Perfect 29-powers in Fibonacci Sequence

[2004.03.06]Fibonacci数列に現れる完全29乗数

Fibonacci数列に現れる完全29乗数を求めるプログラム(pari/gp)
Fibonacci数列に現れる完全nn乗数を求めるプログラム(pari/gp)

■J.McLaughlin[1]の方法により、次の素数n=29に対して、Fibonacci数列に現れる完全29乗数は、0,1に限ることを証明する。

詳細は、参考文献[1]を参照のこと。
ほとんどn=19の場合,n=23の場合と同様なので、違う部分のみ記述する。

■初等的考察
少しの議論により、29次Thue方程式
     ±1 = B²⁹Σ_j=0¹⁴(-1)^j2^2j(C(29,2j)*(A/B)^29-2j-C(29,2j+1)*(A/B)^29-2j-1)
の整数解(A,B)を求めることに帰着できる。
ここで、C(m,n)={m!}/{n!*(m-n)!}である。

     f₂₉(x) = Σ_j=0¹⁴(-1)^j2^2j(C(29,2j)*x^29-2j-C(29,2j+1)*x^29-2j-1)
         = x²⁹ - 29x²⁸ - 1624x²⁷ + 14616x²⁶ + 380016x²⁵ - 1900080x²⁴ - 30401280x²³ + 99889920x²² + 1098789120x²¹ - 2563841280x²⁰ - 20510730240x¹⁹ + 35427624960x¹⁸ + 212565749760x¹⁷ - 277970595840x¹⁶ - 1270722723840x¹⁵ + 1270722723840x¹⁴ + 4447529533440x¹³ - 3401051996160x¹² - 9069471989760x¹¹ + 5250746941440x¹⁰ + 10501493882880x⁹ - 4500640235520x⁸ - 6546385797120x⁷ + 1992378286080x⁶ + 1992378286080x⁵ - 398475657216x⁴ - 245215789056x³ + 27246198784x² + 7784628224x - 268435456

とすると、f₂₉(x)はQ上で既約であり、その根θ₁,...,θ₂₉は全て実数である。

これらの根の１つをθ_i[以下では、添字iを省略して単にθと書くこともある]とすると、
     ±1 = Π_k=1²⁹(A-θ_kB)= Norm_K/Q(A-θ_iB)
を得る。ただし、K=Q(θ_i)である。

(A-θ_iB)は、代数体Q(θ_i)の単数である。
Q(θ_i)の単数群のrankは28である。その基本単数をε₁⁽ⁱ⁾,...,ε₂₈⁽ⁱ⁾とし、β_i=A-θ_iBとする。
よって、整数u₁,...,u₂₈が存在して、
     β_i = ±Π_k=1²⁸ε_k^(i)u_k
となる。

U=max_1<=k<=28|u_k|とする。
Uの上限を求めれば良い。

[pari/gpによる計算]

