Answer of Problems on 17 and 2005
17と2005に関するパズル解答[2005.01.05]
明けましておめでとうございます。
残念ながら、今回のパズルの解答提出者はありませんでした。
少し難しかったでしょうか？
【問題1】
・整数X,Y,Zで、(X/Y)+(Y/Z)+(Z/X) = 17を満たすものをいくつか求めなさい。ただし、gcd(X,Y,Z)=1とする。
[略解]
楕円曲線E17:y^2+17xy+y=x^3の有理点を求めることに帰着できる。
E17(Q)tors=Z/3Z, rank(E17)=1であり、E17(Q)/E17(Q)torsの生成元は(-666/25, 50653/125)である。
これより、(X/Y)+(Y/Z)+(Z/X)=17の有理点[X:Y:Z]をいくつか計算すると、以下のようになる。
[11988 : 6845 : 450],
[24642 : 1620 : 925],
[-40553076476562624 : 185379101567815680 : 10605049231387975],
[-174670202396012544 : -9992421367888505 : 45678065799441600],
[55506573320428341214657075526927109517 : 1688711279203546452259185924738810707490 : 113114036164231814556721467500092487700],
[426672233336597053786811626044308622893 : 28579555917143919986393290201467625890 : 869493747223395601131140835945282033300],
...
【問題2】
・整数X,Y,Zで、(X+Y+Z)((1/X)+(1/Y)+(1/Z)) = 2005を満たすものをいくつか求めなさい。ただし、gcd(X,Y,Z)=1とする。
[略解]
楕円曲線E2005:y^2=x^3+4007992x^2+32080xの有理点を求めることに帰着できる。
E2005(Q)tors=Z/6Z, rank(E2005)=1であり、E2005(Q)/E2005(Q)torsの生成元は[169114622823548677070738785921/35057909386972672818195249, 200585319337622447662018927148511052964740163/207576899746862455849091415553530569943]である。
これより、(X+Y+Z)((1/X)+(1/Y)+(1/Z))=2005の有理点[X:Y:Z]をいくつか計算すると、以下のようになる。
[797990385350099800161144361682949217970825 : -1326887579962054458024835415747897804777226 : 4012504377137799045124198998658705055147451151],
[22978944745171414219151181097818715656450 : -69488265444948015646278907970181381816707075 : 115544144471810827550383503402316735117950126],
[68426132845975478390761248520800453212966005998046221338131589973627816507891925597033490615746334276210101706871031073162095079325879665710508614946117129000473326464487189049 : -77724642434185063323904863138274961614562042677075632378829872726290619687797878148679361805518919258155720753889578633399862938320267405547665474802876685199218891784206188705225 : 214927758982755113921775805485972371807611064085274407467467176797139799305567197956990680224310584514755793095817973516162294925322195541967015588832441703948312422401225449805676],
[41160171724568566934702867706977155798182390578403319482399405229010927443729326491799080144796980119303480606748650868845676546355179234991403119424761728102269416030175118975 : -113818001486437321615167693493898797385254537928770149935774151817351904916631851844396901416367682967311603353757659744585668785943538750938822092302732866245582184771887909876 : 129284866763111172967632509204466895055141399489228789510681704208317052247116339227921420418274799470051211336166016056593492537275028174850059970552115697225638925307233824942900].
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| Last Update: 2005.06.12 |
| H.Nakao |