, 95],x^30
29:[30, 40, 30, 50],[10, 60],x^20
30:[30, 50, 20, 60],[5, 65],x^10
31:[30, 50, 40, 40],[15, 75],x^30
time = 5,309 ms.
gp> find(5)
1:[5, 10, 40, 35],[20, 30],x^20
2:[5, 10, 50, 25],[30, 30],x^30
3:[5, 10, 50, 35],[25, 35],x^25
4:[5, 10, 55, 30],[30, 35],x^30
5:[5, 20, 30, 35],[10, 40],x^10
6:[5, 20, 50, 15],[30, 40],x^30
7:[5, 25, 35, 35],[10, 50],x^10
8:[5, 25, 40, 40],[10, 55],x^10
9:[5, 25, 55, 15],[30, 50],x^30
10:[5, 25, 65, 15],[35, 55],x^35
11:[5, 30, 30, 25],[10, 50],x^10
12:[5, 30, 30, 55],[5, 55],x^5
13:[5, 30, 35, 30],[10, 55],x^10
14:[5, 30, 40, 15],[20, 50],x^20
15:[5, 30, 50, 15],[25, 55],x^25
16:[5, 30, 75, 10],[50, 55],-x^44 + x^32 + x^26 + x^20 - x^8 - x^2
17:[5, 35, 40, 30],[10, 65],x^10
18:[5, 35, 55, 15],[25, 65],x^25
19:[5, 35, 55, 25],[15, 75],x^15
20:[5, 35, 60, 20],[20, 75],x^20
21:[5, 50, 30, 35],[5, 75],x^5
22:[5, 50, 40, 40],[5, 85],x^5
23:[5, 50, 55, 10],[30, 75],x^30
24:[5, 50, 70, 10],[35, 85],x^35
25:[5, 55, 35, 35],[5, 85],x^5
26:[5, 55, 60, 10],[30, 85],x^30
27:[5, 65, 55, 30],[5, 115],x^5
28:[5, 65, 75, 10],[25, 115],x^25
29:[10, 10, 30, 40],[20, 20],x^20
30:[10, 10, 40, 30],[30, 20],x^30
31:[10, 20, 20, 40],[10, 30],x^10
32:[10, 20, 40, 20],[30, 30],x^30
33:[10, 20, 40, 40],[20, 40],x^20
34:[10, 20, 50, 30],[30, 40],x^30
35:[10, 30, 20, 30],[10, 40],x^10
36:[10, 30, 30, 20],[20, 40],x^20
37:[10, 30, 30, 50],[10, 50],x^10
38:[10, 30, 40, 30],[20, 50],x^20
39:[10, 30, 60, 20],[40, 50],x^40
40:[10, 40, 30, 40],[10, 60],x^10
41:[10, 40, 50, 20],[30, 60],x^30
42:[10, 40, 50, 30],[20, 70],x^20
43:[10, 50, 40, 40],[10, 80],x^10
44:[10, 50, 60, 20],[30, 80],x^30
45:[10, 55, 35, 35],[10, 80],x^10
46:[10, 55, 50, 20],[25, 80],x^25
47:[10, 70, 50, 30],[10, 110],x^10
48:[10, 70, 60, 20],[20, 110],x^20
49:[15, 30, 30, 45],[15, 45],x^15
50:[15, 30, 45, 30],[30, 45],x^30
51:[15, 50, 40, 40],[15, 75],x^15
52:[15, 50, 50, 30],[25, 75],x^25
53:[15, 55, 35, 35],[15, 75],x^15
54:[15, 55, 40, 30],[20, 75],x^20
55:[15, 65, 25, 55],[5, 85],x^5
56:[15, 65, 60, 20],[40, 85],x^40
57:[20, 10, 25, 50],[20, 15],x^20
58:[20, 10, 35, 40],[30, 15],x^30
59:[20, 20, 15, 50],[10, 25],x^10
60:[20, 20, 30, 50],[20, 30],x^20
61:[20, 20, 35, 30],[30, 25],x^30
62:[20, 20, 40, 40],[30, 30],x^30
63:[20, 30, 15, 40],[10, 35],x^10
64:[20, 30, 20, 60],[10, 40],x^10
65:[20, 30, 25, 30],[20, 35],x^20
66:[20, 30, 30, 40],[20, 40],x^20
67:[20, 30, 50, 30],[40, 40],x^40
68:[20, 40, 20, 50],[10, 50],x^10
69:[20, 40, 40, 30],[30, 50],x^30
70:[20, 50, 40, 40],[20, 70],x^20
71:[20, 60, 30, 50],[10, 80],x^10
72:[20, 60, 50, 30],[30, 80],x^30
73:[25, 10, 30, 55],[25, 15],x^25
74:[25, 10, 35, 50],[30, 15],x^30
75:[25, 25, 15, 55],[10, 30],x^10
76:[25, 25, 35, 35],[30, 30],x^30
77:[25, 30, 10, 75],[5, 35],x^5
78:[25, 30, 15, 50],[10, 35],x^10
79:[25, 30, 30, 35],[25, 35],x^25
80:[25, 30, 55, 30],[50, 35],-x^44 + x^32 + x^26 + x^20 - x^8 - x^2
81:[25, 50, 30, 50],[15, 65],x^15
82:[25, 50, 40, 40],[25, 65],x^25
83:[30, 25, 15, 65],[10, 30],x^10
84:[30, 25, 40, 40],[35, 30],x^35
85:[30, 35, 15, 55],[10, 40],x^10
86:[30, 35, 30, 40],[25, 40],x^25
87:[30, 40, 30, 50],[20, 50],x^20
88:[30, 50, 20, 60],[10, 60],x^10
89:[30, 50, 40, 40],[30, 60],x^30
90:[40, 35, 20, 60],[15, 40],x^15
91:[40, 35, 25, 55],[20, 40],x^20
time = 6mn, 54,639 ms.
[2006.09.23追記]
条件(*)を次のように変更した場合の整角四角形について考察する。
a+b < 90 < c+d, a < d -------- (**)
条件(**)を満たす整角四角形(a,b,c,d,x,u)を全て求めると、このように、20009個の解が見つかる。
[参考文献]
- [1]片山 孝次, "複素数の幾何学", 岩波書店, 数学入門シリーズ3, 1983(3刷), {1800円}.
- [2]中村 義作, "パズルでびらめく補助線の幾何学 魔法の補助線を見つけよう", 講談社, ブルーバックスB-1419, 2003(1刷), ISBN4-06-257419-5, p209-213, {860円}.
- [3]山口 周, "整数論 美しき円分体論・ベルヌーイ数への旅路", 産業図書, 1994, ISBN4-7828-9013-3, {5871円}.
| Last Update: 2020.06.30 |
| H.Nakao |