gp>  \p 200
   realprecision = 202 significant digits (200 digits displayed)
gp>  read("fibonn.gp")
time = 1h, 36mn, 16,371 ms.
gp>  nf.fu[1]
time = 0 ms.
%2 = 497599/4503599627370496*x^27 - 14430371/4503599627370496*x^26 - 202136677/1125899906842624*x^25 + 1821459753/1125899906842624*x^24 + 5931831305/140737488355328*x^23 - 29748800677/140737488355328*x^22 - 119493783975/35184372088832*x^21 + 394807358099/35184372088832*x^20 + 2186995295189/17592186044416*x^19 - 5148868160289/17592186044416*x^18 - 10411357033647/4398046511104*x^17 + 18221491032507/4398046511104*x^16 + 6939241778691/274877906944*x^15 - 9235372790967/274877906944*x^14 - 10761259515093/68719476736*x^13 + 10982813948121/68719476736*x^12 + 39213827272441/68719476736*x^11 - 30504136119605/68719476736*x^10 - 20550636279795/17179869184*x^9 + 11876193220495/17179869184*x^8 + 2903000078305/2147483648*x^7 - 1177581435165/2147483648*x^6 - 386428649023/536870912*x^5 + 99730302347/536870912*x^4 + 39841234323/268435456*x^3 - 6190669991/268435456*x^2 - 512308185/67108864*x - 44814867/67108864
gp>  nf.fu[2]
time = 0 ms.
%3 = 263445/1125899906842624*x^28 - 29994901/4503599627370496*x^27 - 1727412939/4503599627370496*x^26 + 3619082669/1125899906842624*x^25 + 102052775677/1125899906842624*x^24 - 55734582243/140737488355328*x^23 - 1031001223805/140737488355328*x^22 + 684231401543/35184372088832*x^21 + 9412631619159/35184372088832*x^20 - 8031504927895/17592186044416*x^19 - 88732966270073/17592186044416*x^18 + 24569968929159/4398046511104*x^17 + 231914600202455/4398046511104*x^16 - 10110742857521/274877906944*x^15 - 87148200879903/274877906944*x^14 + 8756822504405/68719476736*x^13 + 76206403385353/68719476736*x^12 - 13848009893811/68719476736*x^11 - 153252855159565/68719476736*x^10 + 575234550571/17179869184*x^9 + 42522715154523/17179869184*x^8 + 586993528885/2147483648*x^7 - 2974868526709/2147483648*x^6 - 148273361313/536870912*x^5 + 170825031295/536870912*x^4 + 20748572671/268435456*x^3 - 4249540431/268435456*x^2 - 146313983/67108864*x + 7865521/67108864
gp>  nf.fu[3]
time = 0 ms.
%4 = 5805/140737488355328*x^28 - 163461/140737488355328*x^27 - 1195595/17592186044416*x^26 + 19199089/35184372088832*x^25 + 4434487/274877906944*x^24 - 284964799/4398046511104*x^23 - 719202565/549755813888*x^22 + 3319458599/1099511627776*x^21 + 26301031955/549755813888*x^20 - 36006456911/549755813888*x^19 - 61874021213/68719476736*x^18 + 96785863339/137438953472*x^17 + 160590928369/17179869184*x^16 - 31055294813/8589934592*x^15 - 59425153259/1073741824*x^14 + 12921691933/2147483648*x^13 + 403755275219/2147483648*x^12 + 36515541997/2147483648*x^11 - 96301319045/268435456*x^10 - 44533142537/536870912*x^9 + 12166100555/33554432*x^8 + 7825387817/67108864*x^7 - 1443381829/8388608*x^6 - 1025805073/16777216*x^5 + 260253773/8388608*x^4 + 78408583/8388608*x^3 - 2665619/1048576*x^2 - 1822643/2097152*x + 3481/262144
gp>  nf.fu[4]
time = 0 ms.
%5 = 1594323/2251799813685248*x^28 - 96190821/4503599627370496*x^27 - 5066227053/4503599627370496*x^26 + 13129604199/1125899906842624*x^25 + 287652184335/1125899906842624*x^24 - 231323453667/140737488355328*x^23 - 2760509749275/140737488355328*x^22 + 3294837497421/35184372088832*x^21 + 23548973360985/35184372088832*x^20 - 45704900118231/17592186044416*x^19 - 202518439586415/17592186044416*x^18 + 169596923474133/4398046511104*x^17 + 465699986923005/4398046511104*x^16 - 88229771607681/274877906944*x^15 - 145384180605225/274877906944*x^14 + 104548267293543/68719476736*x^13 + 95801273870985/68719476736*x^12 - 278539743789891/68719476736*x^11 - 120481616503035/68719476736*x^10 + 99726958767393/17179869184*x^9 + 13063303887705/17179869184*x^8 - 8850250650987/2147483648*x^7 + 207243915165/2147483648*x^6 + 710370455061/536870912*x^5 - 57141246855/536870912*x^4 - 43932159457/268435456*x^3 + 3656371831/268435456*x^2 + 266104643/67108864*x - 11160261/67108864
gp>  nf.fu[5]
time = 0 ms.
%6 = 1152851/4503599627370496*x^28 - 17695165/2251799813685248*x^27 - 1813628573/4503599627370496*x^26 + 2496734539/562949953421312*x^25 + 101647179139/1125899906842624*x^24 - 45374245243/70368744177664*x^23 - 958497813979/140737488355328*x^22 + 665402545049/17592186044416*x^21 + 7976699070827/35184372088832*x^20 - 9488927660255/8796093022208*x^19 - 66117748836383/17592186044416*x^18 + 36160435289761/2199023255552*x^17 + 143312330408161/4398046511104*x^16 - 19314779355401/137438953472*x^15 - 40216243116233/274877906944*x^14 + 23525620271083/34359738368*x^13 + 653026234331/2147483648*x^12 - 64664185909163/34359738368*x^11 - 9803693180555/68719476736*x^10 + 24094090139869/8589934592*x^9 - 5961797286155/17179869184*x^8 - 2263853027779/1073741824*x^7 + 829028646557/2147483648*x^6 + 195393506945/268435456*x^5 - 59501608225/536870912*x^4 - 12550507289/134217728*x^3 + 2997409511/268435456*x^2 + 118222679/33554432*x - 6920377/67108864
gp>  nf.fu[6]
time = 0 ms.
%7 = 953221/2251799813685248*x^28 - 30396377/2251799813685248*x^27 - 22936495/35184372088832*x^26 + 287424303/35184372088832*x^25 + 40199201941/281474976710656*x^24 - 89152902589/70368744177664*x^23 - 92407912433/8796093022208*x^22 + 696325395509/8796093022208*x^21 + 1494957017277/4398046511104*x^20 - 21212299780015/8796093022208*x^19 - 748174557673/137438953472*x^18 + 21757924048317/549755813888*x^17 + 49374653967563/1099511627776*x^16 - 50820019469827/137438953472*x^15 - 3131517535823/17179869184*x^14 + 34727336507093/17179869184*x^13 + 8720911993797/34359738368*x^12 - 223510842325063/34359738368*x^11 + 33411683705/67108864*x^10 + 13033056240127/1073741824*x^9 - 9133176603253/4294967296*x^8 - 13514804447245/1073741824*x^7 + 350218874439/134217728*x^6 + 889980341665/134217728*x^5 - 43417856909/33554432*x^4 - 194835606673/134217728*x^3 + 222622673/1048576*x^2 + 570626057/8388608*x + 24593397/16777216
gp>  nf.fu[7]
time = 0 ms.
%8 = 480907/281474976710656*x^28 - 216131/4398046511104*x^27 - 1568319469/562949953421312*x^26 + 13680073469/562949953421312*x^25 + 184193012251/281474976710656*x^24 - 13571755435/4398046511104*x^23 - 57748643537/1099511627776*x^22 + 2771468635131/17592186044416*x^21 + 16734954997815/8796093022208*x^20 - 4283177043291/1099511627776*x^19 - 78125892465505/2199023255552*x^18 + 112789966116631/2199023255552*x^17 + 403667173509085/1099511627776*x^16 - 6486236662409/17179869184*x^15 - 37381845735479/17179869184*x^14 + 54410785854881/34359738368*x^13 + 128399303397061/17179869184*x^12 - 8089635597757/2147483648*x^11 - 126100242749039/8589934592*x^10 + 42555314077307/8589934592*x^9 + 67842094170693/4294967296*x^8 - 116859974091/33554432*x^7 - 570539379465/67108864*x^6 + 360974479027/268435456*x^5 + 254725513111/134217728*x^4 - 5606861891/16777216*x^3 - 4058797603/33554432*x^2 + 1071127441/33554432*x - 27805597/16777216
gp>  nf.fu[8]
time = 0 ms.
%9 = 183945/9007199254740992*x^28 - 7196411/9007199254740992*x^27 - 121098407/4503599627370496*x^26 + 1409008113/2251799813685248*x^25 + 4833194323/1125899906842624*x^24 - 31729802837/281474976710656*x^23 - 17832050441/140737488355328*x^22 + 539793620947/70368744177664*x^21 - 13165946953/2199023255552*x^20 - 8523339027673/35184372088832*x^19 + 6619582111523/17592186044416*x^18 + 34568503437763/8796093022208*x^17 - 33149676404723/4398046511104*x^16 - 18849962115991/549755813888*x^15 + 20155710378829/274877906944*x^14 + 22156537054569/137438953472*x^13 - 52228012207987/137438953472*x^12 - 53100159809405/137438953472*x^11 + 73007093420303/68719476736*x^10 + 13160901181415/34359738368*x^9 - 26476511859123/17179869184*x^8 + 58806899027/4294967296*x^7 + 2270961735679/2147483648*x^6 - 221329596117/1073741824*x^5 - 80992365691/268435456*x^4 + 45383324593/536870912*x^3 + 6887215445/268435456*x^2 - 1067299643/134217728*x + 14322995/67108864
gp>  nf.fu[9]
time = -9 ms.
%10 = 1032613/2251799813685248*x^28 - 60012947/4503599627370496*x^27 - 3349922387/4503599627370496*x^26 + 7592046543/1125899906842624*x^25 + 195566565725/1125899906842624*x^24 - 123835928113/140737488355328*x^23 - 1949235292485/140737488355328*x^22 + 1632638752425/35184372088832*x^21 + 17524239439035/35184372088832*x^20 - 20990022905033/17592186044416*x^19 - 162336484306993/17592186044416*x^18 + 72466573920021/4398046511104*x^17 + 416001255724871/4398046511104*x^16 - 35365724753955/274877906944*x^15 - 152979175251799/274877906944*x^14 + 39942674569299/68719476736*x^13 + 130847177433763/68719476736*x^12 - 104471306708277/68719476736*x^11 - 258292450564485/68719476736*x^10 + 38738418991689/17179869184*x^9 + 71285129307739/17179869184*x^8 - 3887629710009/2147483648*x^7 - 5145154905789/2147483648*x^6 + 385507878625/536870912*x^5 + 340938138491/536870912*x^4 - 31446184463/268435456*x^3 - 15800526487/268435456*x^2 + 337603187/67108864*x + 120565985/67108864
gp>  nf.fu[10]
time = 0 ms.
%11 = 55396757/9007199254740992*x^28 - 1613092045/9007199254740992*x^27 - 5610632219/562949953421312*x^26 + 205070554011/2251799813685248*x^25 + 1309383593769/562949953421312*x^24 - 3366104899419/281474976710656*x^23 - 815616879789/4398046511104*x^22 + 44750023100729/70368744177664*x^21 + 234813566220841/35184372088832*x^20 - 581911975401903/35184372088832*x^19 - 272398500235291/2199023255552*x^18 + 2041363223779377/8796093022208*x^17 + 2801465679779533/2199023255552*x^16 - 1019441653461001/549755813888*x^15 - 129443073339637/17179869184*x^14 + 1191030843652907/137438953472*x^13 + 3568356775647391/137438953472*x^12 - 3276437907043163/137438953472*x^11 - 444081802896065/8589934592*x^10 + 1310284013363533/34359738368*x^9 + 494610007161627/8589934592*x^8 - 147320124763107/4294967296*x^7 - 1124024658647/33554432*x^6 + 17465408575585/1073741824*x^5 + 4757089623011/536870912*x^4 - 1925898483593/536870912*x^3 - 25149861513/33554432*x^2 + 35556922119/134217728*x - 254966097/33554432
gp>  nf.fu[11]
time = 0 ms.
%12 = 4586407/2251799813685248*x^28 - 129899147/2251799813685248*x^27 - 1884539569/562949953421312*x^26 + 15495563197/562949953421312*x^25 + 55871585303/70368744177664*x^24 - 235320814181/70368744177664*x^23 - 1134649612963/17592186044416*x^22 + 2837632857367/17592186044416*x^21 + 20865737821173/8796093022208*x^20 - 32503150326057/8796093022208*x^19 - 99345855686083/2199023255552*x^18 + 95848171720711/2199023255552*x^17 + 16464147210483/34359738368*x^16 - 36998662366695/137438953472*x^15 - 101091186436121/34359738368*x^14 + 27737405889557/34359738368*x^13 + 364791196488769/34359738368*x^12 - 23240071466797/34359738368*x^11 - 192296021138983/8589934592*x^10 - 17643407273477/8589934592*x^9 + 28737277725459/1073741824*x^8 + 5852293570179/1073741824*x^7 - 4548242399867/268435456*x^6 - 1255720368433/268435456*x^5 + 655462756291/134217728*x^4 + 198194379329/134217728*x^3 - 13797017285/33554432*x^2 - 3035423199/33554432*x + 440759/2097152
gp>  nf.fu[12]
time = 0 ms.
%13 = 265015/2251799813685248*x^28 - 17920143/4503599627370496*x^27 - 785034123/4503599627370496*x^26 + 2958076143/1125899906842624*x^25 + 40323510013/1125899906842624*x^24 - 60806800401/140737488355328*x^23 - 331820972749/140737488355328*x^22 + 985698239813/35184372088832*x^21 + 2168029175731/35184372088832*x^20 - 15285531307781/17592186044416*x^19 - 10174755699545/17592186044416*x^18 + 62583014990749/4398046511104*x^17 - 7753738301369/4398046511104*x^16 - 35573541806075/274877906944*x^15 + 19661183244561/274877906944*x^14 + 45676283830143/68719476736*x^13 - 36423854799553/68719476736*x^12 - 130344173932393/68719476736*x^11 + 124339551769971/68719476736*x^10 + 48405821475833/17179869184*x^9 - 52995198740101/17179869184*x^8 - 3898014279337/2147483648*x^7 + 5287678038395/2147483648*x^6 + 105774682285/536870912*x^5 - 391521654013/536870912*x^4 + 31441962077/268435456*x^3 + 11529531345/268435456*x^2 - 809632357/67108864*x + 47567649/67108864
gp>  nf.fu[13]
time = 0 ms.
%14 = 7786971/9007199254740992*x^28 - 315427471/9007199254740992*x^27 - 2495692989/2251799813685248*x^26 + 64340876721/2251799813685248*x^25 + 48350197189/281474976710656*x^24 - 1492286427153/281474976710656*x^23 - 339089158867/70368744177664*x^22 + 26134650806803/70368744177664*x^21 - 8394559859599/35184372088832*x^20 - 427177999857845/35184372088832*x^19 + 126047397485873/8796093022208*x^18 + 1815150141514467/8796093022208*x^17 - 153454544165703/549755813888*x^16 - 1060563698447339/549755813888*x^15 + 364130355379135/137438953472*x^14 + 1395247508706313/137438953472*x^13 - 1844450870114099/137438953472*x^12 - 4119615233132553/137438953472*x^11 + 1261786269760117/34359738368*x^10 + 1660849004893287/34359738368*x^9 - 224064716107419/4294967296*x^8 - 175340191777033/4294967296*x^7 + 37448582842117/1073741824*x^6 + 18886067909675/1073741824*x^5 - 5012403238905/536870912*x^4 - 1819323388627/536870912*x^3 + 81671553463/134217728*x^2 + 18381758053/134217728*x - 20469003/4194304
gp>  nf.fu[14]
time = 0 ms.
%15 = 10846785/4503599627370496*x^28 - 76936315/1125899906842624*x^27 - 17811540865/4503599627370496*x^26 + 18430127597/562949953421312*x^25 + 1054899606603/1125899906842624*x^24 - 140660962503/35184372088832*x^23 - 10695303080271/140737488355328*x^22 + 3415184576159/17592186044416*x^21 + 98145898979023/35184372088832*x^20 - 19743007429129/4398046511104*x^19 - 932151199851483/17592186044416*x^18 + 118112861100655/2199023255552*x^17 + 2463330328849465/4398046511104*x^16 - 23379432801557/68719476736*x^15 - 941256151627733/274877906944*x^14 + 37182650114789/34359738368*x^13 + 422407985051921/34359738368*x^12 - 21229218220557/17179869184*x^11 - 1772480766265639/68719476736*x^10 - 13519855742885/8589934592*x^9 + 528982176227885/17179869184*x^8 + 2996327704561/536870912*x^7 - 42409446989079/2147483648*x^6 - 1416636287865/268435456*x^5 + 3262980872219/536870912*x^4 + 130928517777/67108864*x^3 - 186123373405/268435456*x^2 - 7752049303/33554432*x + 537439727/67108864
gp>  nf.fu[15]
time = 0 ms.
%16 = 1661789/9007199254740992*x^28 - 49220049/9007199254740992*x^27 - 667310693/2251799813685248*x^26 + 6491065443/2251799813685248*x^25 + 9641990745/140737488355328*x^24 - 110861057047/281474976710656*x^23 - 380768288779/70368744177664*x^22 + 1536256053633/70368744177664*x^21 + 6796399883787/35184372088832*x^20 - 20813641352507/35184372088832*x^19 - 31425629992583/8796093022208*x^18 + 75748969252553/8796093022208*x^17 + 40699086025099/1099511627776*x^16 - 38840322535037/549755813888*x^15 - 31017803509865/137438953472*x^14 + 45679395632643/137438953472*x^13 + 115024369626931/137438953472*x^12 - 122215695882935/137438953472*x^11 - 66005513742371/34359738368*x^10 + 44758802380357/34359738368*x^9 + 2897840178015/1073741824*x^8 - 4098914275327/4294967296*x^7 - 2347074598643/1073741824*x^6 + 319054979433/1073741824*x^5 + 477913261573/536870912*x^4 - 22930002973/536870912*x^3 - 19872819025/134217728*x^2 + 971843759/134217728*x + 89510135/16777216
gp>  nf.fu[16]
time = 0 ms.
%17 = 1114041/9007199254740992*x^28 - 28482921/9007199254740992*x^27 - 240556383/1125899906842624*x^26 + 2550950543/2251799813685248*x^25 + 30383438611/562949953421312*x^24 - 22995152783/281474976710656*x^23 - 166766027097/35184372088832*x^22 + 41226809221/70368744177664*x^21 + 6737734680649/35184372088832*x^20 + 2964978013181/35184372088832*x^19 - 17901864364277/4398046511104*x^18 - 22131550845075/8796093022208*x^17 + 107430733135979/2199023255552*x^16 + 15961265741019/549755813888*x^15 - 23529310082499/68719476736*x^14 - 22016096284113/137438953472*x^13 + 193631425773875/137438953472*x^12 + 58551184081185/137438953472*x^11 - 57190936529561/17179869184*x^10 - 16278492653703/34359738368*x^9 + 36731335589057/8589934592*x^8 + 365083199945/4294967296*x^7 - 1456611347473/536870912*x^6 + 126781467981/1073741824*x^5 + 399599269707/536870912*x^4 - 23145516949/536870912*x^3 - 4570738995/67108864*x^2 + 357008427/134217728*x - 4018367/33554432
gp>  nf.fu[17]
time = 0 ms.
%18 = 17697047/9007199254740992*x^28 - 505716057/9007199254740992*x^27 - 14471246799/4503599627370496*x^26 + 61511506815/2251799813685248*x^25 + 851321353583/1125899906842624*x^24 - 954807652463/281474976710656*x^23 - 8541601243945/140737488355328*x^22 + 11802697702757/70368744177664*x^21 + 38584613006431/17592186044416*x^20 - 139126435775155/35184372088832*x^19 - 716488415564101/17592186044416*x^18 + 425059092929053/8796093022208*x^17 + 1833250347862537/4398046511104*x^16 - 172894441526757/549755813888*x^15 - 669544339765923/274877906944*x^14 + 145494243800815/137438953472*x^13 + 1128960664794759/137438953472*x^12 - 219123712415023/137438953472*x^11 - 1085316651414377/68719476736*x^10 + 11809438550729/34359738368*x^9 + 285727758414721/17179869184*x^8 + 6085927252521/4294967296*x^7 - 19220775536897/2147483648*x^6 - 1243833389075/1073741824*x^5 + 303560835789/134217728*x^4 + 171113470299/536870912*x^3 - 55975400611/268435456*x^2 - 4015826629/134217728*x + 69334503/67108864
gp>  nf.fu[18]
time = 0 ms.
%19 = 1218423/2251799813685248*x^28 - 35305461/2251799813685248*x^27 - 989918357/1125899906842624*x^26 + 4442250573/562949953421312*x^25 + 57990447695/281474976710656*x^24 - 72087870057/70368744177664*x^23 - 581463042513/35184372088832*x^22 + 945436694301/17592186044416*x^21 + 1319567347581/2199023255552*x^20 - 12076896950379/8796093022208*x^19 - 49623283177371/4398046511104*x^18 + 41270286231579/2199023255552*x^17 + 129907776068269/1099511627776*x^16 - 19754981372271/137438953472*x^15 - 49153972589271/68719476736*x^14 + 21464544757443/34359738368*x^13 + 86937098890019/34359738368*x^12 - 52053645119419/34359738368*x^11 - 88340457157179/17179869184*x^10 + 16863813247859/8589934592*x^9 + 24505385089257/4294967296*x^8 - 1399448633065/1073741824*x^7 - 1691452263089/536870912*x^6 + 122833563725/268435456*x^5 + 48753499057/67108864*x^4 - 14763341701/134217728*x^3 - 3522231605/67108864*x^2 + 355917125/33554432*x - 2405829/16777216
gp>  nf.fu[19]
time = 0 ms.
%20 = 2184957/9007199254740992*x^28 - 59916445/9007199254740992*x^27 - 455862535/1125899906842624*x^26 + 6574272095/2251799813685248*x^25 + 54894081195/562949953421312*x^24 - 88241870843/281474976710656*x^23 - 282808556503/35184372088832*x^22 + 870909533157/70368744177664*x^21 + 10537651694189/35184372088832*x^20 - 6762874309407/35184372088832*x^19 - 25331545431025/4398046511104*x^18 + 5107818046685/8796093022208*x^17 + 134830309435075/2199023255552*x^16 + 8223676529879/549755813888*x^15 - 25680028857337/68719476736*x^14 - 23961544848625/137438953472*x^13 + 180341543362495/137438953472*x^12 + 109008140787829/137438953472*x^11 - 44623398836601/17179869184*x^10 - 60451444913239/34359738368*x^9 + 23455517864233/8589934592*x^8 + 8156673062013/4294967296*x^7 - 718052914311/536870912*x^6 - 956381012051/1073741824*x^5 + 119954731607/536870912*x^4 + 74255085287/536870912*x^3 - 413098223/67108864*x^2 - 466047557/134217728*x + 3276777/33554432
gp>  nf.fu[20]
time = 0 ms.
%21 = 12110215/2251799813685248*x^28 - 695525405/4503599627370496*x^27 - 39530795461/4503599627370496*x^26 + 85696679721/1125899906842624*x^25 + 2325181254951/1125899906842624*x^24 - 1355563237479/140737488355328*x^23 - 23390279127643/140737488355328*x^22 + 17237492555383/35184372088832*x^21 + 212715707583561/35184372088832*x^20 - 212253255647031/17592186044416*x^19 - 1999208499748999/17592186044416*x^18 + 695218661444707/4398046511104*x^17 + 5218217581968277/4398046511104*x^16 - 317553451276725/274877906944*x^15 - 1964613258618713/274877906944*x^14 + 328605162398589/68719476736*x^13 + 1731849807227857/68719476736*x^12 - 757921914741627/68719476736*x^11 - 3553544948706307/68719476736*x^10 + 228019594160159/17179869184*x^9 + 1031263781518369/17179869184*x^8 - 14457331757951/2147483648*x^7 - 79734841564099/2147483648*x^6 - 92572847521/536870912*x^5 + 5820136516649/536870912*x^4 + 285776859503/268435456*x^3 - 295567587345/268435456*x^2 - 12694319947/67108864*x - 121946429/67108864
gp>  nf.fu[21]
time = 0 ms.
%22 = 32112905/4503599627370496*x^28 - 937140307/4503599627370496*x^27 - 25989939039/2251799813685248*x^26 + 119712165115/1125899906842624*x^25 + 1514434919735/562949953421312*x^24 - 1975799105753/140737488355328*x^23 - 15072145750549/70368744177664*x^22 + 26432211589397/35184372088832*x^21 + 8461681220141/1099511627776*x^20 - 346203902477337/17592186044416*x^19 - 1254271727615965/8796093022208*x^18 + 1224653564313961/4398046511104*x^17 + 3218822064158705/2199023255552*x^16 - 617504324828235/274877906944*x^15 - 1187539173873663/137438953472*x^14 + 729515344001799/68719476736*x^13 + 2042545347015645/68719476736*x^12 - 2032626089156885/68719476736*x^11 - 2031555313659817/34359738368*x^10 + 824613285309917/17179869184*x^9 + 566146600244281/8589934592*x^8 - 94133825314241/2147483648*x^7 - 41363043304989/1073741824*x^6 + 11310324695757/536870912*x^5 + 1383893523629/134217728*x^4 - 1255875107871/268435456*x^3 - 119205478587/134217728*x^2 + 23639941087/67108864*x - 315472769/33554432
gp>  nf.fu[22]
time = 0 ms.
