The Brocard-Ramanujan Diophantine Equation
[2004.08.01]Brocard-Ramanujan不定方程式: n!+1=m^2
■参考文献[1]によると、1876(1885)年にH.Brocardが出した問題---不定方程式
n!+1 = m2 ------------- (1)
の整数解(n,m)を全て求めること---を、1913年にRamanujanが
"数1+n!はn=4,5,7のとき、完全平方数になる。これ以外のnを見つけよ。"
のように定式化した。
以下では、不定方程式(1)の正整数解(n,m)について考察する。
■nが小さい範囲(例えば、n <= 106)で、(1)の正整数解を探すと、
(n,m) = (4,5), (5,11), (7,71)
が直ちに見つかる。
gp> read("br.gp")
time = 15 ms.
gp> f2(10^6,1,40)
[4, 1, 5]
[5, 1, 11]
[7, 1, 71]
time = 6mn, 4,062 ms.
不定方程式(1)が、これら以外の正整数解(n,m)を持つかどうかは未解決問題である。
n <= 106の範囲では、n=4,5,7に限るので、これら以外に(1)の正整数解が存在するならば、n > 106である。
■(1)を一般化して、kを正整数の定数とした不定方程式
n!+k = m2 -------- (2)
について、考察する。
kが非平方数である場合は、pをkがmod pで平方非剰余である、つまり、
Legendre(k/p) = -1
を満たすような最小の素数とすると、(2)の正整数解(n,m)は、n < pを満たすので、
(2)の整数解(n,m)は有限個に限ることが分かる。
よって、kが平方数l2である場合の方が興味深い。
このとき、不定方程式(2)は、
n!+l2 = m2 -------- (3)
つまり、
n! = (m+l)(m-l) -------- (3')
となる。
l=2,...,100に対して、n < 106の範囲で(3)の正整数解(n,m)を探すと、以下のようになる。
| l |
n |
m |
| 3 |
6 |
27 |
| 5 |
4 |
71 |
| 7 |
5 |
13 |
| 8 |
6 |
28 |
| 9 |
8 |
201 |
| 11 |
6 |
29 |
| 12 |
7 |
72 |
| 13 |
5 |
17 |
| 15 |
10 |
1905 |
| 17 |
7 |
73 |
| 18 |
11 |
6318 |
| 22 |
8 |
202 |
| 24 |
6 |
36 |
| 27 |
9 |
603 |
| 29 |
5 |
31 |
| 31 |
6 |
41 |
| 36 |
8 |
204 |
| 39 |
7 |
81 |
| 41 |
6 |
49 |
| 43 |
7 |
83 |
| 44 |
9 |
604 |
| 46 |
8 |
212 |
| 69 |
7 |
99 |
| 74 |
8 |
214 |
| 76 |
7 |
104 |
| 88 |
6 |
92 |
| 93 |
7 |
117 |
| 97 |
8 |
223 |
gp> for(i=1,100,f2(10^6,i^2,30))
[4, 1, 5]
[5, 1, 11]
[7, 1, 71]
[6, 9, 27]
[4, 25, 7]
[5, 49, 13]
[6, 64, 28]
[8, 81, 201]
[6, 121, 29]
[7, 144, 72]
[5, 169, 17]
[10, 225, 1905]
[7, 289, 73]
[11, 324, 6318]
[8, 484, 202]
[6, 576, 36]
[9, 729, 603]
[5, 841, 31]
[6, 961, 41]
[8, 1296, 204]
[7, 1521, 81]
[6, 1681, 49]
[7, 1849, 83]
[9, 1936, 604]
[8, 2116, 206]
[7, 2704, 88]
[6, 3249, 63]
[9, 4356, 606]
[8, 4624, 212]
[7, 4761, 99]
[8, 5476, 214]
[7, 5776, 104]
[6, 7744, 92]
[7, 8649, 117]
[8, 9409, 223]
time = 1h, 7mn, 8,005 ms.
正整数nを固定して、正整数lを変数とすると、(3)つまり(3')を満たす正整数解(l,m)は、有限個に限ることが分かる。
例えば、n=5に対して、(l,m)を求めると、以下のようになる。
(l,m)=(29,31), (13,17), (7,13), (1,11)
gp> g(5)
[5, 29, 31]
[5, 13, 17]
[5, 7, 13]
[5, 1, 11]
time = 0 ms.
参考文献[1]には、11!+182=63182が記述されているが、n=12,...,28に対して、(3)の正整数解(l,m)でlが最小になるものは、以下のようになる。
12!+2882 = 218882,
13!+2882 = 789122,
14!+4202 = 2952602,
15!+4642 = 11435362,
16!+18562 = 45741442,
17!+100802 = 188596802,
18!+468482 = 800148482,
19!+2102402 = 3487766402,
20!+4003202 = 15597763202,
21!+6528482 = 71477928482,
22!+39916802 = 335261203202,
23!+275284022 = 1607856259022,
24!+326592002 = 7876854720002,
25!+1632960002 = 39384273600002,
26!+11434632002 = 200821179768002,
27!+13054672402 = 1043497458172402,
28!+68404896002 = 5521669536096002.
[参考文献]
- [1]Bruce C. Brendt, Willian F. Galway, "On the Brocard-Ramanujan Diophantine Equation $n!+1=m^2$", p1-2.
| Last Update: 2005.06.12 |
| H.Nakao |