Image of 120-cell making by POV-Ray

POV-Rayで作成した120-cellの画像[2001.06.02]

少し以前に、POV-Ray 3.1(レイトレーシングのプログラム)で幾何学的図形のComputer Graphics(CG)を作成したので紹介する。

その動機は、高等学校時代に学校の図書室にあったCoxetorの"幾何学入門"(参考文献[1]の翻訳)という本に、４次元の正多胞体(正多面体の拡張図形)についての記述を読んだ時に遡る。その中の120-cell(正12面体を120個結合した図形,120胞体{5,3,3})の模形の写真に魅せられて、いつかそれを作成してみたいと思っていた。当時、針金を使って、24-cell(正８面体を24個結合した図形{3,4,3})やsnub-24-cell(正20面体24個と正4面体を120個結合した準正多胞体s{3,4,3})までは作成できた。しかし、120-cellは、平面上への投影図の作図が難しく(面倒であり)、かつ針金では工作精度が不十分なため、挑戦することができなかった。

針金では作成が困難だった120-cellの模形も、CGならうまく表現できるはずだと思い、PerlとPOV-Rayで挑戦して成功した。

R⁴内での120-cellの600個の頂点の座標は、以下の通りである。
ただし、τは黄金分割比,つまり,2次方程式τ²-τ-1=0の正根τ=(1+sqrt(5))/2=1.6180339887...である。

(±2,±2,0,0)とその置換
(±sqrt(5),±1,±1,±1)とその置換
(±τ,±τ,±τ,±τ^-2)とその置換
(±τ²,±τ^-1,±τ^-1,±τ^-1)とその置換
(±τ²,±τ^-2,±1,0)とその偶置換
(±sqrt(5),±τ^-1,±τ,0)とその偶置換
(±2,±1,±τ,±τ^-1)とその偶置換

R⁴内の120-cellの600個の頂点と1200本の辺を３次元空間R³に射影する。この部分はPerlスクリプトで作成した。具体的には、まずR⁴上の120-cellの全頂点をR³上に射影する。次に、R⁴上で120-cellの全ての頂点間の距離を計算し、正しい長さを持つ辺だけを選択し(無駄が多いことは承知しているが、プログラムは単純になる)、R³上に射影する。この出力結果を組み込んで,POV-Rayのソースプログラムを作成する。 NetBSD/i386上でbuildしたPOV-Ray 3.01gで画像を作成して、jpeg形式に変換すると、以下のようになる。

また、カメラの位置や向き、図形の位置を少しづつ変化させて、複数の画像を作成し結合すると、CGによるanimationを作成することも可能である。

[参考文献]

[1]H.M.S.Coxetor, F.R.S. ,"Introduction to Geometry Second Edition", John Wiley & Sons, Inc., p403-404, 1961, ISBN0-471-50548-0.
[2]小室日出樹, "POV-Rayではじめるレイトレーシング", アスキー出版局, 1998, ISBN4-6561-1831-3, {3800円}.
[3]POV-Rayの公式ページ.
[4]Larry Wall, Tom Christiansen, Randal L.Schwartz, "Programming Perl Second Editon", O'Reilly & Associates, Inc., 1996, ISBN1-56592-149-6.
[5]増井俊之, "Perl書法", アスキー出版局, 1993, ISBN4-7561-0281-6, {3107円}.

Last Update: 2006.12.03

H.Nakao