%23 = 2006119/4503599627370496*x^28 - 58368961/4503599627370496*x^27 - 1626681035/2251799813685248*x^26 + 7414970779/1125899906842624*x^25 + 95146655303/562949953421312*x^24 - 121790261167/140737488355328*x^23 - 953246501141/70368744177664*x^22 + 1622593531617/35184372088832*x^21 + 4328325987695/8796093022208*x^20 - 21172477267579/17592186044416*x^19 - 81594543961257/8796093022208*x^18 + 74550919766785/4398046511104*x^17 + 215025685170337/2199023255552*x^16 - 37269450257621/274877906944*x^15 - 82548322725047/137438953472*x^14 + 43154917675667/68719476736*x^13 + 150417734057655/68719476736*x^12 - 114471795500583/68719476736*x^11 - 162046309188333/34359738368*x^10 + 41148439107693/17179869184*x^9 + 49980975244425/8589934592*x^8 - 3442423364663/2147483648*x^7 - 4062011602861/1073741824*x^6 + 148090509545/536870912*x^5 + 71289325573/67108864*x^4 + 16961938307/268435456*x^3 - 11226469695/134217728*x^2 - 255090409/67108864*x + 50296943/33554432
gp>  nf.fu[23]
time = 0 ms.
%24 = 371635/9007199254740992*x^28 - 11092745/9007199254740992*x^27 - 297786621/4503599627370496*x^26 + 1494478279/2251799813685248*x^25 + 17318359925/1125899906842624*x^24 - 26336162287/281474976710656*x^23 - 174247571123/140737488355328*x^22 + 381534044877/70368744177664*x^21 + 403470632783/8796093022208*x^20 - 5497997776675/35184372088832*x^19 - 15871513645199/17592186044416*x^18 + 21769698264981/8796093022208*x^17 + 45035919003771/4398046511104*x^16 - 12509619554181/549755813888*x^15 - 19383971532353/274877906944*x^14 + 17136013014791/137438953472*x^13 + 41521092703783/137438953472*x^12 - 56139838550975/137438953472*x^11 - 55319041589707/68719476736*x^10 + 26924060308097/34359738368*x^9 + 22244837268299/17179869184*x^8 - 3581234263063/4294967296*x^7 - 2516287036699/2147483648*x^6 + 471821400789/1073741824*x^5 + 139477425261/268435456*x^4 - 48495589365/536870912*x^3 - 22833860617/268435456*x^2 + 851939523/134217728*x + 204382437/67108864
gp>  nf.fu[24]
time = 0 ms.
%25 = 2225217/1125899906842624*x^28 - 130691179/2251799813685248*x^27 - 7179242195/2251799813685248*x^26 + 16915669267/562949953421312*x^25 + 416437001545/562949953421312*x^24 - 283138837629/70368744177664*x^23 - 4119068713621/70368744177664*x^22 + 3845477098553/17592186044416*x^21 + 36687914382847/17592186044416*x^20 - 51197656495273/8796093022208*x^19 - 335898581607153/8796093022208*x^18 + 184374889489465/2199023255552*x^17 + 847745290509579/2199023255552*x^16 - 94826079903663/137438953472*x^15 - 305402878954695/137438953472*x^14 + 114510573071147/34359738368*x^13 + 253813390597639/34359738368*x^12 - 326566930536141/34359738368*x^11 - 480550418033157/34359738368*x^10 + 135214122580757/8589934592*x^9 + 124426689779855/8589934592*x^8 - 15516312882197/1073741824*x^7 - 8036597135373/1073741824*x^6 + 1802393556769/268435456*x^5 + 410820439615/268435456*x^4 - 177085617215/134217728*x^3 - 4678873047/134217728*x^2 + 2027625535/33554432*x - 68691331/33554432
gp>  nf.fu[25]
time = 0 ms.
%26 = 6252633/4503599627370496*x^28 - 183880933/4503599627370496*x^27 - 2519875743/1125899906842624*x^26 + 23879149987/1125899906842624*x^25 + 146103502185/281474976710656*x^24 - 401261945551/140737488355328*x^23 - 1445146579633/35184372088832*x^22 + 5474493799853/35184372088832*x^21 + 25761838890741/17592186044416*x^20 - 73255785473887/17592186044416*x^19 - 118146007670157/4398046511104*x^18 + 265227158528657/4398046511104*x^17 + 299190649298029/1099511627776*x^16 - 137112946033853/274877906944*x^15 - 108368586131059/68719476736*x^14 + 166271127033727/68719476736*x^13 + 362905801217179/68719476736*x^12 - 475423342582355/68719476736*x^11 - 173053143453481/17179869184*x^10 + 197193267239829/17179869184*x^9 + 44861280787355/4294967296*x^8 - 22727355719623/2147483648*x^7 - 2836901416377/536870912*x^6 + 2658548552453/536870912*x^5 + 258592576407/268435456*x^4 - 255387658569/268435456*x^3 + 1020370933/67108864*x^2 + 2009893079/67108864*x - 6763761/16777216
gp>  nf.fu[26]
time = 0 ms.
%27 = 17013067/2251799813685248*x^28 - 250061749/1125899906842624*x^27 - 27433624281/2251799813685248*x^26 + 64903868107/562949953421312*x^25 + 1591666944519/562949953421312*x^24 - 272564674577/17592186044416*x^23 - 15762812777715/70368744177664*x^22 + 14877042894123/17592186044416*x^21 + 140788597642379/17592186044416*x^20 - 99634031104661/4398046511104*x^19 - 1295728183088395/8796093022208*x^18 + 723103057529685/2199023255552*x^17 + 3299509560303845/2199023255552*x^16 - 23465936250709/8589934592*x^15 - 1206132388332313/137438953472*x^14 + 458869160739133/34359738368*x^13 + 32056837363721/1073741824*x^12 - 665013066832223/17179869184*x^11 - 2013311031745503/34359738368*x^10 + 564930964968165/8589934592*x^9 + 552013068336705/8589934592*x^8 - 16994706934367/268435456*x^7 - 39578914025515/1073741824*x^6 + 8655064198347/268435456*x^5 + 2597157932111/268435456*x^4 - 507363743735/67108864*x^3 - 108230133149/134217728*x^2 + 19207148059/33554432*x - 703915149/33554432
gp>  nf.fu[27]
time = 0 ms.
%28 = 54323897/9007199254740992*x^28 - 1578641035/9007199254740992*x^27 - 44065834343/4503599627370496*x^26 + 199845759689/2251799813685248*x^25 + 2575346959419/1125899906842624*x^24 - 3265867271661/281474976710656*x^23 - 25731664414057/140737488355328*x^22 + 43217499440291/70368744177664*x^21 + 29045430650787/4398046511104*x^20 - 559291229031545/35184372088832*x^19 - 2168354360209693/17592186044416*x^18 + 1952194890418043/8796093022208*x^17 + 5621232611770117/4398046511104*x^16 - 969697337710191/549755813888*x^15 - 2104087038286419/274877906944*x^14 + 1125941925965481/137438953472*x^13 + 3696662470641517/137438953472*x^12 - 3071664240096845/137438953472*x^11 - 3797329931209521/68719476736*x^10 + 1211058340071855/34359738368*x^9 + 1113939307908773/17179869184*x^8 - 132170203939557/4294967296*x^7 - 88782104230753/2147483648*x^6 + 14619152943579/1073741824*x^5 + 3494391678697/268435456*x^4 - 1367225895759/536870912*x^3 - 444085625707/268435456*x^2 + 18613673069/134217728*x + 3708625915/67108864
gp>  nf.fu[28]
time = 0 ms.
%29 = 26166839/9007199254740992*x^28 - 739334371/9007199254740992*x^27 - 10760695415/2251799813685248*x^26 + 87570992589/2251799813685248*x^25 + 318733246213/281474976710656*x^24 - 1314984689213/281474976710656*x^23 - 6449606558109/70368744177664*x^22 + 15583508277735/70368744177664*x^21 + 117690932620493/35184372088832*x^20 - 173816700392849/35184372088832*x^19 - 552480972663925/8796093022208*x^18 + 492053281811319/8796093022208*x^17 + 357514093993901/549755813888*x^16 - 178111540077199/549755813888*x^15 - 527361115605191/137438953472*x^14 + 119771181258693/137438953472*x^13 + 1783406942854241/137438953472*x^12 - 74691085409493/137438953472*x^11 - 846118170152369/34359738368*x^10 - 61917503352341/34359738368*x^9 + 106647855113797/4294967296*x^8 + 12736395755307/4294967296*x^7 - 12913324926789/1073741824*x^6 - 1143594348641/1073741824*x^5 + 1292038908731/536870912*x^4 + 25233310633/536870912*x^3 - 15800181379/134217728*x^2 - 956329295/134217728*x + 1388419/4194304

■Uの最初の上限を計算する。
jを|β_j|=min_1<=i<=29|β_i|を満たすものとする。jは予め分からないので、j=1,...,29のそれぞれの場合に対して(並行して)議論する。

定数c₁,c₂,c_2a,c₃,c₄,c₅,c₆,c₇,K₁,K₂,K₃,C₀をpari/gpで計算すると、以下のようになる。

[pari/gpによる計算]

gp>  \p 30
   realprecision = 38 significant digits (30 digits displayed)
gp>  for(i=1,nn,print("c1_",i,"=",cc1(nn,rr,i)))
c1_1=17.3759923107407986417332993243
c1_2=4.30536806913610066557809875743
c1_3=1.98566230468585808260769223147
c1_4=1.16429426950035670280043158385
c1_5=0.780339812987413557344217881130
c1_6=0.570886843072630023010145018023
c1_7=0.444957082175246423518097825587
c1_8=0.364225238163214976266004729512
c1_9=0.310288603591888699620818913100
c1_10=0.273459493503046160133740592272
c1_11=0.248299989222978571401420927035
c1_12=0.231637344139974232917768571138
c1_13=0.221610443859192394678054828707
c1_14=0.217191035960646012857860045046
c1_15=0.217191035960646012857860045046
c1_16=0.217947712430219740237298179374
c1_17=0.223953392625958838344124496776
c1_18=0.235800681424967604340028727056
c1_19=0.254730876483017960706742462812
c1_20=0.282927290801995703275725126462
c1_21=0.324100864316538405874119771182
c1_22=0.384666571421062858578989299472
c1_23=0.476241022641278956657276200467
c1_24=0.621425953923805648967549094834
c1_25=0.868909408692574528256754877947
c1_26=1.34011313337906365323889829700
c1_27=2.41466091126835702944039036687
c1_28=5.87583305873227776106076386272
c1_29=38.8080759968677351277097442313
time = 104 ms.
gp>  print("c2=",cc2(nn,rr))                       
c2=241.937139249571473551882797960
time = 896 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("c2a_",i,"=",cc2a(nn,rr,i)))
c2a_1=4.65145231825338033898489597870
c2a_2=14.7368602140765549110954617515
c2a_3=29.7846412233866241201578853605
c2a_4=49.0911778305956272772227258341
c2a_5=71.7537178416247344839616870287
c2a_6=96.7125860731623726687074879850
c2a_7=122.800733586491498795047343670
c2a_8=148.798307598782274998217321209
c2a_9=173.489690443448200429414738736
c2a_10=195.720340501173698290640768802
c2a_11=214.450777282852465507313308754
c2a_12=228.805186381958498046499704488
c2a_13=238.112371582797447327560139188
c2a_14=241.937139249571473551882797960
c2a_15=240.937139249571473551882797960
c2a_16=239.100647497106166545470744620
c2a_17=231.688768638632822152958317943
c2a_18=219.048073891861968102818075313
c2a_19=201.769628094029462602422205160
c2a_20=180.661352167028729479736056950
c2a_21=156.710245633042632762266600759
c2a_22=131.036235613857386012185143348
c2a_23=104.839810283357424833545471011
c2a_24=79.3458853747613450064104176442
c2a_25=55.7465284823326575212389771013
c2a_26=35.1452193055599990858108163594
c2a_27=18.5052521648386423847522402573
c2a_28=7.15056457508433596754564944600
c2a_29=2.08264897549344129269396019863
time = 908 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("c3_",i,"=",cc3(nn,rr,i)))
c3_1=80.8235997157481989611560562229
c3_2=63.4476074050074003194227568986
c3_3=59.1422393358712996538446581412
c3_4=57.1565770311854415712369659097
c3_5=55.9922827616850848684365343258
c3_6=55.2119429486976713110923164447
c3_7=54.6410561056250412880821714267
c3_8=54.1960990234497948645640736011
c3_9=53.8318737852865798882980688716
c3_10=53.5215851816946911886772499585
c3_11=53.2481256881916450285435093662
c3_12=52.9998256989686664571420884391
c3_13=52.7681883548286922242243198680
c3_14=52.5465779109694998295462650393
c3_15=52.3293868750088538166884049943
c3_16=52.1114391625786340764511068149
c3_17=51.8874857699526752381069823181
c3_18=51.6516850885277076337669535910
c3_19=51.3969542120446896730602111282
c3_20=51.1140269212426939697844860018
c3_21=50.7899260569261555639103662306
c3_22=50.4052594855050927053313769311
c3_23=49.9290184628638137486741007307
c3_24=49.3075925089400080997065516358
c3_25=48.4386831002474335714497967579
c3_26=47.0985699668683699182108984609
c3_27=44.6839090556000128887705080940
c3_28=42.0155237188804638334463119916
c3_29=80.8235997157481989611560562229
time = 21 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("c4_",i,"=",cc4(nn,rr,i)))
c4_1=80.8415547849498899284202482749
c4_2=63.4520562549054464360288064221
c4_3=59.1442911728803310970693366719
c4_4=57.1577801270320648991768493931
c4_5=55.9930891073079683915984780686
c4_6=55.2125328610658626709428457912
c4_7=54.6415158914639945302982566352
c4_8=54.1964753869540639389773033861
c4_9=53.8321944146498044911659288520
c4_10=53.5218677545712152820321503937
c4_11=53.2483822630916305610126873990
c4_12=53.0000650559198754110150667313
c4_13=52.7684173507205038044898564051
c4_14=52.5468023401710625973719702632
c4_15=52.3296113042104165845141102182
c4_16=52.1116643736738655062571862494
c4_17=51.8877171868749805591072502868
c4_18=51.6519287475646752138299086033
c4_19=51.3972174321493758835588054231
c4_20=51.1143192774428205454655818779
c4_21=50.7902609588611393971781442621
c4_22=50.4056569715758693979922116951
c4_23=49.9295105752200630409055927055
c4_24=49.3082346446987544765689778617
c4_25=48.4395809671596692396732027310
c4_26=47.0999547409645832565094111378
c4_27=44.6864041881360489347023992506
c4_28=42.0215953714975006834593898051
c4_29=80.8637011198952024820064048075
time = 24,847 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("c5_",i,"=",cc5(nn,rr,i)))
c5_1=4.16851258174985004419066174124
c5_2=3.99379750615683031833408646058
c5_3=3.94308350793879631627884940775
c5_4=3.91843899077328086746233854214
c5_5=3.90358843490489531969293297136
c5_6=3.89346194040383618164862707642
c5_7=3.88596280150842749330128748200
c5_8=3.88006356265109716689722923565
c5_9=3.87519866571965272608014226491
c5_10=3.87102827876333972110416997401
c5_11=3.86733289521650706591048908075
c5_12=3.86396111271363149663739818903
c5_13=3.86080140462034714826919505581
c5_14=3.85776553431056611854304518543
c5_15=3.85477781888855347488085981447
c5_16=3.85176721402722080874679504048
c5_17=3.84866058021511346785444550166
c5_18=3.84537515850959648267667390258
c5_19=3.84180917554329905348720150598
c5_20=3.83782780121150737194323376226
c5_21=3.83323999069281901918798442577
c5_22=3.82775687489016398507816709715
c5_23=3.82091042993687127328062543389
c5_24=3.81187834832142020917355823835
c5_25=3.79905723987706545978699637954
c5_26=3.77882688420966028626782779789
c5_27=3.74088202697440752213652329567
c5_28=3.69652951529894521260305064871
c5_29=4.16871016597567156256495890422
time = 24,992 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("c6_",i,"=",cc6(nn,rr,i)))
c6_1=8.22009287227924486172379023642
c6_2=8.00980897376870281532697164244
c6_3=6.79960426903796204919164543656
c6_4=6.79128652054821700167556315960
c6_5=5.59933426375896765411614858806
c6_6=7.38459683643551517369218860481
c6_7=8.53627367916864101819297371930
c6_8=8.43857862680975284067066439152
c6_9=6.56877203097148742825619630945
c6_10=6.07413605205820266663957174554
c6_11=8.03931570688234433766637774621
c6_12=5.46141794313738084514310215354
c6_13=9.08754129699174009337303928628
c6_14=5.95051622368045429401421819112
c6_15=6.92570246048295211844116794934
c6_16=8.36232996627226531395237540042
c6_17=5.97888995759589934783421463685
c6_18=6.74327518720929466725868151234
c6_19=9.37762023526402460845583045949
c6_20=9.36790194505438906101142975782
c6_21=5.84648065243286365426223620514
c6_22=6.47568045005528237259449951989
c6_23=8.01386552622546914954183331311
c6_24=7.01533186356082644783534859448
c6_25=6.75455021616443595751771065673
c6_26=7.59579269490517739969640383272
c6_27=8.95984710016882165260866819468
c6_28=7.10886431358234404018170076269
c6_29=8.69291718931185955315683018637
time = 1mn, 14,886 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("c7_",i,"=",cc7(nn,rr,i)))
c7_1=2.34876479720463276695829436614 E245
c7_2=4.05763552885076255745933341918 E245
c7_3=5.10035175976929629388327059478 E245
c7_4=5.84083048276157452269526808505 E245
c7_5=6.40329587118257627937774974135 E245
c7_6=6.84564478921328258381355090543 E245
c7_7=7.19954813128400779042138199308 E245
c7_8=7.48411298802683868843273501891 E245
c7_9=7.71162175363877923326434853195 E245
c7_10=7.89029079761685372545188201593 E245
c7_11=8.02572550148037555075750209428 E245
c7_12=8.12173796299127366071626342502 E245
c7_13=8.18082342896997579237264745237 E245
c7_14=8.20443762707563674844413073212 E245
c7_15=8.19829984403072933600615599019 E245
c7_16=8.18696121201488320481062219430 E245
c7_17=8.14029715531037447462263940920 E245
c7_18=8.05715777828537732041808990483 E245
c7_19=7.93539910964794762447203877287 E245
c7_20=7.77164723218317685310050404371 E245
c7_21=7.56088476767810994480516611836 E245
c7_22=7.29573873285116114596320152987 E245
c7_23=6.96521825207027976962822560677 E245
c7_24=6.55233946971539387325995465741 E245
c7_25=6.02923132591177350846994245090 E245
c7_26=5.34559768220232967080310367010 E245
c7_27=4.39506518165036329451825622162 E245
c7_28=2.98599357415917146798250492498 E245
c7_29=1.15801126697035668425230427651 E245
time = 23,698 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("K1_",i,"=",KK1(nn,rr,i)))
K1_1=2.85800875615583105329964356447 E-25
K1_2=0.000000106734330538611937447517713914
K1_3=596.136978297687382711266911884
K1_4=3153424032.96770922479275247108
K1_5=345440473137249.430416062508519
K1_6=2982987408600975511.73827685063
K1_7=4105601807384200034136.26659018
K1_8=1364179026890817321076398.87423
K1_9=142361805745890238706643757.670
K1_10=5555271181162636482274817505.42
K1_11=91259501171773620739985867247.8
K1_12=684153703894024258385971029972.
K1_13=2468800104772923688196117262273.
K1_14=4427793956262010979283331110176.
K1_15=4427793956262010979283331110176.
K1_16=4002997093818637741648816124479.
K1_17=1819829415827390624854113687735.
K1_18=408127437876061023110782864537.
K1_19=43474670886936694385990207926.4
K1_20=2070293997993087036313989871.30
K1_21=40260292308339865792192988.3836
K1_22=279997053140785448001599.752739
K1_23=572301849905657169588.839220217
K1_24=254864982438733113.726979700568
K1_25=15287691670581.5367116914650078
K1_26=53394924.0156324562455475089870
K1_27=2.05009510933895501747302679050
K1_28=1.29296988396330736628507710071 E-11
K1_29=2.16701122275067753004643225855 E-35
time = 24,882 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("K2_",i,"=",KK2(nn,rr,i)))
K2_1=3.52794067543898191299137263155
K2_2=3.62056075181967573211110564106
K2_3=4.26495408446807268207586242081
K2_4=4.27017766254677412803614752386
K2_5=5.17918713796014797548332343097
K2_6=3.92709319714169583734624101972
K2_7=3.39726689770616027730307122891
K2_8=3.43659771183095512471706378748
K2_9=4.41482819974056093190999497989
K2_10=4.77434152798955458622693365348
K2_11=3.60727219297701054932365628591
K2_12=5.30997632884704333353253610592
K2_13=3.19118219683908401687184213946
K2_14=4.87352675127456547648539352848
K2_15=4.18730087893174292820678730592
K2_16=3.46793299438858834125524743464
K2_17=4.85039868699320344184164068840
K2_18=4.30058082977355901969857996936
K2_19=3.09246901372131669389258874878
K2_20=3.09567715056091239078255035168
K2_21=4.96024903254103653154851236461
K2_22=4.47829386018459717082451397995
K2_23=3.61872805390821184379106861753
K2_24=4.13380301374370690120423432812
K2_25=4.29340208776589992808629616661
K2_26=3.81790303722369077816131050563
K2_27=3.23666237557263463891247987137
K2_28=4.07941391490508501132235972082
K2_29=3.33604926498738111548710665472
time = 1mn, 14,813 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("K3_",i,"=",KK3(nn,rr,i)))
K3_1=3.79531812146970592307292173458 E247
K3_2=6.39476212199975094822887644354 E247
K3_3=6.82436825280575098767668086555 E247
K3_4=7.80742367377827242661360589394 E247
K3_5=7.05576368079363564250964420081 E247
K3_6=9.95421534669539027448224039352 E247
K3_7=1.21056536736735886600703717786 E248
K3_8=1.24407071801351244156301444585 E248
K3_9=9.97464275841488077163448951043 E247
K3_10=9.43632236862289096444417395405 E247
K3_11=1.27102798893815778462622324920 E248
K3_12=8.73213893146369734425313328877 E247
K3_13=1.46488335212403100017546589177 E248
K3_14=9.61264239965881366008180060691 E247
K3_15=1.11825795723230289300244712525 E248
K3_16=1.34879797869843939906548233581 E248
K3_17=9.58291836687957934404708312422 E247
K3_18=1.06997482298745269268895581876 E248
K3_19=1.46629642321974346773498186597 E248
K3_20=1.43449523439270144127425207920 E248
K3_21=8.70223439729349154962539154876 E247
K3_22=9.30184309615769100363518710643 E247
K3_23=1.09930486836796692154404490247 E248
K3_24=9.04978038445207577288006908783 E247
K3_25=8.01603372876298286522502760874 E247
K3_26=7.99223537300858659043584176281 E247
K3_27=7.75070956619722718870461750686 E247
K3_28=4.17343226348172767417509394342 E247
K3_29=1.97657344800787742186935222305 E247
time = 2mn, 3,458 ms.
gp>  for(i=1,nn,print("c0_",i,"=",cc0(nn,rr,i)))
c0_1=1.65557612284923467356600864932 E6932
c0_2=3.65664692092672555470929284078 E6938
c0_3=2.25812880468391038683403965370 E6939
c0_4=9.77725454574135828118367984724 E6940
c0_5=5.74424218813703584514383313195 E6939
c0_6=8.79421124583365533002838783973 E6943
c0_7=2.10703070753968885201661916711 E6946
c0_8=4.52545141964465343613747584937 E6946
c0_9=9.31377647574097546309281928641 E6943
c0_10=1.97005129315142896835706688860 E6943
c0_11=8.24789637078319520531506247272 E6946
c0_12=2.24583493109696399949502677795 E6942
c0_13=4.39020920537873905805976028967 E6948
c0_14=3.30824770060458731034902485789 E6943
c0_15=2.28652482596278253600795259112 E6945
c0_16=4.35024163498041061382463113888 E6947
c0_17=3.03345865638125074431017185876 E6943
c0_18=6.64445924950314206089677739922 E6944
c0_19=4.51034440301397730858290318669 E6948
c0_20=2.44104100154746956563855586987 E6948
c0_21=2.04014838114758229394472656253 E6942
c0_22=1.31805115844414485234491562681 E6943
c0_23=1.41679898149599135362909804285 E6945
c0_24=6.10752316074351730215411465297 E6942
c0_25=2.04581804503973422204642171658 E6941
c0_26=1.88239791511183409446025711031 E6941
c0_27=7.97188406143356221882100186721 E6940
c0_28=2.36490846207520157534821295711 E6933
c0_29=1.93002438934939208970455275265 E6924
time = 2mn, 3,483 ms.

よって、Uの最初の上限として、
K₃=10²⁴⁹
を取ることができる。
定数C₀をK₃²⁸より大きいものとする。例えば、C₀=10⁷⁸⁰⁰とする。

■LLL-algorithmにより、K₃の上限を下げる。
pari/gpでrealprecision=8000として、j=1,...,29の場合に対して、LLL-algoithmをそれぞれ適用すると、K₃の新しい上限

nK3_1=6476
nK3_2=4670
nK3_3=5389
nK3_4=3997
nK3_5=4562
nK3_6=4956
nK3_7=5782
nK3_8=4087
nK3_9=5769
nK3_10=3411
nK3_11=4246
nK3_12=4720
nK3_13=5019
nK3_14=5259
nK3_15=3775
nK3_16=3844
nK3_17=3940
nK3_18=5028
nK3_19=5446
nK3_20=4795
nK3_21=5015
nK3_22=3655
nK3_23=5202
nK3_24=4557
nK3_25=3576
nK3_26=5895
nK3_27=4209
nK3_28=4615
nK3_29=4454

を得る。

■さらにLLL-algorithmを１～２回適用すると、最終的に、

nK3_1=318 → 190
nK3_2=178
nK3_3=212 → 177
nK3_4=161
nK3_5=216 → 157
nK3_6=192
nK3_7=241 → 204
nK3_8=172
nK3_9=244 → 207 → 207
nK3_10=167
nK3_11=181
nK3_12=202
nK3_13=215 → 183
nK3_14=225 → 192
nK3_15=162
nK3_16=165
nK3_17=169
nK3_18=215 → 182
nK3_19=232 → 197
nK3_20=203
nK3_21=212 → 179
nK3_22=153
nK3_23=216 → 183
nK3_24=188
nK3_25=145
nK3_26=236 → 198
nK3_27=164
nK3_28=173
nK3_29=154

を得る。よって、K3=207として良い。

[pari/gp-2.1.5による計算(一部のみ)]

gp> \p 500
   realprecision = 500 significant digits
gp>  read("fibo29.gp")
time = 1,027 ms.
gp>  K3=6476;C0=10^300;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,1))
  ***   not a definite matrix in lllgram
gp>  K3=6476;C0=10^400;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,1))
time = 42mn, 32,333 ms.
%9 = 318
gp>  K3=4670;C0=10^400;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,2))
  ***   not a definite matrix in lllgram
gp>  K3=4670;C0=10^300;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,2))
time = 19mn, 37,808 ms.
%10 = 178
gp>  K3=5389;C0=10^300;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,3))
time = 20mn, 8,151 ms.
%11 = 212
gp>  K3=3997;C0=10^300;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,4))
time = 19mn, 48,755 ms.
%12 = 161
gp>  K3=4562;C0=10^300;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,5))
NG
time = 20mn, 45,895 ms.
%13 = []
gp>  K3=4562;C0=10^400;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,5))
  ***   not a definite matrix in lllgram
gp>  K3=4562;C0=10^350;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,5))
time = 30mn, 8,377 ms.
%14 = 216
gp>  K3=4956;C0=10^300;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
  ***   not a definite matrix in lllgram
gp>  K3=4956;C0=10^350;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
  ***   not a definite matrix in lllgram
gp>  K3=4956;C0=10^400;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
  ***   not a definite matrix in lllgram
gp>  K3=4956;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
NG
time = 13mn, 10,267 ms.
%15 = []
gp>  K3=4956;C0=10^200;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
NG
time = 7mn, 31,445 ms.
%16 = []
gp>  K3=4956;C0=10^450;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
  ***   not a definite matrix in lllgram
gp>  K3=4956;C0=10^210;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
NG
time = 8mn, 27,438 ms.
%17 = []
gp>  K3=4956;C0=10^220;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
NG
time = 9mn, 23,603 ms.
%18 = []
gp>  K3=4956;C0=10^230;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
NG
time = 10mn, 15,475 ms.
%19 = []
gp>  K3=4956;C0=10^240;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
NG
time = 11mn, 35,539 ms.
%20 = []
gp>  K3=4956;C0=10^260;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
NG
time = 14mn, 1,284 ms.
%21 = []
gp>  K3=4956;C0=10^270;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
NG
time = 15mn, 16,266 ms.
%22 = []
gp>  K3=4956;C0=10^280;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,6))
time = 16mn, 52,718 ms.
%23 = 192
gp>  K3=5782;C0=10^200;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,7))
NG
time = 7mn, 37,420 ms.
%24 = []
gp>  K3=5782;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,7))
NG
time = 13mn, 10,471 ms.
%25 = []
gp>  K3=4087;C0=10^200;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,8))
NG
time = 7mn, 54,681 ms.
%26 = []
gp>  K3=5769;C0=10^200;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,9))
NG
time = 7mn, 38,019 ms.
%27 = []
gp>  K3=5769;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,9))
NG
time = 12mn, 38,932 ms.
%28 = []
gp>  K3=3411;C0=10^200;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,10))
NG
time = 7mn, 36,996 ms.
%29 = []
gp>  K3=3411;C0=10^300;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,10))
NG
time = 20mn, 26,007 ms.
%30 = []
gp>  K3=4247;C0=10^200;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,11))
NG
time = 7mn, 43,239 ms.
%31 = []
gp>  K3=4246;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,11))
NG
time = 13mn, 17,255 ms.
%32 = []
gp>  K3=4270;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,12))
NG
time = 12mn, 39,917 ms.
%33 = []
gp>  K3=318;C0=10^80;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,1))
NG
time = 1mn, 17,987 ms.
%34 = []
gp>  K3=318;C0=10^90;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,1))
NG
time = 1mn, 33,729 ms.
%35 = []
gp>  K3=318;C0=10^100;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,1))
NG
time = 1mn, 53,778 ms.
%36 = []
gp>  K3=318;C0=10^150;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,1))
NG
time = 4mn, 9,799 ms.
%37 = []
gp>  K3=318;C0=10^200;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,1))
time = 12mn, 36,779 ms.
%39 = 190
gp>  K3=241;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,7))
time = 13mn, 7,257 ms.
%40 = 204
gp>  K3=244;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,9))
time = 12mn, 38,448 ms.
%41 = 207
gp>  K3=216;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,5))
time = 13mn, 1,589 ms.
%42 = 157
gp>  K3=225;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,14))
time = 13mn, 9,242 ms.
%43 = 192
gp>  K3=215;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,13))
time = 12mn, 30,069 ms.
%45 = 183
gp>  K3=212;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,3))
time = 12mn, 49,272 ms.
%46 = 177
gp>  K3=207;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,9))
time = 12mn, 42,325 ms.
%48 = 207
gp>  K3=215;C0=10^200;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,18))
NG
time = 7mn, 38,474 ms.
%49 = []
gp>  K3=215;C0=10^250;floor(nKK3(29,rr,C0,K3,18))
time = 12mn, 53,546 ms.
%50 = 182

■Q(θ)の代数的数 p=Σ_i=0²⁸a_iθⁱ, q=Σ_i=0²⁸b_iθⁱに対して、その積をp*q=Σ_i=0²⁸c_iθⁱ (c_i ∈ Q)とする。
このとき、
     max_{0 <= i <= 28}|a_i| <= K_a,
     max_{0 <= i <= 28}|b_i| <= K_b
ならば、
     max_{0 <= i <= 28}|c_i| <= M*K_a*K_b
となる定数Mを求める。

定数Mをpari/gpで計算すると、
     M = 126359463349180729840011754845271720352153608
であることが分かる。

また、Q(θ)の基本単数の巾乗数
     {ε_k^(i)u_k : 1 <= k <= 28, |u_k| <= 207, 1 < =i <= 29 }
をθの多項式で表現した場合の係数の絶対値の上限をvとすると、
     v = 715124745046871160248535988010060693950999743026639143892839271389426236961244480974662461555352127525498121721165832381031436860652095066219328042233692208761165692545466913242206311469031011524617724071027801812503281814780910657680650675071792081306601088798885129697523697808258252226764456225331093904608712473092471321249380182430951830844528459767319070662799785046362616434871165404954055107749910308798697743443614476227795582447190107550709109185905197454252621525998129527009616528227096796235921030248306447243030604563265213454048596119311161351545252803452316723773635099118508427335240573825918399349755692959426843439686667715497179428313977273630898121168088592751891883119283226583124032360946898646448917445209437644198958595754325438666091349661099324767351700278238567981602393573665/34359738368
であることが分かる。
特に、β_i=A+θ_iBならば、max{|A|,|B|} <= M²⁷*v²⁸である。
これより、
     x <= sqrt{5}*M²⁷*v²⁸,
     F_m = x²⁹ <= (sqrt{5}*M²⁷*v²⁸)²⁹
を得る。
また、
     F_m ≒ ((sqrt{5}+1)/2)^m/sqrt{5}
より、F_m = x²⁹であるならば、
     m <= 3304755
であることが分かる。

[pari/gpによる計算#1]

gp>  m=M(29)
time = 5,527 ms.
%30 = 221925929089779091167653418617314964657852194882480905388042

[pari/gpによる計算#2]

gp> m=221925929089779091167653418617314964657852194882480905388042
%25 = 221925929089779091167653418617314964657852194882480905388042
gp> v=vv(29,fu,207)
%26 = 715124745046871160248535988010060693950999743026639143892839271389426236961244480974662461555352127525498121721165832381031436860652095066219328042233692208761165692545466913242206311469031011524617724071027801812503281814780910657680650675071792081306601088798885129697523697808258252226764456225331093904608712473092471321249380182430951830844528459767319070662799785046362616434871165404954055107749910308798697743443614476227795582447190107550709109185905197454252621525998129527009616528227096796235921030248306447243030604563265213454048596119311161351545252803452316723773635099118508427335240573825918399349755692959426843439686667715497179428313977273630898121168088592751891883119283226583124032360946898646448917445209437644198958595754325438666091349661099324767351700278238567981602393573665/34359738368
gp> w=(1+sqrt(5))/2
%27 = 1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902449707207204189391137484754088075386891752126633862223536931793180060766726354433389086595939582905638322661319928290267880675208766892501711696207032221043216269548626296313614438149758701220340805887954454749246185695364864449241044320771344947049565846788509874339442212544877066478091588460749988712400765217057517978834166256249407589069704000281210427621771117778053153171410117046665991466979873176135600670874807101317952368942752194843530567830022878569978297783478458782289110976250030269615617002504643382437764861028383126833037242926752631165339247316711121158818638513316203840052221657912866752946549068113171599343235973494985090409476213222981017261070596116456299098162905552085247903524060201727997471753427775927786256194320827505131218156285512224809394712341451702237358057727861600868838295230459264787801788992199027077690389532196819861514378031499741106926088674296226757560523172777520353613936
gp> n=29;s=((n+1)/2*log(5)+n*(n-2)*log(m)+n*(n-1)*log(v))/log(w)
%28 = 3304755.487808680857696576203137207902200172763592169204642474734909993524257610593183954574445665518415596326876094989338840553583789098658909256846146900579315886011205080761508574508197348112198301388312016938159155240974870623840605156983779505049685885011888094249353506539254554558081097321608995673805309944563056036744438095403822138552582719970155139520771570129587681623416654102295136838570911298269522779875662795995526561100920830617913485773701472822372817401808184527904981115493755100257189015063451292396179550140136465504643773679747549972782762729898558118243923652545629841205437926671911461171822097287053501320061940796547058985946802453510052822130445545265198488750542387755202115759691017944638831841555579661685000827515881597201691398106154121276407335063163832699025500986223875576398139773364538616828357377758320092630960681632335156409927426210460571269028849053453567191376308581465002875429403410127884142703096455362375434011231485285664634584587565894918510219447226

■3<=m<=3304755である奇数mに対して、F_mが完全29乗数にならないことを確認する。

[gp2c-0.0.2pl6による計算]

bash-2.05a$ gp2c-run -g fibo29.gp
Reading GPRC: ./gp2c_gprc ...Done.

                  GP/PARI CALCULATOR Version 2.1.5 (released)
                       i386 running netbsd 32-bit version
                (readline v1.0 enabled, extended help available)

                       Copyright (C) 2002 The PARI Group

PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and 
comes WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.

Type ? for help, \q to quit.
Type ?12 for how to get moral (and possibly technical) support.

   realprecision = 28 significant digits
   seriesprecision = 16 significant terms
   format = g0.28

parisize = 128000000, primelimit = 500000
gp>  check(29,3304755)
#{k:0<=k<59, (k/59)_29}=3
#{k:0<=k<233, (k/233)_29}=9
#{k:0<=k<349, (k/349)_29}=13
#{k:0<=k<523, (k/523)_29}=19
#{k:0<=k<929, (k/929)_29}=33
#{k:0<=k<1103, (k/1103)_29}=39
#{k:0<=k<1277, (k/1277)_29}=45
#{k:0<=k<1451, (k/1451)_29}=51
#{k:0<=k<1567, (k/1567)_29}=55
#{k:0<=k<1741, (k/1741)_29}=61
#{k:0<=k<1973, (k/1973)_29}=69
#{k:0<=k<2089, (k/2089)_29}=73
#{k:0<=k<2437, (k/2437)_29}=85
#{k:0<=k<2843, (k/2843)_29}=99
#{k:0<=k<3191, (k/3191)_29}=111
#{k:0<=k<3307, (k/3307)_29}=115
#{k:0<=k<3539, (k/3539)_29}=123
#{k:0<=k<4003, (k/4003)_29}=139
#{k:0<=k<4177, (k/4177)_29}=145
#{k:0<=k<4409, (k/4409)_29}=153
#{k:0<=k<4583, (k/4583)_29}=159
#{k:0<=k<4931, (k/4931)_29}=171
#{k:0<=k<5279, (k/5279)_29}=183
#{k:0<=k<5569, (k/5569)_29}=193
#{k:0<=k<5743, (k/5743)_29}=199
#{k:0<=k<5801, (k/5801)_29}=201
#{k:0<=k<6091, (k/6091)_29}=211
#{k:0<=k<6323, (k/6323)_29}=219
pp=2.763559733624922254397157447 E-41
time = 1mn, 26,485 ms.
gp>  quit
Good bye!
bash-2.05a$

■以上により、F_m=x²⁹ならば、m<=2である。
m<=2の範囲で、F₀=0, F₁=F₂=1は、(自明な)完全29乗数である。
よって、Fibonacci数列に現れる完全29乗数は、0,1に限ることが証明できた。

■不定方程式
     v²-5u⁵⁸ = ±4
の整数解(u,v)は、
     (0,±1), (±1,±1)
の６個に限ることが分かる。

[2004.04.25追記]
参考文献[3](Bugeaud, Mignotte, Siksek)によると、Fibonacci数列またはLucas数列に現れる完全巾乗数は、
     F₀=0, F₁=1, F₂=1, F₆=8, F₁₂=144,
     L₁=1, L₃=4
に限ることが証明されている。

---------------------------------------------------------------
Theorem 1
F_nを
     F₀=0, F₁=1,
     F_n+2=F_n+1+F_n    (n >= 0)
で定義されたFibonacci数列の第n項とする。
Fibonacci数列中の完全巾乗数は、
     F₀=0, F₁=1, F₂=1, F₆=8, F₁₂=144
に限る。

---------------------------------------------------------------
Theorem 2
L_nを
     L₀=2, L₁=1,
     L_n+2=L_n+1+L_n    (n >= 0)
で定義されたLucas数列の第n項とする。
Lucas数列中の完全巾乗数は、
     L₁=1, L₃=4
に限る。
---------------------------------------------------------------

[参考文献]

[1]J. Mc Laughlin, "Small Prime Powers in the Fibonacci Sequence", Dec 13, 2000, p1-22.
[2]Nigel P. Smart, "The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations", LMSST 41, Cambridge University Press, 1998, ISBN0-521-64633-2.
[3]Yann Bugeaud, Maurice Mignotte, Samir Siksek, "Classical and modular approached to exponential Diophantine equations I. Fibonacci and Lucus perfect powers", March 2, 2004, p1-42.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao