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Bernoulli Numbers

[2001.11.24]Bernoulli数

■Bernoulli数
t/(et-1)を展開して得られる係数BnをBernoulli数と呼ぶ。
     t/(et-1) = Σn=0∞Bntn/n!
ただし、B0=1とする。

■Bernoulli数は、以下の等式を満たす。
     (1) nBn-1+nCn-2Bn-2+...+nCnBn=0 (n>=2)
     (2) B1=-1/2, B2n+1=0(n>=1)
     (3) [Euler]  B2n=[-1/(2n+1)]Σr=1n-12nC2rB2rB2n-2r

■Bernoulli数B2n(1≦n≦25)をpari/GPで計算してみる。

2n B2n B2nの素因数分解
2 1/6 1/(2*3)
4 -1/30 -1/(2*3*5)
6 1/42 1/(2*3*7)
8 -1/30 -1/(2*3*5)
10 5/66 5/(2*3*11)
12 -691/2730 -691/(2*3*5*7*13)
14 7/6 7/(2*3)
16 -3617/510 -3617/(2*3*5*17)
18 43867/798 43867/(2*3*7*19)
20 -174611/330 -(283*617)/(2*3*5*11)
22 854513/138 (11*131*593)/(2*3*23)
24 -236364091/2730 -(103*2294797)/(2*3*5*7*13)
26 8553103/6 (13*657931)/(2*3)
28 -23749461029/870 -(7*9349*362903)/(2*3*5*29)
30 8615841276005/14322 (5*1721*1001259881)/(2*3*7*11*31)
32 -7709321041217/510 -(37*683*305065927)/(2*3*5*17)
34 2577687858367/6 (17*151628697551)/(2*3)
36 -26315271553053477373/1919190 -(26315271553053477373)/(2*3*5*7*13*19*37)
38 2929993913841559/6 (19*154210205991661)/(2*3)
40 -261082718496449122051/13530 -(137616929*1897170067619)/(2*3*5*11*41)
42 1520097643918070802691/1806 1520097643918070802691/(2*3*7*43)
44 -27833269579301024235023/690 -(11*59*8089*2947939*1798482437)/(2*3*5*23)
46 596451111593912163277961/282 (23*383799511*67568238839737)/(2*3*47)
48 -5609403368997817686249127547/46410 -(653*56039*153289748932447906241)/(2*3*5*7*13*17)
50 495057205241079648212477525/66 (52*417202699*47464429777438199)/(2*3*11)

なお、pari/GPでは、x番目のBernoulli数を分数で返す関数bernfrac(x)と実数で返す関数bernreal(x)の組み込み関数があるので、これらを利用しても良い。

■ζ関数
s \in C, Re(s)>1に対して、
     ζ(s) = Σn=1∞1/ns
をRiemannのζ関数と呼ぶ。
ζ関数は、以下のように積表示できる。
     ζ(s) = Πp:prime(1-1/ps)-1

■Bernoulli数B2kとζ関数の値ζ(2k)の間には、以下のような関係がある。

     ζ(2k) = Σn=1∞(1/n2k) = [-(2πi)2k/2(2k)!]B2k -------- (*)

[証明]
B2kの定義から、
     πx*cot(πx) = πix*(eπix+eπix)/(eπix-eπix) = πix(1+2/(e2πix-1))
        = πix+Σi=0∞Bk(2πix)k/k! = Σi=0∞B2k(2πix)2k/(2k)! -------- (1).

ここで、sin(πx)の積展開
     sin(πx) = Πn=1∞(1-x2/n2)
の両辺のlogを取って微分することにより、
     π*cot(πx) = (1/x)+Σn=1∞(-2x/n2)*(1/(1-x2/n2))
        = (1/x)+Σi=0∞{(-2/x)Σk=1∞(x2/n2)k}
        = (1/x){1-2Σk=0∞ζ(2k)x2k}.
よって、
      πx*cot(πx) = 1-2Σk=0∞ζ(2k)x2k -------- (2).

2つのπx*cot(πx)のLaurent展開(1),(2)において、x2kの係数を比較すると、
    [(2πi)2k/(2k)!]B2k = -2ζ(2k)
となり、直ちに(*)を得る。

■pari/GPでζ(2k)(1≦k≦25)を求めてみる。

2k ζ(2k) ζ(2k)/π2kの素因数分解
2 (1/6)π2 1/(2*3)
4 (1/90)π4 1/(2*32*5)
6 (1/945)π6 1/(33*5*7)
8 (1/9450)π8 1/(2*33*52*7)
10 (1/93555)π10 1/(35*5*7*11)
12 (691/638512875)π12 691/(36*53*72*11*13)
14 (2/18243225)π14 2/(36*52*7*11*13)
16 (3617/325641566250)π16 3617/(2*37*54*72*11*13*17)
18 (43867/38979295480125)π18 43867/(39*53*73*11*13*17*19)
20 (174611/1531329465290625)π20 (283*617)/(39*55*72*11*13*17*19)
22 (155366/13447856940643125)π22 (2*131*593)/(310*54*73*11*13*17*19*23)
24 (236364091/201919571963756521875)π24 (103*2294797)/(311*55*74*112*132*17*19*23)
26 (1315862/11094481976030578125)π26 (2*657931)/(311*56*73*112*13*17*19*23)
28 (6785560294/564653660170076273671875)π28 (2*9349*362903)/(314*57*73*112*132*17*19*23*29)
30 (6892673020804/5660878804669082674070015625)π30 (2*1721*1001259881)/(315*56*75*113*132*17*19*23*29*31)
32 (7709321041217/
62490220571022341207266406250)π32		 (37*683*305065927)/
(2*315*58*74*112*132*172*19*23*29*31)
34 (151628697551/
12130454581433748587292890625)π34		 151628697551/
(316*57*74*113*132*17*19*23*29*31)
36 (26315271553053477373/
20777977561866588586487628662044921875)π36		 26315271553053477373/
(318*59*76*113*133*172*192*23*29*31*37)
38 (308420411983322/
2403467618492375776343276883984375)π38		 (2*154210205991661)/
(318*58*75*113*132*172*19*23*29*31*37)
40 (261082718496449122051/
20080431172289638826798401128390556640625)π40		 (137616929*1897170067619)/
(319*510*75*114*133*172*192*23*29*31*37*41)
42 (3040195287836141605382/
2307789189818960127712594427864667427734375)π42		 (2*1520097643918070802691)/
(320*59*77*113*133*172*192*23*29*31*37*41*43)
44 (5060594468963822588186/
37913679547025773526706908457776679169921875)π44		 (2*59*8089*2947939*1798482437)/
(320*510*76*113*133*172*192*232*29*31*37*41*43)
46 (103730628103289071874428/
7670102214448301053033358480610212529462890625)π46		 (2*383799511*67568238839737)/
(322*510*76*114*133*172*192*23*29*31*37*41*43*47)
48 (5609403368997817686249127547/
4093648603384274996519698921478879580162286669921875)π48		 (653*56039*153289748932447906241)/
(323*511*77*114*134*173*192*232*29*31*37*41*43*47)
50 (39604576419286371856998202/
285258771457546764463363635252374414183254365234375)π50		 (2*417202699*47464429777438199)/
(323*510*78*115*133*172*192*232*29*31*37*41*43*47)

[参考文献]

Last Update: 2005.06.12
H.Nakao

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