Rational Points of a Selmer Curve: 3X^3+4Y^3+5Z^3=0

Rational Points of a Selmer Curve: 3X^3+4Y^3+5Z^3 = 0

[2004.05.30]3X^3+4Y^3+5Z^3=0の有理点

3x^3+4y^3+5=0のグラフ(jpeg)

■Selmer曲線
次のような斉次３次式(homogeneous cubic equation)
     C_[a,b,c]: aU³+bV³+cW³ = 0 ただし、abc!=0
で表される曲線を、Selmer曲線と呼ぶ。
affine版のSelmer曲線は、
     C'_[a,b,c]: au³+bv³+c = 0
と表される曲線である。

■Lemma 1
(1)a,b,c,u,v,wを有理数とする。
     au³+bv³+cw³ = 0
ならば、
     r³+s³+abct³ = 0
である。ここで、
     r = -6bc²v³w⁶-c³w⁹-3b²cv⁶w³+b³v⁹,
     s = -3bc²v³w⁶+c³w⁹-6b²cv⁶w³-b³v⁹,
     t = -3uvw(b²v⁶+bcv³w³+c²w⁶)
である。
(2)さらに、3abcuvw!=0かつabcが完全３乗数でないならば、t!=0である。
このとき、楕円曲線
     E: y²=x³-432a²b²c²
は、O=[0:1:0]でない有理点
     x = {4(b²v⁶+bcv³w³+c²w⁶)}/{u²v²w²}
     y = {4(2b³v⁹+3b²cv⁶w³-3bc²v³w⁶-2c³w⁹)}/{u³v³w³}
を持つ。

[証明]
(1)簡単な計算により、
     r³+s³+abct³
     = -27w³v²⁴cb⁸ + (-108w⁶v²¹c² - 27au³w³v²¹c)b⁷ + (-243w⁹v¹⁸c³ - 81au3w⁶v¹⁸c²)b⁶ + (-351w¹²v¹⁵c⁴ - 162au³w⁹v¹⁵c³)b⁵ + (-351w¹⁵v¹²c⁵ - 189au³w¹²v¹²c⁴)b⁴ + (-243w¹⁸v⁹c⁶ - 162au³w¹⁵v⁹c⁵)b³ + (-108w²¹v⁶c⁷ - 81au³w¹⁸v⁶c⁶)b² + (-27w²⁴v³c⁸ - 27au³w²¹v³c⁷)b
     = -27bcv³w³(b²v⁶+bcv³w³+c²w⁶)³(au³+bv³+cw³)
     = 0
を得る。

[pari/gpによる計算]

gp>  r=-6*b*c^2*v^3*w^6-c^3*w^9-3*b^2*c*v^6*w^3+b^3*v^9
time = 17 ms.
%1 = v^9*b^3 - 3*w^3*v^6*c*b^2 - 6*w^6*v^3*c^2*b - w^9*c^3
gp>  s=-3*b*c^2*v^3*w^6+c^3*w^9-6*b^2*c*v^6*w^3-b^3*v^9
time = 4 ms.
%2 = -v^9*b^3 - 6*w^3*v^6*c*b^2 - 3*w^6*v^3*c^2*b + w^9*c^3
gp>  t=-3*u*v*w*(b^2*v^6+b*c*v^3*w^3+c^2*w^6)
time = 3 ms.
%3 = -3*u*w*v^7*b^2 - 3*u*w^4*v^4*c*b - 3*u*w^7*v*c^2
gp>  r^3+s^3+a*b*c*t^3
time = 33 ms.
%4 = -27*w^3*v^24*c*b^8 + (-108*w^6*v^21*c^2 - 27*a*u^3*w^3*v^21*c)*b^7 + (-243*w^9*v^18*c^3 - 81*a*u^3*w^6*v^18*c^2)*b^6 + (-351*w^12*v^15*c^4 - 162*a*u^3*w^9*v^15*c^3)*b^5 + (-351*w^15*v^12*c^5 - 189*a*u^3*w^12*v^12*c^4)*b^4 + (-243*w^18*v^9*c^6 - 162*a*u^3*w^15*v^9*c^5)*b^3 + (-108*w^21*v^6*c^7 - 81*a*u^3*w^18*v^6*c^6)*b^2 + (-27*w^24*v^3*c^8 - 27*a*u^3*w^21*v^3*c^7)*b

[asirによる計算]

[0] fctr(-27*w^3*v^24*c*b^8 + (-108*w^6*v^21*c^2 - 27*a*u^3*w^3*v^21*c)*b^7 + (-243*w^9*v^18*c^3 - 81*a*u^3*w^6*v^18*c^2)*b^6 + (-351*w^12*v^15*c^4 - 162*a*u^3*w^9*v^15*c^3)*b^5 + (-351*w^15*v^12*c^5 - 189*a*u^3*w^12*v^12*c^4)*b^4 + (-243*w^18*v^9*c^6 - 162*a*u^3*w^15*v^9*c^5)*b^3 + (-108*w^21*v^6*c^7 - 81*a*u^3*w^18*v^6*c^6)*b^2 + (-27*w^24*v^3*c^8 - 27*a*u^3*w^21*v^3*c^7)*b);
[[-27,1],[v,3],[w,3],[b,1],[c,1],[b^2*v^6+c*b*w^3*v^3+c^2*w^6,3],[a*u^3+b*v^3+c*w^3,1]]

(2)t=0と仮定すると、uvw!=0より、
     b²v⁶+bcv³w³+c²w⁶ = 0
を得る。一方、
     au³+bv³+cw³ = 0
なので、
     a²u⁶ = (-au³)² = (bv³+cw³)² = bcv³w³
となる。uvw!=0より、
     abc = {a³u⁶}/{v³w³} = ({au²}/{vw})³
となり、abcが(有理数の)完全３乗数となるので、仮定に反する。
よって、t!=0である。

このとき、
     au³+bv³+cw³ = 0

より、
     (x³-432a²b²c²-y²)*(uvw)⁶
     = 432w⁶v¹²c²b⁴ + 864w⁹v⁹c³b³+ (432w¹²v⁶c⁴ - 432a²u⁶w⁶v⁶c²)b²
     = -432v⁶w⁶b²c²(au³+bv³+cw³)(au³-bv³-cw³)
     = 0
を得る。uvw!=0より、
     x³-432a²b²c²-y² = 0
つまり、
     E: y² = x³-432a²b²c²
となるので、(x,y)は楕円曲線EのOでない有理点である。

[pari/gpによる計算]

gp>  x=4*(b^2*v^6+b*c*v^3*w^3+c^2*w^6)/(u^2*v^2*w^2)
time = 23 ms.
%5 = 4/(u^2*w^2)*v^4*b^2 + 4/u^2*w*v*c*b + 4/u^2*w^4/v^2*c^2
gp>  y=4*(2*b^3*v^9+3*b^2*c*v^6*w^3-3*b*c^2*v^3*w^6-2*c^3*w^9)/(u^3*v^3*w^3)
time = 12 ms.
%6 = 8/(u^3*w^3)*v^6*b^3 + 12/u^3*v^3*c*b^2 - 12/u^3*w^3*c^2*b - 8/u^3*w^6/v^3*c^3
gp>  (x^3-432*a^2*b^2*c^2-y^2)*(u*v*w)^6
time = 54 ms.
%7 = 432*w^6*v^12*c^2*b^4 + 864*w^9*v^9*c^3*b^3 + (432*w^12*v^6*c^4 - 432*a^2*u^6*w^6*v^6*c^2)*b^2

[asirによる計算]

[1] fctr(432*w^6*v^12*c^2*b^4 + 864*w^9*v^9*c^3*b^3 + (432*w^12*v^6*c^4 - 432*a^2*u^6*w^6*v^6*c^2)*b^2);
[[-432,1],[v,6],[w,6],[b,2],[c,2],[a*u^3+b*v^3+c*w^3,1],[a*u^3-b*v^3-c*w^3,1]]

■以下のSelmer曲線
     C_[3,4,5]: 3X³+4Y³+5Z³ = 0
が有理点を持たないこと、つまり、
     C_[3,4,5](Q) = φ
であることを証明する。

[証明]
Selmer曲線C_[3,4,5]が少なくとも１つの有理点[u:v:w]を持つと仮定する。
このとき、uvw!=0は明らかである。3*4*5=60は有理数の完全３乗数でない。
Lemma 1より、楕円曲線
     E₆₀: y² = x³-432*60²
はOでない有理点(x,y)を持つ。

しかし、楕円曲線E₆₀のねじれ点群E₆₀(Q)_torsは自明な群であり、Cremonaのmwrank3により、EのMordell-Weil群E₆₀(Q)のrankが0であることが分かる。つまり、
     E₆₀(Q) = {O}
である。これは、E₆₀がOでない有理点を持つことと矛盾する。

従って、Selmer曲線C_[3,4,5]は、有理点を持たない。

不定方程式
     3X³+4Y³+5Z³ = 0
の整数解(X,Y,Z)は、自明なもの(0,0,0)に限ることが証明できた。

[pari/gpによる計算]

gp>  e=ellinit([0,0,0,0,-432*60^2])
time = 166 ms.
%8 = [0, 0, 0, 0, -1555200, 0, 0, -6220800, 0, 0, 1343692800, -1044855521280000, 0, [115.8587261526755709431919341, -57.92936307633778547159596706 + 100.3366000983215632133064927*I, -57.92936307633778547159596706 - 100.3366000983215632133064927*I]~, 0.2256319896626165271776383198, 0.1128159948313082635888191599 + 0.1954030349542537646210239624*I, -8.038750918902765307204197238 + 0.E-28*I, -4.019375459451382653602098619 - 20.88528753139588360644196524*I, 0.04408917556284208134353776808]
gp>  elltors(e,1)
time = 1,030 ms.
%9 = [1, [], []]

[mwrank3による計算]

bash-2.05a$ mwrank3
Program mwrank: uses 2-descent (via 2-isogeny if possible) to
determine the rank of an elliptic curve E over Q, and list a
set of points which generate E(Q) modulo 2E(Q).
and finally search for further points on the curve.
For more details see the file mwrank.doc.
For details of algorithms see the author's book.

Please acknowledge use of this program in published work, 
and send problems to John.Cremona@nottingham.ac.uk.

Version compiled on Feb 11 2003 at 17:40:15 by GCC 3.2.1
using base arithmetic option LiDIA_ALL (LiDIA bigints and multiprecision floating point)
Using LiDIA multiprecision floating point with 15 decimal places.
Enter curve: [0, 0, 0, 0, -1555200]

Curve [0,0,0,0,-1555200] :      Working with minimal curve [0,0,0,0,-24300]
        [u,r,s,t] = [2,0,0,0]
No points of order 2
Basic pair: I=0, J=656100
disc=-430467210000
2-adic index bound = 2
By Lemma 5.1(a), 2-adic index = 1
2-adic index = 1
One (I,J) pair
*** BSD give two (I,J) pairs
Looking for quartics with I = 0, J = 656100
Looking for Type 3 quartics:
Trying positive a from 1 up to 16 (square a first...)
Trying positive a from 1 up to 16 (...then non-square a)
Trying negative a from -1 down to -25
(-3,0,0,90,0)   --trivial
Finished looking for Type 3 quartics.
Mordell rank contribution from B=im(eps) = 0
Selmer  rank contribution from B=im(eps) = 0
Sha     rank contribution from B=im(eps) = 0
Mordell rank contribution from A=ker(eps) = 0
Selmer  rank contribution from A=ker(eps) = 0
Sha     rank contribution from A=ker(eps) = 0
Rank = 0
After descent, rank of points found is 0


The rank and full Mordell-Weil basis have been determined unconditionally.
Regulator = 1

 (5.8 seconds)
Enter curve: [0,0,0,0,0]

bash-2.05a$

■Lemma 1およびE₆₀(Q)={O}より、以下のSelmer曲線

C_[1,1,60]: X³+Y³+60Z³ = 0
C_[1,2,30]: X³+2Y³+30Z³ = 0
C_[1,3,20]: X³+3Y³+20Z³ = 0
C_[1,4,15]: X³+4Y³+15Z³ = 0
C_[1,5,12]: X³+5Y³+12Z³ = 0
C_[1,6,10]: X³+6Y³+10Z³ = 0
C_[2,2,15]: 2X³+2Y³+15Z³ = 0
C_[2,3,10]: 2X³+3Y³+10Z³ = 0
C_[2,5,6]: 2X³+5Y³+6Z³ = 0

は、いずれも有理点を持たないことが分かる。

[参考文献]

[1]I.Connell, "Elliptic Curve Handbook", 1997, p101-166(Chap.1),p201-281(Chap.2),p301-384(Chap.3),p401-441(Chap.4),p501-543(Chap.5).

Last Update: 2023.01.31

H.Nakao