Birational map between y^2=ax^4-bx^2+c^2 and y^2=(x+b)(x^2-4ac^2)

[2003.03.29]y² = ax⁴+bx²+c²からy² = (x+b)(x²-4ac²)への双有理変換

■楕円曲線
     E₁: v² = au⁴+bu²+c² ------ (1)
は、楕円曲線
     E₂: y² = (x+b)(x²-4ac²) ------ (2)
と双有理同型(Q-isomorphic)であることを示す。
ただし、a,b,c ∈ Q,ac!=0,b²-4ac²!=0とする。

E₁は有理点(0,±c)を持つことに注意する。

最初に、以下の有理変換φ:(u,v)→(x,y)を考察する。この有理変換は[1][2]による。
     x = 2c(v+c)/u² ---------- (3)
     y = {4c²(v+c)+2bcu²}/u³ -------- (4)

逆変換φ^-1:(x,y)→(u,v)を求める。
(3)より、
     v+c = xu²/{2c} ------ (5)
となる。(5)を(4)に代入して、
     y = {2cxu²+2bcu²}/u³ = {2c(x+b)}/u
     u = {2c(x+b)}/y ----------- (6)
を得る。(6)を(5)に代入して、
     v+c = 2cx(x+b)²/y² ------ (7)
つまり、
     v = {2cx(x+b)²-cy²}/y² ------ (8)
を得る。まとめると、φ^-1は有理変換
     u = {2c(x+b)}/y
     v = {2cx(x+b)²-cy²}/y²
である。

■楕円曲線E₁上の点(u,v)について、(x,y) = φ(u,v)とする。
計算を簡単にするため、(1)を変形して、
     v²-c² = au⁴+bu²
     (v+c)((v+c)-2c) = u²(au²+b) -------- (9)
を得る。
(9)に(5)を代入して、両辺に4c²/u²を掛けると、
     x(xu²-4c²) = 4c²(au²+b)
     u²(x²-4ac²) = 4c²(x+b) ------ (10)
を得る。(10)に(6)を代入して、両辺にy²/{4c²(x+b)}を掛けると、
     (x+b)(x²-4ac²) = y²
つまり、
     y² = (x+b)(x²-4ac²)
となる。
直接、(y²-(x+b)(x²-4ac²))に(6),(8)を代入して、pari/GP,asirで計算しても良い。
[pari/GP]

gp> g(x,y)=y^2-(x+b)*(x^2-4*a*c^2)
time = 0 ms.
gp> g(2*c*(v+c)/u^2,(4*c^2*(v+c)+2*b*c*u^2)/u^3)*u^6
time = 3 ms.
%57 = -8*c^3*v^3 + (-4*c^2*b*u^2 - 8*c^4)*v^2 + (8*c^3*a*u^4 + 8*c^3*b*u^2 + 8*c^5)*v + (4*c^2*b*a*u^6 + (8*c^4*a + 4*c^2*b^2)*u^4 + 12*c^4*b*u^2 + 8*c^6)

[asir]

[2] fctr(-8*c^3*v^3 + (-4*c^2*b*u^2 - 8*c^4)*v^2 + (8*c^3*a*u^4 + 8*c^3*b*u^2 + 8*c^5)*v + (4*c^2*b*a*u^6 + (8*c^4*a + 4*c^2*b^2)*u^4 + 12*c^4*b*u^2 + 8*c^6));
[[4,1],[c,2],[b*u^2+2*c*v+2*c^2,1],[a*u^4+b*u^2-v^2+c^2,1]]

ここで、点(u,v)は(1)を満たすので、
y² - (x+b)(x²-4ac²) = 4c²(bu²+2cv+2c²)(au⁴+bu²+c²-v²)/u⁶ = 0
となる。

よって、点(x,y)は、楕円曲線E₂上にある。

■楕円曲線E₂上の点(x,y)について、(u,v) = φ^-1(x,y)とする。
(v²-au⁴-bu²-c²)に(3),(4)を代入して、pari/GPとasirで計算する。
[pari/GP]

gp> f(u,v)=v^2-a*u^4-b*u^2-c^2
time = 0 ms.
gp> g(2*c*(v+c)/u^2,(4*c^2*(v+c)+2*b*c*u^2)/u^3)*u^6
time = 3 ms.
gp> f(2*c*(x+b)/y,(2*c*x*(x+b)^2-c*y^2)/y^2)*y^6
time = 23 ms.
%55 = 4*c^2*y^2*x^6 + 16*c^2*b*y^2*x^5 + (-16*c^4*a + 24*c^2*b^2)*y^2*x^4 + (-4*c^2*y^4 + (-64*c^4*b*a + 16*c^2*b^3)*y^2)*x^3 + (-12*c^2*b*y^4 + (-96*c^4*b^2*a + 4*c^2*b^4)*y^2)*x^2 + (-12*c^2*b^2*y^4 - 64*c^4*b^3*a*y^2)*x + (-4*c^2*b^3*y^4 - 16*c^4*b^4*a*y^2)

[asir]

[0] fctr(4*c^2*y^2*x^6 + 16*c^2*b*y^2*x^5 + (-16*c^4*a + 24*c^2*b^2)*y^2*x^4 + (-4*c^2*y^4 + (-64*c^4*b*a + 16*c^2*b^3)*y^2)*x^3 + (-12*c^2*b*y^4 + (-96*c^4*b^2*a + 4*c^2*b^4)*y^2)*x^2 + (-12*c^2*b^2*y^4 - 64*c^4*b^3*a*y^2)*x + (-4*c^2*b^3*y^4 - 16*c^4*b^4*a*y^2));
[[4,1],[y,2],[c,2],[x+b,3],[x^3+b*x^2-4*c^2*a*x-y^2-4*c^2*b*a,1]]

ここで、点(x,y)は(2)を満たすので、
v²-au⁴-bu²-c² = 4c²y²(x+b)³(x³+bx²-4ac²x-4c²-y²)/y⁶ = 0
となり、点(u,v)は、楕円曲線E₁上にある。

よって、楕円曲線E₁とE₂は、双有理変換φとφ^-1により、互いに写し合うことが証明できた。

[参考文献]

[1]I.Connell, "Elliptic Curve Handbook", Aug, 1997, p105-111.
[2]三島久典,数学者の密室--楕円曲線上の有理点.
[3]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, p127, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao